2024屆九師聯(lián)盟高三2月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）【新結(jié)構(gòu)19題模式】

【新結(jié)構(gòu)19題模式】2024屆九師聯(lián)盟高三2月第二次

聯(lián)考數(shù)學(xué)試題+答案

高三數(shù)學(xué)

考生注意：

1,本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色屋、水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題

目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)

作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命,題:圍:,高*范由。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

?2Q25

1.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則==

2.若是，＞1”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

A.(—00,1)B.(—00,1]

C.(1,+8)D.[l,+oo)

3.已知向量a=(—l,2),b=(—2,1),若。與方的夾角為心則cos(竽+2。=

A.—--B—C——D—

25,2525?25

4.某旅游團(tuán)計(jì)劃去北京旅游，因時間原因，要從北京的9個景點(diǎn)(A,B,C,D,E,F,G,H,D中選出4個作

為主要景點(diǎn),并從余下景點(diǎn)中選出3個作為備選景點(diǎn)，若A,B不能作為主要景點(diǎn),C不能作為備選景

點(diǎn),則不同的選法種數(shù)為

A.290B.260C.200D.160

5.過圓0：/+^=4外一點(diǎn)P(3,4)作圓0的切線，切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|=

A4㈤2㈤W5275

nB.5r5nD5

6.已知。,Q分別是圓柱P的上、下底面7tl,7t2的中心,Q；是以。為頂點(diǎn)，曲為底面的圓錐6=1,2),

若圓柱P的體積為6K,那么圓錐Qi,Q2的公共部分的體積為

A.27tB.KC.yD.￡

【高三2月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】I新教材可

7.如圖，已知雙曲線—g=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)z,以線

段F1F2為直徑的圓在第一象限交E于點(diǎn)A,AB交E的左支于點(diǎn)B,若B為線

段AR的中點(diǎn)，則E的離心率為

A.V3B.2

C.3D.x/13

8.若a=5e*,6=-1'e看,c=],則

000

A.6>c>aB.c>a>6C.Q>6>CD.cOc>b

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.下列結(jié)論正確的是

A.在銳角△ABC中,sinA+sinB>cosA+cosB恒成立

B.若sina+cosa=l,則sin"a+cos"a=l(??GN")

C.將尸而卜一方)的圖象向右平移點(diǎn)個單位長度，可得到產(chǎn)sinz的圖象

D.若函數(shù)/(H)=前32+看(3>0)在[一早對上單調(diào)遞增，則0VX2

10.斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛&｝滿足即=

〃2=1，%=%-】+4-2(，>3),貝1」

A.V九GN*,?+2+恁+…+。2”-1

B.mznCN*,使得時,“+】，a/?成等比數(shù)列

C.及CR,對VwGN*,%,k+z,&+4成等差數(shù)列

D.V*CN*Mz+ad+ae+…+&2?=。2”+1—1

11.已知橢圓C：4+W=jL,A(l,l),F為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),則

y0

A.|PA|+|PF|的最小值為6-72B.|PA|+1PF|的最大值為6+72

C.APAF面積的最小值為區(qū)鏟D.APAF面積的最大值為誓典

U

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知集合A=｛z|a&z42-a)(aCR)中僅有3個整數(shù)，則a的取值范圍為.

13.如圖，已知正方體ABCD-A1BiGDi的棱長為6,長為6的線段EF的一個端點(diǎn)E在棱DDi(不含端

點(diǎn))上運(yùn)動，點(diǎn)F在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則EF的中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面ABCD,面

ADDiA.，面CDAG所圍成的幾何體的表面積是-

14.已知定義在R上的函數(shù)/屹)滿足VH,yeRJ(z+v)=f(N)+/3)—2024,若函數(shù)g(z)=

■r%/2024—rr2

2024+//⑺的最大值和最小值分別為M,徵,則M+m=

【高三2月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】新教材一L|

四、解答題;本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

2023年10月26日，神舟十七號載人飛船把湯洪波、唐勝杰、江新林送入太空,他們是載人航天工程

進(jìn)入空間站應(yīng)用和發(fā)展階段的第二批航天員，他們的輪換和在軌工作也趨于常態(tài)化，主要包括人員和

物資的正常輪換補(bǔ)給、空間站組合體平臺照料、在軌實(shí)（試）驗(yàn)、開展科普及公益活動以及異常情況處

置等工作.空間站的公益活動是與大眾比較接近和感興趣的空間站的工作任務(wù).為了解學(xué)生對空間站

的公益活動是否感興趣，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下2X2列

聯(lián)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)：

對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計(jì)

男生120

女生60

合計(jì)

已知從這300名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到對此項(xiàng)活動感興趣的學(xué)生的概率為小.

