2024年九年級中考數(shù)學復習：幾何最值問題

2024年九年級中考數(shù)學專題復習：幾何最值問題

一、單選題

1.如圖，E為正方形邊AO上一點，AE=\,DE=3,尸為對角線上一個動

點，則尸A+PE的最小值為（）

A.5B.472C.2MD.10

2.如圖所示，在/3C中，ZABC=68°,50平分/ABC,P為線段5D上一動點，Q

為邊AB上一動點，當AP+PQ的值最小時，/APB的度數(shù)是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

3.如圖，四邊形A5CD為矩形，AB=3,5c=4.點P是線段BC上一動點，點、M為

線段"上一點.ZADM=ZBAP，則8M的最小值為（）

512/—3-

A.—B.—C.A/13—D.\/\3-2

252

4.如圖，在和mVADE中，ZBAC=ZZME=90°,AC=AD=3fAB=AE=5.連

接BD,CE,將^AO石繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當/D8A最大時，^ACE的

面積為（）.

CE

A.6B.6夜C.9D.972

5.如圖，正方形ABC。的邊長是4,點E是。C上一個點，且。E=l,P點在AC上移

C.5.5D.5

6.如圖，在放△ABC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,

P為。C上一動點，連接AP、BP,則（AP+8P的最小值為（

)

B.572C.4+V10D.2如

7.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=4cm,CD是中線，點E、P同時

從點力出發(fā)，以相同的速度分別沿OC、方向移動，當點E到達點C時;運動停止，

直線AE分別與CF、BC相交于G、H,則在點E、F移動過程中，點G移動路線的長

度為（）

A.2B.7tC.2兀D.——兀

2

8.如圖，在△ABC中，AB=2,NA5C=60。，ZACB=45°,。是3。的中點，直線/

經(jīng)過點O,AELl,BFLI,垂足分別為E,F,則AE+B尸的最大值為（）

A/1

D,

BC

A.屈B.2^/2C.2GD.372

二、填空題

9.如圖所示，Z4CB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于/ACS.P為圓。上一動點，過點

尸作PM、PN分別垂直于NACB的兩邊，垂足為A/、N,則PM+2PN的取值范圍

為.

10.如圖，在..45。中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是ABC內(nèi)一點，求R4+P3+PC

的最小值為.

11.如圖，菱形ABC。的邊長為6,NABC=120。，M是BC邊的一個三等分點，戶是

對角線AC上的動點，當PB+PM的值最小時，PM的長是.

12.如圖，已知正方形ABCO的邊長為2,點P在射線上，則e的最小值

13.如圖，正AABC的邊長為2,過點8的直線LA8,且△ABC與△ABC關(guān)于直線/

對稱，。為線段8C上一動點，則AO+CO的最小值是

14.如圖，長方形458中，45=273,8c=2,點E是。C邊上的動點，現(xiàn)將^BEC沿

直線3E折疊，使點C落在點F處，則點。到點F的最短距離為.

15.如圖，。。的半徑為2,弦AB=2,點P為優(yōu)弧48上一動點，4CLAP交直線尸8

于點C,則△ABC的最大面積是.

16.如圖，將△ABC沿A￡＞折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點"處，。在BC上,

點P在線段AO上移動，若AC=6,8=3,BD=1,則△PMB周長的最小值為

三、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系中，./WC三個頂點的坐標分別為A(-4,-D,fi(-5,-4),

C(-l,-3).

⑴畫..A'8'C,使,A'B'C與./IBC關(guān)于y軸對稱;

⑵求A'B'C的面積；

(3)在y軸上作一點P,使得PA+PC最短；

18.如圖，△ABC中，NBAC=45。，AB=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點，求

2島尸+屈P+3PC最小值

B

19.如圖，點A、B在)。上，且04=08=6,且。4點C是。4的中點，點。

在0B上，且。。=4,動點P在。上.求2PC+P。的最小值.

20.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角

形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線如圖1,在AABC中，

AB=AC=1,NBAC=108。，￡>E垂直平分AB,且交8c于點。，連接AD

⑴證明直線AO是aABC的自相似分割線：

(2)如圖2,點尸為直線。E上一點，當點尸運動到什么位置時，以+PC的值最?。壳蟠?/p>

時出+PC的長度.

(3)如圖3,射線CF平分NACB,點Q為射線CF上一點，當AQ+或二!取最小值時，

4

求NQAC的正弦值.

參考答案：

I.A

【分析】連接EC交8。于P點，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知PA+PE的最小值即為線段

EC的長，求出EC的長即可.

