高中一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)講義第五章平面向量

第五章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))平面向量第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.[小題體驗(yàn)]1．下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A．若a∥b，則a＝b B．若|a|＝|b|，則a＝bC．若|a|＝|b|，則a∥b D．若a＝b，則|a|＝|b|答案：D2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k()A．共線 B．不共線C．共線且同向 D．不一定共線答案：D3．若D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→)) B．－eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))C．eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→)) D．eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))答案：A4．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.答案：－eq\f(1,3)1．在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．3．要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．[小題糾偏]1．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝________.解析：|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2.答案：22．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的________條件．解析：若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即a＝λb，且λ>0，故q?/p.∴p是q的充分不必要條件．答案：充分不必要eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.2．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段B．若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量C．長(zhǎng)度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等解析：選C選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念，故正確；選項(xiàng)B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項(xiàng)C中是共線向量，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等，故正確．3．(易錯(cuò)題)給出下列命題：①若a＝b，b＝c，則a＝c；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.②正確．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).③不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．④不正確．考慮b＝0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②.答案：①②[謹(jǐn)記通法]向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量：方向、長(zhǎng)度．(2)非零共線向量：方向相同或相反．(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(4)零向量：方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0.(5)相等相量：方向相同且長(zhǎng)度相等．如“題組練透”第3題易混淆有關(guān)概念．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2018·武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up7(→)) B．2eq\o(OM,\s\up7(→))C．3eq\o(OM,\s\up7(→)) D．4eq\o(OM,\s\up7(→))解析：選D因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝2eq\o(OM,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝4eq\o(OM,\s\up7(→)).2．(2018·溫州模擬)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(CD,\s\up7(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))解析：選B因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(CD,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).又M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)).3．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up7(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up7(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．解析：eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[謹(jǐn)記通法]1．平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up7(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：選D設(shè)eq\o(CO,\s\up7(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up7(→))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋yeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋y(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).2．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．解：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3a－3b，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb同向，∴存在實(shí)數(shù)λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1，))又∵λ>0，∴k＝1.[由題悟法]共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn)．[即時(shí)應(yīng)用]1．已知向量e1與e2不共線，且向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up7(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1解析：選A因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.2．如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，連接BG，CG，得到?ABGC，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因?yàn)閑q\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，則λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：選B根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則可知，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，故λ＝2.2．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：選D依題意得eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝2(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))，即eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對(duì)解析：選C由已知，得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→)).又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四邊形ABCD是梯形．4．(2018·揚(yáng)州模擬)在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值是________．解析：如圖，因?yàn)閑q\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是eq\o(BN,\s\up7(→))上一點(diǎn)．所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，則m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：如圖，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－a－b.答案：b－a－a－b二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：選Aeq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝3a＋6b＝3eq\o(AB,\s\up7(→)).因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AD,\s\up7(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b)).整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).3.如圖，已知|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))的夾角為120°，eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA,\s\up7(→))的夾角為30°，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(1,2) D．2解析：選D過(guò)C作OB的平行線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.由題意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))＝μeq\o(OB,\s\up7(→))，∴λ|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2μ|eq\o(OB,\s\up7(→))|，即λ＝2μ，故eq\f(λ,μ)＝2.4．(2018·遂昌期初)已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且起點(diǎn)在同一點(diǎn)上，若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)t的值為()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：選D由題可設(shè)eq\f(1,3)(a＋b)＝λa＋μtb，因?yàn)閍，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，所以有λ＋μ＝1.所以eq\f(1,3)＝λ，μ＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)t，解得t＝eq\f(1,2).5．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B∵D為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))，又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OC,\s\up7(→))，∴O為CD的中點(diǎn)，又∵D為AB中點(diǎn)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.6．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，eq\o(AM,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，eq\o(BC,\s\up7(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，則|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝________.解析：由|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|可知，eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2.答案：28．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯(cuò)；eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正確．