河北省2022-2023學(xué)年高二年級下冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

河北省“五個一”名校聯(lián)盟

2024屆高二年級聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

(2023.06)

命題單位:唐山市第一中學(xué)

（滿分：150分,測試時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=卜卜=Jx-l}B-

1.設(shè)集合,則下列結(jié)論正確是()

A.A=BB.AerBC.B=AD.AnB=0

已知忖忖=-同

2.=1,2,12a=4,則〃與方夾角的余弦值為（）

1

A.-1B.——C.0D.1

2

2222

X

3.已知雙曲線二一匕=1與雙曲線二一=1（0〈左＜9）,則兩雙曲線的（）

25925+左9—k

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

4.已知f(x)=ax+a~x且/⑶>〃1),則下列各式一定成立的是（)

A.B./（0）＞/（3）C./(-1)>/(-3)D./(o)>/(-1)

5.一條長椅上有6個座位，3個人坐.要求3個空位中恰有2個空位相鄰,則坐法的種數(shù)為（）

A36B.48C.72D.96

6.某學(xué)校有男生600人，女生400人.為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的運(yùn)動時間，采用分層抽樣的方法獲取容

量為〃的樣本.經(jīng)過計(jì)算，樣本中男生每天運(yùn)動時間的平均值為80分鐘，方差為10；女生每天運(yùn)動時間的

平均值為60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動時間的方差為（）

A96B.110C.112D.128

7.過直線x+y—4=0上一點(diǎn)向圓O：=1作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為a,貝i]sina=

)

R2a旦

A考D.-------------—

948

8.設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足—=/⑴=2.數(shù)列｛%｝滿足4=—1,

號="+d(〃eN*),則/(%)=()

n+1n+v7

A.0B.-1C.2D.-2

二、多選題：本題共4小題.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題意.全部選對

得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.若尸(A)>0,P(B)>0,則下列說法正確的是()

A.若事件A,3相互獨(dú)立，則事件A,3也互斥B.若事件A,3相互獨(dú)立，則事件A,3不互斥

C.若事件A,3互斥，則事件A,3也相互獨(dú)立D.若事件互斥，則事件不相互獨(dú)立

10.函數(shù)y=/(x)由關(guān)系式％兇+丁僅|=1確定，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(%)的零點(diǎn)為1

B.函數(shù)的定義域和值域均為［-1』］

C.函數(shù)y=/(x)的圖象是軸對稱圖形

D.若g(x)=/(%)+%,則g(x)在定義域內(nèi)滿足g(x)>0恒成立

11.某通信工具在發(fā)送、接收信號時都會使用數(shù)字?；蚴?作為代碼，且每次只發(fā)送一個數(shù)字.由于隨機(jī)因

素的干擾，發(fā)出的信號?；騃有可能被錯誤地接收為I或0.已知發(fā)送信號。時，接收成?；騃的概率分別

為0.94和0.06；發(fā)送信號1時，接收成1或0的概率分別為0.96和0.04.假設(shè)發(fā)送信號0或1的概率是等

可能的，貝1()

A.已知兩次發(fā)送的信號均為1,則接收到的信號均為1的概率為(0.5)2.(0.96)2

B.在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.49

C.在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為0.95

D.在發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到。的概率為C；(0.49『x0.51

12.已知.ABC為等腰直角三角形，A3為斜邊且長度是4.△ABD為等邊三角形，若二面角C—AB—D

為直二面角，則下列說法正確的是()

A.AB±CD

B.三棱錐A-BCD的體積為8二

3

C.三棱錐A-BCD外接球的表面積為一兀

3

D.半徑為g球可以被整體放入以三棱錐A-BGD為模型做的容器中

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.方程(x—3)(x—5)+5=0在復(fù)數(shù)集C中的解為.

sin200+2sin40°

14----------------二

.cos200?

15.己知函數(shù)〃X)=COS0X(0>O)的圖像關(guān)于點(diǎn)洋對稱，且在區(qū)間嗚上單調(diào)，則。=.

