2024年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)+圓與四邊形綜合壓軸解答題附答案

2024年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓與四邊形綜合壓軸解答題》專題提升訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，OE是因。的直徑，過。作團(tuán)。的切線AD,點(diǎn)C是4。的中點(diǎn)，四邊形BCOE是平行

四邊形.

⑴求證：BC是回。的切線；

(2)已知回。的半徑為1,求圖中弧BD、AD,4B所圍成的陰影部分的面積.

2.如圖，在菱形4BCD中，點(diǎn)P在對角線4C上，且PA=PD,。。是△PAD的外接圓.

(1)求證：48是。。的切線；

(2)若4c=8,tan^BAC=求。。的直徑.(請用兩種方法作答)

3.如圖，四邊形4B0E內(nèi)接于。。，ABDE=90°,點(diǎn)F在CE的延長線上，連接4D,AF,

匕FAE=Z-ADE.

⑴求證：AF是。。的切線.

(2)若48=AE,AD=2魚，tan乙48。=3,求BD的長.

4.已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，直線MA與。。相切，切點(diǎn)為A,連接AC.

⑴求證：Z.MAD=Z.ACD；

(2)若AC=4。，點(diǎn)8是劣弧4C的中點(diǎn)，tan4fMM=￡求tan乙4cB.

5.如圖，四邊形ABCD是團(tuán)0的內(nèi)接四邊形，且對角線BD經(jīng)過回O的圓心。，過點(diǎn)4作4E1CD,

與CD的延長線交于點(diǎn)E,且D4平分NBOE.

⑴求證：^ABO=AEAD；

(2)若回。的半徑為5,CD=6,求4。的長.

6.如圖，在菱形4BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)E,。。經(jīng)過兒D兩點(diǎn),交對角線4c于

點(diǎn)R連接。尸交4D于點(diǎn)G,且4G=GD.

⑴求證：4B是。。的切線；

(2)已知。。的半徑與菱形的邊長之比為5:8,求tan乙4DB的值.

7.如圖，邊長為2的圓內(nèi)接正方形2BCD中，尸為邊CC的中點(diǎn)，直線AP交圓于E點(diǎn).

(2)求弦DE的長；

⑶若。是線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)線段BQ的長度為何值時，AQWDE.

8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0/B=ND.

⑴求證：AD2+DC2=AC2；

(2)如圖2,在線段DC,BC上分別取點(diǎn)G,H,連接4G并延長交。。于點(diǎn)E,連接A”并延長，交

。。于點(diǎn)尸，連接EF,當(dāng)NE4尸=45°時，求證：AC=V2EF；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)48||0C時，若DG=BH,CG=8,HC=9,求EG的長.

9.定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

(1)如圖1,若四邊形4BCD是圓美四邊形.求美角4B4。的度數(shù)；

⑵在(1)的條件下，若。。的半徑為4.

①求BD的長；

②連接C4若以平分NBCD,如圖2,請判斷BC、CD、4c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

10.已知矩形4BCD,AB=3,4。=6g，點(diǎn)。是4。的中點(diǎn)，以AD為直徑作圓，點(diǎn)4是圓

⑴如圖1,連接AB,若4B是圓。的切線，

①求證：AB=A'B-,

②設(shè)40與BC交于點(diǎn)尸，求。尸的長.

⑵若動點(diǎn)G從點(diǎn)8向C運(yùn)動，連接0G,作四邊形A0GB關(guān)于直線G0對稱圖形四邊形40G8',

如圖2.求點(diǎn)G在運(yùn)動過程中線段掃過的面積.

11.圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形.

圖I圖2

⑴如圖1,四邊形4BCD為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形,4。=CD,^ADC=60。,貝此4B0=.

(2)如圖2,四邊形力BCD內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，AB=10,AC=6,若四邊形力BCD

為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，求C。的長;

(3)如圖3,四邊形4BC0為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，BC=CD,AB為。。的直徑，RAB=48.設(shè)

BC=x,四邊形4BC0的周長為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值.

12.小亮學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論"圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”后，勇于思考大膽創(chuàng)新，并結(jié)合

三角形的角平分線的性質(zhì)進(jìn)行了以下思考和發(fā)現(xiàn)：

(1)①如圖1,四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若48=85。，貝IJ乙4DE=；

②如圖2,在A48C中,BE,CE分別平分乙4BC和乙4c0,BE,CE相交于點(diǎn)E,44=42。，

則4E=_°；

(2)小亮根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，又進(jìn)行了以下深入研究：

如圖3,四邊形力BCD內(nèi)接于。。，對角線BD是。。的直徑，4C=BC,點(diǎn)尸是弧/W的中點(diǎn)，

求4E的度數(shù)［(1)中的結(jié)論可直接用］.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB||0C,4(0,2百)、C(-4,0),且AB=2.以BC為直徑

作。01交0C于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作直線DE交線段于點(diǎn)E,且4ED。=30°.

