2024屆浙江省紹興一中高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆浙江省紹興一中高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.以下關(guān)于/（x）=sin2x—cos2x的命題，正確的是

A.函數(shù)/（九）在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.直線(xiàn)x=J需是函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

O

C.點(diǎn)7,0是函數(shù)y=/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

D.將函數(shù)y=/（x）圖象向左平移需￡個(gè)單位，可得到y(tǒng)=JIsin2x的圖象

8

2.已知隨機(jī)變量。滿(mǎn)足。（。.=左）=仁（1—°,廣°：,，=1,2,左=0,1,2.若g<p]<p2<l,則（）

A.E信）<E催），O?）<Z??2）B.E（—<E㈤,D信）>D值）

C.E信）〉E體），。信）但）D.E信）〉E催），。信）>。仁）

3.三棱錐S-A5C的各個(gè)頂點(diǎn)都在求。的表面上，且AABC是等邊三角形，底面ABC,四=4,AB=6,

若點(diǎn)。在線(xiàn)段&4上，且AD=2SD,則過(guò)點(diǎn)。的平面截球。所得截面的最小面積為（）

A.3兀B.4萬(wàn)C.8萬(wàn)D.13%

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

A.16B.48C.96D.128

5.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）

俯視圖

A.2叵eS,且2艮S

B.242^S,且2艮S

C.272eS,且2島S

D.272eS,且2石eS

6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)

古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè)，每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不

在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都

正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（與，yi）（i=L

2,n）,用最小二乘法建立的回歸方程為夕=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(元，歹)

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

8.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，且(S“+l)(S〃+2+l)=(S〃M+l)2(〃eN*),6=1,g=2,貝！JSn=()

n(n+l)1i

A.二----LB.2C.2n-1D.2+1

2~

x>0

9.若x,y滿(mǎn)足約束條件x+y-320,貝Uz=x+2y的取值范圍是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+oo)

10.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(上一年同月=100)變化圖表，則以下說(shuō)

法錯(cuò)誤的是()

圖表一圖表二

(注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶)

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過(guò)102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

11.設(shè)anlogoosOQ'b=log030.2,C=0.3°04,則。、b、。的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

12.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,

則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和為7"，滿(mǎn)足q=2,3Sn=（?+m）?neN*,me7?）,且

anbn=〃+1.若任意〃eN*，成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

14.在長(zhǎng)方體ABC?！?片￡。中，AD=3,AA=A5=4,則異面直線(xiàn)A啰與AC所成角的余弦值為（）

,V2?2「2&n4

A?-------Jt>??----------\J?

5555

x-y+1..0,

15.已知實(shí)數(shù)x,丁滿(mǎn)足約束條件hx-y-3,,0,則z=2x+y的最大值為.

y.0,

16.在正方體ABC。-A4G2中，已知點(diǎn)P在直線(xiàn)A8]上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐。的體積不

變;②。P，pc；③當(dāng)尸為AA中點(diǎn)時(shí)，二面角P-4G-C的余弦值為F；④若正方體的棱長(zhǎng)為2,則\DP\+\BP\

的最小值為&+4及；其中說(shuō)法正確的是（寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào)）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足對(duì)任意〃eN*都有2。,什1=。"+。”+2,其前九項(xiàng)和為S“，且邑=49,%是由與%3的等

比中項(xiàng)，%〈。2.

（1）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式%;

（2）已知數(shù)列也｝滿(mǎn)足a=2小，設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為7“，求”二型大于1000的最小的正整數(shù)”

671-5

的值.

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=e"—x（aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=lnx+mx+l.

（1）若/（%）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵當(dāng)a=l時(shí)，（尤）+%]?g（x）對(duì)任意的xe（O,”）恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4—x

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=ln——+（2—。）（九一1）.

x

（1）當(dāng)〃=1時(shí).

①求函數(shù)fM在（2J（2））處的切線(xiàn)方程;

②定義s“=/(-)+/(-)++/(牝當(dāng)其中〃eN*,求邑020；

nnn

(2)當(dāng)a。2時(shí)，設(shè)/(x)=/(x)-ln(4x—^2),g(%)=泥修(0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若對(duì)任意給定的％e(0,e],在

(0,e]上總存在兩個(gè)不同的毛(1=1,2),使得ra)=g(%)成立，求。的取值范圍.

20.(12分)記數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，已知2〃，4,25“-4成等差數(shù)列(冊(cè)川1).

