浙江省金麗衢十二校2024屆高三年級下冊第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

金麗衢十二校2023學(xué)年高三第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

命題人：永康一中高雄略何承生審核：浦江中學(xué)

本卷分選擇題和非選擇題兩部分.考試時(shí)間為120分鐘，試卷總分為150分.請考生將所有試題

的答案涂、寫在答題紙上.

選擇題部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合4={°4，2},5={x|x=3左—1,左eN},則AB=()

A,{0,1,2}B,{1,2}C.{1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)交集定義求解即可.

【詳解】因?yàn)锳={0,l,2},5={x|x=3左一1,左eN},

所以A5={2}.

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足：z+2彳=3-2i,貝U|z|為()

A.2B.72C.75D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件求出z,進(jìn)而求出|z|.

【詳解】設(shè)2=。+歷,(。力€1i),貝ijz=a—6i,

所以z+25=3a—?dú)v=3—2i,即。=1/=2,

所以忖=[a2=A/5.

故選：C.

3.若函數(shù)/(x)=ln(e*+1)+依為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

11

A.----B.0C.—D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足的關(guān)系即可化簡求解.

【詳解】/(x)=ln(eX+l)+ax的定義域?yàn)镽,

/e"+])

/(—x)=ln(eT+l)—tzx=ln—―-ax=]n(ex+l^-x-ax,

由于/(x)=ln(e"+l)+ox為偶函數(shù)，故

/(-x)=ln(ex+l)-(l+^)x=ln(ex+l)+or==(l+2〃)x=0,

故1+2〃=0,故I=—

2

故選：A

22

4.雙曲線——J=1的離心率e的可能取值為()

A.當(dāng)B.72C.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由題得到或a<0,再利用離心率e=￡=Jl+±，即可求出結(jié)果.

a\a2

【詳解】由，3-1)>0,得到或。<0,

當(dāng)。>1時(shí)，e{=Jl+：=m

22

當(dāng).<0,雙曲線-一—=1,e=-=2+^—<721

1一〃一〃aQ—1

所以l<e<0，

故選：A.

5.在中，“A,B,C成等差數(shù)列且5也45達(dá)氏5垣。成等比數(shù)列”是“_48。是正三角形”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即

得.

【詳解】在ABC中，由A,B,C成等差數(shù)列，得25=A+C,而&+3+。=兀，則8=,,

由sinA,sin3,sinC成等比數(shù)歹ij,得sir?5=sinAsinC，由正弦定理得步=ac，

由余弦定理得方2=4+02—2QCCOS3，即ac=/+c2—近，解得a=c,因此一ABC是正三角形；

若.ABC是正三角形，則A=3=C=巴，sinA=sin3=sinC，

32

因此A,B,C成等差數(shù)列且sinA,sin氏sinC成等比數(shù)列，

所以“A,B,C成等差數(shù)列且sinA,sin5,sinC成等比數(shù)列”是是正三角形”的充要條件.

故選：C

6.已知拋物線G:爐=2y的焦點(diǎn)為R以尸為圓心的圓。2交Ci于A，B兩點(diǎn)，交C1的準(zhǔn)線于C,。兩

點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓。2的方程為()

A.爐+-1)2=12B.x2+(y-l)2=16

C.入1一寸=3D41一寸=4

【答案】D

【解析】

【分析】依題意知，圓。2的圓心坐標(biāo)為且點(diǎn)歹為該矩形對角線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)少到直線CD的

3

距離與點(diǎn)尸到A3的距離相等，可求得直線A5的方程為：y=-,從而可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓

。2的半徑，于是可得答案.

