重慶市2023-2024學(xué)年高二年級上冊1月期末考試 數(shù)學(xué) 含答案

2023年秋高二（上）期末聯(lián)合檢測試卷

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)測試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上?？忌J真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆

在答題卡上書寫作答。若在試題卷上作答，答案無效。

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.直線6x+l=0的傾斜角為（）

2.在等差數(shù)列{?！皚中，。4=8,“5="2+%，則4=（）

A.-2B.1C.2D.4

22

3.若方程----匕一=1表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)機的取值范圍是（）

m+2m-3

A.（-2,0）B.（0,3）C.（-2,3）D.（-oo,-2）IJ（3,+oo）

4.正方體ABC。-4耳￡。中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（）

A.{AB,AC,AD}B.^AB,AD,AA^C.{AB,4耳,A。；}D.^AB^AC^AD^

5.古代“微塵數(shù)”的計法：“凡七微塵，成一窗塵；合七窗塵，成一兔塵；合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵,

成一牛塵；合七牛塵，成于一蝸；合于七蝸，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大

麥，成一指節(jié)；累七指節(jié)，成于半尺……”這里，微塵、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蝸、虱、芥子、大麥、指

節(jié)、半尺的長度構(gòu)成了公比為7的等比數(shù)列.那么1指節(jié)是（）

A.7’兔塵B.7,羊塵C.J兔塵D.，羊塵

6.已知直線/:%—切―1=0與拋物線C:/=4x交于A,2兩點,若線段A3的中點為（毛,2）,則|AB|=（

A.4B.6C.8D.10

7.正三棱柱ABC與G的所有棱長均相等，E,F分別是棱A耳,CC1上的兩個動點，且與E=CE,則異

面直線BE與AF夾角余弦的最大值為（）

111

A.1B.-C.D.-

234

8.己知月是橢圓工+匕=1的左焦點，過橢圓上一點尸作直線與圓(%-1)2+產(chǎn)=1相切，切點為0,則

98

|PQ|—|P制的取值范圍是()

A.[V3-4,715-2]B.[V5-4,A/17-2]C.[-1,13]D.[1,15]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.設(shè)九eN*,已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則()

A.｛24｝一定為等比數(shù)列B.｛“『｝一定為等比數(shù)列

C.當(dāng)〃>2時，｛4—a,-｝一定為等比數(shù)列D.當(dāng)〃>2時，可能為等比數(shù)列

10.直線MX-y+l—m=0與圓+y2=4相交，則弦長可能為()

A.2B.3C.VioD.5

11.類比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中的一個平面的方程，如果平

面a的一個法向量”=(a,Z?,c),己知平面a上定點片(七,％,Z。)，對于平面a上任意點PCx,y,z),根據(jù)

PPQ_1_"可得平面a的方程為a(x-Xo)+Z2(y-yo)+c(z-Zo)=O.則在空間直角坐標(biāo)系。一方y(tǒng)z中，下列

說法正確的是()

A.若平面a過點(1,1,1),且法向量為(1,1,1),則平面a的方程為x+y+z—3=0

B.若平面a的方程為6x—2y—2z—3=0,則。=(—3,1,1)是平面a的法向量

C.方程3尤-2y=0表示經(jīng)過坐標(biāo)原點且斜率為|■的一條直線

D.關(guān)于尤，y,z的任何一個三元一次方程都表示一個平面

22

12.已知點N是雙曲線C：土—乙=1上不同的兩點，則()

49

33

A.當(dāng)N分別位于雙曲線的兩支時，直線的斜率左e

2,2

33

B.當(dāng)N均位于雙曲線的右支上時，直線MW的斜率上e

2,2

C.線段MN的中點可能是（2,2）

D.線段MN的中點可能是（1,2）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線4:x+_y-l=0與4：（2M一3）為一根y+2=0,若％〃I2,則實數(shù)機的值為.

14.己知耳，工是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P,使得歸耳|=閨舄|=2歸行|,則橢圓的離心率為

*、[2tz,n為奇數(shù)

15.設(shè)“eN，數(shù)列｛qJ滿足a“+i="生,田生，若&=12,則q=_________.

[an+2,〃為偶數(shù)

16.已知圓C:（x—。尸+⑶―a）?=1,圓D:（x—1—ZcosCf+（_y+3—2sin8）2=1,若存在0e[0,2兀）使

得兩圓有公共點，則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

記數(shù)列｛4｝的前n項和為Sn,已知Sn=2rr-3n+l.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵在數(shù)列｛4｝中，從第二項起，每隔三項取出一項（4,4,%）,.）組成新的數(shù)列也｝，求數(shù)列也｝的前"

項和7；.

