2024屆江西省九江市高考二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

秘密★啟用前

九江市2024年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

業(yè),、憶

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

人人A=-2<x<4}B=yx\x-6.”叫，則AB=

1.若集合1（)

A.[-2,0]B.[0,4]C.[-2,6]D.[4,6]

2+i

2.已知z=——，則z=（)

1-i

33.33.13.13.

A.—+—1B.-------1C.-+-1D.-------i

22222222

3.若函數(shù)/（x）=ln（G；+l）在（1,2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.仁一丁。]D.[―1,0）

4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我國上海華

東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、

4,這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3x83+7x82+4xg+4x8°=2020,正是會(huì)議

計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制771：衛(wèi)換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（）

10個(gè)7

A.1B.3C.5D.7

5.在正方體ABCD—A4GR中，。為四邊形的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A0//BC,B.AOVBD

C.平面平面CO。D.若平面AOB平面COD=1,貝I///平面BQD

,cos(a-/)=,，tancif-tan,則1+/=()

6.已知

兀兀兀2兀

A-B.一C.—D.—

3463

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線C：'=1（。>8>0）的右焦點(diǎn)為/（、后,0）,尸為C上一

點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)。的M,N兩點(diǎn),若|9卜歸叫=《，則C的離心率

為（）

A.巫B.C.-D.75

232

8.已知一個(gè)圓臺內(nèi)接于球。（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1

和2,且其表面積為（5+30）兀，則球。的體積為（）

32兀2a非兀50兀

B.5兀

-3-3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.射擊作為一項(xiàng)綜合運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，不僅需要選手們技術(shù)上過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時(shí)保持冷靜和專注.

第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊(duì)以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并創(chuàng)

造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）如下：

黃雨婷韓佳予王芝琳

第4輪1055106.2105.6

第5輪106.5105.7105.3

第6輪105106.1105.1

則下列說法正確的是

A.三輪射擊9項(xiàng)成績極差為1.5

B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪

C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定

D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出

10.已知拋物線。：丁=2m(0>0)的焦點(diǎn)為P，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在C上，若定點(diǎn)“(2,、/^滿足

|嶼=2研則()

A.。的準(zhǔn)線方程為x=—2B.△尸A3周長的最小值為5

1T

C.直線上田的傾斜角為一D.四邊形不可能是平行四邊形

6

11.已知函數(shù)了(%)的定義域?yàn)镽,/(個(gè))+町=4(丁)+才(力，則下列命題正確的是()

A.7(%)為奇函數(shù)B./(%)為R上減函數(shù)

/1\110

C.若.0,則引一+—/(x)為定值D.若"2)=2,則\>(*=2046

xk=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動(dòng)，

每個(gè)鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.

13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這

條線稱之為三角形的歐拉線.已知4(0,2),B(4,2),C(a,—1),且一ABC為圓/+丁+&+妤=。內(nèi)接

三角形，則一ABC的歐拉線方程為.

22

14.在中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c.已知A,B,C成等差數(shù)列，a+c^4,則

面積的最大值是,(4sinAsinC+3)Z?2=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)〃％)=(2%-。)111(%-1)+/?(。/€2在彳=2處的切線方程為3%-丁-2=0

(1)求。，b的值；

(2)判斷了(%)的單調(diào)性.

16.2023年10月10日，習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水

處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85,2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品

率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時(shí)響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保

的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線(3號)生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引

進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1,2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生

產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.

(1)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；

(2)現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時(shí)，需幾臺同型號的設(shè)備同時(shí)工作.現(xiàn)有

兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價(jià)格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則

2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方案

二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時(shí)工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)

用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個(gè)方案，并說明理由.

17.如圖，三棱錐尸―ABC中，3cl平面PAC,BC=G，AC=3,PBf，點(diǎn)E滿足AE=2EC，

PE=1.

(1)證明：平面？BE，平面ABC；

(2)點(diǎn)。在A5上，且5ELCD,求直線與平面PCD所成角的正弦值.

22

18.己知橢圓E：=+=V+y2=],c經(jīng)過E的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8為E的右頂點(diǎn)

ab

和上頂點(diǎn)，C上的點(diǎn)。滿足=

3

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/與C相切于第一象限的點(diǎn)P,與E相交于M,N兩點(diǎn),線段"N的中點(diǎn)為。.當(dāng)歸。|最大

時(shí)，求/的方程.