(1)證明：數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列，并求｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記2=烏色數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為T(mén)?,求7“.

anan+l

22

21.(12分)橢圓石：=+3=1(?！?〉1)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,鳥(niǎo)，橢圓E上兩動(dòng)點(diǎn)RQ使得四邊形為

ab

平行四邊形，且平行四邊形PF。2的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和2如.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)尸旦與橢圓E的另一交點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)耳在以線(xiàn)段為直徑的圓上時(shí)，求直線(xiàn)尸工的方程.

x=t[x=cos6

22.(10分)已知直線(xiàn)/：\rr。為參數(shù))，曲線(xiàn)G：1.八(。為參數(shù)).

)=一13+臼[y=smg

(1)設(shè)/與G相交于A，B兩點(diǎn),求|人卻；

(2)若把曲線(xiàn)G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的,倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的走倍，得到曲線(xiàn)。2,設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上

22

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)/距離的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到/(x)=J，sin(2x-2),再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.

【詳解】

/(x)=sin2x-cos2x=42sin(2x-?)

/g、1a

A選項(xiàng)，xe[0,：-]=>2x-丁e(-丁函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤

I3J4412

B選項(xiàng)，x=gn2x-f=0不是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，錯(cuò)誤

84

C選項(xiàng)，x=-^2x--=~,不是對(duì)稱(chēng)中心，錯(cuò)誤

444

D選項(xiàng)，圖象向左平移需二個(gè)單位得到y(tǒng)=0sin(2(x+K)-')=J^sin2x,正確

8'84

故答案選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡(jiǎn)三

角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2、B

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E($)=P1,D(0)=p.(1-0J,再根據(jù)；<pi<p2<1和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量。滿(mǎn)足P償=左)=/(1—pj2Ts,，=L2，左=0/，2.

所以5服從二項(xiàng)分布，

由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E仔)=Pi,D(0)=巧(1一2),

因?yàn)?<Pi<必<1，

所以E信)<E^),

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：/(%)=x(l-x),在pl上單調(diào)遞減,

所以。(4)>D值).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

3、A

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到。的距離，利用勾股定理求得過(guò)點(diǎn)。的

平面截球。所得截面圓的最小半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖，設(shè)三角形A5C外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=gx3右=2白，

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為0,則外接球的半徑R=仙可+2。=4

取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD^SD,得OE=1,

所以O(shè)D="2歷+F=713.

則過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為"一(啊2=@

所以過(guò)點(diǎn)D的平面截球0所得截面的最小面積為".(退了=3兀

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.

4、B

【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量i滿(mǎn)足,?>3退出循環(huán).

【詳解】

第一次循環(huán)：S=2i(l+l)=4,i=2；第二次循環(huán)：5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循環(huán)：S=16+23(l+3)=48,i=4,退出循環(huán)，輸出的S為48.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.

5、D

【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4gGR中，四棱錐G-ABCD滿(mǎn)足條件，故S={2,20,20},得到答

案.

【詳解】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-44GA中，四棱錐G-ABCD滿(mǎn)足條件.

故AB=BC=CD=AD=CC]=2,Bq=Dq=2逝,AC—8

故5={2,20,2百},故20eS,2/eS.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

6、D

【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.

【詳解】

由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).

7、D

【解析】

根據(jù)y與x的線(xiàn)性回歸方程為y=0.85x-85.71,貝!!

*b=0.85>0,y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，A正確；

回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(尺?)，B正確；

該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確；

該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85x170-85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.

故選D.

8、C

【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列｛S,,+1｝是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得s”.

【詳解】

由于(S〃+1)(S〃+2+1)=(S〃+I+1)25GN*),所以數(shù)列電+1｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為S]+1=%+1=2,第二項(xiàng)為

4

52+1=4+4+1=4,所以公比為,=2.所以S,,+1=2",所以S，=2"-1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

'x)0

解：X、y滿(mǎn)足約束條件、x+y-3>o,表示的可行域如圖：

x-2y40

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，

由卜解得C(2,1),

(x-2y=0

目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4

目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+oo).

故選D.

)1

10、D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀(guān)察，屬基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

2021=0

因?yàn)閍=log0080.04=210go080-=log師>1°g廝>b=log030.2>log031=0,

所以工=log。，7a08,y=log。，0.3且y=log02x在（0,+。）上單調(diào)遞減，且疝麗<0,3

ab

所以一>7，所以

ab

又因?yàn)椤?log^^0.2>=1,c=O.3004<0.3°=19所以

所以

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間

值“0,1”比較大小.