（1）將上述2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對空間站開展

的公益活動感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？

（2）該學(xué)校對參與問卷調(diào)查的學(xué)生按性別，利用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從對此項(xiàng)活動感

興趣的學(xué)生中抽取7人組成“我國載人航天事跡”宣傳小組，從這7人中任選3人，隨機(jī)變量X表

示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：a0.0100.0050.001

工a6.6357.87910.828

參考公式："=Q+5）（:胃）（黑c）（什》其中n=a+b+c+d-

16.（本小題滿分15分）

在ZiABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,l+cos2C—cos2A+cos2B_2sinAsinB.

（D求角C；

⑵若c=5,D為邊AB上一點(diǎn),NACD=/BCD,求CD的最大值.

【高三2月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)第3頁（共4頁

17.(本小題滿分15分)

如圖，在△ABC中,NACB=90°,BC=3,AC=6,D,E分別為邊AC,AB上一點(diǎn)，且CD=2,DE〃

BC^ADE^DE折起到APDE的位置，使得PCJ_GD,F為PB上一點(diǎn)，且嘉=率

(1)求證:PD〃平面CEF；

(2)若H為線段PD上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，且二面角H-CF-E的正弦值為竽，求常的值.

18.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一動圓過點(diǎn)F(1,O)且與直線x=-l相切，設(shè)該動圓的圓心C的軌跡為

曲線「

(1)求「的方程；

(2)設(shè)p為r在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過p作曲線r的切線Z1,直線。過點(diǎn)p且與Z1垂直4與r

的另外一個交點(diǎn)為Q,求IPQI的最小值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=aeI—e-1—(a+l)x(a€R).

⑴當(dāng)a=0時,求曲線)=/(2)在點(diǎn)(一1,/(一1))處的切線方程；

⑵當(dāng)a￡(0,1)時，若④，工2分別為/(H)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且)+廿'(6)>0，求實(shí)數(shù)A

的取值范圍.

【高三2月質(zhì)卅檢測?數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】新教材一L

高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則

；2025：：（9—O：一；21O

1.C因?yàn)橹?2—i,所以w=2+i,所以”4、（°__^7=_r-=_—r-i.故選C.

n/十i（2十i）（2—1）55E-H5

2.A由題意知｛JC|尤>1｝基｛z|x>a｝，所以即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,1）.故選A.

3.D由題意得cos0=~\~/「=，>=~^,又[0,721,所以sin。=~|■，所以cos（-^+2（9）=sin2J=2sin9cos6

I?l,1^1V5X^555'2'

=2X-^-=故選D.

4.B若C入選主要景點(diǎn)，有&Q=200種選法;若C沒入選主要景點(diǎn)，有駿Q=60種選法，故不同的選法種數(shù)為260.故

選B.

5.A如圖，由題意知|QA|=\OB\=2,PA_LOA9PB±OB,\OP\=/?干F=5,所以|PA|=/0產(chǎn)-0A2=0,

根據(jù)圓的對稱性易知OP_LAB,則方X|OP|X|AB|=yX|OA|X|AP|X2,解得|AB|=生宇.故選A.

6.C如圖所示，四邊形ABC。為圓柱P的軸截面，圓錐Qi*Q的公共部分為同底的圓錐OiO和OzO,設(shè)圓柱P底面圓

的半徑為廣，高為人則無?=6n,由O陌〃AO?，得普=澆=版=1,所以七為401和Dft的中點(diǎn)，同理F為OiB

和02c的中點(diǎn)，所以O(shè)E=f，即圓錐Qg公共部分的圓錐的底面圓的半徑為小，且每個小圓錐的高為十九，所以

所求公共部分的體積為V=T~JtX--1-/iX2=T^7tr2A=Y^X67r=-y.故選C.