∴正確命題為②③④.答案：39．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．解：(1)證明：由已知得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→)).又∵eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12.10．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4eq\o(BP,\s\up7(→))＋5eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－a，eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－b，又3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4eq\o(BP,\s\up7(→))＋5eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，∴3eq\o(AP,\s\up7(→))＋4(eq\o(AP,\s\up7(→))－a)＋5(eq\o(AP,\s\up7(→))－b)＝0，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b.設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝teq\o(AP,\s\up7(→))(t∈R)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)ta＋eq\f(5,12)tb.①又設(shè)eq\o(BD,\s\up7(→))＝keq\o(BC,\s\up7(→))(k∈R)，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－a，得eq\o(BD,\s\up7(→))＝k(b－a)．而eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝a＋eq\o(BD,\s\up7(→)).∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＝1－k，,\f(5,12)t＝k，))解得t＝eq\f(4,3).代入①得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1.如圖，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AF,\s\up7(→))＝xa＋yb，則(x，y)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))解析：選C令eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BE,\s\up7(→))，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up7(→))；令eq\o(CF,\s\up7(→))＝μeq\o(CD,\s\up7(→))，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋μeq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)μeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up7(→)).由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,2)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).故選C.2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，則μ的取值范圍是________．解析：由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵點(diǎn)E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋m(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝m(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))，即eq\o(BP,\s\up7(→))＝meq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(BP,\s\up7(→))與eq\o(BA,\s\up7(→))共線．又∵eq\o(BP,\s\up7(→))與eq\o(BA,\s\up7(→))有公共點(diǎn)B，∴A，P，B三點(diǎn)共線．(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(BP,\s\up7(→))＝λeq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))．又eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→)).故有meq\o(OA,\s\up7(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))－λeq\o(OB,\s\up7(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up7(→))＝0.∵O，A，B不共線，∴eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[小題體驗(yàn)]1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，則m的值為_(kāi)_____．答案：－32．(教材習(xí)題改編)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝________.答案：(－6,19)3．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋n B．因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.答案：－11．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.[小題糾偏]1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________.答案：02．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－3eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1.如圖，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AO,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b解析：選D∵在三角形ABC中，BE是AC邊上的中線，∴eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵O是BE邊的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.2．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→)).若eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，則x＝________；y＝________.解析：∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).答案：eq\f(1,2)－eq\f(1,6)3．(易錯(cuò)題)如圖，以向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(ON,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.[謹(jǐn)記通法]用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第3題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b為()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)解析：選A由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)，故選A.2．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：選Aeq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up7(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up7(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up7(→))的坐標(biāo)．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．[謹(jǐn)記通法]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up7(→))＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．答案：(2,4)2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝eq\f(3,2).[由題悟法]向量共線的充要條件(1)a∥b?a＝λb(b≠0)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題時(shí)一般利用(2)比較方便．[即時(shí)應(yīng)用]1．(2018·麗水質(zhì)檢)已知a＝(1，－2)，b＝(x,1)，若(a＋b)∥b，則實(shí)數(shù)x的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：選A因?yàn)閍＝(1，－2)，b＝(x,1)，所以a＋b＝(x＋1，－1)．因?yàn)?a＋b)∥b，所以x＋1－(－x)＝2x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,2).2．(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，則λ＝________.解析：因?yàn)閙＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：03．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：∵a與b方向相反，∴可設(shè)a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up7(→))＝()A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析：選B由題意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－2eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三點(diǎn)共線，則m的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，∴m＝1.故選A.3.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：選A由題意知eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))，又eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u(píng)＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2018·溫州十校聯(lián)考)已知a＝(－3,1)，b＝(－1,2)，則3a－2b＝()A．(7,1) B．(－7，－1)C．(－7,1) D．(7，－1)解析：選B由題可得，3a－2b＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m＝(eq\r(3)b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，則cosA的值等于()A.eq\f(\r(3),6) B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：選C由m∥n，得(eq\r(3)b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得eq\r(3)sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA?eq\r(3)sinB·cosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝eq\f(\r(3),3).3．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于點(diǎn)C，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)a等于()A．2 B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,3)解析：選A設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))∴C(3,3)．又∵點(diǎn)C在直線y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.4．已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))(λ∈R)，且點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，則λ的值為()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：選B設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).故選B.5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.