⑴求證：DE是。。1的切線；

⑵若線段BC上存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)尸為圓心，PC為半徑的OP與y軸相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

14.如圖，已知48、C。為O0內(nèi)位于圓心兩側(cè)的兩條弦，AD=BC,過點(diǎn)N作CO的垂線交

(2)若4B=6,CD=8,AB與CD間的距離為7,求。。的半徑長；

⑶若在弧4c上取一點(diǎn)凡使得弧AF=弧CE,連接DF,求證：DF經(jīng)過圓心。.

15.如圖，在矩形力BCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)￡為射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)Z,E,。作圓

交射線4c于點(diǎn)尸，連結(jié)DE,EF,且DE交4C于點(diǎn)G.

⑴求證：4DEF=4ACB：

(2)若AG=GF,求DG的長；

⑶當(dāng)△EFG是以EF為腰的等腰三角形時，求AADG的面積.

16.已知。。為A/IBC的外接圓，。。的半徑為6.

(1)如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn).

①尺規(guī)作圖：作N4CB的角平分線CD,交。。于點(diǎn)0,連接B0(保留作圖痕跡，不寫作法)：

②求8。的長度.

(2)如圖，AB是。。的非直徑弦，點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動，NACD=NBCD=60。，點(diǎn)C在運(yùn)動的

過程中，四邊形4DBC的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請

說明理由.

17.如圖，以AB為直徑的。。與4,相切于點(diǎn)4,點(diǎn)C在48左側(cè)圓弧上，弦CO14B交。。于

點(diǎn)。，連接AC,AC,點(diǎn)4關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為E,直線CE交。。于點(diǎn)F,交AH于點(diǎn)G.

⑴求證：4CAG=4AGC；

⑵當(dāng)點(diǎn)E在力8上，連接4F交CD于點(diǎn)P,若*=泉求詈的值;

⑶當(dāng)點(diǎn)E在射線AB上，AB=2,四邊形AC0F中有一組對邊平行時，求AE的長.

18.已知，AB為。。的直徑，弦CC與4B交于點(diǎn)E,點(diǎn)力為弧CD的中點(diǎn).

⑴如圖1,求證：AB1CD；

(2)如圖2,點(diǎn)尸為弧BC上一點(diǎn)，連接BF,BD,^FBA=2/.DBA,過點(diǎn)C作CG||48交BF于

點(diǎn)G,求證：CG=\AB.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DF交0E于點(diǎn)￡,連接LG,若FG=4,tanzGLB=y,

求線段LF的長.

19.已知：四邊形48C。是O。的內(nèi)接四邊形，4c為對角線，OEJ.BC于點(diǎn)E,AB\\DE.

⑴如圖1,求證：AC是。0的直徑；

(2)如圖2,連接OB,8D,410B的平分線交于點(diǎn)尸，連接4F,若力F1BD,求證：AD=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接EF,若4B=2CE,AD=5V2,求四邊形FEC。面積.

20.小賀同學(xué)在數(shù)學(xué)探究課上，用幾何畫板進(jìn)行了如下操作：首先畫一個正方形ABCD,-

條線段OP(OP<AB),再以點(diǎn)/為圓心，OP的長為半徑，畫。4分別交力B于點(diǎn)E.交4。于

點(diǎn)G.過點(diǎn)E,G分別作4B,4。的垂線交于點(diǎn)足易得四邊形4EFG也是正方形，連接CF.

圖1圖2圖3

⑴【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,

BE與DG的大小和位置關(guān)系：.

⑵【嘗試證明】如圖2,將正方形4EFG繞圓心4轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，上述（1）的關(guān)系還

存在嗎？請說明理由.

⑶【思維拓展】如圖3,若4B=20P=4,則

①在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)8,A,G三點(diǎn)共線時，C尸的值為:

②在旋轉(zhuǎn)過程中，CF的最大值是一

參考答案

1.(1)證明：連接08,

DCA

■：DE是回的直徑，

.?.點(diǎn)。在DE上，0E=0D,

???四邊形BC0E是平行四邊形，

BCWE.BC=0E,

BCWD.BC=0D,

???四邊形0BCD是平行四邊形，

???4D與130相切于點(diǎn)。，

???Z0BC=90°,

???四邊形0BCD是矩形，

乙0BC=90°,

???0B是!30的半徑，且BC10B,

BC是團(tuán)。的切線.