【詳解】解：由題可得：拋物線G：必=2丁的焦點(diǎn)為/,

所以圓。2的圓心坐標(biāo)為尸［o，gj，

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，且為3。直徑，AC為直徑，/0,g為圓。2的圓心,

所以點(diǎn)F為該矩形對角線的交點(diǎn)，

所以點(diǎn)F到直線CD的距離與點(diǎn)F到AB的距離相等,

故點(diǎn)尸到直線CD的距離2=1,

3

所以直線A3的方程為：y=5,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，分析得到點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對

角線的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

J_x+]無<0

7.已知函數(shù)/（x）=<2"一若/（石）=/（々）（石<々），則12-占的取值范圍為（）

Inx,%>0

A.[e,+oo）B.[4-21n2,+oo）c.[4-21n2,e]D.[e-l,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知3石+1=111々，轉(zhuǎn)化為％—X=々-21n%+2.結(jié)合圖像構(gòu)造函數(shù)

〃(%)=%—21nx+2,xe(O,e],求出函數(shù)的值域即為本題答案.

【詳解】由題意可知+I=lnx2，即石=2111%2-2,所以X2-西=%+2.

由圖像可得/e(°，e],設(shè)〃(x)=x-21n%+2,xe(0,e].

2Y—2/Tx—2

則/(X)=1——=——,xe(O,e.令//(X)==——=0,則x=2

XXX

當(dāng)丸'(x)>0時(shí)xe(2,e],當(dāng)〃(x)<0時(shí)xe(0,2)

所以〃(x)=x—21nx+2在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,e]單調(diào)遞增.

所以丸(%)在x=2時(shí)取得最小值入(2)=4—21n2,

可得々一%G[4-21n2,+oo).

8在三棱錐D-A5c中，底面是邊長為2的正三角形，若為三棱錐D-A6C的外接球直徑，且

AC與所成角的余弦值為葉，則該外接球的表面積為()

7

1928r

A.—7tB.—71C.771D.16兀

33

【答案】A

【解析】

【分析】記球心為。，取A3中點(diǎn)為E、BC中點(diǎn)為F,連接OF、EF,易得

pyt]9

OE=OF=Vr2-1-EF=1，由cosNOEF==一，即可求出產(chǎn)=不，由此即可求出答案.

712

【詳解】如圖所示：記球心為。，取A3中點(diǎn)為E、中點(diǎn)為產(chǎn)，連接OE、OF、EF,

記外接球半徑為小

在RtAB￡>中，BD=2“—1，OE〃BD，OE=/2—1，

在一ABC中,EF//AB，EF=-AB=1

29

在Rt-OBE中，OF=d*-1，

所以AC與8。所成角為/。跖，即cosNOEE=?，

7

在」OEF中,OE=OF=J產(chǎn)一1，EF=1,

1FF

所以c°sNOEF=%=*^=?

19

解得：r29=—

12

IQIQ

所以該外接球的表面積為：4兀r2=4兀x—=一n

123

故選：A

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于函數(shù)f(x)=2sinx.cosx+26cos2%,下列說法正確的是()

A.最小正周期為2兀B.關(guān)于點(diǎn)岔］中心對稱

C.最大值為6+2D.在區(qū)間一行~，歷上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).

【詳解】/(X)=2sinx-cosx+2百cos2x=sin2X+A/3(COS2X+1),

=2sin+-1-j+A/3,

函數(shù)的最小正周期T=g27r=Ji,故A錯(cuò)誤；

2

=2sin^-y+y^+^=0+V3=A/3,所以函數(shù)/（x）圖象關(guān)于點(diǎn)［一三,若］中心對稱，故B

正確；

/（x）=2sin［2x+1］+百，所以函數(shù)的最大值為2+石，故C正確；

57r兀7C7C7C7C7C

由XC--,2x+-e-5,不，函數(shù)y=sinx在區(qū)間一不^單調(diào)遞增，

JL乙I乙J乙乙乙乙

57rIT

所以函數(shù)/（九）在區(qū)間—五，五上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.設(shè)定義在R上的函數(shù)“力的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,若X/xeR,均有4。）=（》+1）〃尤），則（）

A./（0）=0B,f（一2）=。（尸⑺為〃力的二階導(dǎo)數(shù)）

C./（2）＜2/（1）D.%=—1是函數(shù)/（龍）的極大值點(diǎn)

【答案】AB

【解析】

【分析】由礦（尤）=（x+l）〃x）,令％=0,即可判斷A；由已知得J/〉）］=7（"）,即得函數(shù)

［九」X

"^=e￡+c,確定c=0,從而可得/（%）=%（二+。），求導(dǎo)數(shù)，即可判斷B；令g（x）=〃^,（x〉0）,

判斷其單調(diào)性，即可判斷C；根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D.

