《平面向量數(shù)量積-坐標(biāo)表示、模、夾角》-上課用的

平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，OB=b，那么∠AOB=θ〔0°≤θ≤180°〕叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab我們學(xué)過(guò)功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s〔如圖〕θFS力F所做的功W可用下式計(jì)算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。|a|cosθ〔|b|cosθ〕叫做向量a在b方向上〔向量b在a方向上〕的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1例1|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長(zhǎng)度與的乘積。練習(xí)：1．假設(shè)a=0，那么對(duì)任一向量b，有a·b=0．2．假設(shè)a≠0，那么對(duì)任一非零向量b,有a·b≠0．3．假設(shè)a≠0，a·b=0，那么b=04．假設(shè)a·b=0，那么a·b中至少有一個(gè)為0．5．假設(shè)a≠0，a·b=b·c，那么a=c6．對(duì)任意向量a有√××××√二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個(gè)向量，那么(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)注：？例3：求證：〔1〕(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；〔2〕(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：〔1〕(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：〔2〕(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4的夾角為2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、復(fù)習(xí)引入我們學(xué)過(guò)兩向量的和與差可以轉(zhuǎn)化為它們相應(yīng)的坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算,那么怎樣用二、新課學(xué)習(xí)1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示如圖，是x軸上的單位向量，是y軸上的單位向量，由于所以x

y

o

B(x2,y2)

A(x1,y1)

.

.

.1

1

0

下面研究怎樣用設(shè)兩個(gè)非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),那么故兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即x

o

B(x2,y2)

A(x1,y1)

y

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算。2、向量的模和兩點(diǎn)間的距離公式〔1〕垂直3、兩向量垂直和平行的坐標(biāo)表示〔2〕平行4、兩向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算三、根本技能的形成與穩(wěn)固例2A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試判斷ABC的形狀，并給出證明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y練習(xí)2：以原點(diǎn)和A〔5，2〕為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B=90，求點(diǎn)B的坐標(biāo).yBAOx四、逆向及綜合運(yùn)用例3〔1〕=〔4，3〕，向量是垂直于的單位向量，求.提高練習(xí)2、A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，那么四邊形ABCD的形狀是.矩形3、=(1，2)，=(-3，2)，假設(shè)k