19.定義兩個(gè)九維向量6=(%,1,%,2，…，玉,〃)，%=(馬1，馬2，…，丐,")的數(shù)量積

%?%=/丙」+Xi2xj2+??■+xinxjJt(z,jeN+),at-q=a；,記xik為火的第上個(gè)分量(左K〃且

上eN+).如三維向量q=(2,1,5),其中用的第2分量％2=1?若由九維向量組成的集合人滿足以下三個(gè)

條件：①集合中含有〃個(gè)〃維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個(gè)

元素%,%?,滿足a；=G=T(T為常數(shù))且=1.則稱A為T的完美〃維向量集.

(1)求2完美3維向量集；

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

(3)若存在A為T的完美”維向量集，求證：A的所有元素的第上分量和1=T.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

,^^.A=[x\-2<x<4\B=[X\JC-6x>0\ar_

1.若集合LJ,11J,則Al&一()

A.[-2,0]B,[0,4]C.[-2,6]D,[4,6]

【答案】A

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合3,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由必一6x20，即(1—6)x20,解得九26或xv。，

所以5={工n-6%>oj=(-co,0]u[6,+oo),

又A={H-2Vx<4},

所以4^^8=[—2,0].

故選：A

2+i

2.已知z=——貝丘=()

1-i

33.33.13.13.

A.—+—1B.-----1C.—+—1D.-----1

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再求其共相復(fù)數(shù).

【詳解】因?yàn)?=言(2+i)(l+i)_l3

(l-i)(l+i)22

-13

所以z=—--i.

22

故選：D

3.若函數(shù)〃x)=ln(6+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(一;,())C.D.[-1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)求解.

【詳解】函數(shù)"X)=皿依+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=ta+l在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,

。<01

則有<c?>解得—<a<0.

g(2)=2a+1l>02

故選：C

4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-IntemationalCongreasofMathematicsEducation)在我國上海華

東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、

4,這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3x83+7x8?+4x@+4x8°=2020,正是會(huì)議

計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制77…7換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是()

10個(gè)7

A1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】換算后由等比數(shù)列求和得81°-1，改寫成(10--1,利用二項(xiàng)式定理展開即可求解.

【詳解】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制77…7換算成十進(jìn)制得:

10個(gè)7

i_Qio

7X89+7X88+---+7X81+7X8°=7x-------=810-L

1-8

101010919

8-l=(10-2)-1=CfolO+C；olOx2+???+C^IOx2+02―

因?yàn)镃：olO"+C；ol()9x2+…+CQCPx29是10的倍數(shù)，

所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為C；；2i°-1的末尾數(shù)字，

由C；；2"-1=1023可得，末尾數(shù)字為3.

故選：B

5.在正方體ABC。—A4GR中，。為四邊形4月。］2的中心，則下列結(jié)論正確的是()

A.AO//BQB.AO-LBD

C.平面493,平面C。。D.若平面AO3平面cor>=/，則///平面

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合圖形可知AO,3G異面，可判斷A；通過證明50工平面ACG4,可判斷B；

記A瓦CD的中點(diǎn)分別為E,尸，然后證明NEO尸是平面A05和平面COD的夾角或其補(bǔ)角，由EOF為

等腰三角形可判斷C；由A3///,ABcBQD=B可判斷D.

詳解】A選項(xiàng)：由正方體性質(zhì)易知，ABIICXDX,所以A,5,C，2四點(diǎn)共面，

由圖知，AO1平面A3G2=A,直線5G在平面A3GA內(nèi)，且不過點(diǎn)A,

所以AO,3G異面，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：因?yàn)锳4，平面A3CD,BDu平面A3CD,所以明,臺。，

又A3CD為正方形，所以BDLAC,

因?yàn)锳&AC=A,AA，ACu平面ACGA,所以3￡)上平面ACGA,

又AOu平面ACGA，所以B正確；

C選項(xiàng)：記平面AO3［平面COD=/,

因?yàn)锳6//CD,ABa平面COD,CDu平面CO。，所以A3//平面COD,

又ABu平面A08,所以A3/〃，所以CD/〃，

記A瓦CD的中點(diǎn)分別為E,F,

由正方體性質(zhì)可知，OA=OB,所以O(shè)ELAB,所以O(shè)E，/,

同理，OF±1,所以ZEO是平面A08和平面C8的夾角或其補(bǔ)角,

又對稱性可知，_￡0尸為等腰三角形，故NEOF為銳角，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：因?yàn)锳3///,A5cBGD=B,

所以/與平面3G。相交，D錯(cuò)誤.