【詳解】由VxeR,礦（x）=（x+l）〃x）,令％=0,則0=（0+1）〃0）,，〃0）=0,A正確;

當(dāng)xwO時(shí)，由礦（x）=（x+l）〃x）得礦（X）-〃“二對'。;），故于（":,

XX

即F（x）1=“X）,則/H=e，+c（C為常數(shù)），則/（%）=%（二+。），

"0)=0滿足該式，故/(x)=x(e*+c),貝i|r(x)=e*+c+xe)

將/(%)=x(e"+C)代入礦(%)=(%+1)/(x)中，得X(ex+c+xe")=(x+1)x(ex+c)

xex+xc+x2ex=x2ex-^-x2c+cx+xex,而xeR,故c=0,

則/(x)=xe*，f\x)=ex+xex,/"(%)=e*+e*+xe*=e*(2+%),

故廣(-2)=e"(2—2)=。，B正確；

令g(x)=/區(qū),(％〉0),g〈x)=e%>0,故g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,

故半1〉羋，即/(2)>2/(1),C錯(cuò)誤；

由于/'(%)=e'+xe：,令/'(x)>0,;.e*(l+x)>0,即得x>—1,

令廣(力<0,二e'(l+x)<0,即得x<—L

故/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

故x=—1是函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤，

故選：AB

H.已知正方體ABC。-A4GR，的棱長為1，點(diǎn)P是正方形4片。12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)

A處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為工，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為:，

42

如當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A1處時(shí)，向點(diǎn)⑸，移動(dòng)的概率均為上，向點(diǎn)G移動(dòng)的概率為:，則()

A.移動(dòng)兩次后，“儼。|=也"的概率為|

B.對任意〃eN*，移動(dòng)〃次后，“石4//平面5。。1”的概率都小于3

C.對任意“eN*，移動(dòng)〃次后，“PC,平面8。。］”的概率都小于：

D.對任意〃eN*，移動(dòng)w次后，四面體P—3DG體積V的數(shù)學(xué)期望E(V)<：(注：當(dāng)點(diǎn)P在平面

上時(shí)，四面體P—BDCj體積為。)

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出點(diǎn)尸在移動(dòng)九次后，點(diǎn)A，3i，G，2的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和

三棱錐的體積，對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】設(shè)移動(dòng)〃次后，點(diǎn)尸在點(diǎn)A，4，G，。的概率分別為/，優(yōu)，?！?，幺，

其中%=。4="W，4=>”+々+6+4=1，

f111

an+-d?,+~Cn-\1,1(1Y

4424—+———

111"4212j

b=-a.H—d,

〃4+/T2i11<1Y

<解得：wc———

1711"42――

Cn=4%+a

~n-l1

bd

1n=n-4

a

dn=~n-\+上+萬如

對于A,移動(dòng)兩次后，“忸。|=6”表示點(diǎn)p移動(dòng)兩次后到達(dá)點(diǎn)A，

所以概率為g=故A正確;

對于B,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以4(1,0,0),￡>(0,0,0),5(1,1,0),c(o,1,0),4(1,0,1),(0,0,1),Bx(1,1,1),q(0,1,1),

因?yàn)椤?=(1,1,0),DC]=(0,1,1),^1=(0,-1,-1),Z)1A=(l,0,-l)，AC=(-1,1,-1),

/、(n-DB=x+y=0

設(shè)平面BDC1的法向量為〃=(x,y,z),貝ij.

