專題05 等腰三角形中的動(dòng)態(tài)問題（解析版）

專題05等腰三角形中的動(dòng)態(tài)問題【典例解析】【例1-1】（2020·安徽省泗縣月考）如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】D【解析】解：如圖，在OA、OB上分別截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等邊三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，∴△PEM≌△PON∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等邊三角形，只要∠MPN=60°，△PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無數(shù)個(gè)．故答案為：D．【例1-2】（2020·貴州六盤水期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)重合），連接AD，作，DE交邊AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）30，100；（2）（3）見解析.【解析】解：（1）在△BAD中，∵∠B=50°，∠BDA=100°，∴∠EDC=30°，∠DEC=100°.（2）當(dāng)CD=3時(shí)，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB=CD=3，∠B=50°，∠ADE=50°∴∠B=∠ADE∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∠DEC+∠C+∠EDC=180°∴∠ADB=∠DEC又∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（3）可以，理由如下：∵∠B=∠C=50°，∴∠BAC=80°①當(dāng)AD=DE時(shí)，∠DAE=∠DEA=65°，∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°∴∠BDA=115°②當(dāng)AD=AE時(shí)，∠AED=∠ADE=50°∴∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°又∵∠BAC=80°∴∠DAE=∠BAE∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．③當(dāng)AE=DE時(shí)，∠DAE=∠ADE=50°∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°∴∠BDA=100°.綜上所述，當(dāng)∠BDA的度數(shù)為115°或100°時(shí)，△ADE是等腰三角形．【變式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），若點(diǎn)P在x軸或y軸上，且△APO是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P共有（）個(gè)A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C.【解析】解：分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)OA是底邊時(shí)，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)OA是腰時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個(gè)交點(diǎn)；∴滿足條件的點(diǎn)P共有8個(gè)，故答案為：C．【變式1-2】（2020·山西初二月考）綜合與探究：在中，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)______時(shí)，是直角三角形．（2）如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)都以的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，求當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形．（3）如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，連接交點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)都以的速度同時(shí)出發(fā)．①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？②如圖4，連接.請你猜想：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，和的面積之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】（1）；（2）（3）見解析．【解析】解：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，則∠BPC=90°，∵∠B=60°，∴BP=AP=cm，∴t=，故答案為：；（2）①當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=BQ，即3-t=t，解得：t=2②當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BP=2BQ，即3-t=2t，解得：t=1故當(dāng)t=1或2s時(shí)，△PBQ是直角三角形；（3）①∵∠DCQ=120°∴當(dāng)△DCQ是等腰三角形，CD=CQ，∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∵∠A=60°∴∠APD=90°∴AD=2AP3-t=2t，解得：t=1②S△PCD=S△QCD，過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，過點(diǎn)Q作QG⊥AC于點(diǎn)G，∴∠CGQ=∠AEP=90°∵AB=AC=BC∴∠A=∠ACB=∠QCG=60°∴△EAP≌△GCQ∴PE=QG∴△PCD與△QCD同底等高故S△PCD=S△QCD．【例2】（2020·江蘇江陰月考）如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．【答案】（1）①△BPD與△CQP全等，②點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s．（2）經(jīng)過30秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【解析】解：（1）①△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，∴運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，則BP≠CQ，若△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3cm，需3秒，而點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)5cm，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s．（2）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，P、Q第一次相遇，∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，∴10+10+t=t，解得：t=30，此時(shí)點(diǎn)Q的路程=30×=50（厘米），∵50＜2×26，∴此時(shí)點(diǎn)Q在BC上，∴經(jīng)過30秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【例3-1】（2019·武漢市期中）如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3、…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A9B9A10的邊長為（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【解析】解：如圖，∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的邊長為2n-1，∴△A9B9A10的邊長為29-1=28=256．故答案為D．【例3-2】（2020·浙江溫州月考）如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③、④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn－Pn－1等于…（）A． B．3－ C．1－ D．＋【答案】A【解析】解：P1＝1＋1＋1＝3，P2＝1＋1＋＝，P3＝1＋1＋×3＝，P4＝1＋1＋×2＋×3＝，…∴P3－P2＝－＝，P4－P3＝－＝，∴Pn－Pn－1＝，故答案為：A．