控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型基本要求1.掌握拉氏變換、拉氏反變換的定義、定理。2.了解數(shù)學(xué)模型的基本概念。能夠運用動力學(xué)、電學(xué)及專業(yè)知識，列寫機械系統(tǒng)、電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程。3.掌握傳遞函數(shù)的概念、特點，會求傳遞函數(shù)的零、極點。4.掌握各個典型環(huán)節(jié)的特點，傳遞函數(shù)的基本形式及相關(guān)參數(shù)的物理意義。掌握閉環(huán)系統(tǒng)中前向通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求法和特點。了解傳遞函數(shù)框圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖，并實現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。7.了解相似原理的概念。本章重點1.拉氏變換定理。2.列寫系統(tǒng)的微分方程。3.傳遞函數(shù)的概念、特點及求法。4.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。5.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。本章難點1.列寫系統(tǒng)微分方程。2.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。拉普拉斯(Laplace)變換拉氏變換概述1.拉氏變換的定義f(t)：原函數(shù)（實域、時間域）F(s)：象函數(shù)（s

域、復(fù)數(shù)域）s：復(fù)變量，s=σ+jωe

st

:拉氏算子F

(s)

L

f

(t)

stf(t)e dt

0jωσ[s]02.基本函數(shù)的拉氏變換序號原函數(shù)

f

(t)象函數(shù)F

(s)1單位脈沖函數(shù)

(t)12單位階躍函數(shù)

1(t)1

s3K 常數(shù)ks4t

單位斜坡函數(shù)1s25t

nn!sn

16e

at

1

s

a7sin

t

s

2

28cos

tss

2

2t

(

t)0t1u

(

t)tr

(

t

)txi

(

t)0te-at0t0sin

ttkkt0cos

t2.1.2

拉氏變換的主要性質(zhì)1.線性性質(zhì)設(shè)L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2為常數(shù) ，則L[k1

f1

(t)

k2

f2

(t)]

k1L[

f1

(t)]

k2

L[

f2

(t)]

k1F1

(s)

k2

F2

(s)dt2.微分性質(zhì)若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始條件為零）則L[

df

(t)]

sF

(s)3.積分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始條件為零，則4.平移定理若L[f(t)]=F(s)，則5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，則f

(0

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

0 s

sL

f(t)dt

1

F

(s)

L

e

at

f

(t)dt

F

(s

a)6.終值定理若L[f(t)]=F(s)，則有f

(

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

s

07.延遲定理若L[f(t)]=F(s)，對任一正實數(shù)a，則有L

f

(t

a)

f

(t

a)e

st

dt

e

as

F

(s)02.1.2

拉氏變換的主要性質(zhì)1.線性性質(zhì)設(shè)L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2為常數(shù) ，則L[k1

f1

(t)

k2

f2

(t)]

k1L[

f1

(t)]

k2

L[

f2

(t)]

k1F1

(s)

k2

F2

(s)dt2.微分性質(zhì)若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始條件為零）則L[

df

(t)]

sF

(s)3.積分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始條件為零，則4.平移定理若L[f(t)]=F(s)，則5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，則f

(0

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

0 s

sL

f(t)dt

1

F

(s)

L

e

at

f

(t)dt

F

(s

a)6.終值定理若L[f(t)]=F(s)，則有f

(

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

s

07.延遲定理若L[f(t)]=F(s)，對任一正實數(shù)a，則有L

f

(t

a)

f

(t

a)e

st

dt

e

as

F

(s)02.1.3

拉氏反變換定義:f(t)=L-1[F(s)],將象函數(shù)變換成原函數(shù)s：復(fù)變量F(s)：象函數(shù)（s

域、復(fù)數(shù)域）f(t)：原函數(shù)（實域、時間域）2.2

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)的輸出、輸入與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)與參數(shù)之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。工程上常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程傳遞函數(shù)狀態(tài)方程建立數(shù)學(xué)模型的方法有：理論分析（解析法）試驗的方法獲取線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(1)定義：系統(tǒng)微分方程的規(guī)范化形式如下：或a x(n)(t)

a x1 o 0 o& (t)

a

x

(t)(t)