n-DC1=y+z=0

取y=l,可得元=-l,z=—l,所以〃二(一1,1,一1),

而B]A?幾=0,RA?幾=0,4AAA.平面

所以當(dāng)點(diǎn)尸位于4或R時(shí)，/%//平面5OG，

當(dāng)尸移動(dòng)一次后到達(dá)點(diǎn)用或。?時(shí)，所以概率-x2=->-,故B錯(cuò)誤;

423

對于c,4。=(一1，1，—1)="，所以當(dāng)點(diǎn)「位于4時(shí)，PC，平面BDC］,

所以移動(dòng)〃次后點(diǎn)p位于A，則%=；+；(—；］＜；'故c正確；

對于四面體］體積的數(shù)學(xué)期望E(V^—a-_+b-V_Bg+c'V_+d

D,P-5DCVnBDCinBinCiBDC］n'VDI_BDCI

s.Bg=￥(&)=［'因?yàn)椤?=(1,0,1)，

DA-72o

所以點(diǎn)A到平面BDQ的距離為&=??=-A=生，

\n\V33

同理點(diǎn)B］，G，D,到平面BDC］的距離分別為@,0,XI,

33

_1V3273_1v_v_1V3V3_1v_n

所以匕r=XX=，VBBDCXX=

A]—DBZDJC]~—3'-'=%—B?G=--—=0,

1111

所以E(V)—+—LLLo+LL—+—

423464666

所以E（V）=^+!111

當(dāng)”為偶數(shù),<—<—,

66265

111

當(dāng)“為奇數(shù),所以E(V)I故D正確.

662165

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先求出點(diǎn)尸在移動(dòng)〃次后，點(diǎn)4,男,G，。的概率，再結(jié)合由向量法

求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知圓柱的軸截面面積為4,則該圓柱側(cè)面展開圖的周長最小值為.

【答案】8y

【解析】

【分析】將圓柱的母線長和底面圓半徑分別設(shè)為/，，根據(jù)己知和基本不等式求出側(cè)面展開圖面積的最小值.

【詳解】設(shè)圓柱的母線長和底面圓半徑分別設(shè)為/，，根據(jù)已知得2。=4,

由題意可得圓柱側(cè)面展開圖的周長可以表示為L側(cè)=4a+2/22后標(biāo)才=8后,

1廠

當(dāng)且僅當(dāng)4M=2/時(shí)，即r=—7=,/=2五時(shí)等號成立.

故答案為：8Vl

13.某中學(xué)的45兩個(gè)班級有相同的語文、數(shù)學(xué)、英語教師，現(xiàn)對此2個(gè)班級某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2

節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個(gè)班級的2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有

種不同的排課方式.（用數(shù)字作答）

【答案】8

【解析】

【分析】由〃表示數(shù)學(xué)課，b表示語文課，。表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課順序，列出所

有可能情況可得答案.

【詳解】由，表示數(shù)學(xué)課，b表示語文課，。表示英語課，

按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課排列，可得

若A班排課為aabbc，則B班排課為bbcaa，

若A班排課為bbaac，則B班排課為aacbb，

若A班排課為aacbb，則B班排課為bbaac，或B班排課為cbbaa，

若A班排課為bbcaa，則B班排課為aabbc，或B班排課為caabb，

若A班排課為cbbaa,貝!JB班排課為aacbb,

若A班排課為caabb，則B班排課為bbcaa，

則共有8種不同的排課方式.

故答案為：8.

uuuiuuLLJL-UUIT

14.設(shè)正鞏邊形的邊長為1,頂點(diǎn)依次為A，a，若存在點(diǎn)尸滿足尸4?尸4=0,且貝I"

攵=1

的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：tan36%0.73）

【答案】5

【解析】

【分析】由題意確定尸點(diǎn)的軌跡，分類討論，結(jié)合向量的運(yùn)算說明正六邊形中以及時(shí)不符合題意，說

明〃=5時(shí)滿足題意，即可得答案.

