專題3.12乘法公式的幾何背景大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（原卷版）【浙教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題3.12乘法公式的幾何背景大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖a是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個(gè)正方形．（1）你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．2．（2022春?下城區(qū)期中）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（x﹣10）（x﹣20）＝15，求（x﹣10）2+（x﹣20）2的值；（2）若x滿足（x﹣2021）2+（x﹣2022）2＝33，求（x﹣2021）（x﹣2022）的值；（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．3．（2022春?蕭山區(qū)期中）兩個(gè)邊長分別為a、b（a＞b）的正方形如圖（1）放置，現(xiàn)在取BD的中點(diǎn)P，連接PA、PE，如圖（2），把圖形分割成三部分，分別標(biāo)記①、②、③，對(duì)應(yīng)的圖形面積分別記為S①、S②、S③．（1）用字母a、b分別表示S①、S②．（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S①+S②．（3）若S①+S②＝3，ab＝1，求S③．4．（2022春?諸暨市期末）如圖①，長方形ABCD的邊長分別為a、b，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）若用四個(gè)完全相同的長方形ABCD拼成如圖②的正方形，請(qǐng)寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)等量關(guān)系式：（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決如下問題：若．x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值．（3）若將長方形ABCD的各邊向外作正方形（如圖③），若四個(gè)正方形周長之和為32，四個(gè)正方形面積之和為20，求出長方形ABCD的面積．5．（2022春?上虞區(qū)期末）圖1是一個(gè)長為2b，寬為2a的長方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成一個(gè)正方形．解答下列問題．（1）圖2中陰影部分的面積可表示為；對(duì)于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論計(jì)算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，則x﹣y＝．（3）觀察圖3，從圖中你能得到怎樣的一個(gè)代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個(gè)代數(shù)恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），試求的值．6．（2022春?嘉興期末）小王同學(xué)在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，發(fā)現(xiàn)a﹣b，a+b，a2+b2，ab這四個(gè)代數(shù)式之間是有聯(lián)系的，于是他在研究后提出了以下問題：（1）已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值．（2）已知m﹣＝3，求m+的值．（3）如圖，長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，正方形AEHG、正方形EBKF和正方形NKCM都在它的內(nèi)部，且BK＞KC．記AE＝a，CM＝b，若a2+b2＝18cm2，求長方形PFQD的面積．請(qǐng)解決小王同學(xué)提出的這三個(gè)問題．7．（2022春?拱墅區(qū)期中）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b．則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解決問題：（1）若x滿足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，點(diǎn)E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x．分別以FC、CE為邊在矩形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若矩形CEPF的面積為160平方單位，求圖中陰影部分的面積和．8．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積和．方法1：；方法2：．（2）請(qǐng)你直接寫出三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．9．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）用四塊相同的寬為a，長為b的小長方形，拼成一個(gè)“回形”正方形．（1）觀察如圖，請(qǐng)你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，如果a+b＝，ab＝﹣1，求出（a﹣b）2的值．（3）在（2）的條件下，求出a2﹣b2的值．（4）根據(jù)以上結(jié)論，如果（2021﹣m）2﹣（m﹣2022）2＝7，求（2021﹣m）（m﹣2022）的值．10．（2022春?嘉興期中）小明把圖1中L形的紙片進(jìn)行如圖2的剪拼，改造成了一個(gè)長方形，你是否可以結(jié)合上述圖形驗(yàn)證平方差公式？請(qǐng)進(jìn)行具體說理．11．（2022春?東陽市校級(jí)月考）如圖1，從邊長為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，把剩下的陰影部分拼成如圖2所示的長方形．（1）上述操作能驗(yàn)證的公式是；（2）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．12．（2022春?臨渭區(qū)期末）【探究】如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示），通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為．（2）計(jì)算：20192﹣2020×2018．【拓展】計(jì)算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．13．（2022?義烏市校級(jí)開學(xué)）如圖，從邊長為a的正方形紙片中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形紙片（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是．（2）應(yīng)用：利用（1）中得出的等式，計(jì)算：．14．（2021春?北侖區(qū)期中）從邊長為a的正方形中減掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（2）運(yùn)用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知，x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；②計(jì)算：．15．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．（2）先剪出一個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分，別為a和b的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個(gè)長方形？