16.如圖所示，斜率為-字的直線/交橢圓彳+%=l(a〉)〉0)于加、N兩點(diǎn)，交X軸、y軸分別于0、

P兩點(diǎn)，且MP=QN,則橢圓的離心率為

四、解答題：本題共6小題.第17題10分，第18~22題每小題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和為S“=2〃？+5〃，數(shù)列出｝滿足4=8,b“=16b”+i.

(1)證明：數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列；

⑵是否存在常數(shù)p、q，使得對一切正整數(shù)"都有4=logpd+4成立？若存在，求出p、q的值；若不存

在，說明理由.

18.記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、C,且(2b-c)cosA=acosC.

⑴求角A的大??；

(2)設(shè)邊上的高AQ=1,求ABC面積的最小值.

19.如圖，圓錐PO的高為3,AB是底面圓。的直徑，PC,尸。為圓錐的母線，四邊形ABCD是底面圓。

的內(nèi)接等腰梯形，且AB=2CD=2,點(diǎn)E在母線PB上，且BE=2EP.

p

⑴證明：平面A石平面尸OD；

(2)求平面AEC與平面EAB的夾角的余弦值.

20.已知函數(shù)=or-，-(a+l)ln%(nW。).

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

⑵若/(%)既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為g(。).解不等式g(a)<2a-2.

21.己知8為拋物線丁=2x—2上一點(diǎn)，4(2,0),B為AC中點(diǎn)，設(shè)C的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)尸(1,0)作直線交曲線E于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為直線/：x=—1上一動點(diǎn).問是否存在點(diǎn)P使為

正三角形？若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志，帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展.某市為了激發(fā)學(xué)生對航

天科技的興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的航天夢，現(xiàn)組織該市全體學(xué)生參加航天創(chuàng)新知識競賽，并隨機(jī)抽取1000名學(xué)生

作為樣本，研究其競賽成績.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析該市高中生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布其中〃近

似為樣本平均數(shù)7，^2近似為樣本方差$2,并己求得:=73和$2=37.5.

⑴若該市有4萬名高中生，試估計(jì)這些高中生中競賽成績位于區(qū)間(66.9,85.2)的人數(shù)；

(2)若規(guī)定成績在85.2以上的學(xué)生等級為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個進(jìn)行訪談，如果取到學(xué)生等

級不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個，直至取到等級為優(yōu)秀的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過〃.如果抽取

次數(shù)的期望值不超過6,求〃的最大值.

(附：^/3T5?6.1.0.9755?0.881.0.9756=0.859，0.9757=0.838，0.9758=0.817，若X-,

則P"_<J<X<〃+cr)=0.68,尸(〃一2。<X<//+2。)=0.95)

河北省“五個一”名校聯(lián)盟

2024屆高二年級聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

（2023.06）

命題單位：唐山市第一中學(xué)

（滿分：150分，測試時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=\x\y-Vx-115=[y|y=

1.設(shè)集合〔卜J,卜卜J,則下列結(jié)論正確的是（）

A.A=BB.BC.BAD.Ar\B=0

【答案】B

【解析】

【分析】分別化簡兩個集合，從而即可作出判斷.

【詳解】:4=卜卜=Jx-l卜5==

A=[1,+8）,B=[0,+8）,

Acr5.

故選：B.

2.已知忖=1,,|=2,Ra—網(wǎng)=4,則口與石夾角的余弦值為（）

1

A.-1B.——C.0D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】先利用轉(zhuǎn)化法求得小。，再利用向量的夾角公式即可得解.

【詳解】因?yàn)殁?1,W=2，|2a-"=4,

所以（2〃—b）2=4a2+b2—4a-b=4+4—4^-Z?=16,則=—2，

”，/,\-2

所以cos(〃,b)=-----

1^2=-l.

故選：A.

3.已知雙曲線二-一匕=1與雙曲線-------匚=i(o(左<9),則兩雙曲線的()

25925+左9-k')

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】通過上的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實(shí)半軸長，虛半軸長，判斷選項(xiàng)即可.