6.已知cos(a-,tantz-tan/?=—,貝!]?；+/=()

'/64

7171兀2兀

B.—D.

46T

【答案】A

【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出sinasin/?、cosacos/7,

再求出cos(a+〃)即可.

【詳解】因?yàn)閏os(tz-/?)，tancr-tan尸=(,

cosacos〃+sinasin〃=°

所以＜.n,，

sinasmp_1

cosacos[34

c2

costzcosP=~

解得《

sinasmB=—

6

所以cos(o+6)=cosacos尸一sinosin'二一,

又所以a+乃€（0,兀），所以&+夕=三.

故選：A

7.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知雙曲線C：.—方=1（。＞6〉0）的右焦點(diǎn)為歹（6,0）,尸為C上一

點(diǎn)，以0尸為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)。的M,N兩點(diǎn).若|9卜歸叫=《，則C的離心率

為（）

A.B,C.-D.亞

232V

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合題意可得9,OM,PN工ON,即可借助點(diǎn)到直線的距離公式表示出,

即可計(jì)算出a的值，即可得離心率.

22

【詳解】設(shè)/（%兀），有其—當(dāng)=1,即/需_“2y

ab

h

由題意可得RVfLOM、PNLON,漸近線方程為y=±-x,

a

故四.四=21b%-研|_.x：_々2匐_42匕2_g

M+b之―/+"一丁一M

又E（J?,0）,故°=石，則片尸=/（5—/）=6,即/—54+6=0,

解得4=2或/=3,則k=3或方2=2,由a>6>0,

故儲=3,Z?2=2,即a=6,則e=上=

aV33

故選：B.

8.已知一個(gè)圓臺內(nèi)接于球。（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1

和2,且其表面積為（5+3后）兀，則球。的體積為（）

A32兀已入「20下n口5島

A.-----B.3兀C.---------D.-------

333

【答案】C

【解析】

【分析】利用圓臺表面積得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計(jì)算體積.

【詳解】設(shè)圓臺母線長為/,上、下底面半徑分別為弓和弓，

則圓臺側(cè)面積為5=兀（4+幻/=兀。+2）/=3兀/,

上、下底面面積分別為兀和4兀.

由圓臺表面積為（5+3血）兀，得/=血，

所以圓臺高力=J/?-（&-4J=，2-1=1，

設(shè)球。半徑為A,圓臺軸截面A3CD為等腰梯形，且AB=4,CD=2,高為1.

作于點(diǎn)/,

設(shè)。暇=%,由片+/?2=2＜々2,則球心。在圓臺外部.

R'4+爐L

則有《,,、2,解得X=LR=逐，

R2=I+（I+X）~

所以球。的體積為型Ya.

3

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.射擊作為一項(xiàng)綜合運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時(shí)保持冷靜和專注.

第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊(duì)以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并創(chuàng)

造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）如下：

黃雨婷韓佳予王芝琳

第4輪105.5106.2105.6

第5輪106.5105.7105.3

第6輪105106.1105.1

則下列說法正確的是

A.三輪射擊9項(xiàng)成績極差為1.5

B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪

C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定

D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差判斷選項(xiàng)A；計(jì)算各輪總成績判斷選項(xiàng)B,由數(shù)據(jù)波動(dòng)性判斷選項(xiàng)C,

計(jì)算平均值判斷選項(xiàng)D.

【詳解】三輪射擊9項(xiàng)成績極差為106.5-105=1.5,A正確；

第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，B正確；

王芝琳的射擊成績波動(dòng)小，最穩(wěn)定，C錯(cuò)誤；

黃雨婷的平均成績約為105.67,韓佳予的平均成績?yōu)?06,王芝琳的平均成績約為105.33,D正確.

故選：ABD.

10.已知拋物線。：丁=22%（夕＞0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在C上，若定點(diǎn)滿足

\MF\=2\OF\,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=—2B.△尸A3周長的最小值為5

IT

C.直線〃口的傾斜角為一D.四邊形。尸”/不可能是平行四邊形

6

【答案】BD

【解析】

【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出P,求出拋物線方程,

即可判斷A、C,根據(jù)拋物線的定義判斷B,求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷D.