UUIUUUU

【詳解】由題意知點(diǎn)尸滿足尸A?尸4=o,則？點(diǎn)在以A4為直徑的圓上，

當(dāng)〃=6時(shí)，設(shè)5C2M為的中點(diǎn)，如圖，

\^PAk\=2\PB+PC+PD\=2\PB+2PM\,

k=l

_n

當(dāng)PB,PM共線且方向時(shí)，即用P,M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，

k=l

此時(shí)IP嗚,出冊出岑=手則收|=苧一

則2|依+2尸M1mhi=36—3>1,故〃=6時(shí)，不滿足題意;

當(dāng)〃=5時(shí)，設(shè)CN為的中點(diǎn)，如圖，

5_____5

\^PAk\=\2PC+2PN+PA4\,當(dāng)PC,時(shí)共線且反向時(shí)，取最小值，

K=1K=1

此時(shí)c,P,N,A4共線

。）。久11

ZAAC=72,tan72°=―~?3.13,|G41=-xtan72°?1.56,|PA1=|C41--?1.06,

41-tan3642442

0-73

NA4AA3=36,.-.|A4^|=lxsin36?1x?0.59JP2V1.06-0.59=0.47,

,1+0.732

則I2PC+2/W+%I.引1—2x0.47—1.061=1,

則當(dāng)PC,3共線且同向時(shí)，必有12PC+2PN+1n1ax>1，

UUULUUU,

故〃=5時(shí)，存在點(diǎn)尸滿足總?尸4=。，且=1；

k=\

故〃的最小值為5,

故答案為：5

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的運(yùn)算以及向量的模的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度加大，難點(diǎn)

在于要分類討論正“邊形的情況，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，確定模的最值情況.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S),，S.2S?=2a?+n2-l.

(1)求4；

1

(2)求數(shù)列《，的前”項(xiàng)和北.

〔44+1J

1*

【答案】(1)%,=〃+—,〃eN

2

22

(2)T=--------

"n32n+3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)5“的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可;

(2)裂項(xiàng)相消法求和即可得解.

【小問1詳解】

由2s“=2%+"-1①

所以當(dāng)2時(shí)，2S,-=2a,i+(〃—I--1②

②—①得：2an=2an-2an_^2n-l,整理得：an_x=n-^n>2,

1*

所以a,=?+-,?eN.

【小問2詳解】

1

由(1)知?！?72~\-----，

2

]1122

所以a“4+i1-32〃+12〃+3,

〃+一〃+一

22

所以<=‘+’+

122222-------2-------2--=--2---------

+-------3-5+5-7+

aa2〃+12zz+332M+3

nn+l

16.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，四邊形A8CD是邊長為2的正方形，平面AAOJ_平面A8CD,

PA=PD=5點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，CM=2MP.

(1)證明：五石〃平面BDM；

(2)求平面與平面的夾角.

【答案】(1)證明見解析

⑵

3

【解析】

【分析】(1)連接EC交BD于N,連接肱V,根據(jù)條件證明MN//PE即得；

(2)先證明尸石，平面ABCD,依題建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，分別求得平面與平面8QM的

法向量，最后由空間向量的夾角公式求解即得.

小問1詳解】

如圖，連接EC交30于N,連接MV,由E是A。的中點(diǎn)可得。后=14。=L3。=1,

22

易得DEN與△3QV相似，所以EN=LNC,

2

又PM=LMC,所以MN〃PE,

2

又MNu平面BDM,PE<z平面BDM,所以尸E〃平面BDM；

【小問2詳解】

X

因平面八4￡>，平面ABCD，且平面A4Dc平面ABCD=AD,由PA=PD=百，點(diǎn)E是線段的

中點(diǎn)可得PEJ_A￡),

又上u平面E4D,故得尸石，平面ABCD如圖，取BC的中點(diǎn)為戶,分別以為x，%z軸的

正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則E（0,0,0）,A（l,0,0）,￡＞（-1,0,0）,5（1,2,0）,C（-l,2,0）,P（0,0,2）,

PC=（-1,2,-2）,PM=則

設(shè)平面AA/B的法向量為4=（%,%,zj,由AB=（0,2,0）,AM=（-

Y\?AB=2yl=0

則424故可取為=(1,0,1)；

n1-AM=--x1+-y1+-z1=0

設(shè)平面的法向量為%=(%2，%，22)，由BD=(-2,-2,0),3"

n2.BD=—2X2—2y2=0

則《444故可取巧=(l,-l,o).