22

【詳解】三-匕=1的實(shí)半軸的長為5,虛半軸的長為3,

259

22

實(shí)數(shù)上滿足0(左<9,曲線------匚=1是雙曲線，

25+左9-k

實(shí)半軸的長為J25+4，虛半軸的長為J9-左，

顯然兩條曲線的實(shí)軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；

焦距為：24,焦距相等，所以D正確；

離心率為：匣和不相等，所以c不正確.

5A/25+I

故選：D.

4.已知/(x)="+aT,且/(3)>/(1),則下列各式一定成立的是()

A.”3)>/(-2)B./(0)>/(3)C./(-1)>/(-3)D./(0)>/(-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先判斷函數(shù)Ax)為偶函數(shù)，兩種情況討論可得函數(shù)/(X)在［0,+e)上為增函數(shù)，由此

根據(jù)單調(diào)性與奇偶性分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，f(x)=ax+a~x,其定義域?yàn)镽,

有f(-x)=ax+尸=f(x),則f(x)為偶函數(shù)，

設(shè)％=優(yōu)，則有丁=1+一，

t

當(dāng)4>1時，在區(qū)間［。，+。)上，％=優(yōu)為增函數(shù)，且，21,

了=%+1在口，+。)上也是增函數(shù)，

t

故/(%)在［0，+。)上為增函數(shù),

當(dāng)Ovavl時，在區(qū)間［0,+。)上，/=優(yōu)為減函數(shù)，且OV『V1,

y=/+；在(0,1)上是減函數(shù)，

故/(X)在［0,+e)上為增函數(shù)，

綜合可得：函數(shù)"X)在［0,+8)上為增函數(shù)，

依次分析選項(xiàng)：

對于A,有〃3)>/(2)=/(-2),A正確;

對于B,有/(0)</(3),B錯誤；

對于C,有于(—3)=/(3)>/(1)=/(-1),C錯誤；

對于D,/(0)</(1)=/(-1),D錯誤.

故選：A.

5.一條長椅上有6個座位，3個人坐.要求3個空位中恰有2個空位相鄰，則坐法的種數(shù)為()

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【解析】

【分析】分兩個相鄰空位包括最左端或最右端時和不含最左端或最右端時，兩種情況求出坐法后相加即可.

【詳解】先考慮相鄰的2個空位，

當(dāng)兩個相鄰空位包括最左端或最右端時，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個人，有3種選擇，剩

余的3個座位，安排2個人，有A；=6種選擇，

則有2x3A；=36種選擇，

當(dāng)兩個相鄰空位不含最左端或最右端時，此時有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個人，有

A；=6種選擇，最后一個人有2種選擇，

則有3A；x2=36種選擇，

綜上：坐法的種數(shù)共有36+36=72個.

故選：C

6.某學(xué)校有男生600人，女生400人.為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的運(yùn)動時間，采用分層抽樣的方法獲取容

量為〃的樣本.經(jīng)過計(jì)算，樣本中男生每天運(yùn)動時間的平均值為80分鐘，方差為10；女生每天運(yùn)動時間的

平均值為60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動時間的方差為()

A.96B.110C.112D.128

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)男、女學(xué)生比例，不妨設(shè)女、男學(xué)生分別為2",3n,則總數(shù)為5”，求得所有樣本的平均值，

代入方差公式，即可得答案.

【詳解】由題意，按分層抽樣方式抽取樣本，且該校女、男學(xué)生比例為,

6003

不妨設(shè)抽取女、男學(xué)生分別為2”，3n,則總數(shù)為5",

則所有樣本平均值為—x(80x3?+60x2ri)=72,

5n

所以方差為一X[10+(80-72)2]+—X[[20+(60-72)2]=110.

5n5n

故選：B.

7.過直線x+y—4=0上一點(diǎn)向圓O：必+>2=i作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為戊，則sina=

()

A”B.述C.五D.叵

9948

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)尸是直線x+y-4=0的動點(diǎn)，由題意可得。尸是圓心。到直線的距離時，兩切線所成的角a最

大，計(jì)算可得sina.