【詳解】連接EC,交80于P點

?.?四邊形ABC。為正方形

.?.A點和C點關(guān)于3。對稱

:.PA=PC

：.PA+PE=PC+PE=EC

根據(jù)“兩點之間線段最短“，可知上4+PE的最小值即為線段反?的長.

VAE=l,DE=3

AD=4

：.DC=4

:.CE=^DE2+CD2=732+42=5

24+PE的最小值為5

故選：A

c

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練

掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】先在上截取BE=BQ,連接依，證明PB-PBE(SAS),得出PE=PQ,說

明AP+PQ=AP+PE,找出當A、尸、E在同一直線上，且8c時，AP+PE最小，即

AP+PQ最小，過點4作A￡_L8C于點E,交BD于點P,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：在BC上截取BE=BQ,連接PE,如圖：

■:BD斗令/ABC,NABC=68。,

Z.ZABD=NCBD=-ZABC=34°,

2

,/BP=BP,

：.PBQ^PBE（SAS）,

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

...當A、P、E在同一直線上,且AE_L8c時，AP+PE最小，即AP+P。最小，過點A作AE，BC

于點E,交80于點尸，如圖：

VZAEB=90°,NCBD=34°,

：.ZAPB=ZAEB+ZCBD=124°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形

內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使AP+PQ最小時點P的位置.

3.D

【分析】證明NAMr>=90°,得出點M在0點為圓心，以4。為半徑的圓上，從而計算出答

案.

【詳解】設(shè)AD的中點為。，以。點為圓心，4。為半徑畫圓

?.?四邊形他CD為矩形

，NBAP+NMAD=90°

,/ZADM=ZBAP

：.ZM4D+ZADM=90

/.ZAMD=90

.?.點M在。點為圓心，以AO為半徑的圓上

連接0B交圓。與點N

??,點B為圓O外一點

，當直線過圓心。時，最短

*/BO2=AB-+AO1,4。=(4。=2

2

/?BO2=9+4=13

，BO=而

,/BN=BO-AO=>/\3-2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知

識.

4.A

【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當BD與該圓相切時，ZDBA

最大，過C作CPLAE于R由勾股定理及三角函數(shù)計算出B。、C尸的長，代入面積公式求

解即可.

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心AO的長為半徑的圓，

當8。與。點的軌跡圓相切時，NQ84取最大值，此時N8D4=90。，如圖所示,

過。作CF_LA￡于尸，

:NDAE=90。,ZBAC=90°f

：.ZCAF=ZBAD9

在?△A3。中，由勾股定理得：BD=^52-32=4，

/.由sinNCAQsinNBAD得：

CFBD

~AC~~AB9

CF4

即Hn『丁

12

解得：CF=y,

Iio

,此時三角形ACE的面積=5、丁、5=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點.此題綜合性較強，解

題關(guān)鍵是利用。的軌跡圓確定出NOBA取最大值時的位置.

5.D

【分析】連接BE,交AC于點N,連接CW,M即為所求的點，則BE的長即為。P+PE的

最小值，利用勾股定理求出BE的長即可.

【詳解】解：如圖，

?.?四邊形ABC。是正方形，

，點8與點。關(guān)于直線AC對稱，

連接8E,交AC于點M,連接CM,

:.DN=BN,

DN+EN=BN+EN2BD,

則BE的長即為DP+PE的最小值，

...AC是線段8。的垂直平分線，

又,.?CE=C￡>-OE=4-1=3,

在Rt&BCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

'：BE>Q,

：.BE=5,

即DP+PE的最小值為5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知

識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵.

6.B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在。上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相

似三角形的性質(zhì)證明必，可得;AP+BP=PM+P睨BM,利用勾股定理求出8M即可

解決問題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,C4=9,

，PC2=CM?CA,

.PCCM

??一，

CACP

?/ZPCM=ZACP,

：./\PCM^/\ACP,

：.PM=^PA,

3

A-AP+BP=PM+PB,

3

PM+PB>BM,

在RSBCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=7,

??.BM=jF+72=5』,

：.^AP+BP>5y/2>

：.；AP+BP的最小值為5>/2.

故選：B.