L

ax(n

1)n o n

1

o0 i(t)

bx

(t)1 im i

b x

(m)

(t)

b x(m

1)m

1

i&(t)

L

bx

nmi ij oa xj

0 i

0若系數(shù)ai,bi是常數(shù)，則方程是線性定常的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性定常系統(tǒng)，若系數(shù)是時間的函數(shù)，則該方程為線性時變的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性時變系統(tǒng)。(i)(j

)b

x

(t)(t)

系統(tǒng)xi

1(

t

)xi2(

t

)xo

1(

t

)xo

2(

t

)系統(tǒng)系統(tǒng)a2xi2(

t

)a1xi

1(

t

)

a1xo

1(

t

)

+a2

xo

2(

t

)（2）線性系統(tǒng)性質(zhì)線性系統(tǒng)的一個最重要的特性就是滿足疊加原理。非線性系統(tǒng)工程上常見的非線性特性如下：飽和非線性死區(qū)非線性間隙非線性摩擦非線性……非線性系統(tǒng)的線性化具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)：忽略非線性因素或用非線性理論去處理。非本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng): 切線法，或稱微小偏差法處理。2.2.2機械/電氣系統(tǒng)微分方程1．機械系統(tǒng)任何機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。都可以使用質(zhì)量、彈性和阻尼三個要素來描述。f∶外力；x∶位移；

m∶質(zhì)量；c∶粘性阻力系數(shù)；

k∶彈簧剛度2）機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)J

&

BJ

&

k

J

TT∶扭轉(zhuǎn)力；θ∶轉(zhuǎn)角；J∶轉(zhuǎn)動慣量；BJ∶回轉(zhuǎn)粘性阻力系數(shù)；kJ∶扭轉(zhuǎn)彈簧剛度mi&x&i

(t)

fi(t)1）機械平移系統(tǒng)m&x&

cx&

kx

ff(t

)y

(t

)銑刀

工件工作臺動力滑臺例1

寫出下圖機械系統(tǒng)的微分方程解：

f

maf(t)

ky(t)

cy&(t)

m&y&(t)m&y&(t)

cy&(t)

ky(t)

f

(t)慣性力+阻尼力+彈簧力=外力f(t)∶外力；y(t)∶位移；k∶彈簧剛度；c∶粘性阻力系數(shù)；m∶質(zhì)量kcmy(t)f(t)mf(t)ky(t)cy(t)2．電氣系統(tǒng)電阻、電感和電容器是電路中的三個基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。基爾霍夫電流定律：

i(t)

0A基爾霍夫電壓定律：

E

Ri歐姆定律：

u電感定律：電容定律：

uR

i

RRcdt

1

idtC

L

diuLR

u

RiRu dtL

iL

1LC dt

1

duiicRoCu

(t)Li(t)ui

(t)例2

寫出下圖電氣系統(tǒng)的微分方程

u

(t)

(1)

uc

(t)

uc(t)

L2

1C(3)(2)1 2(i -i

)dt2 2i

R211

u(t)

i1R1

Ldtdi

(t)dtdi

(t)cu

(

t

)uc(

t

)R

2R

1 L1L21i(t

)i2

(

t

)C①解：3.

列寫系統(tǒng)微分方程的步驟：(1)分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸出量與輸入量；(2)從系統(tǒng)的輸入端開始，依據(jù)物理學(xué)定律，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的動力學(xué)方程，其中要考慮相鄰兩元件間的負(fù)載效應(yīng)；(3)將各方程式中的中間變量消去，求出描述輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程，并將與輸入有關(guān)的各項放在方程右邊，與輸出有關(guān)的各項放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列，即得系統(tǒng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；(4)在列寫元件的微分方程或求出系統(tǒng)的微分方程時，對非線性項應(yīng)加以線性化。2.3 傳遞函數(shù)X

i(s)2.3.1

傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：當(dāng)全部初始條件為零時，輸出量xo(t)的拉氏變換Xo(s)與輸入量xi(t)的拉氏變換Xi(s)之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。表示為：G(s)