【詳解】拋物線0：丁=20%儲>0）的焦點(diǎn)為/^^0],準(zhǔn)線方程為尤=-光，

又點(diǎn)M（2,@滿足陽典=2|沖，所以J\_21+（0-可=2xg

即3P2+8”—28=0,解得”=2或°=一?（舍去），

所以拋物線C：V=4x,則準(zhǔn)線方程為x=—1,焦點(diǎn)為歹（1,0）,故A錯(cuò)誤；

過點(diǎn)尸作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為“，由拋物線的定義可知|。引=歸同，

所以=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\MF\+\PH\=\PM\+\PH\+2>\MH\+2=5,

當(dāng)且僅當(dāng)M、P、H三點(diǎn)共線時(shí)取等號，

所以△期3周長的最小值為5,故B正確；

因?yàn)榕笆?等芋=6,所以直線上田的傾斜角為:，故C錯(cuò)誤；

過點(diǎn)用作。廠的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,

3

)2=4-xX———

即《二，解得〈「4,即P

y=W

J=6

所以四邊形OPMF不是平行四邊形，故D正確.

TT

故選：BD

11.已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,/(邛)+町=4(丁)+才(％)，則下列命題正確的是()

A.y(x)為奇函數(shù)B.7(%)為R上減函數(shù)

/1\110

C.若"0,則引一+—“X)為定值D.若/⑵=2,則Z/(2&)=2046

\XJxk=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x=y=l求出/(I),令X=y=-1求出再令y=-l即可得到函數(shù)的奇偶性，從而判

斷A、B,令y=：(xw0)即可判斷C,令y=2結(jié)合42)=2,即可得到/(2")=2〃，從而判斷D.

【詳解】因?yàn)閒(xy)+xy=^(f(y)+yf(x),

令x=y=l,可得/(1)+1=/(1)+/(1),則/。)=1，

令X=y=_l,可得=則/(_0=_1,

令x=y=0,可得/(0)=0,

令y=-L,可得/(—x)—x=W(T)—/(x)，所以/'(—x)=—/(X),所以/(x)為奇函數(shù),故A正

確；

因?yàn)?(-0=-1、/。)=1，所以/(%)不可能為R上減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

令y(xwO)可得++,所以燈,故C正確；

令y=2可得/(2X)+2X=V(2)+2/(X),因?yàn)?2)=2,

所以〃2力=2〃力，所以〃4)=2〃2)=22,/(8)=2/(4)=23),

所以/（2"）=2",

所以2/（2丘）=21+22++21。=2（；；）=2046,故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動(dòng),

每個(gè)鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.

【答案】96

【解析】

【分析】由特殊元素優(yōu)先安排，則先安排A地，后安排剩余4個(gè)鄉(xiāng)村，再結(jié)合分步乘法求解即可.

【詳解】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村4則A地有C：種選派方法，

第二步，其他4個(gè)鄉(xiāng)村有A：種選派方法，所以共有C；A：=96種選派方法

故答案為：96.

13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這

條線稱之為三角形的歐拉線.已知4（0,2）,8（4,2）,C（a,—1）,且1aA為圓好+丁+及+分=0內(nèi)接

三角形，則一ABC的歐拉線方程為

【答案】y^l##y-l=Q

【解析】

【分析】首先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出E、F,從而得到圓心坐標(biāo)即二ABC的外心坐標(biāo)，再確

定，ABC的重心坐標(biāo)，即可得解.

22+2F=0E=-4

【詳解】依題意《22，解得《

42+22+4E+2F=0F=—2’

所以圓^+丁―4x—2y=0,即（x—2『+（y—I）?=5,故圓心坐標(biāo)為（2,1）,

即,ABC的外心坐標(biāo)為（2,1）,又.ABC的重心坐標(biāo)為

又點(diǎn)（2,1）、[一，1]

均在直線y=l上，所以一ABC的歐拉線方程為y=L

故答案為：y=i

22

14.在_ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知A,B,C成等差數(shù)列，a+c=4-則

面積的最大值是,(4sinAsinC+3)Z?2=.

【答案】①.B②.12

2

【解析】

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得2,結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運(yùn)用正

弦定理可得sinA='電，sinC=-.由余弦定理可得廿=4—ac，代入求解即可.

2b2b

【詳解】由題意知，23=A+C,

又A+_B+C=TI,所以8=5,

又4+°2=4，a2+c2>2ac，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

所以ac<2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號，

所以5人*8,=—GcsinB=—acsin—=^-tzc<,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號.

AABC22342

故.ABC面積的最大值為且.