7.D

：.CD±ABf

：.ZADE=ZCDF=90°fCD=AD=DB,

在△4。￡和4CD尸中,

AD=CD

/ADE=NCDF,

DE=DF

：./\ADE^/\CDF(SAS),

:?/DAE=/DCF,

ZAED=ZCEGf

：.NADE=/CGE=9。。,

，A、C、G、。四點共圓，

???點G的運動軌跡為弧CD

??，AB=4,AB=y[iAC,

:.AC=2及,

**?OA.=OC--^2，

?：DA=DC,OA=OC9

：.DO.LACf

：.N￡>OC=90。，

二點G的運動軌跡的長為90兀x?

1802

故選：D.

8.A

【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進

行計算即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CKL1于點K,過點A作AHJ_BC于點H,

在RtAAHB中,

VZABC=60°,AB=2,

，BH=1,AH=5

在RtAAHC中，NACB=45°,

AC=JAH?+CH?！?(G)2+(G)2=瓜<

?.?點D為BC中點，

；.BD=CD,

在^BFD與△CKD中，

'NBFD=NCKD=9Q。

"ZBDF=ZCDK,

BD=CD

.,.△BFD^ACKD(AAS),

/.BF=CK,

延長AE,過點C作CNLAE于點N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

當直線1J_AC時，最大值為幾，

綜上所述，AE+BF的最大值為".

故選：A.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形

是解答此題的關(guān)鍵.

9.6-26麴PM+2PN6+2百

【分析】根據(jù)題意，本題屬于動點最值問題-“阿氏圓”模型，首先作MHLNP于H,作

MFLBC于F,如圖所示，通過代換，將PM+2PN轉(zhuǎn)化為PN+LPM=PN+HP=NH,

2

得到當與，。相切時，M尸取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解

直角三角形即可得到相應最值，進而得到取值范圍.

【詳解】解：作?于，，作MF_LBC于F,如圖所示：

A

cFNB

PM±AC,PNLCB,

:.ZPMC=ZPNC=90°,

:.ZMPN=3*。-NPMC-NPNC-NC=120。,

/.NMPH=180°-4MPN=60°,

:.HP=PMcosNMPH=PM-cos60°=-PM,

2

PN+-PM=PN+HP=NH,

2

MF=NH,

???當MP與：。相切時，M尸取得最大和最小,

①連接0尸，OG,OC,如圖1所示：

圖1

可得：四邊形。尸MG是正方形,

:.MG=OP=2,

在RtCOG中，CG=OGtan600=26,

CM=CG+GM=2+2yf3,

在RlZXCM/中，MF=CM-sin60°=3+>/3,

.-.HN=MF=3+y/3,即PM+2PN=2（gpM+PN）=2HN=6+26；

②連接OP，OG,OC,如圖2所示:

A

。志涉J

cFNB

圖2

可得：四邊形ORWG是正方形，

：.MG=OP=2,

由上同理可知：在Rt8G中，CG=OGtan60°=273,

:.CM=CG-GM=26-2,

在RtZ\CMF中，MF=CMsin60°=3-^,

:,HN=MF=3-上,即PM+2PN=2\^PM+尸N)=2HN=6-243,

:.6-2y/3^)!pM+2PN6+2x/3.

故答案為：6-2&JPM+2PN6+26.

【點睛】本題考查動點最值模型，‘阿氏圓"，難度較大，掌握解決動點最值問題的方法，熟

記相關(guān)幾何知識，尤其是圓的相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.

10n+3

【分析】將^APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得AOFC,可得PC=PF,DF=AP,將B4+P3+PC

轉(zhuǎn)彳匕為FD+BP+PF,此時當8、P、F、。四點共線時，24+P8+PC的值最小，最小值

為BO的長；根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解:將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得4DFC,連接PF、A￡>、￡>8,過點。作DE±BA,

交BA的延長線于點E；

：.AP=DF,NPCF=NACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:ZCF、△AC。是等邊三角形，

：.PC=PF,AD=AC=l,ND4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...當8、P、F、。四點共線時，B4+PB+PC的值最小，最小值為8。的長；

VZCAB=9(r,ZCAD=60°,

：.ZEAD=3O°,

：.DE=-AD=-,

22

，AE=VAD2-ED2=—,

2

/.BE=\+—,

2

BD=yjBE2+DE2=—+＞，

2

/.PA+PB+PC的值最小值為#+

2

故答案為：漁M.

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將A4PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得AD尸C,

將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上.