12、C

【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列{?}

貝!|an=23+35(zz-l)=35/z-12

2

令4=35〃-12W2020,解得味.

故該數(shù)列各項(xiàng)之和為58x23+哭衛(wèi)x35=59189.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、X<—

2

【解析】

an+1

當(dāng)〃..2時(shí)，a〃=S〃-Sn_],可得到工=.,再用累乘法求出冊(cè)，再求出力,根據(jù)定義求出《，再借助單調(diào)性求

a

n-\幾一1

解.

【詳解】

解：當(dāng)〃=1時(shí)，3R=(1+機(jī))％=34，則根=2,3Sn=(n+2)an,

當(dāng)人.2時(shí),3sl=(r+1)〃1，

3%=(〃+2)an-(〃+1)%,

①〃+1

?〃a2a34_345nn+1,

..C1n—%?—?—...---=2x—x—x—...------?------=n(n+1).

4“2a〃-1123n-2n-19

7n+\1

■-bn=-=-,

an?

11

----------1----------（當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)等號(hào)成立）,

n+1n+2

二4,—,

2

故答案為：f-00,—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查已知s“求劣,累乘法，主要考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

14、C

【解析】

根據(jù)A.B//C，確定ZACR是異面直線(xiàn)與AC所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意可得AC=AD]=5,4笈=。=4/?因?yàn)锳B//CA，

所以ZAC.是異面直線(xiàn)48與AC所成的角，記為

3_25+32-25_2&

故cos6-

2ACCD,-2x5x4五一5

故選：C.

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線(xiàn)夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

15、1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線(xiàn)的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域

是以4(2,3),B(-1,O),C(1,O),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線(xiàn)的截距最大

此時(shí)z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、①②④

【解析】

①???ABJ/DG，二A耳〃平面D8C],得出AB1上任意一點(diǎn)到平面DSC；的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)尸在面。CG2上的射影在。C上，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線(xiàn)定理，可判斷命題②；

③當(dāng)P為A用中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-盯z,如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角P-C的余弦值，可判斷命題③；

④過(guò)A片作平面A4”交4。于點(diǎn)以，做點(diǎn)。關(guān)于面A4M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A344內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)

性和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)片時(shí)，。,凡5在一條直線(xiàn)上，|。月+忸升取得最小值|G6].可判斷命題

④.

【詳解】

①AB'DG，A用〃平面DBC],所以A用上任意一點(diǎn)到平面DBC1的距離相等，所以三棱錐。-C產(chǎn)尸的體積

不變，所以①正確；

②P在直線(xiàn)A瓦上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸在面DCGA上的射影在。G上，所以。尸在面DCG2上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。尸，。。，所以②正確；

③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-孫z,如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

則：4（2,0,0）,4（2,2,2）,尸（2,1,1）,4（2,0,2），G（0,2,2）,C（0,2,0）,所以

4G=（-2,2,0）,麗=（o,-i,i）,cq=（0,0,2）,

722-ACi=0—2x+2y=0

設(shè)面4Gp的法向量為加=（匹/z）,貝！ICl，即c,令x=l,則y=l,z=L.?.加=（1,1,1）,

m-P4=0[-y+z=Q

〃.AG=0—Lx+2y=0

設(shè)面AG。的法向量為〃=（x,yz）,/.工i八，即。八"=（1,1,0）,

nCq=0[2z=0

m,ti2\/6

COS<m,n>==亍一尸=<，由圖示可知，二面角P-AC1-C是銳二面角，所以二面角P-4G-C

\m\-\n\J3xj23

的余弦值為啦，所以③不正確；

3

④過(guò)A片作平面A耳”交4。于點(diǎn)加，做點(diǎn)。關(guān)于面A耳”對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A5用4內(nèi)，

則。尸=GP,ZM=GA,DG，Ag,所以|。外+忸?|=|GP|+忸?當(dāng)點(diǎn)「在點(diǎn)片時(shí)，。遇,5在一條直線(xiàn)上，

QH+怛H取得最小值|G@.

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（2,m,"）,DG=（2,m,n）,做=（0,2,2）,所以

DGAB[=2m+2n=0,

所以根=―〃9又DA=GA=2,所以根=—n=^2，

222

所以G（2,—0,0）,5（220）,\GB\=^（2-2）+（-A/2-2）+（V2-0）=78+472，故④正確.

