天津市濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

天津市濱海新區(qū)2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)beR+，數(shù)列｛?｝滿足％=2,an+1=a-a1+b,“eN*，則（）

A.對于任意都存在實(shí)數(shù)〃，使得恒成立

B.對于任意b,都存在實(shí)數(shù)使得恒成立

C.對于任意be（2-4a,+8）,都存在實(shí)數(shù)〃，使得。恒成立

D.對于任意be（0,2-4a）,都存在實(shí)數(shù)"，使得?！?lt;〃恒成立

2.設(shè)/（%）是定義在實(shí)數(shù)集H上的函數(shù)，滿足條件y=/（x+l）是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，T，則

a=/（log32）,6=/1—log有:｝c=/（3）的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

3.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且。1+&+%1=2乃，則sin3+%）=的值為（）

A.立B.--C.-D.--

2222

4.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）（其中萬，e為無理數(shù)）

（Dx/e>—；②ln〃<2；?In3<—.

23e

A.0B.1C.2D.3

x-2y+l>0

5.已知實(shí)數(shù)％、y滿足不等式組<2x—y—1<0,則z=—3x+y的最大值為（）

y>0

A.3B.2C.--D.-2

2

22

6.已知雙曲線工-斗=l（a>0/>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,工（c,0）,以線段耳M為直徑的圓與雙曲線在第

ab

二象限的交點(diǎn)為P,若直線尸鳥與圓石：（x-11+y2=?相切，則雙曲線的漸近線方程是（）

A.y=±xB.y=±2%C.y=±yf3xD.y=±y/2x

7.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模

型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為P，則圓周率（）

A.4P+2B.4p+l

C.6-4pD.4P+3

TTTTTT

8.已知函數(shù)/(乃=5M(8+0)(0>0,0<0<§)滿足/0+1)=/(%),/(內(nèi))=1,則/(—五)等于()

A.--B.—C.--D.-

2222

9.在邊長為2的菱形ABCD中，BD=2#),將菱形ABCD沿對角線AC對折，使二面角3-AC-。的余弦值為;,

則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為()

2〃

A.—B.271C.4萬D.6兀

3

2020

10.著名的斐波那契數(shù)列｛4｝：1，1，2,3,5,8,…，滿足%=%=1，。"+2=4+1+4，/eN*,若％

n-1

則無=()

A.2020B.4038C.4039D.4040

11.定義兩種運(yùn)算與“?”，對任意〃eN*,滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①2*2018=1,2018*1=1；②（2〃）

★2018=2[(2n+2)*2018],2018?(n+1)=2(2018?n),貝(201842020)(2020*2018)的值為()

A.21011B.21010C.21009D.21008

12.已知函數(shù),y(x)=2sin(0x+0)-l(<y>0<。<。<萬)的一個(gè)零點(diǎn)是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸是

直線x=-9,則當(dāng)。取得最小值時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

6

A.-----,3ATT----(左$Z)B.3k7i------,3kji------(kEZ)

3636

zn冗

C.2k兀----,2k兀------(A?GZ)D.2k兀,2k兀(左wZ)

3636

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足囚=1,以+]—以=。「匕左=1,2,3,?1),若｛?｝是等比數(shù)列,

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=，

14.已知二項(xiàng)式__.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一上守則二=___________

22

15.已知橢圓C：=+?丁=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、鳥，過心(1,0)且斜率為1的直線交橢圓于AB,

ab

若三角形的面積等于后2,則該橢圓的離心率為.

22

16.已知點(diǎn)P是橢圓二+3=1(?！?〉0)上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與圓/+產(chǎn)=/+62相交于45兩點(diǎn)，若存

ab

在點(diǎn)P,使得|24|?|25|=/-尸，則橢圓的離心率取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐尸—A5CD中，四邊形ABC。是矩形，AB=BAD,△P4￡>為正三角形，且平面上

2

平面ABC。，E、F分別為PC、P5的中點(diǎn).

(1)證明：平面AD砂，平面「5C；

(2)求二面角3—OE—C的余弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+a&+lnx(。為常數(shù))

(I)當(dāng)a=—5時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(%)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=；|x—o|(oeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式x—；+/(x)21；

(2)設(shè)不等式x-；+/(%)41的解集為〃，若cM,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

JT

20.(12分)如圖，在AABC中，AC=2,ZA=—,點(diǎn)。在線段A5上.

