2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型演練-勾股定理弦圖的構(gòu)造

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型演練…勾股定理弦圖的構(gòu)造

知識導(dǎo)航

1.模型認(rèn)識

如圖，有△AED^ABFA^ACGB^ADHC.

稍作變形，若DE_LAF,則可得:△DAE^AABF.

一般地，在正方形ABCD中若MN_LPQ,則有MN=PQ.

思路1：分別將PQ、MN平移至AF、DE位置（作平行線），證明AF=DE即可.

思路2:過點P作PE1BC于點E,過點N作NF1AB交AB于點F,可證△PEQ^ANFM.

反之，若已知PQ=MN，但不一定存在PQ_LMN.

如下圖,EF=PQ二MN,但EF不與MN垂直

由位置關(guān)系可推數(shù)量關(guān)系，但由數(shù)量關(guān)系未必可推位置關(guān)系.

引例1如圖，已知正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在AD、DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點H為BF的中點，連

接GH,則GH的長為

解析VAE=DF,ABAE^AADF,NABE=/DAF.

?.?ZDAF+ZBAG=90°,ZABE+ZBAG=90°,

???ZAGB=90°.VDF=2,1.CF=3,

:.BF=VfF2+BC2=V34,

1門廠V34

GH=-BF=——.

22

弓I例2（2022?貴陽）如圖,在正方形ABCD中,E為AD上一點，連接BE,BE的垂直平分線交AB于點M,交CD于點N,垂足為

O,點F在DC上，且MF〃AD.

⑴求證:△ABE之△FMN;

⑵若AB=8,AE=6,求ON的長.

解析(1)?.?MF//AD,AMF_LAB,，ZFMN+NBMO=90。，又NABE+NBMO=90。,，NFMN=/八8￡，?]\1尸〃人口人]^〃口旦???四

邊形AMFD是平行四邊形,???MF=AD=AB.4ABE^AFMN(ASA).

(2)VAB=8,AE=6,.\BE=10.VAABE^AFMN,.*.MN=BE=10.VZBOM=ZBAE,ZOBM=ZABE,△BOMs△BAE,???震=

2^,.-.OM=—,ON=MN—OM=至,，即ON的長為—.

AE444

2模型變式

⑴弦圖與對稱：對稱點連線被對稱軸垂直且平分.

沿MN折疊,則.AA'=MN且AA'±MN.

⑵弦圖與四點共圓:C、D、H、F四點共圓.

連接DF,取DF的中點N,以點N為圓心、DN的長為半徑作圓,C、D、H、F四點共圓.

特別地，若E、F分別是AB、BC的中點，連接CH,則CH=CD.

證明:：ZCHD=ZCFD=ZAED=ZCDE,ACH=CD.

(3)矩形中的弦圖構(gòu)造：

在矩形ABCD中,E、F分別是AB、BC上的點,且AF_LDE,貝翌=竟.

證明:由題意得3ABF-ADAE,

引例3（2023.揚州）如圖,已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上,將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在邊

CD上的點B處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3:5,那么線段FC的長為____

解析如圖，連接BB；則BB」EF,過點F作FH1AD交AD于點H,則^BCBKAFHE.設(shè)CF=x，則BF=l-x.V四邊形ABFE與四邊形

EFCD的面積比為3:5,.I四邊形ABFE的面積是［.即(*弁)方=［代入得,AE=-(1-x)=x-iEH=AH-AE=1-x-(x

oZo44\

-J=*_2x,B'C=EH=三-2x.由題意得(CF2+B'C2=B'F?,代入得x2+Q-2x^=（1一x）2,解得x=I，F(xiàn)C的長為

真題演練

1.（2021.綿陽）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中,NCDE=3（F,DE_LCF,貝!JBF的長是

A.lB.V2C.V3D.2

2.（2022.山西）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上,且BE=DF,連接EF交邊AD于點G.過點A作

AN_LEF,垂足為點M,交邊CD于點N.若BE=5,CN=8,貝監(jiān)戔段AN的長為

F

3.（2021.黔西南）如圖，在正方形ABCD中,E、F分別是AB、BC的中點,CE、DF交于點G,連接AG.下列結(jié)論:①CE=DF;②CE_LDF;③

NAGE=NCDF.其中正確的結(jié)論是

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

4.（2023.綏化）如圖，在正方形ABCD中,E為邊CD的中點.連接AE,過點B作BF1AE于點F,連接BD交AE于點G,FH平分/BFG交B

D于點H.則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為

@AB2=BF-AE

@SABGF：SABAF=2：3

③當(dāng)AB=a時,BD2-BD-HD=a2

A.O個B.1個

C.2個D.3個

5.（2023?東營）如圖.正方形ABCD的邊長為4,點E、F分別在邊DC,BC上，且BF=CE,AE平分NCAD.連接DF.分別交AE、AC于點

G、M.P是線段AG上的一個動點，過點P作PN_LAC,垂足為N,連接PM.有下列四個結(jié)論：

①AE垂直平分DM;

②PM+PN的最小值為：3V2;

@CF2=GE-AE;

&SADM=6>/2.

其中正確的是()

A.①②B.②③④

C.①③④D,①③

6.（2020?樂山）如圖,E是矩形ABCD的邊CB上的一點,AF_LDE于點F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的長度.

7.(2021德州)如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊AB、AD上，且AE=DF,點G、H分別在邊AB、BC上，且FG_LEH,垂足為P.

⑴求證:FG=EH;

(2)若正方形ABCD的邊長為5,AE=2,tan/AGF=［，求PF的長度.

8.(2020?綏化)如圖.在正方形ABCD中,AB=4,點G在邊BC上，連接AG,作DE±AG于點E,BF±AG于點F,連接BE、DF,設(shè)乙EDF=a

/EBF=3^=k.

⑴求證:AE=BF-,

⑵求證：tana=k-tan/3;

(3)若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點E、F所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積.

9.(2023.荷澤)⑴如圖1,在矩形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上,AE_LDF,垂足為點G.求證:△ADE^ADCF;

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABCD中點E、F分別在邊DC、BC上,AE=DF延長BC到點H,使CH=DE,連接DH.求證:ZADF=ZH;

【類比遷移】

⑶如圖3,在菱形ABCD中，點E、F分別在邊DC,BC上,AE=DF=1LDE=8,NAED=60。,求CF的長.

圖3

10.(2021.淄博)已知:在正方形ABCD的邊BC上任取一點F,連接AF,一條與AF垂直的直線1(垂足為點P)沿AF方向，從點A開始向下

平移,交邊AB于點E.

(1)當(dāng)直線1經(jīng)過正方形ABCD的頂點D時，如圖1所示.求證:AE=BF;

(2)當(dāng)直線1經(jīng)過AF的中點時,與對角線BD交于點Q,連接FQ,如圖2所