18.（12分）

設(shè)點是橢圓。：必+1_=1的左、右頂點，動點尸使得直線P&與P4的斜率之積為2,記點P的軌跡

為「

（1）求「的方程；

（2）設(shè)過原點。的直線/與動點P的軌跡「交于A,8兩點，與橢圓C交于E,尸兩點，若|A5|=2|Eb|,

求直線/的方程.

19.（12分）

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,底面A8C。是平行四邊形,點E,E分別在棱AB,PC上,且滿足EB=2AE,

FC=2PF.

p

(1)證明：EF〃平面PAD；

(2)若平面PC。，底面ABC。，/XABr)和△尸CD為正三角形，求直線EF與底面ABC。所成角的正切值.

20.(12分)

己知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，為。4=牝，。3=27.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

______________n___________記數(shù)列｛a｝的前n項和為工,,若對于任意九eN*都有方＜無，求實數(shù)％的

(%+1-3)(%+2-3)

取值范圍.

21.(12分)

在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”

P—ABCD中，側(cè)棱底面ABC。，AB=AD=PA=2.記的重心為G.

(1)求點G到平面PBC的距離.

(2)求平面GBD與平面尸8C夾角的大小.

22.(12分)

己知雙曲線C：土-丁=1的漸近線為/112,雙曲線C與雙曲線C的漸近線相同，過雙曲線C的右頂點的直

4-

線與在第一、四象限圍成三角形面積的最小值為8.

(1)求雙曲線C'的方程；

(2)點尸是雙曲線C'上任意一點,過點尸作PA〃/1依次與雙曲線C和4交于A,8兩點,再過點P作PE〃/2

依次與雙曲線C和乙交于E,P兩點，證明：^為定值.

\BF\

2023年秋高二（上）期末聯(lián)合檢測試卷

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1~8BCDAACDA

7題解析：設(shè)AB=2,4E=CF=//e[0,2],以A為原點，方向分別為x,z軸正方向建立空間直

角坐標(biāo)系，可得B(2,0,0),E(2—t,0,2),^=(T,0,2),A(0,0,0),F(l,^3,t),AF=(1,73,t),故所求角的

|3E-g

余弦值為cos0=一一當(dāng)7=2時取"=

\BE\-\AF\產(chǎn)+4t+4-4

8題解析：設(shè)F2為橢圓的右焦點，由題知a=3,c=L|PQ|=，^"I,|P4|=6—|P用，故

|PQ|-|Pf；|=yl\PF2f-l-（6-\PF2\）,令x=|P￡j,九e[2,4],|PQ|—|PK|=x+J7W—6,xe[2,4M，

函數(shù)y=羽y=1工2-1均遞增,故丁=尤+席=i—6遞增，所以|PQ|-|P耳上[6-4,&?一2],選A.

二、選擇題

9.ABD10.BC11.ABD12.AD

3

12題解析：雙曲線漸近線為'=±]九，當(dāng)M,N分別位于雙曲線的兩支時，直線MN較漸近線更平緩，故

左e[—|'|]，當(dāng)〃，"均位于雙曲線的右支上時，直線MN較漸近線更陡，故左8,—m1]|，+8]，

所以A對B錯;

[22

工一絲=1

4Q

記W（內(nèi),％）,7\^（%2，%），中點「（％，％），由私N是雙曲線C上的點，有＜,兩式相減可得

二—江=1

、49一

2222][Q

玉J一，9y2=0,當(dāng)玉w/時，有工-樸?k°p=0=k?k0p=丁

99

對于C,后「=1,=＞左="肱V:y—2=]（x—2）與雙曲線方程聯(lián)立可知直線MN與方程無交點，故C錯;

9

對于D,k=2,=^>k=-E,故此時M,N分別位于雙曲線的左右兩支，故D正確.

OP8

三、填空題

2

13.114.-15.216.[-3,1]

3

15題解析：&=2%=2(%+2)=2(2al+2)=4q+4=12,所以q=2.

16題解析：C(tz,a),D(1+2cos0,-3+2sin0),故點C在直線y=x上，點￡)在以M(l,—3)為圓心，2為半

徑的圓上，故圓。上的點均在以M為圓心，3為半徑的圓上及其內(nèi)部，由題，即為圓M:(x—lf+(y+3)2=9

與圓C有交點，即3—1W|MC區(qū)l+3n2wj(a—l)2+(a+3)2W4,解得ae[—3,1].

