吉林省延邊部分學(xué)校2024年普通高校招生考試模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題（含答案解析） (二)

吉林省延邊部分學(xué)校2024年普通高校招生考試模擬卷(一)

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合。={123,4,6},2={1,2},8={2,4,6},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{1,2,4,6)B.{1,2,3）

C.{1}D.{1,2,3,6）

【答案】C

【分析】

由韋恩圖可知，陰影部分表示(e8)c/,再根據(jù)補(bǔ)集賀交集的定義即可得解.

【詳解】由韋恩圖可知，陰影部分表示

”={1,3},所以(”)c/={l}.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i”=5i,則z+"=()

86-68

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)z的值，再利用共鈍復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)加法運(yùn)算

可求得結(jié)果.

5,（）

【詳解】由已知可得5i3-4i20+15i43.

z=U----------------二—I—1,

（3+4i）（3-4i）2555

所以-z=4?3i,

因止匕，z+z=—+-i+---i=-.

故選：D.

試卷第1頁(yè)，共18頁(yè)

V5-1sin2。

3.己tan—二則

22l-cos2^

V5+1

A.C.2D.V5+1

22

【答案】A

【分析】

利用二倍角公式以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)即可得答案.

sin28_2sin9cos9_1_1_an2

【詳解】由題意得l-c°s2。2sin*tan6）2tanf2tan-,

22

1-tan-

2

n/Z_1l-tan2y1

將tan2=YB代入可得-----系=不

222ta/2

2

故選：A.

4.已知圓C：（x+后一I）。+（y+2%『=4,若p：“斤=一1”；q：“圓C與x軸、y軸均相

切“，則p是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓的方程可得圓心和半徑，根據(jù)題意求得上=-1,結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】由題意可知：圓C：（X+左-以+5+2左）2=4的圓心。（1-左,-2左），半徑為2,

若圓C與無(wú)軸、y軸均相切,則卜葉=卜2H|2,解得無(wú)=一1,

即“圓C與x軸、y軸均相切”等價(jià)于“人=-1”，

可知p是q的充要條件.

故選：C.

5.碗是人們?nèi)粘１匦璧娘嬍称髅?，碗的起源可追溯到新石器時(shí)代泥質(zhì)陶制的碗，其形

狀與當(dāng)今無(wú)多大區(qū)別，即口大底小，碗口寬而碗底窄，下有碗足.如圖所示的一個(gè)碗口

直徑為9.3cm,碗底直徑為3.8cm,高4cm,它的形狀可以近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積

約為（）

試卷第2頁(yè)，共18頁(yè)

A.27兀B.30TIC.32兀D.36兀

【答案】c

【分析】

根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可知：碗口半徑為4.65cm,碗底半徑為1.9cm,

可知母線為^（4.65-1.9）2+42=J23.5625?4.9￡m）,

所以其側(cè)面積約為兀（4.65+1.9）x4.9=32.095兀。32K（cm2）.

故選：C.

22

6.己知點(diǎn)尸（2,〃。在橢圓C與+匕=1上，過點(diǎn)P作橢圓的切線/,若直線/經(jīng)過點(diǎn)（4,0）,

a4

則橢圓的離心率為（）

A.|B.—C.—D.1

2233

【答案】B

【分析】易得橢圓。的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)切線/的方程為x="+4,聯(lián)立方程，根據(jù)

A=0,求出〃，再根據(jù)點(diǎn)尸（2,⑼在橢圓上求出加，再結(jié)合斜率求出再根據(jù)橢圓的

離心率公式即可得解.

22

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（2,〃z）在橢圓C：1r+?=1上,

所以之+式=1,貝心=1-江W1,所以

a24a24

又<?2/4,所以02>4,

所以橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，

可設(shè)切線/的方程為x=〃y+4,

x=ny+4

聯(lián)立x2y2,消y得(4/+*/+32即-4〃+64=0,

F+J=1

[a24

貝必=(32/-4(4?2+a2)(-4/+64)=0,

整理得/+4*=i6,所以〃2=3二且

4

v，4m2,由z4<72-16

又r+—=1,所以加2=——；一，

a24a2

試卷第3頁(yè)，共18頁(yè)

14a1

Y21—------------=----=--------

又［加一。］m2Q2_4,

所以區(qū)Y=解得/=8（〃=-8舍去）

4a2-4

故選：B.