【詳解】由圓O:d+y2=i,可得圓心為(0,0),半徑為尸=1,

設(shè)P是直線x+y—4=0的動點(diǎn)，自P向圓作切線,

當(dāng)OP長最短時，兩切線所成的角夕最大,

即OP是圓心。到直線的距離時，兩切線所成的角?最大,

|0+0-4|

距離公式可得〃==2夜,

由點(diǎn)到直線~ir~

.?.sin?=2sin^cos?=2xJ=x^l=^

222A/22A/24

故選：c.

8.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足了—=/(1)=2.數(shù)列｛叫滿足q=—1,

號=則"a)=()

n+1n+/v227

A.0B,-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】先把羽吟+就可裂項(xiàng)后迭代求出a尸-2,得至iJ%=20；再證明出了⑴是以3為周期

的周期函數(shù)，即可求解.

【詳解】對于數(shù)列也卜滿足q=T，且缶斗+舄用僅eN)

??一,0an+lan_2

變形可得：—7(，

n+1n+

即一^---------------,

n+1nnn+1

貝九有：2=也］+(也.江］++(生.幺］+幺

nvn—1n—2)(21J1

=l--,(n>2).

n

所以%=〃_2,，z22),所以出2=22—2=20.

因?yàn)椤翱墒嵌x在R上的奇函數(shù)，所以/(—”=—"X)且"0)=0.

因?yàn)?[3一“卜⑺’則有:

則有〃x+3)=-小+g卜⑴，即/⑴是以3為周期的周期函數(shù).

所以/(%2)=/(20)=/(_1)=_/(1)=_2.

故選：D

二、多選題：本題共4小題.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題意.全部選對

得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.若尸（A）>0,則下列說法正確的是（）

A,若事件43相互獨(dú)立，則事件也互斥B.若事件43相互獨(dú)立，則事件不互斥

C.若事件A3互斥，則事件A,3也相互獨(dú)立D.若事件A3互斥，則事件不相互獨(dú)立

【答案】BD

【解析】

【分析】利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式，對各選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】對于AB,若事件A3相互獨(dú)立，則尸（AB）=P（A）P（5）wO,

所以事件A,3不互斥，故A錯誤，B正確；

對于CD,若事件A8互斥,則尸（AB）=O,又尸⑷尸⑻>0,

所以P（AB）WP（A）P（B）,則事件A3不相互獨(dú)立，故C錯誤，D正確.

故選：BD.

10.函數(shù)y=/（x）由關(guān)系式％兇+引丁|=1確定，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/⑴的零點(diǎn)為1

B.函數(shù)的定義域和值域均為[-1,1]

C.函數(shù)y=/（x）的圖象是軸對稱圖形

D.若g（x）=/（%）+%,則g（x）定義域內(nèi)滿足g（M>。恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意寫出分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐個分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）由關(guān)系式xk|+y|y|=l確定，

—_],X>1

所以y=/（%）=<\Ji-x2,Q<x<i,

yjx2+l,x<0

則y=/（"的圖象如圖所示，

由圖象可知，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為1,所以A正確，

由圖象可知，函數(shù)的定義域和值域均為R,所以B錯誤，

因?yàn)閷τ趚|x|+yN=l,X與y互換后得到引4+小|=1,與原式子相同，

所以y=/(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以函數(shù)y=/(x)的圖象是軸對稱圖形，所以c正確，

由圖象可知，y=/(x)的圖象恒在直線y=—x的上方，所以g(x)=/(九)+%在定義域內(nèi)滿足g(x)>0恒

成立，所以D正確，

故選：ACD

11.某通信工具在發(fā)送、接收信號時都會使用數(shù)字。或是1作為代碼，且每次只發(fā)送一個數(shù)字.由于隨機(jī)因

素的干擾，發(fā)出的信號0或I有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收成0或I的概率分別