(2)解：連接B0,則NOBE=90。，

乙ABD=180°-4DBE=90°,

???四邊形OBCD是矩形，OB=0D,

.?.四邊形。BCD是正方形，

BC=DC=OB=1,4BOD=4BCD=90°,

^ADB=乙CBD=45°,

乙4=Z.ADB=45°,

v乙ACB=Z.ADE=90°,

???Z.CBA=Z.A=45°,

AC-BC-1,

S陰影=S四邊形0BCO+S4ABe-S扇形OBD

1900

=1X14-1X1X--X7TXl02

2360°

371

-----------

24

，陰影部分的面積為：一不

24

團(tuán)P4=PD,

團(tuán)弧AP=弧DP,

WP1AD,AE=DF,

團(tuán)乙OAC+NOP力=90°,

團(tuán)OP=。4

^OAP=4OPA,

團(tuán)乙DAC+Z-OAP=90°,

團(tuán)四邊形/BCD是菱形，

田乙DAC=Z.CAB,

^Z-CAB4-Z,OAP=90°,

WA1AB,

團(tuán)直線48與O0相切；

(2)解：方法一：連接BD,交4c于R如圖所示:

D

菱形ABCD中AC、互相垂直平分，

團(tuán)AC=8,tanZ-BAC=

2

ppnr

^\AF=FC=4,tan^BAC=—=—,

AFAF

「

0—DF=一1,

42

團(tuán)OF=2,

在RtAA。尸中，AD=yjDF2+AF2=V42+22=275,

又弧DP=弧PA,

HOP1/ID,DE=AE=V5,tan^B/lC=tanzP4E=-=

EA2

ME=—,

2

設(shè)。。的半徑為r,則OE=r—9,

團(tuán)在Rt△。力E中，OA2-=0E2+AE2,

2

即=2=（廠_曰）+（遍y,解得丁=竽，

即直徑2r=乎；

方法二：連接BD,交4c于凡連接04并延長交。。于E,連接PE,如圖所示:

回力￡為直徑，

回乙APE=90°,

團(tuán)PA=PD,

團(tuán)4PAO=Z.PDA,

又弧AP所對立瓦乙4DP,

0ZE=Z.ADP,

AD1

0tanz^i4C=tanZ.DAC=tanzE=—=

PE2

設(shè)4P=%,則PE=2x,

[?L4F=yjAP2+PE2=^/x2+(2x)2=V5x,

又tan乙ZMP=竺=工，即竺=工，

XF242

0DF=2,

在Rt△4DF中，AD=y/AF2+DF2=A/22+42=2花,

血4=DC,

^1Z-DAC=Z-DCA=Z.PDA,

品DAPFCAD,

心="，即獨(dú)=與

APDAAP2遮

1214P=

2

SAE=V5x=—,

2

即直徑為苧.

3.(1)證明：如圖，連接BE,0At

團(tuán)乙BDE=90°,

團(tuán)BE為。。的直徑，

團(tuán)4BAE=90°,

由乙ABE+Z.OEA=90°,

^Z.FAE=/-ADE,Z.ADE=Z.ABE,

^Z.FAE=Z.ABE,

^FAE4-Z.OEA=90°,

M4=OE,

回乙OEA=Z-OAE,

團(tuán)乙FAE+/.OAE=90°,

團(tuán)匕04F=90°,

回。4是。。的半徑，

I34F是。。的切線.

（2）解：如圖，過點(diǎn)4作4M1E產(chǎn)于點(diǎn)M,

a^AMD=90°,

EL4B-AE,乙BDE=90°,AD=2V2,tanZ.ABD—3,

SZ.ADB=/.ADM=-￡.BDE=工x90。=45°,

22

團(tuán)乙D/M=/.ADM=45°,

胤4M=DM,

團(tuán)4M2+DM23=AD2,

S2AM2=（2V2）,

解得：4"=2或4時=一2（負(fù)值不符合題意，舍去），

0DM=AM=2,

團(tuán)四邊形4BDE是內(nèi)接四邊形，

團(tuán)ZJ1EM=乙ABD,

AM

03=tan/.ABD=tanZJlEM=—EM,

12

^EM=-AM=-,

33

24

WE=DM-EM=2--=-,

33

^AE2=AM2+EM2=22+（|1=不

^Z-BAE=90°,

BBE2=AB2+AE2=2AE2=

9

團(tuán)乙BDE=90°,

22

0BD=y/BE-DE=聆-=|；

EIBO的長為/

A

4.(1)證明：連接4。并延長交。。于E,連接DE.

???M4與。。相切，切點(diǎn)為4,

/.MAD+乙DAE=90°,

4E是直徑，

???AADE=90°,

???/.DAE+NE=90°,

???Z.MAD=乙E,

vZ-ACD=乙E,

???Z-MAD=Z.ACD.

(2)解：過4作AH1CB交CB延長線于H.

vAC=AD,

:.Z-ACD=Z^ADC.

??,四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形,

???乙ABH=乙ADC,

由①知NM40="CD,

???乙ABH=/.DAM,

4

/.tanZ-ABH=tanZ-DAM=一，

3

設(shè)BH=3%,AH=4%,

Rt△4BH中，AB=J0x)2+(4x)2=5x)

???點(diǎn)B是劣弧AC的中點(diǎn)，

???弧AB=弧BC,

.??BC—AB=5%,

-CH=3%4-5%=8x,

???Rt△ACH中，tantACH=—=—=i.