3

(1)若cosNCDB=—l，求CD的長；

3

⑵若AD=2DB,sinNACD=近sinNBCD,求AABC的面積.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=|%-2卜|2%+1].

(1)求不等式/(無)21的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)W3f—2/在區(qū)間[-川內(nèi)無解，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

22.(10分)P是圓必+)?=4上的動(dòng)點(diǎn)，尸點(diǎn)在x軸上的射影是O,點(diǎn)M滿足。河=4。/\

-2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；

(2)過點(diǎn)N(3,0)的直線/與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以04,05為鄰邊的平行四邊形Q4E5的頂

點(diǎn)E的軌跡方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

取。=6=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛4｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使只需l+—4"",由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取a=b=l,?！?1=4+1,數(shù)列｛aj恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；

由蛛網(wǎng)圖可知，ar2+b=x存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且匕正跡，1時(shí)二4吃,

2a2a

因?yàn)楫?dāng)0<q<不時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則?！啊词?；

當(dāng)為<見<々時(shí)，數(shù)列｛?！埃龁握{(diào)遞減，則石<a?<?i；

所以要使只需要0<卬<々，故+4a",化簡得〃<2—4。且b>0.

2a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

2、C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函數(shù)，...f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=l對稱.

?.?當(dāng)XN1時(shí)，—1為減函數(shù)，Vf(Iog32)=f(2-10g32)=f(log|)

Q2?

且T°g石5=l°g陰T0g4log34V]0g?V3,/.b>a>c,

故選C

3、B

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得&=斗，即可得到4+%=?，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】

27r

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+&+?11=3。6=2萬，解得。6=7，

,4萬

?*+Cl^=2々6=-f

.7\?4萬.「乃).71石

.?.sin&+aQ=sin——=sin兀~——=-sin—=------

v397313)32

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

2

對于①中，根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于②中，構(gòu)造新函數(shù)/(x)=lnx-§,x〉0,

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到/(?)>/,),即可判定是錯(cuò)誤的；對于③中，構(gòu)造新函數(shù)

f(x)=elnx-x,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為/(e)=0,進(jìn)而得到/(3)<0,即可判定是正確的.

【詳解】

由題意，對于①中，由(G)2=e，4)=g=2.25,可得e>2.25,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正

確的；

21

對于②中，設(shè)函數(shù)/(x)=lnx--,x〉0,則尸(x)=—>0,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)?〉e,貝！|/(?)>/(e)

9912

又由〃e)=lne—耳=1—§=§>0,所以/(?)>0,即也乃>耳，所以②不正確；

pp--yr

對于③中，設(shè)函數(shù)/(x)=elnx-x,x>0,貝！)/(力=-—1=----,

X

當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為/(e)=elne—e=O,

3

所以/(3)=eln3—3<0,即eln3<3,即ln3<^,所以是正確的.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

5、A

【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案.

【詳解】

x-2y+l>0

畫出不等式組<2x-y-lW0所表示平面區(qū)域，如圖所示，

y>Q

由目標(biāo)函數(shù)z=-3x+y,化為直線y=3x+2,當(dāng)直線y=3x+z過點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)直線y=3x+z在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

x-2y+l=0

又由；，解得4—1,0),

〔丁=。

所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為z=—3x(—1)+。=3,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、

三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

先設(shè)直線尸匕與圓E:[x-工]+丁=匕相切于點(diǎn)〃，根據(jù)題意，得到EM//PE，再由等=；,根據(jù)勾股定理

I2)166耳4

求出b=2a,從而可得漸近線方程.