11.紅

2

【分析】如圖，連接。P,BD,作。H_LBC于H.當。、P、M共線時，產(chǎn)B+P'M=Of恒最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接。P，B。，作￡W，BC于從

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,B、。關(guān)于AC對稱,

，PB+PM=PD+PM

當。、P、M共線時，〃夕/的值最小，

VCM=-BC=2

3

?；ZABC=\20°9

：.ZDBC=ZABD=600

/\DBC是等邊三角形，

*；BC=6,

：?CM=2,HM=1,D/7=373，

在DMH中，

DM7DH?+〃，=J(36)2+12=2〃

*：CM//AD

.P'M_CM_2

??—————

DFAD6A

P'M=-DM=—

42

故答案為：也.

2

【點睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

平行線線段成比例定理等知識,解題的關(guān)鍵是靈活用所學知識解決問題,屬于中考?？碱}型.

12.

2

PDDE

【分析】在41上取點E,連接。E,^ZADE=ZAPD,由可得=

APAD

PD

當DE最小時，■的值最小，作,ABE的外接圓O,連接ODOE,易證A8為：。直徑，

PA

再利用勾股定理及三角形三邊關(guān)系可得答案.

【詳解】解：如圖，在AP上取點E,連接DE,使ZADE=ZAPD,

又???NA=NA,

：?_ADESAAPD,

?ADDEAE

99'AP~~PD~~AD,

.PDDE

??旋―麗?

*/AD=2,

PD

???DE最小時,萬的值最小.

作aABE的外接圓。，連接ODOE,BE,如圖,

??,四邊形ABC。為正方形,

AAD=AB,ZA3P=90°.

..ADDEAE

,壽一花一而，

.ABAE

又?:ZBAE=ZPAB,

:.BAEsPAB,

，ZAEB=ZABP=90°,

...AB為Q直徑，

則OE=Q4=O8=1.

在Rt.AOO中，。￡)=>/0片+犯2=4+22=6,

；?DE>OD-OE=45-\,

DE的最小值為石-1,

的最小值為更~~-.

PA2

故答案為：避二L

2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋

找相似三角形解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考填空壓軸題.

13.4

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到/ABC=/ABC'=60。，A'B=AB=BC=2,

證明△CBO絲△AB。，得到C￡>=4。，推出當A、D、A三點共線時，AD+C￡>最小，此時

AD+CD=A'B+AB=4.

【詳解】解：如圖，連接AD,

?.?正△ABC的邊長為2,△48。與44BC關(guān)于直線/對稱，

.?./4BC=N4BC'=60。，A'B=AB=BC=2,

AZCBC=60°,

：.ZCBC'=ZA'BC',

,：BD=BD,

：.CD=A'D,

：.AD+CD=A'D+CD,

...當A、D、A'三點共線時,AZHCD最小,此時AD+CQ=A，B+AB=4,

故答案為：4.

A\BA'

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路

徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

14.2

【分析】由題意易得點尸的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BO,然

后根據(jù)隱圓問題可進行求解.

【詳解】解：由題意得：點尸的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，

連接3D,交圓弧于點如圖所示：

當點F與點，重合時，點。到點尸的距離為最短，

?四邊形ABCO是矩形，AB=2g,BC=2,

,DC=AB=2瓜4BCD=90°,

BD=VfiC2+CD-=4，

DH=BD-BH=4-2=2,即點。到點F的最短距離為2；

故答案為2.

【點睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點F的運

動軌跡.

15.后

【分析】連接0A、08,如圖1,由OA=OB=A8=2可判斷△OAB為等邊三角形,則/4。8=60。，

根據(jù)圓周角定理得NAP8=//AO8=30。，由于ACLAP,所以NC=60。，因為AB=2,則要

使△ABC的最大面積，點C到48的距離要最大；由NACB=60。，可根據(jù)圓周角定理判斷點

C在。。上，且NA￡>B=120。，如圖2,于是當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最

大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積.

【詳解】解：連接04、OB,如圖1,

圖1

；0A=0B=2,AB=2,

...△0A8為等邊三角形，

，408=60。，

ZAPB=-NAO8=30。，

'：ACYAP,

.?.NC=60。，

?：AB=2,要使AABC的最大面積，則點C到AB的距離最大,

作△ABC的外接圓。，

VZACB=60°,點C在。。上,

/.ZADB=\20°,如圖2,

當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到A3的距離最大，此時AABC為等邊三角形，且面積為立

4

AB2=6

.'.△ABC的最大面積為G.

故答案為：石.

【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等

邊三角形的面積公式.