7.D連接AFz.BFz,設(shè)出F?|=2c,|AFz|=f，則NBAFz=彳■，由雙曲線的定義知、],

|AB|一|AFz|=2a,|BFz|一|=2a,所以|AR|=2a+f,|AB|=|=a+Z^zfpX

BF2

V'IzI=3a+卷，在ABAF2中，由勾股定理，得|AB|z+]AF2=IBPZI2,即J----jF2*

（a十專）一+淤=（3a+/'，所以f=4a或t=—2a（舍）.在AFiAR中，由勾股定理，得

IAFjI2+IAF2I」IFjFzI2,即（2a+f>2+y=4c2,所以*=13,所以e=/J.故選D.

8.B由題意知2a=ge,,26=le看，令f（z）=更（0<r<l），則/'（久）=.（"J、<0,所以在〈0,1）上單調(diào)遞

0oJCJC

12

__

減，又0<[<卷<1,所以/（[）>/（，即早■，所以|e+>[e看，即2a>26,所以Q>6,又5a=e-=%\5c=

u0<J0J.乙。J

TT

1■，又（■=濘>%,所以5c〉5a,所以c>a,所以c>a>6.故選B.

9.ABD對于A,由題意知當(dāng)<A+B<7r,0<￡~—B<ZA<i-，所以sinA>sin—B)=cosB,同理sinB〉cosA,所以

sinA+sinB〉cosA+cosB,故A正確；對于B,因?yàn)閟ina+cosa=l,所以(sina+cosa)2=l+2sinacosa=l,所以

(sina=1?{sina—0,/

sinacosa=0,所以J或，所以sin”a+cos"a=l+0=l,故B正確;將3/=sin(i—■的圖象向右平移

[cosa=01cosa=l,。

寄個單位長度，得3=sin（l號）的圖象，故C錯誤；對于。,“工）=而（5+*）〈3>0〉的單調(diào)遞增區(qū)間為

［一就十孑0親+（&ez），所以［一~，巖］=［一焉，焉,］,所以J1一一-解得s<2,所以0<a>^2,故D正

確.故選ABD.

10.ACD對于A,因?yàn)椤?=。1,所以CL\+。3+恁+…+。2”—1=。2+&+。5+…+。2〃-1=。4+々5+。7+…+。2”一1=…=

a2?-2+?2n-i=a2n，故A正確；對于B,由遞推公式可知am，a??+i，a?j+2中有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù),不可能成等比數(shù)列，故B

錯誤，對于C，a〃+4a〃+3Ia〃+22a〃+2Ia〃+i3a〃+2a”，所以2義(號a〃+2)=a?+°"+<1，故a?,-|"a”+z,a”+a成等差數(shù)

9

列,所以存在4=甘，使得a?,Xa?+2,a”+4成等差數(shù)列，故C正確；對于D.az+a*+a6H---Ha2?=-1+a3+德+&6H

+&2"=-1+詼+&6+*■,十。2”=…=-1+"Z"-1+&2”=&2”+1—1，故D正確.故選ACD.

11.ABD設(shè)C的右焦點(diǎn)為F',則F'<2,0)，|PF|+|PF'|=6,所以|PF|=6-

IPF'\.所以|PA|+|PF|=6+|PA|一|PF'|，當(dāng)P,A,F'三點(diǎn)共線，且P在

線段F'A的延長線上時，|PA|~\PF'\的值最小，(|PA|-|PF'|)^=

一|AF'|=—形,所以|PA|十|PF|的最小值為6-V2,當(dāng)P,A,F'二點(diǎn)共線,

且P在AF'延長線上時，|PA|一|PF'|最大，且〈|PA|一|PF'|)皿*=

IAF'\=慮，故〈|FA|+|FF|）m?=6+y2,iftA,B均正確;易知APAF的面積無最小值，故C錯誤;易知直線AF

的方程為尸,+（■，設(shè)與直線AF平行且與C相切的直線為尸，十根,與C的方程聯(lián)立，得十2MZ十3/一

15=0,由△=4/—8<3?儲一15）=0,得”2=士同，顯然直線同與AF距離較遠(yuǎn)，易求直線AF與直線y=

《工一同間的距離”=丐誓，當(dāng)P為直線y=4z一同與C的交點(diǎn)時,APAF的面積最大，此時其面積為｝X/W

*/=2±算，故D正確.故選ABD.