為0.94和0.06；發(fā)送信號1時，接收成1或0的概率分別為0.96和0.04.假設(shè)發(fā)送信號?；?的概率是等

可能的，則()

A.已知兩次發(fā)送的信號均為1,則接收到的信號均為1的概率為(OS??(0.96)2

B.在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.49

C.在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為0.95

D.在發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到。的概率為C；(0.49『x0.51

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：兩次發(fā)送的信號均為1,接收到的信號均為1的概率為(0.96)2,故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.5x0.94+0.5x0.04=0.49,故B正確；

對于選項(xiàng)C：在單次發(fā)送信號中，能正確接收的概率為0.5x0.94+0.5x0.96=0.95,故C正確;

對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：在單次發(fā)送信號中，接收到0的概率為0.49,

則發(fā)送三次信號后，恰有兩次接收到0的概率C；（0.49）2X（1—0.49）=C；（0.49）2X0.51,故D正確;

故選：BCD.

12.己知為等腰直角三角形，A5為斜邊且長度是4./XABZ）為等邊三角形，若二面角C-AB-D

為直二面角，則下列說法正確的是（）

A.ABLCD

B.三棱錐A-BCD的體積為還

3

64

C.三棱錐A-BCD外接球的表面積為一兀

3

D.半徑為g的球可以被整體放入以三棱錐為模型做的容器中

【答案】ACD

【解析】

【分析】取線段A3的中點(diǎn)E,連接CE、DE，證明出平面CDE,利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A

選項(xiàng)；計(jì)算出三棱錐A-38的體積，可判斷B選項(xiàng)；分析可知△A3。的外心即為三棱錐A-5CD外接

球的球心，計(jì)算出三棱錐A-BCD外接球的表面積，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出三棱錐A-38的內(nèi)切球半

徑，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，取線段A3的中點(diǎn)E，連接CE、DE，設(shè)△ABD的外心為點(diǎn)。，如下圖所示：

因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，A3為斜邊，E為A3的中點(diǎn)，

所以，期人CE,同理可得，AB±DE，且。石=J48=2,

2

因?yàn)镃EDE=E,CE、DEu平面CDE，所以，平面CDE，

因?yàn)镃Du平面CDE,所以，AB±CD,A對；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)?3人。七，AB±DE，則二面角C—AB—D的平面角為NCED,

且NCE￡>=90，

因?yàn)槠矫鍭BC1平面ABD,平面ABCc平面ABD=A3,CEu平面ABC,

CE±AB'所以，m平面3s3當(dāng)AB=*4、46，

11L

所以，VcABD=_S4ABD,CE=T46X2=工,B錯；

對于c選項(xiàng)，因平面ABC1平面ABD,平面ABCc平面ABD=AB，QEu平面yWD，

DE，AB，所以，DEI平面ABC,

因?yàn)锳3、C￡u平面ABC,所以，DELAB，DE上CE,

因?yàn)镃E=；AB=AE=BE,所以，OE~+AE2=OE2+BE2=OE~+CE~.

即04=08=0。

又因?yàn)椤椤鰽B￡＞的外心，則。4=OB=OD,故Q4=OB=OC=OD,

所以，。為三棱錐A—BCD外接球的球心，

因?yàn)?。E=ADsin60=4x走=2百，

2

且。為等邊△A3。的外心，則。。=2。石=速，

33

因此，三棱錐A—BCD外接球的表面積為4兀義。。2=4兀=yjr,C對；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)镹CED=90，CE=2,DE=273-

則CD=[CE2+DE?=,2?+(2出『=4，即AD=CD=4,

取線段AC的中點(diǎn)/，連接DE,則DE1AC,且AC=A3cos45=4x—=272-

2

所以，DF=y/AD2-AF2=V42-2=714-

所以，S&ACD=gAC.DF=gx20x歷=2出,同理可得S4BC。=24，

又因?yàn)镾“Bc=gAC8C=；x(2后『=4,

所以，三棱錐A-88的表面積為

S=SBC+SAAB。+5AAs+S^BCD=4+4月+2X2小=4(1+6+V7),

設(shè)三棱錐A—BCD的內(nèi)切球半徑為『，則VA_BCD=^r(S^BC+SAABD+SAACD+SABCD),

即工廠x4(l+6+V7)=述，所以，r=—

3''31+，3+，72

因此，半徑為3的球可以被整體放入以三棱錐A-38為模型做的容器中，D對.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等

且為半徑；

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元

素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.方程(x—3)(x—5)+5=0在復(fù)數(shù)集C中的解為.