Xo

(s)G(s)Xo(s)Xi

(s)2.3.2

傳遞函數(shù)的求法1.解析法(1)根據(jù)定義求取設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為xi(t)，輸出為xo(t)，

描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為:式中，n≥m

；an，bm均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的定常數(shù)（n，m=0、1、2、3…）。如果變量及其各階導(dǎo)數(shù)初值為零（初始條件為零），取等式兩邊拉氏變換后得:a

xo(

n) (

m)n 1 o 0 o m i 1 i 0 i(t)

L

ax&

(t)

ax(t)

b x (t)

L

b

x&

(t)

b

x

(t)sn

1(asn

an n

1

L

a1s

a0

)

Xo

(s)

(

bs

m sm

1m m

1

1

i

b

L

bs

b)

X (s

)根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為:G(s)

L[xo(t)]

Xo

(s)L[xi

(t)] Xi

(s)為常數(shù)（2）傳遞函數(shù)的零、極點系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)是以復(fù)變數(shù)s作為自變量的函數(shù)．經(jīng)因子分解后，G(s)可以寫成如下一般形式：G(s)

l(s

z1

)(s

z2

)L(s

zm

)(i＝1，2，…，n)時，均能使G(s)的分母為0，G(s)取極當(dāng)

s

z

j

(j=1，2，…，m)時，均能使G(s)

0

，故稱為

G(s)的零點。當(dāng)

s

pi值，limG(s)=

(i=1，2，…，n)，s

pi

，稱pi

(i=1，2，…，n)為G(s)的極點．2.實驗法(s

p1)(s

p2)L(s

pn)l例 試寫出具有下述微分方程式的傳遞函數(shù)。解：取拉氏變換并求商得7xdtdx5dt

3 dt

2 dtd

3

y d

2

y dy

2

2

y

6X

(s) 5s3

2s2

s

26s

7G(s)

Y(s)

2.3.3

傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)是通過輸入和輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)本身特性的，而系統(tǒng)本身特性與輸入量無關(guān)；2.傳遞函數(shù)不表明所描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理系統(tǒng)，只要它們動態(tài)特性相同，就可用同一傳遞函數(shù)來描述。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)；3.傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無量綱的；4.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。傳遞函數(shù)多項式分子中s的階數(shù)m小于分母中s的階數(shù)n,即m≤n。傳遞函數(shù)分母多項式中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。2.4

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)微分方程：xo

(t)

Kxi

(t)傳遞函數(shù)：G(s)

KKXi

(

s

)Xo(

s

)Xi

(s) z2K為齒輪傳動比，也就是齒輪傳動副的放大系數(shù)或增益。齒輪傳動副例1

圖示為齒輪傳動副，xi 、xo分別為輸入、輸出軸的轉(zhuǎn)速，z1，z2為齒輪齒數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)微分方程為：

xi

z1

xo

z2此方程經(jīng)Laplace變換后得傳遞函數(shù)為：G(s)

Xo(s)

z1

K2.慣性環(huán)節(jié)微分方程：Tx&o

xo

KxiXi

(s) Ts

1傳遞函數(shù)：

G(s)

Xo

(s)

K 式中，T

為時間常數(shù)，K為慣性環(huán)節(jié)的增益。質(zhì)量—阻尼—彈簧環(huán)節(jié)例2

圖示為質(zhì)量—阻尼—彈簧環(huán)節(jié),求略去質(zhì)量

m

影響時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)微分方程為：此方程經(jīng)Laplace變換后得傳遞函數(shù)為：T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。cx&o

kxo

kxiXi

(s) cs

k Ts

1G(s)

Xo

(s)

k

1 3.微分環(huán)節(jié)微分方程：

xo

(t)