故答案為：①②④.

,z

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線(xiàn)段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的

思想，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)4=2〃-1(2)4

【解析】

⑴利用2a“+i=q,+4+2判斷｛為｝是等差數(shù)列，利用§7=49,求出%=7,利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.

(2)利用｛4｝的通項(xiàng)公式求出〃=22〃=4",4=(2〃—114”,用錯(cuò)位相減法求出(=曰+包『義4向，最后

建立不等式求出最小的正整數(shù).

【詳解】

解：(1)任意〃eN*都有2a“+i=4+a“+2，

二數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列,

87=49,7%=49,二%=7,

又為是4與43的等比中項(xiàng)，％<4，設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d，且d>0，

貝！1(7—d『=(7—3d)(7+9d),解得d=2,

/.。］=7—3d=1,

/.ctn=l+2(〃—1)=2〃—1；

⑵由題意可知包=22"=4",c〃=(2〃—1卜4",

.-.7；=1X4I+3X42+?+(?〃—扭I@,

23

4Tn^1X4+^X4+?+(n-)x向②，

①-②得：-37；=4+2x4?+2x43+?-+2x4”—（2〃—l）x4"+i,

206〃一5,,

=——+--------x4"i+i1,

99

6n-5

9T-20

由于----->1000得，22n+2>1000，

on-5

/.2z?+2>10,

n>4,

「?滿(mǎn)足條件的最小的正整數(shù)〃的值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路⑴在等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，

%、d是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出見(jiàn)和d,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)錯(cuò)位

相減法求和的方法：如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，求數(shù)列的前幾項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法,

一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛2｝的公比，然后作差求解；在寫(xiě)“與“qS"”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)

對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“S,-qS“”的表達(dá)式

18-,(1)0,—)；(2)

【解析】

InYInx

(1)將/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程。=—有兩個(gè)相異實(shí)根，令G(x)=—求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；

XX

Ini*I1tqv*1

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加-一-對(duì)一切xe(O,a)恒成立，令/x)=e，—----(x>0),求導(dǎo)，研究單調(diào)性,

XXXX

求出其最值即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)0關(guān)于》的方程6依=%有兩個(gè)相異實(shí)根

由e"*>0，知尤>0

???/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)=。=—有兩個(gè)相異實(shí)根.

X

令G(x)=g,貝!]G'(x)=上學(xué)，

XX

由G(x)>0得：0<x<e,由G'(x)<0得：X>e,

.?.G(x)在(O,e)單調(diào)遞增，在(e,a)單調(diào)遞減

?,?GO*=G(e)=j

又G(1)=O

???當(dāng)Ovxvl時(shí)，G(x)vO,當(dāng)x>l時(shí)，G(x)>0

當(dāng)％—>H~oo時(shí)，G(JV)—>0

???/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為10,3);

(2)當(dāng)a=l時(shí)，f[x)=ex-x,

???原命題等價(jià)于xex>lnx+mx+l對(duì)一切%e(0,茁)恒成立

]nY1

<=>m<ex---------對(duì)一切xe(0,+oo)恒成立.

xx

令/x)=e<巫_\x>0)

XX

:.m<F(x\.

\zrmn

令力(%)=表"+1nX'X￡(0,+oc),貝(I

hf(x]=2xe+x2ex+—>0

x

."(力在(0,+。)上單增

2

又/i(l)=e〉0,A^=e^-l<e°-l=0

3x0使九(%)=0即x；e與+lnx0=0①

當(dāng)X￡（O,%o）時(shí)，/z（x）<0,當(dāng)X￡（%o，+O0）時(shí)，/z（x）>0,

即廠(chǎng)（%）在（0,飛）遞減，在5,中功遞增，

?―⑺皿="%)=*.竺-；

xoAo

由①知焉靖。=-lnx0

%0%玉)I-^o7

函數(shù)0（#=旄%在（0,+8）單調(diào)遞增

?1

%。=In一即xQ=-lnx0

:.F(x\.=e“-口」」+1」=1,

、701111

YAoYAoYAoAXo

:.m<\

??.實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

19、(1)①y=l；②8079；(2)f-℃,2一一.

Ie-l

【解析】

⑴①。=1時(shí)，/。）=山上三+X-1,r（尤戶(hù)x」+4,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)/（X）在（2,〃2））處的切

%X—4%

線(xiàn)方程.