2

因?yàn)樯弦?'='一,B」,

sinAsinCsinB3

*2.asmBy/3a.-csinBy/3c

所以sinA4=--------=------，smC=---------=------，

b2bb2b

所以4sinAsinC=4x色x^=華，

2b2bb1

7C

由余弦定理得b1-a1+C1-2accosB=4—2accos-=4-ac

3f

所以(4sinAsinC+3)/=莘+3)及=3ac+3b2=3ac+3(4-ac)=12.

故答案為：—；12.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（%）=（2]-。）111（%-1）+/?（。力€2在了=2處的切線方程為3*-丁一2=0

（1）求a,b的值；

⑵判斷的單調(diào)性.

【答案】（1）a—1,b—4

（2）“力在（1,+8）上單調(diào)遞增

【解析】

【分析】（D借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

（2）借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.

【小問1詳解】

_f（x）=21n（x—l）+^^,由題意可得/'（2）=3,/（2）=3x2-2=4,

X-1

則/''（2）=21n（2—l）+（2x2—a）?'=0+4—a=3,可得a=l,

2—1

/（2）=（2x2-6z）ln（2-l）+/?=/?=4,

即a=1,b=4；

【小問2詳解】

7Y_i

/(x)=(2x-l)ln(x-l)+4,/,(x)=21n(x-l)+^-^(%>1),

x—\

/、?Y-1,、

令g(x)=r(x)=21n(x-l)+------(%>1),

x-l

22(x—1)—(2%—1)2x—3

:

則g'(x)=一+~=~"2，

x-1x-1)

當(dāng)I，+s

xe1,|時(shí),g'(x)<°，當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,

故g（x）在上單調(diào)遞減，在[T，+8J上單調(diào)遞增,

即g（x）=r（x）2r=4-21n2>0,

故了（九）在（1,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

16.2023年10月10日，習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水

處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85,2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品

率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時(shí)響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保

的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引

進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1,2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生

產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.

（1）現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；

（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時(shí)，需幾臺同型號的設(shè)備同時(shí)工作.現(xiàn)有

兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價(jià)格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則

2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方案

二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時(shí)工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)

用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個(gè)方案，并說明理由.

【答案】（1）—

10

（2）選擇方案一，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)全概率計(jì)算公式求解即可.

（2）計(jì)算兩種不同方案的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)期望的意義比較期望值的大小即可判斷.

【小問1詳解】

設(shè)3="任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，

4="產(chǎn)品為第i號生產(chǎn)線生產(chǎn)"G=L2,3）,

由全概率公式得：

P（B）=P（A）P（BIA）+P（4）P（B14）+P（A3）P（BIA）

9

=20%x0.85+20%x0.8+60%x0.95=—

10

則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：

-91

P（B）=1-P（B）=1--.

1010

【小問2詳解】

選擇方案一，理由如下：

設(shè)從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為X元，

則X可?。?0000,90000,

9981

由(1)知：P(X=60000)=—x——=——

1010100

91191119

P(X=90000)=—x—+—x—+—x—=——

101010101010100

所以E(X)=60000x—+90000x—=65700.

100100

設(shè)從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為y元，

貝UE(Y)=23000x3=69000,

因?yàn)镋(X)<E(F),

故選擇方案一比較合適.

17.如圖，三棱錐P—ABC中，平面R4C,BCM，AC=3,PB=下,點(diǎn)E滿足AE=2EC，

PE=1.

（1）證明：平面？BE_L平面ABC；

（2）點(diǎn)。在A3上，且5ELCD,求直線與平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

5

【解析】

【分析】（1）首先由線面垂直的性質(zhì)得到尸E,BCVPC,即可說明PELAC,從而得到PEL

平面ABC,即可得證；

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?cl平面PAC,PE,PCu平面PAC,所以BCLPE,BCVPC,

又點(diǎn)E滿足AE1=2￡C，AC=3,所以CE=1,

在Rt-PBC中PC=S]PB2-BC2=V2，

在,PCE中，PE=CE=1,所以PC?=尸石2+。石2,所以

又ACBC=C,ACBCu平面ABC,所以PE，平面ABC,

又PEu平面PBE，

所以平面？BE，平面ABC

【小問2詳解】

由（1）可知小，平面ABC,QEu平面PAC,所以平面平面ABC,

平面P4C內(nèi)過點(diǎn)C作己〃PE,則C平面ABC,又3cl平面PAC,ACu平面PAC,所以

BC±AC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）,4（0,3,0）,B（A/3,0,0）,￡（0,1,0）,P（0,l,l）,