Tx&i

(t)4.積分環(huán)節(jié)微分方程：式中T為積分時間常數(shù)。TsXo(s)Xi

(s)X

i(s)式中T為微分時間常數(shù)。傳遞函數(shù)：

G(s)

X

0

(s)

TsT

iox(t)

1 x

(t)dtXi

(s) Ts傳遞函數(shù)：G(s)

Xo

(s)

1Xo(s)Xi

(s)1Ts5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程：式中

n

為無阻尼固有頻率；

為阻尼比。例3

圖示為質(zhì)量—阻尼—彈簧環(huán)節(jié)，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2o(t)

xo(t)

xi

(t)oT &x&&(t)

2

Tx質(zhì)量—阻尼—彈簧環(huán)節(jié)221n ns

2T

2

s

2

2

s

n

2

Ts

1傳遞函數(shù)：G(s)

解：其運動方程為：取拉氏變換得：其傳遞函數(shù)為：寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：i odtdt2d2

x dxm

o

c

o

k(x

x

)ms

2

X (S

)

csX (s)

kX (s)

kX

(s)o o o ims2

cs

kXi

(s)G(s)

Xo

(s)

1 2nns2

2

2

s

G(s)

n kmBn兩式比較得：

2 mk

將后兩式代入前一式，得：iL

iR

iC例4如圖所示為電感L、電阻R與電容C的串、并聯(lián)線路，ui為輸入，uo為輸出，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：電路的動力學(xué)方程為：ui

Li&L

uouo

RiRi dtC

C

1o oi oRu

LCu&

L

u&

u2nns2

2

2

s

或：

G(s)

n LCn式中：

11RLCs2

Ls

1Ui

(s)其傳遞函數(shù)為：

G(s)

Uo

(s)

L2R

C

16.

延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間其微分方程為：xo

(t)

xi(t

)式中， 為延遲時間。傳遞函數(shù)：，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。

sXi

(s)L[xi

(t)]L[xi

(t)]L[x

(t)] L[x(t

)] X

(s)e

sG(s)

o

i

i

e8種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下：（1）比例環(huán)節(jié):（2）理想微分環(huán)節(jié):（3）一階微分環(huán)節(jié):（4）二階微分環(huán)節(jié):（5）積分環(huán)節(jié):（6）慣性環(huán)節(jié):（7）振蕩環(huán)節(jié):（8）延遲環(huán)節(jié):G(s)

KG(s)

TssG(s)

T

s

1G(s)

T

2s2

2

T

s

1

,

(0

p

p

1)G(s)

1(Ts

1)1G(s)

G(s)

e

s2nns2

2

2

s

G(s)

n 2.5

系統(tǒng)的方框圖及其聯(lián)接2.5.1

環(huán)節(jié)的基本聯(lián)系方式1.串聯(lián)Xi(s)X(s)X

o(s)G1(S)G2(S)X

i(s)X

o(s)G1(S)

G2(S)X

(s) X

(s)X (s) X

(s)X

(s)X (s)G(s)

oi io

G1(s)G2(s)

nG(s)

Gi

(s)i

1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積:等效為2.并聯(lián)G1(s)G2(s)G(s)=G1(s)+G2(s)Xi(s)Xi(s)X1(s)Xo(s)+

Xo(s)X2(s)

+X1

(s)

X

2

(s)X

(s)X

(s)G(s)

io

G1

(s)

G2

(s)21X (s)X

(s) X

(s) X

(s)X

(s)ii

nG(s)

Gi

(s)i

1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和:3.反饋聯(lián)接G(s)1

m

G

s

H

s

s

G

s

Xi(s)Xo(s)Xo(s)Xi(s)+ E(s)±B(s)H(s)G(s)

Xo

(s)E(s)H(s)

B(s)

Xo

(s)(1)前向通道傳遞函數(shù)(2)反饋回路傳遞函數(shù)E(s)kG(s)

G(s)H(s)

B(s)(3)開環(huán)傳遞函數(shù)(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)1mG(s)H

(s)G(s)B(s)1m

E(s)Xo

(s)oXi

(s) E(s)

m

B(s)X

(s) Xo

(s)