4-r128079

②由f(x)=In——+x-l,得/?(尤)+"4-X)=2,由此能求出S=/(-)+/(-)+...+/(—)的值.

x2020202020202020

（2）根據(jù)若對(duì)任意給定的不e（0,e］,在區(qū)間（0,e］上總存在兩個(gè)不同的=1,2）,使得t（Xj）=g（x0）成立，得到

函數(shù)《X）在區(qū)間（0,e］上不單調(diào)，從而求得。的取值范圍.

【詳解】

4—x

（1）①=f（x）=In--------1—1

x

:./(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

???r(x)=--^---+l,.-./，(2)=0,v/(2)=l,

4XX

所以切線(xiàn)方程為y=L

4—xx

②/(x)=In-------bx-1,/(4-x)=ln------b4-x-l

x4-x

^f(x)+f(4-x)=2,(0<x<4).

令則/(-)+/(4--)=2,(?=1,2,,4f.

nnn

因?yàn)镾“=/(-)+/(-)+,+/(4—)+/(4—)①，

nnnn

1221

所以S“=/(4——)+/(4-一)++/(-)+/(-)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃—1),所以集=4?-l,(neN,).

所以邑020=8079.

(2)g'(x)=eir—-口=(1—當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,e］時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減???g(0)=0,g(l)=l,g(e)=e2-e>0

所以，函數(shù)g(x)在(0,e］上的值域?yàn)?0』.

2

因?yàn)?2,不)=2-°二=士匚墟，x?°，e］

XX

22

故0<------<e〃<2—①

2-a9e9

此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，（%）、4%）的變化情況如下:

2

X

2-a2-a」

「（X）——0+

“X)單調(diào)減最小值單調(diào)增

-^-Ka-21n^-

=(2—Q)(e-1)—2

2-a)2—ci

，對(duì)任意給定的％e（0,e],在區(qū)間（0,e]上總存在兩個(gè)不同的七。=L2）,

使得"x,)=g(%)成立，當(dāng)且僅當(dāng)4滿(mǎn)足下列條件

2

a-21n<0

52—a即《2-a

?(e)>l(2-a)(e-l)-2>l

令人(a)=a-21n^---,ae[-co,2—J,

"(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]'=1------=,

2—aa—2

2

當(dāng)〃￡(-a),0)時(shí)，〃(a)>0,函數(shù)餌。)單調(diào)遞增，當(dāng)Q￡(0,2——)時(shí)，/⑷v。，函數(shù)以。)單調(diào)遞減所以，對(duì)任意

e

22

ae(-oo,2一一),有h(a)</z(0)=0,即②對(duì)任意aG(-00,2一一)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2——

e-1

綜合①④可知，當(dāng)ae[-co,2-時(shí)，對(duì)任意給定的/e(0,e],

在［0,e)上總存在兩個(gè)不同的%,.(z=l,2),使t?)=g(%)成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,

會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件.不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值

問(wèn)題解決.

e11

20、(1)證明見(jiàn)解析，氏=3"-1；(2)T=--

n4—1)

【解析】

Si，幾=1

(1)由2〃4,2S〃-4成等差數(shù)列，可得到%=2〃+2S〃，再結(jié)合公式4=1。、c，消去s〃，得到

%+i=3%+2(〃eN*),再給等式兩邊同時(shí)加1,整理可證明結(jié)果;

(2)將(1)得到的%=3"-1代入d=9山中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，然后求其前幾項(xiàng)和.

【詳解】

(1)由2”,an,2S?-an成等差數(shù)列，貝!12a“=2〃+2Sn-an,

即3%=2”+2S“，①

當(dāng)〃=1時(shí)，3q=2+2ax,4=2,

又3%=2(〃+l)+2Sn+l9②

由①②可得：3a,+i-3a,=2+2an+｝,

即a“+i=3a“+2(〃eN*),

VC+1C

4+1+1=3(4+1),"=1時(shí)，?i+1=3,&+]=3.

所以｛4+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

an+l=3",所以a”=3"-1.

/…3"If11、

(2)b----------------—I----------------

"(3n-l)(3n+1-l)213"-13"+i-1/

所以0=4+4++注=(jZP3"—J=2(3向—1).

【點(diǎn)睛】

此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

22

21、(1)?+；=1(2)3x+S>-3=0或3x-5-3=0

【解析】

(1)根據(jù)題意計(jì)算得到a=2,b=y/3,c=l,得到橢圓方程.