所以B4=（O,2,—l）,AB=（73,-3,0）,C4=（O,3,O）,

設(shè)AD=tAB=（6?,-37,0）（te[0,1]）,

所以CD=CA+AD=（A/^,3—3/,0）,BE=^/3,l,oj,

因?yàn)?E_LCD,所以BE-CD=0,即—6xV^+lx（3—37）+0x0=0,解得/=g,

（由3）

所以。為AB的中點(diǎn)，則?！?-,0,

[22J

（由3）

設(shè)平面PC。的法向量為加=（羽％z）,又CD=^-,-,0,CP=（0,1,1）,

I22J

3

m-CD=——x+—y=0//-一、

則j22，,取加=（J3,—1』），

mCP=y+z=0

設(shè)直線PA與平面PCD所成角為e,

|m-PA||0x73+2x（-l）+（-l）xl|

3

貝ijsin"

|m|-|pA|45x455

3

所以直線P4與平面PC。所成角的正弦值為g.

ZAP

18.已知橢圓E：=+2=1(?〉?！?)和圓C：x2+y2=1,C經(jīng)過E的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8為E的右頂點(diǎn)

ab

和上頂點(diǎn)，C上的點(diǎn)。滿足

3

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/與C相切于第一象限的點(diǎn)P,與E相交于M,N兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為。.當(dāng)歸。|最大

時(shí)，求/的方程.

2

【答案】(1)—+y2=l

2

(2)X+V2J-A/3=0

【解析】

【分析】(1)C經(jīng)過E的焦點(diǎn)及點(diǎn)。在C上，列方程組求出可求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線方程，與橢圓和圓聯(lián)立方程組，求RQ兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出|PQ|,利用基本不等式求取最小值時(shí)

參數(shù)的值，得/的方程.

【小問1詳解】

依題意得4/7,0),3(0/)，由=得

代入C的方程k+丫2=1中，得"+以=i,①

99

又C經(jīng)過E的焦點(diǎn)，得c=l,即/=i，②

由①②解得a=A/2,b=1

2

所以E的方程為±r+y2=i.

2

【小問2詳解】

解法一：依題意，設(shè)/的方程為,=履+人（左〈0,與0）,河（石,%）,以%2，%），0（%0，%），

則有廣自、,_%+%V_々+再

為一^^,龍廠不"

\b\1

由/與C相切，得/r=1,即/?2=左2+],

“?2+1

4+才=1

2

又《:,兩式相減得+（%+%）（%-%）=0,

2

三+必=1

I272

1>0」2+%、1

%=

2（%—%）2k'x2+再2k

則直線。。的方程為y=-±x,

乙K

y=kx+b

2kbb

聯(lián)立方程組《1,解得見=-2，y2

V=------X2k+l°~2k+l

2k

及△OPQ中，|QP|=1,當(dāng)|PQ|最大時(shí)，|0Q|最大,

2（4左2+1,2（4左2+1）（左2+1）

b444+542+1

國=心|力?（242+1）2V（242+1）2

2k1+\4/+4左2+1

\V「4/4+E4k二2+1=I11+4F+\；+4-,

由4左2+^+422小4左2.十+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)上=-e時(shí)取等號,

2

得1。。區(qū)?，即|。9的最大值為手，此時(shí)左=_#,b=瓜

~T9

故/的方程為x+>/2y—y/3=0.

解法二：

依題意，設(shè)/的方程為％=四+”（加（0,"）0）,

M（菁'%）,'（%'%），Q（九0，%），尸（七，%）,

x=my+n

2

聯(lián)立方程組《爐，化簡得（加+2）y?+2mny+zi-2=0,

—+V=1

I2,

2mnmn

由A>0,得療一1+2>0,

m2+2，%=一m2+2

x=my+n

聯(lián)立方程組<化簡得+1）丁+2mny+n2—1=0,

必+/=1

由A=0,得“2—療=1，%=-一一

m+1

2—m

\PQ\=yll+m|y0—y3\=Jl+加2|mn|

m2+2

又（一根）+[—、]220,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=—夜時(shí)取等號，則|PQ歸東=孝，

當(dāng)|PQ|最大時(shí)，m=-亞,n=6,

故I的方程為x+應(yīng)y一百=0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去尤（或y）建立一元二

次方程，然后借助根與系數(shù)