如果可以，請(qǐng)畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請(qǐng)說明理由．16．（2021秋?云夢(mèng)縣校級(jí)期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．17．（2020春?濱江區(qū)期末）已知正方形ABCD的邊長為b，正方形EFGH的邊長為a（b＞a）．（1）如圖1，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AD上，請(qǐng)用兩種不同方法求出陰影部分S1的面積（結(jié)果用a，b表示）．（2）如圖2，在圖1正方形位置擺放的基礎(chǔ)上，在正方形ABCD的右下角又放了一個(gè)和正方形EFGH一樣的正方形，使一個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)C重合，兩條邊分別落在BC和DC上，若題（1）中S1＝4，圖2中S2＝1，求陰影部分S3的面積．（3）如圖3，若正方形EFGH的邊GF和正方形ABCD的邊CD在同一直線上，且兩個(gè)正方形均在直線CD的同側(cè)，若點(diǎn)D在線段GF上，滿足DF＝GF，連接AH，HF，AF，當(dāng)三角形AHF的面積為3時(shí)，求三角形EFC的面積，寫出求解過程．18．（2020春?奉化區(qū)期中）一天，小聰和小慧玩紙片拼圖游戲，發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種紙片各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（1）圖③可以解釋為等式：．（2）要拼出一個(gè)長為a+3b，寬為2a+b的長方形，需要如圖所示的塊，塊，塊．（3）如圖④，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x、y表示四個(gè)小長方形的兩邊長（x＞y），觀察圖形，以下關(guān)系式正確的是（填序號(hào)）．①x+y＝m；②x2﹣y2＝mn；③4xy＝m2﹣n2；④x2+y2＝19．（2021秋?南康區(qū)期末）四個(gè)全等的長方形（長a，寬b，且a＞b）既可以拼成一個(gè)大的長方形（如圖1），也可以拼成一個(gè)正方形（如圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2．（1）繼續(xù)觀察，請(qǐng)你直接寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．20．（2022秋?泉州期中）如圖所示，從邊長為（a+b）的正方形中剪掉邊長為a的正方形，剩余部分為2個(gè)長方形和1個(gè)小正方形，據(jù)此回答下列問題：（1）用如圖所示圖形驗(yàn)證的乘法公式是：；（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算：1.232+2.46×2.77+2.772的值為；（3）運(yùn)用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值．21．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)月考）圖1在一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形圖中，沿著腿線用剪刀均分成4塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中陰影部分的正方形邊長為；（2）觀察圖2，請(qǐng)你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，如果x+y＝5，xy＝，求代數(shù)式（x﹣y）2的值．22．（2022春?鹽湖區(qū)期末）如圖1是一個(gè)長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形．然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的空白部分的正方形的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求圖2中空白部分的正方形的面積．（3）觀察圖2，用一個(gè)等式表示下列三個(gè)整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的數(shù)量關(guān)系．（4）拓展提升：當(dāng)（x﹣10）（20﹣x）＝8時(shí)，求（2x﹣30）2．23．（2022春?滕州市期中）圖①是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積（結(jié)果不用化簡）：①方法1：；方法2：．②請(qǐng)你寫出代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系；（2）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決問題：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2；（3）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，寫出它表示的代數(shù)恒等式．24．（2022春?儀征市校級(jí)月考）有一張邊長為a的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形的邊長增加b，木師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：（1）小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證一個(gè)所學(xué)過的乘法公式：.（用a，b表示）（2）請(qǐng)你根據(jù)三種方案分別寫出這個(gè)乘法公式的三種驗(yàn)證過程．25．（2021秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個(gè)長方形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．26．（2022秋?中山區(qū)期末）（1）如圖1，將邊長為（a+b）的正方形面積分成四部分，可以驗(yàn)證的乘法公式是（填序號(hào)）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解決問題：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如圖2，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，連接BD，若AB＝7，兩正方形的面積和S1+S2＝23，求陰影部分的面積．27．（2021秋?唐河縣期末）讀下列材料，完成文后任務(wù)．小明在數(shù)學(xué)課外書上看到了這樣一道題：如果x滿足（6﹣x）（x﹣2）＝3．求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值，怎么解決呢？小英給出了如下兩種方法：方法1：設(shè)6﹣x＝m，x﹣2＝n，則（6﹣x）（x﹣2）＝mn＝3，m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝16﹣6＝10方法2：∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，∴6x﹣12+2x﹣x2＝3，∴x2﹣8x＝﹣15，（6﹣x）2+（x﹣2）2＝36﹣12x+x2+x2﹣4x+4＝2x2﹣16x+40＝2（x2﹣8x）+40＝2×（﹣15）+40＝﹣30+40＝10．任務(wù)：（1）方法1用到的乘法公式是（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．（2）請(qǐng)你用材料中兩種方法中的一種解答問題：若（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，求（x﹣11）（9﹣x）的值．（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F(xiàn)是BC，CD