12.（-1.0］因?yàn)橥裸?1,所以在數(shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對稱，從而A中的三個整數(shù)為0,1,2,所以一l<a

WO,且2W2—a<3,即一1VaWO.

13.等連接DF,則AEDF為直角三角形.在RtAEDF中,EF=6.P為EF的中點(diǎn)，連接

DP,則DP=^EF=3,所以點(diǎn)P在以D為球心，半徑K=3的球面上，又點(diǎn)P只能落在正

方體的表面或其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的小，即&=4><4數(shù)=

OO

等，又幾何體在正方體的面ABCD,面ADDA1，面CgG上的部分面積的和為S2=3X

］儲?2=竽?,故所求幾何體的表面積S=S1+S2=彎+華

14.4048令K=了=0,得，(0)=2024,令了=一元，貝I，(0)—2024,所以/(一1)—2024=

—[/（了）-20241，故—2024為奇函數(shù)，所以/（%）=九（尤）+2024.令G（?z）="2—

無（￡），則G（—JC）=—G（JC）,即G（z）為奇函數(shù)，所以G（i）max+G（l）min=0.而g（￡）2024+^2^（久）+

2024=GCz）+2024,所以M+m=G（1）3+2024+G（^）^+2024=4048.

15.解：（1）因?yàn)閺倪@300名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到對此感興趣的學(xué)生的概率為需，

所以對此項(xiàng)活動感興趣的學(xué)生數(shù)為300義工=210人,不感興趣的有90人,...............................2分

所以2義2列聯(lián)表為:

對空間站開展的公益活動感興趣對空間站開展的公益活動不感興趣合計(jì)

男生12030150

女生9060150

合計(jì)21090300

.....................................................................................................3分

零假設(shè)為Ho:對空間站開展的公益活動感興趣與性別無關(guān)聯(lián),

根據(jù)列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算得

2「300(120X60—90X30)2

X~150X150X210X90=7公14.286>10.828—^0.ooi，5分

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，即認(rèn)為對該項(xiàng)目感興趣與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的

概率不大于0.001...................................................................................6分

（2）由分層隨機(jī)抽樣知在抽取的7人中,男生有120X益7=4人,女生有90義備7=3人，

所以隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,...............................................................7分

P(X=0)=!|=^,P(X=l)=^=j|,..........................................................9分

F(X=2)=^A=i|,F(X=3)=p|=^,..........................................................11分

所以分布列為：

X0123

418121

P

35353535

...................................................................................................12分

所以E<X〉=OX*+1X拼2X1|+3X京=/.................................................13分

16.解：(1)因?yàn)?+cos2C=cos2A+cos2B—2sinAsinB,

所以2—2sin2c=1-2sin2A+l—2sin2B—2sinAsinB,..................................................2分

所以sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,...............................................................3分

由正弦定理，得Y+加一c2=一.................................................................4分

由余弦定理，得cosC="*；疝'=一"2~9.............................................................5分

因?yàn)镃G(0,7T),所以C=箏.....................................................................6分

(2)因?yàn)?ACD=z2BCD,且S/\ABC=S/^ACD+S^BCD，

所以g6sin/ACB=+a?CDsin/BCD+J。?CDsin/ACD,

化簡，得ab=a?CD+b-CD,解得CD=^,...............................................................................................................9分

由(1),得a2+/+。6=25,即(a+6)2-ab=25,...........................................................................................................11分

由(”喳)，得(a+6)2—(5吆)W25,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，又a+6>5,所以

5Va+6W^^^................................................................................................................................................................12分