16.18

【分析】首先明確要使得周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知

PM=PC,從而可得滿足PC+P8最小即可，根據(jù)兩點之間線段最短確定2c即為最小值，從

而求解即可.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM^AC,PM=PC,

.??M點為AB上一個固定點，則B用長度固定，

?："MB周^z=PM+PB+BM,

：.要使得APA/B周長最小，即使得PM+PB最小，

,：PM=PC,

.??滿足PC+P8最小即可，

顯然，當P、8、C三點共線時，滿足尸C+P8最小，如圖所示，

此時，P點與。點重合，PC+PB=BC,

：.△PMB周長最小值即為BC+BM,

此時，作。SLAB于S點，￡>7，AC延長線于T點，AQLBC延長線于。點，

由題意，AO為/BAC的角平分線，

：.DS=DT,

：s=LAC-DT=-CD.AQ,SAnn=-AB*DS=-BD，AQ,

/tcLz22ABD22

?-AB.DS-BD.AQ

?>4YD_2________2_______

,?飛-1一1'

、ACD-AC.DT-CD.AQ

22

口口ABBD

ACCD

..7

??=，

63

解得：AB=i4,

\'AM=AC=6,

14-6=8,

.?.△PMB周長最小值為BC+8M=3+7+8=18,

故答案為：18.

【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線

的性質(zhì)進行推理求解，理解并熟練運用兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵.

17.⑴見解析

（2）T

（3）見解析

【分析】（1）先作出A、B、C三點關(guān)于y軸的對稱點C’,再順次連接A,8,C'即可得

到.A8C關(guān)于y軸對稱的三角形A'B'C.

（2）利用割補法求出qA'3'C'的面積即可.

（3）連接C?,與y軸的交點即為P點.

【詳解】（1）如圖所示；-A'5'C'即為所求；

（2）A5C的面積=4x3」*4xl」x2x3」x3*l=U；

2222

(3)連接CA交y軸于尸，點尸即為所求.

【點睛】此題主要考查了軸對稱與坐標變換，求三角面積以及最短路徑問題.解題的關(guān)鍵是

利用軸對稱的性質(zhì)正確地畫出一A'斤C.另外要求要熟練掌握將軍飲馬模型.

18.125/3

【分析】將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到△APC,將△APC'擴大逑倍，得到

4

△AP"C〃，當點8、P、P〃、C"在同一直線上時，2后8P+石AP+3PC=20(P8+PP+PC)

最短，利用勾股定理求出8C"即可.

【詳解】解：如圖，將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAPC',將AAPC'擴大，相

似比為述倍，得到△AP"C",則逑4產(chǎn)，P"C"^—P'C,AC"^-AC,

4444

過點P作尸ELAP〃于E,

：.AE^PE=—AP,

2

p"E=AP"-AE=^-AP,

4

二pp"=>JPE2+P"E2=—AP,

4

當點8、P、P"、C"在同一直線上時，20BP+J^4尸+3PC=2&(PB+PP'+尸"C)最短，

此時2以PB+PP+PC)=26BC",

VZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,AC"=^AC=^x4=3a,

44

BC"=dAB、AC"?=招+仃&y=3瓜.

，2五BP+加AP+3PC=2及BC"=20x3指=124

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖

方法:利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段,利用三角形的三邊關(guān)系及點共線的知識求解,

有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形.

19.4V10

【分析】連接。尸，在射線04上截取4E=6,連接尸E.由題意易證一QPCOEP,即得出

PE=2PC,從而得出2PC+PD=PE+PD,由此可知當P、D、E三點共線時，PE+PD最

小，最小值為QE的長，最后在心△OED中利用勾股定理求出。E的長即可.

【詳解】如圖，連接0P,在射線0A上截取AE=6,連接PE.

是0A的中點，

/.OC=-OA=-OP.

22

NCOP=ZPOE

.,.在△OPC和△OEP中，＜PCOP\,

OP-OE~2

：._OPCOEP,

pc1

即PE=2PC,

PE2

：.2PC+PD=PE+PD,.

...當尸、D、E三點共線時，PE+PD最小,最小值即為。E的長，如圖,

在RtAOED中，DE=yjODr+OE1=742+122=4而

/.2PC+PD的最小值為4府.

【點睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識.正確作出輔

助線并理解當P、D、E三點共線時，PE+PD最小，最小值為。E的長是解答本題的關(guān)鍵.

20.(1)直線AQ是AABC的自相似分割線；

(2)當點P運動到。點時，出+PC的值最小，此時P4+PC=避±I

2

(3)NQAC的正弦值為縣"

【分析】(1)根據(jù)定義證明△OBAs^ABC即可得證；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得%+PC=PB+PC2BC,當點尸與。重合時，

PA+PC=P8+PC=3C,