7.如圖是一個(gè)空氣開關(guān)，又名空氣斷路器，是家中非常重要的一種電器，它集控制和

多種保護(hù)功能于一身，能對(duì)電路或電氣設(shè)備發(fā)生的短路、嚴(yán)重過載及欠電壓等進(jìn)行保

護(hù).某學(xué)校配電房共有18個(gè)空氣開關(guān)排成一列，電工準(zhǔn)備進(jìn)行電路調(diào)試，打算關(guān)閉3

個(gè)，頭尾不能關(guān)閉，關(guān)閉的相鄰兩個(gè)開關(guān)之間至少有兩個(gè)是打開的，則不同的方案種數(shù)

是（）

Joearnc'Liddw_*

A.220B.364C.560D.680

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意結(jié)合插空法分析求解.

【詳解】將18個(gè)開關(guān)分成兩組，一組為要關(guān)閉的3個(gè)開關(guān)，另外一組為剩余的15個(gè)開

關(guān)，

由題意可知：開關(guān)均是相同的，

將剩余的15個(gè)開關(guān)中的13個(gè)開關(guān)排成一排，

將需要關(guān)閉的3個(gè)開關(guān)插空，不能插在首位兩位，不同的方案共有C；2=220種，

由于關(guān)閉的相鄰兩個(gè)開關(guān)之間至少有兩個(gè)是打開的，再將剩下的2個(gè)開關(guān)插入關(guān)閉的開

試卷第4頁(yè)，共18頁(yè)

關(guān)之間，2個(gè)間隔各放一個(gè),

因?yàn)殚_關(guān)均是相同的，所以放法是唯一的，所以不同的方案共有220種.

故選：A.

8.已知尸均為銳角，且山。一111(5-萬(wàn))=85。一5由尸+111￡,則()

A.sina<sin/?B.cosa<cos尸

C.COS6Z<sin/3D.sinavcos/?

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意可得Ina—cos6/>InII-cos[^■一)構(gòu)建函數(shù)

/(x)=lnx-cosx,xek^1,結(jié)合單調(diào)性可得a>,，進(jìn)而可得結(jié)果.

71

【詳角星】因?yàn)閘na—ln](~A]=cosa一sin夕+In

2

71

貝UIna-cosa

2

且ln]>0,c€(0,|^,1一￡€

可得Ina—cosa>In—p-cos—0

構(gòu)建/(x)=lnx-cosx,xe]o,|J,

因?yàn)閥=lnx,y=-cosx在內(nèi)單調(diào)遞增，

可知小)在?內(nèi)單調(diào)遞增，則a4-尸，

且〉=$也》在內(nèi)單調(diào)遞增，y=cosx在[O，T]內(nèi)單調(diào)遞減，

可得sina>sin|『月「cos/,cosa<cos(j=sin/?,故C正確，D錯(cuò)誤;

由于無(wú)法確定a,￡的大小，故AB錯(cuò)誤;

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意同構(gòu)可得lnc-cosc>ln[T-￡j-cos(T-￡；進(jìn)而構(gòu)

建函數(shù)/(x)=lnx-cosx,xe[o,]1,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

二、多選題

9.今年第5號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”于7月28日9時(shí)55分在福建晉江登陸，為1949年以來(lái)登

陸福建的第二強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，登陸后強(qiáng)度迅速減弱并一路北上影響黃淮、華北，給華北、黃淮

試卷第5頁(yè)，共18頁(yè)

等地帶來(lái)較大范圍的特大暴雨.華中地區(qū)某市受此次臺(tái)風(fēng)影響，最高氣溫同比有所下降,

測(cè)得七天的最高氣溫分別是28,26,25,27,29,27,25(單位：。0,貝U()

A.該組數(shù)據(jù)的極差為4

B.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為27

C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27

D.該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為28

【答案】AC

【分析】

根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)和百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順排列得25,25,26,27,27,28,29,

則該組數(shù)據(jù)的極差為29-25=4,故A正確；

該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為25和27,故B錯(cuò)誤；

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,故C正確；

因?yàn)?0%x7=4.9,

所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，即27,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/(x)=0sin2x+V^cos2x,下列結(jié)論中正確的有()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)仔,o］對(duì)稱

B.若占+%=：,則/(xj=y(x2)

c.函數(shù)y=/(x)在一會(huì)；上單調(diào)遞增

D.函數(shù)“X)在0,|上的取值范圍為卜2,亞］

【答案】ABC

【分析】

由輔助角公式可得/(x)=2sin(2x+5,再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：/(.X)=V2sin2x+V2cos2x=2sin^2x+^,

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?2sin(2x：+j=2sin7i=0,

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(g,o］對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?'但］=2$卻2*二+=2si武=2為最大值，

試卷第6頁(yè)，共18頁(yè)

可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，

O

若再+%=；，所以/(%)=/(工2)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋，則2%+7￡，