［答案14±2i

【解析】

【分析】先化簡方程，然后在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)解方程即可.

【詳解】由方程(x-3)(x-5)+5=0,

即爐―8%+20=0，

故(x-4)2=-4=的2,

所以x—4=2i或x—4=—2i,

即方程在復(fù)數(shù)集中的解為x=4+2i或x=4—2i,

故答案為：4±2i.

sin200+2sin40°

14----------------二

■cos200?

【答案】布

【解析】

【分析】利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.

sin200+2sin40°

【詳解】

cos20°

_sin20o+2sin（60o-20°）

cos20°

_sin200+2sin60°cos20°-2cos60°sin20°

cos20°

_sin200+A/3COS20°-sin20°_6

cos20°

故答案為：73

/3兀\兀

15.已知函數(shù)/(x)=cosox(o>0)圖像關(guān)于點(diǎn)［丁,0)對稱，且在區(qū)間0,j上單調(diào)，則。=

【答案】:或2

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，列出方程求得0=3■匕，左eZ,結(jié)合/(可在區(qū)間0,1上單調(diào)，求

得0<。<3,進(jìn)而得到。的值.

【詳解】由函數(shù)/(x)=cosox(/y>0)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可得cos^^=0,

解得9=巴+依,左eZ,可得。=2W，左ez,

423

兀17r27T

又因?yàn)?(x)在區(qū)間0,y上單調(diào)，可得5T即TN?-,

2兀2兀

即一2—，解得0VG<3,

CD3

2

當(dāng)左=0時，口=一；當(dāng)左=1時r，a)=2,

3

2

故答案為：(或2.

16.如圖所示，斜率為一《1的直線/交橢圓二+4=1(。〉>>0)于加、N兩點(diǎn)，交X軸、y軸分別于°、

2a2b-

P兩點(diǎn)，且MP=QN,則橢圓的離心率為

【答案】1##0.5

【解析】

22

【分析】數(shù)形結(jié)合，表示出加、N點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程二+多=1（。〉匕＞0）,找到a,3的關(guān)系，再結(jié)合

ab

a2=b2+c2＞即可求解橢圓的離心率;

【詳解】設(shè)直線y=-3x+t,由圖可知，。［卒人。］、尸（0J）,

2I3J

設(shè)直線y=-且x+f,由圖可知，/攣f,。］、P（O,f）,

2I3I

又因?yàn)锳fP=QN,設(shè)肋0在丁軸上投影長度為

、

所以/I33

7

"92

L=i

223/b2

代入0+與=l（a〉A(chǔ)〉0）,解得：＜

ab4“M-i

Tc—1

3a2b1

上式除以下式得:

等式兩邊同時除以（r+疔-0）2,解得：4/=3",即：2b=瓜,

又因?yàn)槠?〃+°2,解得2c=a,,所以橢圓的離心率為

故答案為：

四、解答題：本題共6小題.第17題10分，第18~22題每小題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S0=2/+5”，數(shù)列｛優(yōu)｝滿足4=8,2=16%].