4?BM-—-%2-3y2+3z2=0

故平面AMB與平面BDM的夾角余弦值為kos〈4,%〉|1_1

-

4%V2-V22

兀

所以平面AMB與平面BDM的夾角為一.

3

17.某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)

抽取這種元件100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:

測試指標(biāo)[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件數(shù)(件)121836304

(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；

(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

2

若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(x)=〃，方差。(x)="，則對任意正數(shù)￡,均有尸成

立.

(i)若乂證明：P(0<X<25)<^；

(ii)利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若

該工廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供

的合格率是否可信？(注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件)

23

【答案】(1)

43

(2)(i)證明見解析；(ii)不可信.

【解析】

【分析】(1)由條件概率的公式進(jìn)行求解即可；

(2)(i)由X~51100,3］求出￡(乂)=50,。(乂)=25,再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明；(ii)設(shè)隨機(jī)

抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,X:5(100,0.9),由切比雪夫不等式判斷出

P(x=70)<P(|X-90|>20)<^=0.0225,進(jìn)而可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

記事件A為抽到一件合格品，事件B為抽到兩個(gè)合格品,

尸(4為=尋=果,。(4)=C；o°-1—301

JooCfoo330

P3小M嗡蜜

【小問2詳解】

⑴由題：若乂~51100,￡|,則E(X)=50,D(X)=25

門、100

又p(x=3U00d=P(X=100-4),

所以P(0VXV25)=gP(0VXK25或75VXV100)=1P(|X-50|>25)

由切比雪夫不等式可知，P(|X-50|>25)<—=—

所以P(0<X?25)?*；

(ii)設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,

假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為90%的說法成立，則X:5(100,0.9),

所以E(X)=90,D(X)=9,

由切比雪夫不等式知，P(X=70)<尸(|X-90|>20)<—=0.0225,

即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過0.0225,此概率極小，由小概率原理可知，一般來說

在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.

22

18.已知橢圓L:=+二=1(?！怠！?)的左頂點(diǎn)4(—3,0)和下頂點(diǎn)B,焦距為4夜，直線/交橢圓心于

a~b~

C,D(不同于橢圓的頂點(diǎn))兩點(diǎn)，直線交y軸于直線8c交無軸于N,且直線交/于P.

(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線4。，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)尸在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

2

【答案】(1)L:—+y2=1

9-

(2)證明見解析

【解析】

【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦距可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)直線AD,8c的斜率為k,聯(lián)立直線40:丁=左（％+3）和橢圓方程，得到。（%,%），聯(lián)立直線

,、\MP\\DP\.、

=—1和橢圓方程C（%，x）,由于A。//BC,所以扁=扁，可得點(diǎn)。（%，%），利用消元

法可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可得證.

【小問1詳解】

由己知得：a=3,c=2j2,所以辦=1,所以橢圓L：L+y2=i

9

【小問2詳解】

設(shè)直線AD,BC的斜率為左,C（石,％）,￡>（%，%），？（%，%）-

則直線AD:y=M%+3）,直線3C:y=Ax—1,得M（0,3k）,N\,0

<'（：+3），得（］+9左2卜2+54左2%+8i左2一9=0,易知A〉O.

聯(lián)立

227

x+9y=91

由一3”『「/曰3—27左2j/、6k

傳"2=1^’于無力一伍+正百.

21+942

18/_942—1

同理：X11+9左2'%―1+9左2

,3-27-2

由于皿/BC,所以即符即,得x°=Wl①，