【詳解】

設(shè)直線尸鳥與圓E:[x—]]+/=.相切于點(diǎn)加，

因?yàn)锳P與耳是以圓。的直徑與耳為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以/耳2工=90,

又因?yàn)閳AE與直線尸工的切點(diǎn)為所以EM//PK，

又HI,所以附|=4(5,

因此|P閶=2a+b,

因此有從+(2a+Z?)2=4c2,

所以b=2a,因此漸近線的方程為y=±2x.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

7、A

【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

SRH兀4—2礦71一2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

設(shè)/(尤)的最小正周期為T,可得nT=兀,neN*,則。=2〃”N*,再根據(jù)/m=1得

＜/)=-+2k7T-n--,k^Z,n^N*,又0＜?！垂?，則可求出〃一12左=2,進(jìn)而可得了(—△).

26312

【詳解】

解：設(shè)/(X)的最小正周期為T,因?yàn)?(%+/)=/(幻，

所以nT=兀,nGN*,所以T=至=生,〃eN*,

nco

所以G=2〃,〃WN，

（TT\ITTTTT

又/一=1，所以當(dāng)％二—時(shí)，cox+（p-n---F0=——卜2k兀，

U2J1262

/.°——+2kji—n--.keZ,neN",因?yàn)?<（/）<—

263

八TT否77CTC

0<—F2k?！猋I,—<—f

263

整理得1〈〃一12左＜3,因?yàn)椤ㄒ?2k$Z,

.\n-12k=2.

.7C_/_,-\7C7C_,7C7C7C-

/.0=——1~2人7》一（2+12人7）?一二——,貝！|〃---1——=——卜2k7兀

266662

所以/（-7；）=sin2n-\+—

12I12J6

.（乃C7冗

=sin------2KTI-\——

I36

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是一道難度較大的題目.

9、D

【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得NSVD即為二面角3—AC—。的平面角，過點(diǎn)3作3OLDN于0,易得點(diǎn)。為ADC的

[7丫/

中心，則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線80上，設(shè)球心為。一半徑為廠，列出方程乂-r+土:

[3JI3J=r

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知ABC與.AOC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接5N,DN,

則BNLAC,DVLAC,二N3ND即為二面角3—AC—。的平面角，

過點(diǎn)3作BOLDN于0,則50,平面ACD,

由BN=ND=6,cosNBND,可得ON=BNCGS/BND=昱,0D=^-,(9B=j3-f—

3331I3J3

ON=：ND即點(diǎn)。為ADC的中心，

三棱錐A—BCD的外接球球心在直線50上，設(shè)球心為。一半徑為廠，

2瓜

??BO】=DO1=r,OO[=

.(276V,(2^/3?_2V6

--------r+------=r解得r=-------，

332

3

???三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4乃r9=4乃x—=6萬.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

10、D

【解析】

計(jì)算%+%=%，代入等式，根據(jù)4+2=2+1+a?化簡得到答案.

【詳解】

%=1,%=2,〃4=3,故%+%=%，

2020

Z〃2〃-l=%+。3+…+“4039

〃4+“5+07+,,,十^"403906+07+,,,+〃4039,,,44040，

n=l

故左=4040.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

11、B

【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出2018<2020和2020*2018的值，可得選項(xiàng).

【詳解】

由(2〃)★2018=2[(2n+2)*2018],得(2n+2)★2018=^(2〃★2018),

又所以；；

2*2018=1,2018=,6*2018=[],8*2018=^,,以此類推,

z[X1010-1

2020*2018=(2x1010)*2018=1-1

又2018?Q+1)=2(2018?〃)，2018?1=1,

所以2018.2=2,2018?3=22,2018?4=23)，以此類推，2018*2020=22°^,

(、10。9

所以(2018<2020)(2020*2018)=-Ix22019=21010,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.

12、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(%)的一個(gè)零點(diǎn)是x=￡,得出/M=0,再根據(jù)x=—￡是對稱軸，得出-Jo—9=g+keZ,

313J662

求出w的最小值與對應(yīng)的9,寫出/(龍)即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

(?！?/p>

依題意得，f-=2sin——+9—1=0,即sin——十0

\3\3)\32

E,0兀a>兀4713371,J77、

解得----卜(p=2k\7i—或----&cp=2k?兀?----(其中左1,&￡Z).①

3636

.(neo、

又SHI----+0±1,

I6

即—等+0=（其中左3”）.②

由①一②得曹=（2-%）萬一f或曹=（2—3%+半

292

即G=2（2左］—左3）—§或0=2（2左2—左3）+耳（其中41，女2，左3￡Z）,因此①的最小值為1.