(1)證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

(2)是否存在常數(shù)0、q,使得對一切正整數(shù)“都有a"=logp6"+q成立？若存在，求出p、q的值；若不存

在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在；p=g,q=10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)為=求出｛與｝的通項(xiàng)公式，證明出數(shù)列為等差數(shù)列；

⑵先得到｛2｝是以8為首項(xiàng)，工為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算列出方程組，求出p、

16

q的值.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)閿?shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“=2/+5〃，

當(dāng)“之2時，S“T=2(〃一1尸+5(〃-1),

_

所以Un=S"—S"_]=2n~+5n—2(〃-1)—5(〃-1)=4〃+3,

當(dāng)〃=1時，％=Si=2+5=7,滿足q=4xl+3,

所以數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式為=4/7+3,九eN*，

所以*-4=4(“+1)+3-4“-3=4,〃eN*，

所以｛?！埃鞘醉?xiàng)為7,公差為4的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

b11

因?yàn)閍=16年+1，所以彳*=而，所以數(shù)列｛4｝是以8為首項(xiàng)，記為公比的等比數(shù)列，

所以人=8-f—=27-4"；

U6J

74,,

所以log.bn=logp2-=(7-4?)log.2,

要使對一切正整數(shù)n都有an=logpbn+q成立.

即4〃+3=(7-4n)logp2+q,即4〃+3=-4nlogp2+71ogp2+q,

4=-4log2

所以。大C,

3=71ogp2+q

1

解得2,所以則當(dāng)p=j,4=10時，對一切正整數(shù)〃都有4=1。80a+4成立.

q=102

18.記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,>(2Z?-c)cosA=acosC.

⑴求角A的大??；

⑵設(shè)BC邊上的高AQ=1,求ABC面積的最小值.

TT

【答案】(1)A=§

⑵苴

3

【解析】

【分析】(1)由題意及正弦定理可得cosA的值，再由A角的取值范圍，可得A角的大??；

⑵由題意和⑴可得a=且次，再由余弦定理可得。。的最小值，進(jìn)而求出該三角形的面積最小值.

2

【小問1詳解】

由正弦定理可知:(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC

所以2sin5cosA=sinAcosC+sinCeosA=sinB

又5￡(0,兀)，所以sin6>0,所以cosA=g.

因?yàn)锳e(O,?),所以A=g.

【小問2詳解】

=Li)cJl=LAD.Bc=-a，所以a=^bc①

△ABC22222

而/=/?2+c2—2Z?ccos60°=b2+c2—bc>2bc—bc

所以。2>bc，當(dāng)且僅當(dāng)人二C時等號成立②

由①②兩式可知，bc>^

所以S&ABc=/bcN與，即.ABC面積的最小值為守.

19.如圖，圓錐PO的高為3,AB是底面圓。的直徑，PC,尸。為圓錐的母線，四邊形ABCD是底面圓。

的內(nèi)接等腰梯形，且AB=2CD=2,點(diǎn)E在母線PB上，且BE=2EP.

(1)證明：平面AECJ_平面POD；

⑵求平面AEC與平面EAB的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

°、3而

\L)-----

20

【解析】

【分析】(1)先得到平行四邊形04OC為菱形，得到8LAC,再結(jié)合尸0,AC得到線面垂直，證明出

面面垂直；

⑵建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面法向量，得到兩平面夾角的余弦值.

【小問1詳解】

由己知可得CD//AO,且AO=CD=1,

所以四邊形OAOC為平行四邊形，

又因?yàn)镼A=OC=1,所以平行四邊形。4OC為菱形,

所以。AC

在圓錐尸。中，因?yàn)镻01平面ABC。，ACu平面ABCQ,

所以尸OLAC

因?yàn)槭?0D=0,尸Ou平面尸?！?,OOu平面P。。,

所以AC，平面POD.

又因?yàn)锳Cu平面AEC,所以平面AECJ_平面尸OD

【小問2詳解】

取CD中點(diǎn)M,易知OM_L平面OM=sjoC2-CM2=—，

2

以。為原點(diǎn)，OM,OB,。尸所在直線分別為無軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(/?1)

貝|A(0,—1,0),5(0,1,0),尸(0,0,3),C^,-,0,

(22)

因?yàn)锽E=2EP,所以5￡=§BP=§(0,-L3)=[o,—§,2J,

所以

(

所以AE=1o,g,2],ACT'1'4

設(shè)平面AEC的一個法向量為n=(%,y,z),

4

—y+2z=0

n-AE=0

因?yàn)椋?所以＜

n-AC=02x+)

y=o

I22

令y=3,則X=—3若，z=—2,所以〃=136,3,—2)

易知平面EAB即平面yOz,所以平面EAB的一個法向量為加=(1,0,0),

設(shè)平面AEC與平面EAB的夾角為。，

m〃/\|n-m|3A/33病

則COS"=COSIL=/=一=------,

\/U-U:27+9+4x120

所以平面AEC與平面EAB的夾角的余弦值為之叵.