E(s)

BG(s)

(5)單位反饋當(dāng)H(s)=1時，則此閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。(6)負(fù)反饋與正反饋負(fù)反饋：反饋信號減弱輸入信號，使誤差信號減??；正反饋：反饋信號加強輸入信號，使誤差信號增大。Xo(s)

G(s)Xi(s)+-G(s)iX

(s) 1m

G(s)G(s)

Xo(s)

1

G(s)G(s)G(s)

1

G(s)G(s)G(s)

(7)干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)1)在輸入量Xi(s)的作用下可把干擾量N(s)看作為零，系統(tǒng)的輸出為XR(s)，則2)在干擾量N(s)作用下[可把輸入量Xi(s)看作為零]，系統(tǒng)的輸出為XN(s)，則3)系統(tǒng)總的輸出量：負(fù)反饋能有效的抑制被反饋回路所包圍的干擾。H(

s)Xo

(

s)Xi

(s)

+-G2(

s)G1(

s)N(

s)++1 2i1

G

(s)

G

(s)H

(s)G1

(s)

G2

(s)XR

(s)

GR

(s)

Xi

(s)

X

(s)N

(s)1

G1

(s)

G2

(s)H

(s)G2

(s)X

N

(s)

GN

(s)N

(s)

G2

(s)1

G1

(s)

Xi

(s)

N

(s)

1

G

(s)

G

(s)H

(s)Xo

(s)

XR

(s)

X

N

(s)

2X

N

(s)

N

(s)若G1

(s)G2

(s)H

(s)

12.5.2

方框圖的變換與簡化1.分支點X1X

2G(s)G(s)1X3

(

X1)X2X1G(s)X3

(

X1

)后移G(s)G(s)1X2XX3

(

X

2

)G(s)X21XX3(

X2)分支點前移2.相加點+X1

+(-)X2X3G

(

s)X1++-X2(

)G

(

s)X3G

(

s)后移++X3(-)X2X1G

(

s)X2G(

s)+X3(-)X1

+

1 G(

s)前移3.梅遜公式若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件：(1)整個方框圖只有一條前向通道；(2)各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框．G (s)

Xo

(s)括號內(nèi)每一項的符號是這樣決定的：在相加點處，對反饋信號為相加時取負(fù)號，對反饋信號為相減時取正號。

1

+

[

每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)之積]X(

s)前向通道的傳遞函數(shù)之積iB4.方框圖的簡化步驟若方框圖中僅有多個無交叉回路，則按照先里后外的原則，逐個簡化，直至簡化成一個方框的形式。若方框圖中有交叉的連接，用如下的方法:1)若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件，可以運用梅遜公式化簡:條件1，整個系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。2)若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，則可通過相加點、分支點的前后移動等法則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時滿足以上兩個條件的形式，然后應(yīng)用梅遜公式即可。3)若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，可通過相加點、分支點的前后移動等法則，將交叉消除，簡化成無交叉的多回路形式。然后由里到外進(jìn)行變換直至變換成一個單一回路或一個方框的形式，最后寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例 化簡下圖的方框圖分析特點：(1)反饋與相加；(2)兩反饋交錯，交聯(lián)。簡化方法：(1)分支點前移，使A→B，可移動一個支路，也可移兩個支路；(2)分支點后移，使B→A，目的：變環(huán)路交聯(lián)為相套或串聯(lián)。-Xi

(s)+Xo(s)G1H1G3G2+-

+H2ABB

(s)

(s)

++-

i

X

(s)G1G2+-+H2X

(s)oG3ABB

(s)s

()

+G3H1G3G2G11+

G2G3

H2-sH1

+X

(s)oG3AB

(s)Xi

(

)

(s)

++G3G 2 G11+

G2G3

H2B-Xi

(s)+B

(s)

(s)G3Xo(s)G32

32G2

G11

211+GGH-GG

HXi

(s)Xo(s)G3G2

G11+

G2G3

H2

-G1G2

H1

+

G1G2G31