E(n3|7-r1r7j1r

因?yàn)閟in-----F(p-sin---+。=±1,所以——+(p=—+k兀(左wZ).

''I69J92

（

jrJr2717127t

又O<0〈%，所以0=不+§,所以/(x)=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—|-1,

32939

2TC5JEIT

令2左萬一乃——<2k?i(左EZ),則3左萬----<x<---(kEZ).

3936

577JT

因此，當(dāng)。取得最小值時(shí)，/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間是3^--,3^--(Z:GZ).

36

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn)，在對稱軸處取得最值，對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2"1

【解析】

利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?-q=q，所以%=2%,

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的公比為i.

又日+1一4=q（iV左，左=1,2,3,.,n-l）,

所以當(dāng)，=左時(shí)，有為+1=2%.

這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以4=2"，

故答案為：2"，

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡單題目.

14、2

【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令二的嘉指數(shù)等于？求出二的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一.「求得實(shí)數(shù)-的

.1U一

值.

【詳解】

..二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)公式為一--二一：二二Y-.i,

.（一二-：_TA-J一

令」_求得-_可得常數(shù)項(xiàng)為

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15、73-1

【解析】

由題得直線的方程為》=丁+1,代入橢圓方程得：（片+尸卜2+2/丁+》2—4）2=0,

設(shè)點(diǎn)A（菁,yj,B（x2,y2）,則有%+%=/I%%=）U?,由

a+ba+b

SMAB=JX|K^X|%—%|=?2'且〃=1解出進(jìn)而求解出離心率.

【詳解】

22

由題知，直線A5的方程為》=丁+1,代入=+3=1消》得:

ab

+〃2）,2221

+2by+b-c^b=0,

設(shè)點(diǎn)A（石,％），B（x2,y2）,則有7]+%=7^'y\yj

1—2ky白一^白22

二|%一%|=J（X+%）2-4%%=2abyJa+b-1

|、片+吃a2+b2

a2+b2

而如AB=gx閨工岡必一刃=3義2義網(wǎng)=又儲(chǔ)一廿=i,

解得：。=走里，所以離心率,1二八

a

2

2

故答案為：V3-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力

設(shè)設(shè)出直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到.

P（x0,%）,ABIPA||PB\&2,據(jù)此求

得離心率的取值范圍.

【詳解】

x=xn+tcosa

設(shè)P（/，%），直線A5的參數(shù)方程為,.,?為參數(shù))

J=%+，sina

代入圓2222

x+y=a+b9

化簡得：22

t+2(x0coscc+y0sina)r+Xo+y1—cr-b=0,

國+￥卜

.'.IPA\\PB|=*=-a?―/a2+”(9+￥),

+JowW，a1，

.'.|PA||PB|e[b2,a2~\,

存在點(diǎn)P,使得|巳4|?|尸例=。2—。2,

a~-b2..b2,即/..2/，

2

a,,2c2

2

:旦e<l，

2

、

故答案為：號,1

7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)正

4

【解析】

(1)取AO中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)H,連接PO,OH,PH.設(shè)EF交PH于G,則G為的中點(diǎn)，連接。G.

通過證明OG，PH,OG±EF,證得OG，平面PBC,由此證得平面ADEF±平面PBC.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面。EC和平面比)￡的法向量，計(jì)算出二面角3—OE—C的余弦值.

【詳解】

(1)取AD中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)H,連接PO,OH,PH.

設(shè)EF交PH于G,則G為P7/的中點(diǎn)，連接。G.

設(shè)A￡>=2,則A5=若，PO=6'OGLPH.

由已知ADLOH,，AD,平面PQH,：.ADVOG.

'：EF/l-BC/l-AD,：.EFA.OG,

=2=2

■:EFcPH=G,**?OG_L平面PBC,

???06<=平面4￡)￡/，???平面4)印，平面尸5。.

(2)由(1)及已知可得尸0,平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)AZ)=2,則P(0,0,G),

C（A1,O）,D（0,l,0）,B（A-1,O）,E￥，；，￥，DE=F

,OC=（6,0,0）,BD=（—6,2,（

?=0

設(shè)平面DEC的法向量為wi=（尤,y,z）,二＜6i百令》=看得7〃=（0,6,1）.