CH8x2

5.(1)證明：???BD為直徑，

???乙BAD=90°,

???乙ABD+々408=90。,

vAELCE,

/.ADE+Z-EAD=90°,

vZM平分NBOE,

:、Z.ADB=Z.ADE,

???Z.ABD=Z.EAD,

即乙/B。=^EAD；

(2)解：過。點(diǎn)作。H_LCD于"點(diǎn)，連接。4如圖，則CH=OH=^CO=3,

在Rt△中，OH=7OD2-DH2=V52-32=4,

vOA=ODf

???Z.ODA=Z-OAD,

???Z.ODA=Z-ADE,

???Z.OAD=Z-ADE,

:.OAWCE,

???Z.OAE=180°-ZF=90°,

???(OHE=Z,E=Z-OAE=90°,

???四邊形04E”為矩形，

：?AE=OH=4,HE=OA=5,

,?.DE=5—3=2,

在Rt△40E中，AD=>JDE2+AE2=y/22+42=2限

故答案為：2遍.

6.(1)證明：連接。4,則OF=04,

團(tuán)404F=(OFA,

團(tuán)4G=GD,

WFLAD,

團(tuán)44GF=90°,

回四邊形4BC。是菱形，

EL4B=AD,AC1BD,

團(tuán)/BAE=/-DAE,

EJNOAB=/.OAF+乙BAE=Z.0FA+/.DAE=90°,

回04是。。半徑，且AB1OA,

團(tuán)AB是。。的切線.

(2)解：喘=|，AD=2AG,

脛=三，

AG4

設(shè)AG=4m,貝|。4=5m,

團(tuán)OF=OA=5m,

團(tuán)44Go=90°,

團(tuán)OG=^JOA2-AG2=7(5m)2-(4m)2=3m,

MG=OF-OG=5m-3m=2m,

^AED=Z.AGF=90°,

^ADB=Z.AFG=90°-Z,DAE,

0tanZi4Z)B=tanZ-AFG=—=—=2,

Eltan4WB的值是2.

團(tuán)四邊形4BCC是正方形，

SZ.BAD=Z.ADC=90°,AD=CD,

^ACD=/.CAD=45°,

SAAED=^ACD=45°；

（2）解：團(tuán)點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，

0DP=PC=1,

在Rt△4DP中，AP=7AD?+DP2=通，

在Rt△力DC中，AC=y/AD2+CD2=2VL

^\Z-CAE=乙CDE,Z-ACD=乙DEP,

[2]△ACPsxDPE,

破￡=絲，即越=更

DEDPDE1

皿=第

(3)解：如圖：連接4Q,PQ,延長CB到尸，使BF=DP,連接AF,

回四邊形ABCD是正方形,

團(tuán)4B=4。=BC=2,乙ADC=乙ABC=90°,

^AB=AD,BF=DP,Z,ABF=/.ADP,

[SAABF三△ADP,

乙

團(tuán)AF=APfZ.DAP=FAB,

若AQIIDE，

^QAE=Z.AED=45°,

團(tuán)乙BAQ+Z.DAP=45°,

團(tuán)4FAB+(BAQ=4FAQ=45°,

^FAQ=^QAE=45°fAP=AF,AQ=AQf

團(tuán)△AFQ三△APQ,

團(tuán)QP=QF,

田FQ=尸8+BQ=1+8Q=OP+BQ,

團(tuán)QP=1+BQ,

在Rt"QC中，PQ2=QC24-CP2,

團(tuán)(1+BQ)2=(2—BQ)2+1,

MQ=

8.(1)證明：???四邊形/BCD為圓的內(nèi)接四邊形,

???乙B+￡D=180°,

Z.B—Z.D,

NB=4。=90°,

.?.在Rt/MOC中，AD2+CD2=AC2；

(2)證明：連接OE、OF

??弧EF=弧EF,

乙EOF=2/.EAF,

??^LEAF=45°,

???/.EOF=90°,

vZD=90°,

??.AC是O。的直徑，

OE=OF=-AC.

2

&C)2+RC)2=E產(chǎn)

(3)解：在4。上取一點(diǎn)M使DM=0G,在4B上取一點(diǎn)N使BN=BH,連接EC.

v乙B=Z-D=90°,

NB〃是等腰直角三角形.