四、解答題

17.(10分)

解：(1)由題：Sn=2〃2—3〃+1,

當(dāng)〃22時，有S“_i=2(〃—1)2—3(〃—1)+1,兩式相減可得：a〃=4〃—5,

f0,n=l

當(dāng)〃=1時，S]=%=0,不滿足上式，故%=(；5分

[4〃-5,n>2

(2)由題可知仇=〃4/2,由于〃￡N*,故%〃_2=4(4〃-2)-5=16〃-13,4=4=3,

3+2)”(3+16H-13)XH29zv

故刀，=-----乙—=-----------------=8n-5n1i0n分

22

18.(12分)

解：⑴由題意得A(T，O)，4(I，O)，設(shè)動點尸(x,y)，則動點尸不與點A，&相同，即x，±1,.?.直線24

的斜率為上，直線班的斜率上，

x+1x-1

2

由題意得上義上一=2,即V=2(必一1)”2一乙=1,

即動點尸的軌跡「的方程為：X2-y=1(%^±1)5分

(2)軌跡「是以原點。為中心的雙曲線，.?.軌跡「、橢圓C、直線/都關(guān)于原點。中心對稱，由A3=2EF,

則Q4=2OE,當(dāng)點A,E在同一象限時，則點E為。4的中點，設(shè)點￡(%,%)，直線/的斜率為左=當(dāng)，

則4(2%,2%)，

26

%2=靖-4%2=「.年+y2=22即6x2=5y2,:.k2=^=-,

2/2+2,82,208x0-4y0,00

%5

即左=±等，二直線/的方程為y=土孚x.12分

19.（12分）

解：（1）在△PCD中過點P作FG〃CD并交于點G,

CDPD3

由砂=2AE得AE=工AB,

3

ABCD是平行四邊形，A旦幺CD,二AR幺/G,

.?.凡￡尸6是平行四邊形，，二石尸〃46,而AG在平面外。中，

.?.跖〃平面抬。；5分

（2）在平面PC￡＞中過點尸作FOLCD于點。，連接。E,

若平面PCD_L底面ABCD.?.尸O_L底面4BC。，

即ZFEO為直線EF與底面A8CD所成角，設(shè)P尸=a,

則AB=CD=PC=3。，在放△FOC,FC=2a,NOCF=6。。,:.FO=耳,由題意知底面ABC。是菱

形，AD=3a,AE=a,DO=2a,/DAB=60°,

,—GaJ39

可求得石0=屈。，在RtAEFO,tanZFEO=4=^=—,

V13a13

J39

直線EF與底面ABCD所成角的正切值*.12分

13

20.（12分）

解：（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的首項為對,公比為g,由題意得

[245

aYq=a{q6=3

9nv

axq—27q=3

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為4=3〃5分

63

(2)bn=

:?b"

11111

--------------1---------------1-H----：----

32-333-333-334-33,,+1-3

11111

-----------------------------

32-33"+2-363,i+2-36

《＜久恒成立，可知;12工.

12分

6

21.(12分)

解：（1）以點A為原點，為x軸，為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),￡>(2,0,0),P(0,0,2)

所以重心月=(0,2,-2),8右=(2,0,0),68=[-：,2,—^

設(shè)平面PBC的法向量為加=（。,瓦C）

a=0

PB'm=2b-2c=0

n<b=l=>m=(0,1,1)

BCm=2a=0

c=l

1,2,一|10,1/3行

|G5?加|1—

所以點G到平面PBC的距離為:6分

1^1V23

(2)GD=,設(shè)平面GBD的法向量為n=（%,y,z）

22

GB=——x+2y—z=0x-1

33=

y=1n〃=(1,1,2)

42

GD-n=—x——z=02二2

33

設(shè)平面GBD與平面PBC的夾角為氏

m-n

則cos。=,:.0=3O°.12分

\m\\n\A/2X5/62

22.(12分)

22[

解：(1)由已知可設(shè)雙曲線C':士一二=1?！?),其漸近線為y=±—X,右頂點為(2〃,0),設(shè)過右頂點

4tt2

y=k(x-2出)

的直線斜率為匕由題意得上〈一工或上〉工

,直線方程為y=—2〃)，由＜1得直線與4

22V=±-x

[2

L“2

8k2dt10Qt

在第一、四象限的交點的縱坐標(biāo)之差為，圍成二角形面積為一x2yftx——=.......—

4F-124^-14」

k2*

，當(dāng)斜率不存在時，圍成三角形面積的最小值為2/=8,

22

；.1=4,故雙曲線C'的方程為工—匕=1；