【變式3-1】（2020·山東牡丹期末）如圖，已知，點(diǎn)，，，在射線上，點(diǎn)，，，在射線上，，，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:∵△A1B1B2是等邊三角形，∴A1B1=A1B2，∠A1B1B2=∠A1B2O=60°∵∠O=30°∴∠A2A1B2=90°∴∠O=∠OA1B1=30°∴OB1=A1B1=A1B2=1同理可得：A3B3=4，A4B4=8，AnBn=2n-1∴△A8B8B9的邊長為2=128.故答案為：B.【變式3-2】（2019·貴州印江月考）如圖，已知……，若∠A＝70°，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴∠AA1B=∠A=70°∵∴∠A1A2B1=∠A1B1A2∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1B1A2∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1==∠A3A4B3=∠A2A3B2==∴=故答案為C．【習(xí)題精練】1.（2020·山東青州期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，∠AOx=40°，點(diǎn)P在x軸上，若△POA是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有______個(gè)．【答案】4.【解析】解：有OA=OP、AO=AP、PO=PA三種情況：①以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，于x軸有2個(gè)交點(diǎn)P2、P3，②以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸有2個(gè)交點(diǎn)O、P1，點(diǎn)O與OA不能構(gòu)成三角形，P1符合條件，③作線段OA的垂直平分線，交x軸有1個(gè)交點(diǎn)P4，∴P4A=P4O，∴P4符合條件，綜上所述：符合條件的點(diǎn)共有4個(gè)，故答案為：42.（2019·浙江寧波?？迹┤鐖D，，點(diǎn)在上．以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；……按照上面的要求一直畫下去，得到點(diǎn)，若之后就不能再畫出符合要求點(diǎn)了，則________．【答案】8【解析】根據(jù)題意可知，畫出的三角形是等腰三角形，第一個(gè)底角；由三角形外角和定理可得，第二個(gè)等腰三角形的底角20°，第三個(gè)等腰三角形的底角30°，同理可得第n個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)為10n，因?yàn)榈妊切蔚牡捉切∮?0°，10n<90，即n<9.故答案為8.3.（2020·河北保定一模）如圖，，點(diǎn)在上．以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接；……，按照上面的要求一直畫下去，就會(huì)得到，則（1）_________；（2）與線段長度相等的線段一共有__________條（不含）．【答案】100,9.【解析】解：（1）由題意可知，，，…，則，，…，∵10°，∴20°，30°，40°，50°，60°，…，∴180°?40°?40°=100°，故答案為：100；（2）根據(jù)題意，10n<90，解得n<9．∵n為整數(shù)，故n=8．∵60°，，∴為等邊三角形，∴與線段OP長度相等的線段一共有9條（不含OP），故答案為：9.4.（2020·福建連城期中）如圖，在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以一定的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定當(dāng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接、．（1）填空：______；（2）當(dāng)且點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度也是時(shí)，求證：；（3）若動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，如果存在某個(gè)時(shí)間，使得的面積是面積的兩倍，請你求出時(shí)間的值．【答案】（1）8；(2)見解析；（3）或4.【解析】解：（1）∵S△ABC=×AC×BC∴S△ABC=×4×4=8故答案為：8（2）如圖：連接CD∵AC=BC，D是AB中點(diǎn)∴CD平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依題意得：BE=CF在△CDF與△BDE中，∴△CDF≌△BDE（SAS）∴DE=DF（3）過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM（AAS）∴DN=DM當(dāng)S△ADF=2S△BDE．∴×AF×DN=2××BE×DM∴|4-3x|=2x∴x1=4，x2=綜上所述：x=或4.5.（2020·廣東佛山月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點(diǎn)以厘米的速度運(yùn)動(dòng)．（1）如果點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等：①經(jīng)過2秒后，和是否全等？請說明理由．②當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，剛好是一個(gè)直角三角形？（2）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過秒時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是__________厘米秒．（直接寫出答案）【答案】見解析．【解析】解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：N、M速度相等，t=2∴CM=BN=6，BM=4∴BN=CM∵CD=4∴BM=CD∵∠B=∠C=60°∴△BMN≌△CDM②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，∠BNM=30°，BN=2BM∴3t=2（10-3t）解得：t=當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，同理，BM=2BN，即10-3t=2×3t，解得：t=∴當(dāng)t=或秒時(shí)，△BMN是直角三角形；（2）分兩種情況，①若點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快，則3×25－10=25VN，解得VN=2.6；②若點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快，則3×25+20=25VN，解得VN=3.8．6.（2018·湖北廣水期中）（閱讀）如圖1，等邊△ABC中，P是AC邊上一點(diǎn)，Q是CB延長線上一點(diǎn)，若AP＝BQ．則過P作PF∥BC交AB于F，可證△APF是等邊三角形，再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點(diǎn)．請寫出證明過程．（運(yùn)用）如圖2，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由．【答案】見解析．【解析】解：【閱讀】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴AP＝PF，∵AP＝BQ，∴PF＝BQ，∵PF∥BQ，∴∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，∴△PFD≌△QBD；∴DF＝DB．【運(yùn)用】（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2；（2）過Q作QG⊥AB，交直線AB于點(diǎn)G，連接QE，PG，又∵PE⊥AB于E，∴∠PGQ＝∠AEP＝90°，∵點(diǎn)P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，在△APE和△BQG中，∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，∴∠APE＝∠BQG，∴△APE≌△BQG（AAS），∴AE＝BG，PE＝QG且PE∥QG，∴四邊形PEQG是平行四邊形，∴DE＝EG，∵EB+AE＝BE+BG＝AB，∴DE＝AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE＝3，故運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長始終為3．7.（2020·樂清市月考）如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)

秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如果不存在請說明理由.【答案】見詳解．【解析】解：（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)10秒后，點(diǎn)M、N重合；故答案為10；（2）如圖，根據(jù)題意得：AM=t，BN=2t，則AN=10-2t，t=10﹣2t，解得t=；當(dāng)0＜t＜5時(shí)，M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)秒后，可得等邊三角形△AMN；（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，理由如下：由（1）知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處．如圖，∴AN=AM∴∠AMN=∠ANM∴∠AMC=∠ANB∵AB=BC=AC∴△ACB是等邊三角形∴∠C=∠B在△ACM和△ABN中∵AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN∴CM=BN設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形∴CM=y﹣10，NB=30﹣2y∴y-10=30-2y，解得y=∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，M，N在BC上使△AMN為等腰三角形．8.（2020·南京月考）在中，，的垂直平分線交于，交于，的垂直平分線交于，交于．（1）若，，求證；（2）由（1）可知是______三角形；（3）去掉（1）中的“”的條件，其他不變，判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（4）當(dāng)與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．【答案】見解析.【解析】解：（1）連接AM，AN，∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵AB的垂直平分線交BC于M，AC的垂直平分線交BC于N，∴BM=AM，CN=AN，∴∠C=∠CAN=30°，∠B=∠BAM=30°，∴∠AMN=60°，∠ANM=60°∴∠MAN=60°∴△AMN是等邊三角形∴AM=AN=MN∴BM=MN=CN（2）等邊；（3）等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB的垂直平分線交BC于M，AC的垂直平分線交BC于N，∴BM=AM，CN=AN，∴∠C=∠CAN，∠B=∠BAM，∴∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C∵∠B=∠C∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN∴△AMN是等腰三角形（4）∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C，∠MAN=180°－2∠B－2∠C，①當(dāng)AM=AN時(shí)，∠B=∠C；②當(dāng)MN=AN時(shí)，得2∠B+∠C=90°；③當(dāng)MN=AM時(shí)，得∠B+2∠C=90°．9.（2020·長沙月考）點(diǎn)P是邊長為3cm的等邊△ABC的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P，Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問為t（s），連換AQ、CP交于點(diǎn)M，①當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？②在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ會(huì)發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．（2）如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC于點(diǎn)D，如果動(dòng)點(diǎn)P，Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接PC，①當(dāng)t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形？②在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄俊鱌CD和△QCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①t=1或2；②不發(fā)生變化，∠CMQ=60°；（2）①t=1；②面積相等【解析】解：（1）①當(dāng)△PBQ是直角三角形時(shí)，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t∠PQB=90°，此時(shí)BP=2BQ∴根據(jù)題意，得3-t=2t解得t=1②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，此時(shí)BQ=2BP∴根據(jù)題意，得t=2(3-t)解得：t=2∴當(dāng)t=1或2時(shí)，△PBQ是直角三角形；②不發(fā)生變化，∠CMQ=60°在△ABQ與△CAP中，∴△ABQ≌△CAP∴∠BAQ=∠ACP∴∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ=∠CAP=60°∵∠CMQ=∠MAC+∠MCA∴∠CMQ=∠CAP=60°故不發(fā)生變化，∠CMQ=60°；（2）①∵∠DCQ=120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD=CQ∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∵∠A=60°∴∠APD=90°∴AD=2AP，即AD=2t∵AC=AD+CD∴2t+t=3解得t=1故答案為t=1時(shí)，△DCQ是等腰三角形；②面積相等，如圖所示：過P作PE⊥AD于E，過Q作QG⊥AD于G，則∴∠G=∠AEP易證△EAP≌△GCQ∴PE=QG∴△PCD和△QCD同底等高∴△PCD和△QCD面積相等故答案為△PCD和△QCD面積相等．10.（2020·廣東惠來期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）求DE的長．【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝2，∴t＝2時(shí)，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：連接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2?（3﹣t），解得t＝3．（3）過P作PKBC交AC于K．∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等邊三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD，∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm．11.（2019·哈爾濱市月考）如圖，，點(diǎn)B關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為C點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，△ABD的面積是30．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位，設(shè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式.【答案】見解析．【解析】解:（1）由題意知，，∴AD=15，OD=9，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-9,0）；（2）∵點(diǎn)B(0,4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C點(diǎn)，∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0,-4)，∴當(dāng)0<t≤8時(shí)，S=-3t+24，當(dāng)t>8時(shí)，S=3t-2412.（2020·湖北襄州期末）已知等邊△ABC的邊長為4cm，點(diǎn)P，Q分別是直線AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．圖1圖2（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為lcm/s，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AQ，PQ．①當(dāng)t＝2時(shí)，求∠AQP的度數(shù)．②當(dāng)t為何值時(shí)△PBQ是直角三角形？（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請判斷AP，CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析.【解析】解:（1）①根據(jù)題意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等邊三角形，∴AQ⊥BC，∠B＝60°，∴∠AQB＝9