??.設(shè)0G為a,

?:DG=BH,

.?.DM=DG=a,BN=BH=a/DMG=乙DGM=乙BNH=乙BHN=45°,

vCG=8fHC=9,

:?CB=BH+HC=Q+9,DC=DG+CG=Q+8,

-AB||CD/B=ZD=90°,

，四邊形4BCD為矩形，

:.AD=BC=a+9,AB=DC=Q+8,

???AM=AD-DM=9,AN=AB—BN=8,

設(shè)乙DAE=Q,乙BAF=S，

vZ.EAF=45°,/.DAB=90°

???Z.DAE+乙BAF=4DAB-^EAF=45°,

：?a+0=45°,

?:Z-AGM+Z-DAE=乙DMG,乙AHN+乙BAF=乙BNH,

???Z,AGM=0,UHN=a,

乙乙

???4AGM=BAF,AHN=^DAEf

/.△AMGfHNA,

.MG_AM

ANNH

???在RtZkMDG和RtZkHBN中，MD2+DG2=MG2.BN2-VBH2=NH2

MG=NH=V2a,

\[2a__9_

"T=衣’

二a=6,

.?.在Rta/WG中，AD2+DG2=AG2,

：.AG=3V29,

???4C為圓。的直徑，

Z.AEC=90°,即NCEG=90°

v弧DE=弧DE,

:.Z-GCE=Z-DAE=a

???sinZ.DAE=sinzGCE,

DG_EG

茄=茄'

.6_EG_

?'3729-8’

門616y/29

29

9.解：（1）由題意得：（BAD=：ABCD,

???乙BAD+乙BCD=180°,

???2^BAD4-LBAD=180°,

:.乙BAD=60°.

（2）①如圖1,連接。。并延長交。。于E點(diǎn)，連接BE,

圖1

???O。的半徑為4,

???Z-EBD=90°,DE=8

vZ-E=4BAD,/.BAD=60°

???乙EDB=30°

i

???BE=-DE=4

2

???BD=y/DE2-BE2=<82-42=4A/3.

②AC=BC+CD.

理由如下：如圖2,延長C8到E,使得BE=CD,連接/E,

圖2

V4BAD=60°,

???乙BCD=120°.

???&4平分乙BCD,

???Z-ACB=Z.ACD=60°,AB=AD.

vZ.ABC+乙ADC=Z-ABC4-/-ABE=180°,

???Z.EBA=乙CDA,

???△ACD=△AEBr

???乙E=Z.ACD=60°,AC=AE,

???為等邊三角形，

???AC=CE,

???BC+BE=BC+CD=CE,

??AC=BC+CD.

10.解：（1）①回矩形4BCD,AD=6V3,點(diǎn)。是4D的中點(diǎn),

蜘。=D0=3a乙4=90°,

回84是圓。的切線，

回A，B是圓。的切線。

QAB=A'B；

②連接OB,貝IJNHOB=440B,

田矩形ABC。，

SBC||AD,

0Z.FBO=Z.AOB,

BZ-FBO=Z-A'OB,

MB=FO,

設(shè)FB=FO=x,則4'F=OA'-OF=3\[3-x,

2

則在直角三角形4BF中，A'B=AB=3,根據(jù)勾股定理可得：（36一x）+32=x2,

解得：x=2V3,

即OF=2V3；

(2)當(dāng)反G重合時，如圖,

r...4cr>AB3V3

團(tuán)tanzL/lOB=—=?_-p=—,

OA3V33

SZ.AOB=30°,

當(dāng)G、C重合時，如圖，

回/BOG=NB'OG=120°,

回點(diǎn)*旋轉(zhuǎn)的角度是240。，

WB=OB',OA=OA',

回線段A方掃過的面積是|兀082—］兀042=17MB2=67r.

11.(1)解：BAD=CD,

13弧AD=<CD,

^ABD=4CBD=-Z.CBA

2

又團(tuán)乙4DC=60°,

^ABC=180°-60°=120°,

SZ.ABD=*BC=60°；

(2)解：EL4B為。。的直徑，AB=10,AC=6,

^ACB=/.ADB=90°,BC=yjAB2-AC2="00-36=8

SAC=AD,AB為。。的直徑，

0RtACBmRtAADB(HL),

SBC=BD,AB垂直平分CD.

^Sm^ADBC=^CDxAB=ACxBC

②當(dāng)4D=BD時，連接CD,過點(diǎn)4作AH_LCD,交CD于點(diǎn)H.如圖:

D

此時△4DB為等腰直角三角形，AD=BD=5VL

在RtAAHC中，0Z/4CW=Z.ABD=45°,AC=6,

,AHAHV2

團(tuán)sinZTAlCriHJ=—=—=—

AC62

團(tuán)C4=AH=3四

在RtZkAHD中，EL4H=3或，AD=5V2,

SDH=4A②

團(tuán)CD=CH+DH=7V2.

綜上可知，CD=蔡或CD=7V2；

(3)如圖，連接。C,BD.

EIOC垂直平分8。

團(tuán)。為AB中點(diǎn)，

I30F為△BD4的中位線，WOFOF//AD.