20

20.已知函數(shù)/(冗)=四一，一(a+l)lnx(QwO).

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(%)既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為g(。).解不等式g(a)<2a-2.

【答案】(1)答案見解析

(2){?|0<o<1}

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，然后對參數(shù)“分類討論，注意討論正負(fù)以及與工」的關(guān)系。然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函

a

數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵由⑴知，。的范圍是a>0且=+/⑴=(a+l)lna,題目轉(zhuǎn)化為求解

In0,構(gòu)造函數(shù)加(a)=In"2)［；)(<>0),然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值m(l)=0,

從而解得不等式的解集；

【小問1詳解】

定義域：(0,+。),

「,/、1〃+lax2-(6z+l)x+l(ax-V)(x-V)

fM=a+-------=--------2-------=-------2-----

xxxx

1°〃<0時ax-1<0,

令第x)>。，解得0<x<l；令/解得%>1;

所以/(力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減；

2°a>0時

①當(dāng)1>1時，即Ovavl時，

a

令&)>0,解得0<x<l或X〉L令/'(x)<0,解得1<X<L

aa

所以在(0,1)上單調(diào)遞增，U上單調(diào)遞減，g,+s］上單調(diào)遞增;

②當(dāng)工=1時，即。=1時，

a

0(x)>0恒成立，所以/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)!<1時，即”>1時，

a

令制x)>0,解得0<x<：或X>1；令/'(x)<。，解得.<尤<1；

aa

所以/⑺在，j上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(1,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)a<0時，“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<”1時，〃力在(0,1)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，［,+司上單調(diào)遞增;

當(dāng)a=l時，/(力在(0,+")上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時，/⑴在［0,￡|上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(1,+8)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

由(1)知：〃>0且awl,

且g(a)=/f—j+/(l)=l—Q+(a+l)lna+Q—l=(a+l)lna

即：解不等式(a+l)lna<2a—2；(a>0且awl)

等價于解不等式：lna-2(a-1)<0

a+1

令m(a)=Ina-^―—―(a>0),

a+1

加(a)」——二=("D：>0,

a(a+1)2a(a+l)2

所以m（a）在（0,+“）單調(diào)遞增，

且771（1）=0,所以7〃（。）<0=772（1）,

即不等式的解集為｛a|0<a<4.

21.已知8為拋物線V=2x—2上一點(diǎn)，A（2,0）,B為AC的中點(diǎn)，設(shè)。的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)/（1,0）作直線交曲線E于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為直線/：x=—1上一動點(diǎn).問是否存在點(diǎn)P使△MNP為

正三角形？若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴V=4x

⑵存在；P（-1,±8A/2）

【解析】

【分析】（1）設(shè)C（x,y）,表達(dá)出3H，措），代入拋物線方程中，求出C的軌跡方程；

⑵設(shè)出直線MN：x=my+l,聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)等邊三角形，得到方程，求出〃？，進(jìn)而得到

P(-1,±8V2).

【小問1詳解】

設(shè)C（x,y）,則

因?yàn)辄c(diǎn)8在拋物線丁=2x—2上，即圖=2義號2—2,

化簡得V=4x,所以曲線E的方程為y=4x.

【小問2詳解】

假設(shè)存在點(diǎn)P（-l,%）使AACVP為正三角形.

當(dāng)MN垂直于y軸時，不符合題意；

當(dāng)不垂直于y軸時，

設(shè)直線MN：x=my+l,MN的中點(diǎn)為K（sj）,

[y2=4x,

聯(lián)立《得