而。「=器=(”—；丁25=。+?弟，且是關(guān)于a+b的增函數(shù)，

所以當(dāng)。+6=警時，(05)3*=警一一^==等...................................................15分

3310點(diǎn)6

3

17.(1)證明:連接BD交CE于點(diǎn)G,連接FG,

因?yàn)镈E〃BC所以瘍=瞿，......................................................................1分

在AABC中，因?yàn)镈E〃BC,所以爛=袈=?=京..................................................2分

AC0o

EGUDG—DE_2-...DG_2_PF

所以函=前=至’所S1以場=虧=而’

所以PD〃FG....................................................................................................................................................................4分

又FGU平面CEF.PDU平面CEF,

所以PD〃平面CEF........................................................................................................................................................6分

(2)解：因?yàn)镈E，CD,DE_LPD,CDnPD=D,CDPDU平面PCD,

所以DEJ_平面PCD,又PCU平面PCD,所以DE_[_PC,...........................................................................................7分

又DE//BC,

所以PC_LBC,所以CP,CD.CB兩兩垂直..............................................................8分

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD.CB,CP所在直線分別為n軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(2,0,0),

B<0,3,0),E(2,2,0),P(0,0,2^/3),F(o,-y-,，/,

所以國=(2,2,0),還'=(0,卷,吟》訪=(2,0,—2乃)，

設(shè)前=,訪(0</<1)，則請=正+麗=(2人0,2痣一2乃力........................................9分

fm,CF=Q,—0,

設(shè)平面CEF的一個法向量zn=,則J即《°~

[m-CE=0912(f)=0,

令2=1,解得％=偌,)=—痣，所以樹=(焉'，一偌，1),...........................................................................................10分

n?CF=Q,1?(6+乃(7)=0,

設(shè)平面CFH的一個法向量〃=（a,6,c），則_即5

"?CH=0,^[to+V3(l-Z)C]=0,

令c=z,解得(z-1),6=—V^z,所以〃=(2-1),—4^t,t)?....................................................................11分

設(shè)二面角H-CF-E的大小為6,由題意知|cos引=y,...........................................................................................12分

叱I”Inil/\I\m?n\I7z—311

所以cos。=cos<m,ra>=丁'-----------------------==萬，

Im?IM/7產(chǎn)一6￡+3X777

解得或2=皋，即^^=4,或=........................................................15分

乙J■仕l_y乙l_yJ■仕

18.解：（1）由題意得點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于到直線1=—1的距離，

由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)0為頂點(diǎn)，以F（1,0）為焦點(diǎn)的拋物線，.....................2分

設(shè)/=2":（2>0），貝！Ig=1,所以p=2,

故「的方程為/=4比.................................................................................4分

（2）當(dāng)y>0時,y=2y^■，所以設(shè)P（根,2/^7）（根〉。），

貝！JJ即4的斜率為

VmVm

因?yàn)锳J_，2,所以L的斜率為——v^,...............................................................................................................................7分

所以L的方程為y—2y/m=—y/m（力一加），所以1=加+2-----^y,

Vm

代入y2=4%,得y+-^=3/—4m—8=0,

Vm

設(shè)Q(￡1,)1),則yi+2V^=土，所以yi=-2y/m--夫，............................................10分

Vmvm

所以（一2分一-白）=4辦,即佇=，〃+/+4,故Q（“+：

所以?「QI=JU+4）2+（-4與-七『=4"+3+.+崇....................................13分

令“〈，，,）=加+3+旦+4（”>0），則/，4_4二加3廠2="2）產(chǎn)1〉2,

mnrmrrvrrrm

易知函數(shù)或〈根〉在（0,2〉上單調(diào)遞減，在（2,+g）上單調(diào)遞增，

所以〃5〉111ta=”（爵』苧，所以IPQIWEX1件一6乃.............................................17分

19.解：(1)當(dāng)a=0時*/(工〉=—e「一z,所以/(z)=er—1,故/(—l)=e—1,.......................................................2分

又/X—IX—e+1,

所以所求切線方程為y—C—e+l)=(e—1)Cz+1)，即y=(e—l)z....................................................................4分

(2