設(shè)OF=t,

則CF=24—3AD—2t,y=48+x+x+2t=2t+2x+48,

在RtABFC中，BF2=BC2-CF2=x2-(24-t)2

在Rt△BF。中，BF2=BO2-OF2=242-t2

于是有：x2-(24-t)2=242-t2

整理得，1=一々/+24,

0y=-以/+2x+96=-^(x-24)+120

當(dāng)x=24時，ymax=120

12.解：(1)①團(tuán)4B是圓的內(nèi)接四邊形ABC。的外角，

團(tuán)乙4DE=AB=85°,

故答案為：85°：

②設(shè)N4BE=乙EBC=a,/.ACE=4ECD=0,

在△ABC中，/.ACD=A.ABE+Z.CBE,即2￡=2a+4A,

在△BCE中，4ECD=4E+4EBC,即4￡=Na+4E,

即Z_E=*=21°,

故答案為21；

(2)EL4c=BC,

團(tuán)弧AC=弧BC,

團(tuán)Z71DE=Z.ABC=Z.BDC=乙EDG,

即0后是448。的外角平分線，

回點(diǎn)尸是弧AD的中點(diǎn)，

EI/ABF=乙FBD,

即BF是乙4BD的平分線，

由(1)得，ZE=^BAD=1x90°=45°.

13.(1)證明：連接。過，BD,如圖，

04(O,2V3),C(-4,0),

OA=2V3,OC=4.

回以BC為直徑作O。1交OC于點(diǎn)D,

:.乙BDC=90°.

"ABWOC.OC1OA,

AB10A,

回四邊形480。為矩形，

???OD=AB=2,BD=OA=26,

CD=OC-OD=2,

：.BC=y/CD2+BD2=4,

.??0]。=0]D=2,

???△OiCD為等邊三角形，

??

?乙ORD=Z.O1DC=60°,

???乙EDO=30°,

???Z,OrDE=180°-乙O]DC-乙EDO=90°,

??.O1D1DE,

-■om為。Oi的半徑，

是的切線；

(2)解：回線段BC上存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)尸為圓心，PC為半徑的。P與N軸相切,

團(tuán)點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離等于PC.

過點(diǎn)尸作PF_Ly軸于點(diǎn)尸，PHlx軸于點(diǎn)”，如圖，

則PF=PC.

由(1)知：乙BCD=60°,

CH=-PC,PH=—PC.

22

???PF_Ly軸，PHJ.x軸，OA1OC,

回四邊形P”O(jiān)F為矩形，

OH=PF=PC,

???OC=CH+OH=-PC+PC=4,

2

??.PC=

3

PF=OH=PH=-x-=

3233

回點(diǎn)p的坐標(biāo)為(一g,浮).

14.(1)證明：連接力C、BD,

弧AD=弧BC,

，Z.ACD=乙BDC,

???乙ACD+Z-ABD=180°,

???乙BDC+乙ABD=180°,

???AB\\CD；

----------------/

(2)解：過點(diǎn)。作。HJ.48于〃，延長H。交C。于G,連接。8、OD,

-ABWCD,

???OH1CD,

BH=-AB=3.DG=-CD=4,

22

設(shè)。H=X,

v4B與CD間的距離為7

???OG=7—x,

???OH1AB,OH1CD,

OB2=BH2+OH2=32+x2,OD=DG2+OG2=424-(7-x)2,

vOB=OD,

???32+X2=42+(7-X)2,

解得x=4,

OB=OD=V32+42=5,

???o。的半徑長為5；

(3)證明：連接CF、AF.CE,

V弧AF=MCE,

???弧AC=弧EF,

:.Z-EAF=Z.AEC,

vZ-AEC+Z.AFC=180°,

???Z.EAF+Z.AFC=180°,

:.AE\\CF9

vAE1CD,

???FC1CD,

:.Z-FCD=90°,

???。產(chǎn)經(jīng)過圓心O.

15.(1)證明：???四邊形/BCD是矩形,

--AD||BC,

:.Z-DAC=乙ACB.

vZ.DAC=乙DEF,

???乙DEF=乙ACB；

(2)解：???四邊形/BCD是矩形，

???/.DAB=90°,

??.OE為圓的直徑，

---AG=GF,

???DE±AF.

?.?矩形ABC。中，AB=8,BC=6,

???AC=y/AD2+CD2=10.

,FADC,ADDCYAJDG，

：?AD?DC=AC,DG,

???6x8=10DG,

DG=4.8；

(3)解：①當(dāng)EF=EG時，過點(diǎn)。作DH12G于點(diǎn)H,如圖,

?：EF=EG,

:.Z.EGF=Z.EFG,

vZ-DGA=Z_EGF,Z.ADG=乙EFG,

**?Z-ADG=Z-DGA,

???AD=AG=6,

由(2)知：DH=4.8,

??.△4DG的面積=?DH

1

=-x6x4.8

=14.4；

②當(dāng)EF=FG時，過點(diǎn)。作DHLAG于點(diǎn)4,如圖,

-------

zZ______

//\\

?：EF=FG,

???Z-FGE=Z.FEG.

vZ-FEG=Z.DAG,Z-FGE=Z-DGA,

:，Z-DAG=Z.DGA,

???DA=DG=6.