——x——yd----z=0

[22-2

百1小

°,令/得〃=僅瘋一）

設(shè)平面3。￡的法向量為“=（%，%/0）,...2°2,°20=21,

-y/3x0+2y0=0

cos（m,n）=——'■六=1二面角5—DE-。的余弦值為〕/2

'/2x2近4V

B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

18、（I）單調(diào)遞增區(qū)間為］0,：］,（4,小）；單調(diào)遞減區(qū)間為（II）［—4,+8）.

【解析】

（I）對函數(shù)/（%）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/（%）的單調(diào)性即可；

（II）對函數(shù)“X）進(jìn)行求導(dǎo)，由題意知,/（九）為增函數(shù)等價(jià)于/（x”0在區(qū)間（0,+。）恒成立，利用分離參數(shù)法和

基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】

（I）由題意知，函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?,+“），

當(dāng)a=—5時(shí)，-（無）=2X-5?+2=（2?―1）（?-2）,

2尤2元

令r（x）=0，得x，或%=4,

所以/（X），/（%）隨X的變化情況如下表：

X4（4,+oo）

H）4

/'（X）+0—0+

91

遞增----ln47t遞減-6+ln4遞增

4

.?./（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為［。,；］,（4,^0）,單調(diào)遞減區(qū)間為

12X+〃4+2

(II)由題意得f\x)=l+-^=H——二-------------------------20在區(qū)間（0,+8）恒成立,

2y1xx2x

在區(qū)間（）恒成立.

即—2[6+0,+”

1

&+±2檸\=2,當(dāng)且僅當(dāng)?=『即％=1時(shí)等號成立.

y/X

所以。的取值范圍是[T,+8）.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運(yùn)算求解能力和

邏輯推理能力；利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

]_4

19、(1){x|x<0或x>l}；(2)

【解析】

（1）使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a區(qū)3x在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)

系，可得結(jié)果.

【詳解】

（1）當(dāng)a=2時(shí)，

原不等式可化為|3x—l|+|x—2|23.

①當(dāng)xwg時(shí)，

則一3%+1+2—％23=、<0,所以xVO；

②當(dāng)!<%<2時(shí)，

3

則3x—l—2+%23=xNl,所以l<x<2；

⑧當(dāng)xZ2時(shí)，

3

則3x—1—2+x^3=>x—所以x22.

29

綜上所述：

當(dāng)〃=2時(shí)，不等式的解集為{x|九<0或尤21}.

(2)由Ix-gl+yOOWx,

貝(!|3x-l|+|龍一a區(qū)3x,

由題可知：

|3x—l|+|x—a區(qū)3x在-j,—恒成立,

所以3x-l+|x-a區(qū)3x,BP|x-a|<1,

即a-lWxWa+l,

4Z-1<—

314

所以《=>—<aV—

,123

<2+l>—

2

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是-.

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,

屬中檔題.

20、(1)CD=—(2)班

42

【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出sin/CZM,再根據(jù)正弦定理即可求出CD；

(2)分別在AADC和ASDC中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出CB,再根據(jù)余弦

定理求出AB，即可根據(jù)S=LAC?A3?sinA求出AABC的面積.

2

【詳解】

(1)由cosNCDB=—,，得cosNCZM=工，所以sin/OM=逑.

333

CD_2

CD得3半.

由正弦定理得,

sinA治,呼呼,

ADAC右

(2)由正弦定理，在AADC中,------------，①

sinZACDsinZADC

DBCB

在ABDC中,②

sinZBCDsinZBDC

又sinZADC=sinN6r>C,AD=2DB,sinZACD=V7sinZBCD,

由不■得CB=J7，

由余弦定理得CB?=Ac2+Ag2_2AC.ABcosA，

即7=4+482-2AB，解得AB=3,

所以AASC的面積S=』AC-A3-sinA=±V5.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

21、(1)［—2,0］；(2)(—co,——)O(2,+oo).

【解析】

(1)只需分1之2,--<x<2,x<—4三種情況討論即可；