專題04 子母型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題04子母型【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．【例題精講】例1.如圖，在中，，點(diǎn)P、D分別是邊上的點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴；（2）如圖，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．例2．在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②【詳解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②過作，與的延長(zhǎng)線交于，∵，∴，∴、和均為等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值為．例3．如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為______．【答案】5【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．例4．如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2，故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當(dāng)分別在線段上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當(dāng)分別在射線上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB?CD=CP?BP．∵AB=AC，∴AC?CD=CP?BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且垂足為點(diǎn)．_．若四邊形的面積為，求的面積．【答案】（1）；（2）2【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∠DAE=2∠BAE，∴∠DAE=60°，∠BAE=30°，又∵AE⊥BD，∠BAD=90°，∴BD=2AB，AB=2BF，∴BD=4BF，∴DF=3BF，∴BF：DF=1：3，故答案為：1：3；（2）∵∠BAE=30°∴∠AEB=60°，∵AE⊥BD，∴∠DBC=30°，∠BFE=∠BCD=90°∴，∴，∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠DCB，∴△BEF∽△BDC，∴，∵四邊形的面積為，∴12S△BEF=S△BCD=S△BEF+S四邊形EFDC，∴S△BEF=2．【變式訓(xùn)練4】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【課后訓(xùn)練】1.如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，ADAB=12，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為SA．116 B．15 C．14 【解析】∵ADAB=12，∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC∴a2＝CE?5a，4a2＝AE?5a，∴CE=5a5，AE=4∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2．如圖，在中，平分在延長(zhǎng)線上，且，若，，則的長(zhǎng)為_____．【答案】【詳解】解：∵BD平分∠ABC，DE=BD∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD∴∠DBC=∠AED如圖，在BC上取點(diǎn)，使BF=AE則在與中，∴∴AE=BF=2，，，∴CF=BC-BF=8-2=6∵∠BAD=，∠DFC=∴∠BAD=∠DFC又∵∠C=∠C，∴CFD∽CAB∴∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∠BAD=∠DFC∴∵，∴∴DF=FC=6，則AD=DF=6，∴CA=6+CD又∵CF=6，BC=8，∴，解得．故答案為：．3．如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2．【詳解】（1），，在和中，，，，；（2），是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，，，在和中，，，，又，，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，則的面積為．4．（1）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，求證：；（2）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，，，，求的值；（3）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】解：（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴．(2)解：如解圖，與交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，解得，∴；（3）解：如解圖，∵，，∴，∴，∴，解得，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴．5．如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．交于，交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：；（2）若，，求．【答案】(1)見解析;(2).【詳解】（1）∵，∴．又∵，，∴．而，，∴，∴，∴．又，，∴∽，∴，∴，∴．（2）由（1）可知，而，，∴，∴，∴在中根據(jù)勾股定理可知．∵∽，∴，．6．定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見解析；(2)或【解析】(1)解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；(2)①在上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時(shí)，，，，即是邊上的高，當(dāng)時(shí)，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點(diǎn)”不可能在邊上，③在邊上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，，又，，，即，，綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長(zhǎng)為或．7．如圖，已知矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽R(shí)t△AEB∴∴（2）由（1）有：∵BE=CE∴∴∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為____