由(2)知：DH=4.8,

???DA=DG,DHLAG.

?.AH=HG.

???AH=y/AD2-DH2=3.6,

???/G=2AH=7.2.

???△4。6的面積=加??！?/p>

1

=—x7.2x4.8

2

=17.28.

綜上，△ADG的面積為14.4或17.28.

16.（1）解：①如圖1,即為所作圖形;

圖1

②13點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，

EL4C=BC.

配7）是乙4cB的平分線，

0CD1AB.

I34B是。。的直徑，

I3CD經(jīng)過圓心0,

SZ.BOD=90°.

0?。的半徑為6,

團(tuán)。B=OD=6,

EIBD=y/OB2+OD2=6A/2；

（2）點(diǎn)C在運(yùn)動過程中，四邊形4DBC的面積存在最大值.

理由：如圖，連接AB,過點(diǎn)。作DC，于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)L,過點(diǎn)C作CF14B.

回乙4CC=4BCD=60°,

回弧AD=弧BD,乙ACB=2乙BCD=120°,

SAD=BD.

回四邊形4DBC為O。內(nèi)接四邊形，

^ADB=1800-/-ACB=60°,

0A力DB為等邊三角形.

WC1AB,

團(tuán)。C'為。。直徑，C'是48的中點(diǎn).

回S四邊形4D8c=S0BD+S—BC，

111

團(tuán)S四邊形4DBC=2AB-OE-CF=-AB?(DE+CF).

(3AAOB為等邊三角形，

西8和AB邊上的高都為定值，

團(tuán)當(dāng)CF最大時，S四邊形408c最大，此時點(diǎn)C與點(diǎn)C，重合，

回當(dāng)點(diǎn)C為4B中點(diǎn)時，S四邊形｛Me最大，此時。C為。。直徑,

團(tuán)乙4=NB=90°,如圖3.

圖3

團(tuán)。。的半徑為6,

0CD=12.

回乙4OC=90°-AACD=30°,

EL4C=-CD—6,

2

團(tuán)40=y/CD2-AC2=6V3,

團(tuán)S—CD=?4。=|x6x6A/3=18V3.

BBD=AD^BC=AC,CD=CD,

團(tuán)△BCD三△ACD(SSS),

團(tuán)SABCD=S^ACD=

團(tuán)S四邊形4BC0=S〉BCD+S^ACD=36^3,

團(tuán)點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，四邊形4D8C的面積存在最大值，最大值為368.

17.(1)證明：如圖，設(shè)48與CO相交于點(diǎn)

團(tuán)。。與4H相切于點(diǎn)/,

^BAG=90°,

國CD1AB,

團(tuán)乙4MC=90°,

團(tuán)4G||CD,

^CAG=Z.ACD,乙AGC=^FCD,

團(tuán)點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為E,

團(tuán)乙/CO=4/co,

團(tuán)Z_CAG=Z-AGC.

(2)解：過F點(diǎn)作尸KLAB于點(diǎn)K,設(shè)48與CD交于點(diǎn)N,連接。尸，如下圖所示:

由同弧所對的圓周角相等可知：乙FCD=^FAD,

團(tuán)4B為O。的直徑，且CD1AB,由垂徑定理得：弧AC=弧AD,

0ZJ1CD=Z.ADC9

團(tuán)點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為E,

0Z.FCD=Z.ACD,

^FAD=Z.FCD=Z.ACD=Z/1DC,艮|JNFAD=^ADC,

團(tuán)DP=AP,

由同弧所對的圓周角相等得：乙ACP=CDFP,且ZTP4=ZFPD,

[?]△CPAFPD,

團(tuán)PC=PF,

^\FK1ABtAB與CD交于點(diǎn)N,

^FKE=Z.CNE=90°.

國乙KEF=乙NEC,乙FKE=乙CNE=90°,

[3AKEFNEC,

脛=更=2

ENCE5

設(shè)KE=2x,EN=5%,

國點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為E,

???AN=EN=5%,AE=AN+NE=10%,AK=AE+KE=12x,

又FKHPN,

團(tuán)△APNs△AFK,

0Z.FCZ）=Z.CDAy

回CF||4D,

DP_AP__DP_5

CP-PF-AF-AP-7’

（3）解：分類討論如下：

如圖，當(dāng)。CIIAF時，連接OC,OF,T&AAGF=a,則/C4G=N4CD=NDCF=N4FG=a,

&OCWAF,

，Z.OCF=Z-AFC=a,

vOC=OA,

???Z.OCA=Z.OAC=3a,

???Z.OAG=45°,

.?.4a=90°,

:.a=22.5°,

OC=OF,OA=OF,

???Z.OFC=Z-OCF-Z.AFC=22.5°,

???Z.OFA=/.OAF=45°,

/.71F=V2OF=V2OC,

WCWAF,

AEAF宿

?O,E—OC—v2,

???AE=y/2OE,

vOA=1,

???AE="2二=2—V2；

1+V2

如圖，當(dāng)AQIOF時，連接OC,?？?/p>

設(shè)〃GF=a,

vZ-ACF=Z-ACD+乙DCF=2a,

^ACWOF,

:.乙CFO=Z.ACF=2a,

???Z-CAO=Z-ACO=4a,

vZ-AOC+WAC+^ACO=180°,

/.10a=180°,

???a=18°,

???乙COE=乙ECO-乙CFO=36°,

???△OCEs△FCO,

???OC2=CE?CF,

???1=CE(CE+1),

CE=AC=OE=

2

：.AE=OA-OE=等；

綜上所述，滿足條件的HE的長為2-四或竽,

18.(1)證明：如圖1,連接OC,0D,

回點(diǎn)/為弧CD的中點(diǎn)，

13弧AC=弧AD,

團(tuán)乙AOC=Z.AODi

團(tuán)。。=0D,

團(tuán)4B1CD；

(2)證明：如圖2,連接OC,OD,BC,則乙40c==2乙。84,

回乙FBA=2乙DBA,

團(tuán)乙FBA=Z-A0C,

團(tuán)0CII8G,

0CG||48,

回四邊形0BGC是平行四邊形，

ECG=0B,又OB=-AB,

2

回CG=〃B；

2

(3)解：如圖3,連接0C,00,BC,0G,過G作GMJ.0B于過。作0K_L0F于K,

則DK=FK,

設(shè)Z71BC=a,則448。=a,/.A0C=Z-A0D=2a,Z.DCB=90°-/.ABC=90°-a,

0ZF=乙DCB=90°-a,

^Z.FBA=2/-DBA=2a,

團(tuán)乙BLF=180°-LFBA-zF=90°-a,

0ZBLF=乙F,

團(tuán)BL=BF,

團(tuán)08=OC,

團(tuán)平行四邊形OBGC是菱形，

WB=BGt

團(tuán)BL-OB=BF—BG,則L。=FG=4；

0CG||AB,

團(tuán)4CGM=Z.GME=匕CEM=90°

團(tuán)四邊形CEMG為矩形，

團(tuán)GM=CE=DE,

團(tuán)。8=BG,Z-GBO=2a,

團(tuán)4GOB=￡(180。-2a)=90°-a,

團(tuán)/OGM=90°-乙GOB=a,

ElzCDF=Z.CBF=Z.FBA-/-ABC=a,

團(tuán)乙。GM=乙CDF,

在^DFL^IIAGM。中,

NLDE=Z.OGM

DE=GM,

./.DEL=乙GMO

[?]△DEL三△GM。(ASA),

團(tuán)DL=OG,乙DLE=^GOM,EPzFLO=Z.DLE=Z-GOM,

MLIIOG,

團(tuán)四邊形DLG。是平行四邊形，

0LG=OD,LG\\ODrZ-GLO=4DOL=2a

團(tuán)GL=GB,

HtanzGLF=—=—,

3LM

團(tuán)設(shè)GM=V7x,則LM=3%=BM,

0GL=VGM2+LM2=4%,即GL=DO=BG=OB=4%,

WM=OB—BM=x,則L。=LM-OM=2%,

02%=4,則％=2,

團(tuán)OM=2,GM=2夕，則OG=7GM2+0M2=4VL

0LD=OG=4A/2,

團(tuán)4GOM=Z.FLB=90°-a,

HcoszGOM=cos乙FLB,

0—=—,即/=之，

LOOG44\/2

址K=V2,

團(tuán)FK=DK=LD+LK=4&+&=5VL

回“=LK+FK=6V2.

19.(1)證明：???DE1BC,

???Z.CED=90°,

-ABWDE,

???乙B=Z-CED=90°,

.?.4C是。。的直徑；

(2)證明：???OF平分乙4OB,

??乙

?^LAOF=BOF=2-Z.AOB,

又???OA=OB,OF=OF,

:心AOF三△BO產(chǎn)(SAS),

???AF=BF,

?，?Z.FAB=Z.FBA,

?:AF1.BD,

:.Z-AFB=90°,

???/.FAB+Z.FBA=90°,

???/.FAB=Z.FBA=45°,

???Z,CBD=乙ABC-乙FBA=45°,

:.Z-ACD=4ABD=45°,/-CAD=乙CBD=45°,

:.Z-ACD=Z-CADf

???AD=CD；

(3)如圖3,過點(diǎn)。作DG1BA,交BA的延長線于點(diǎn)G,延長AF交BC于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EK1A