L48J4L42_

且y=sinx在J-：,：]內(nèi)單調(diào)遞增，可知函數(shù)y=f(x)在上單調(diào)遞增，故C正

42jL48_

確；

TTJTIT57T

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橛萫0,—,則2x+：e—，

2J4L44_

可得sin(2x+w)e--^-,1,即/'(x)e10,2]

所以函數(shù)/(可在0,曰上的取值范圍為卜板,2],故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

11.與大家熟悉的黃金分割相類似的還有一個(gè)白銀分割，比如A4紙中就包含著白銀分

割率.若一個(gè)數(shù)列從0和1開始，以后每一個(gè)數(shù)都是前面的數(shù)的兩倍加上再前面的數(shù)：

0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,則隨著〃趨于無(wú)窮大，其前一

項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近白銀分割率.記該數(shù)列為｛%,｝,其前〃項(xiàng)和為E,,則下列

結(jié)論正確的是()

1012a

A.%+I=24+4_](W>2)B.￡出左=受

D.lim=V2-1

".aan

【答案】ABC

【分析】

a1012

根據(jù)定義即可判定。用=2%+%-522)正確，根據(jù)21,即可求出,

2k=\

〃_,1012Q

利用電J=曠>(^>2),求出￡，從而得到$2023+$2024，令2=^，則

2k=2an

黑1=生產(chǎn)(“22),利用不動(dòng)點(diǎn)法求出數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式，從而判定D.

un

【詳解】由于一個(gè)數(shù)列從0和1開始，以后每一個(gè)數(shù)都是前面的數(shù)的兩倍加上再前面的

數(shù)，貝1]。用=2%+%_1("22),故A正確；，

對(duì)于B,由于*“=2%+%」心2),可得知=詠5&旦，

所以

〃3—%?%-%?___%023-%021?。2025—a2023=<2025

乂二+一?+”2022+。2024=

試卷第7頁(yè)，共18頁(yè)

1012a

由于q=0,所以20=軍，故B正確；

k=\2

對(duì)于C,由于=2%+%_/〃22）,可得%-2（羥2）,

所以

2%-=%+%+…+出⑼M023=—+”！+???+曝2”。I

左=2LL2

1012_1

由于。2=1,貝11￡。2"1=皆一，所以

k=22

s.，=￡出上+￡+%=智二1+詈&+°=限+尸1,

k=\k=2//2

貝U$2。23+$2。24=2s23一電。24=2X細(xì)節(jié)空二1一%必=出。25一1，故C正確；

“〃+2=1+2

對(duì)于D,由于%+1=2%+%T，則。/2=2%+1+?！?，即氏+1%(〃22),

a〃

令b"="則岫=:+2=甘(讓2),瓦=紅=2,

a“b,bna2

求不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)/■(無(wú))=至出，令/(尤)=生出=x,解得：%=1-叵,X2=l+后,

XX

所以%-押+1)=今土田+1),化簡(jiǎn)得："/+1)=(1-？+1①

加-（1-收）=午-（1-逝），化簡(jiǎn)得：晨-（1-8=（1+收）'+1②,

（1-匈a+i

則2+1-（0+1）_bn_（1-+（氏1）（K1）_1-近》-（，1）

b

n+\-（1-V2）（1+五0"+1j+?>“+）1+亞，-（-『）

b"

&_（拒+1）/_亞b”-(V2+1)1_B1_B

則數(shù)列［丁冒是第二項(xiàng)為Er公比為高的等

Z>2-（l-V2）V2+1'

2.（亞+1）_1-3r1-逝］

比數(shù)列，則4-（1-后）41+i〔拒+J

內(nèi)一…廣d亞丫t

所以“=由于lim=0,所以

Ji-W“-『,2+1）

lim4包=lim2=逝+1,故D不正確;

試卷第8頁(yè)，共18頁(yè)

故選：ABC

三、填空題

12.(2+x)(x-2)5的展開式中X?的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-80

【分析】

將(2+對(duì)。-2)5拆為2(》-2)5和X.(X-2)5,分別求其展開式中尤2的系數(shù)，再求和即可.

【詳解】

由題意可得：(2+x)(x-2)5=2(x-2)5+x?(x-2)5,

可知其展開式中含/的項(xiàng)為:2xC；?，?(-2丫+x?C；?(-2>=-80x2,

因此展開式中尤2的系數(shù)為一80.

故答案為：-80.

13.若對(duì)任意xe(e,+s),存在實(shí)數(shù)2,使得關(guān)于x的不等式ln(x-e)+〃+l20成立，

則實(shí)數(shù)2的最小值為.

【答案】--

e

【分析】

根據(jù)題意分析可知M(XY)+1.,構(gòu)建g(x)=^01,xe(e,+e),利用導(dǎo)數(shù)判

XX

斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.

【詳解】因?yàn)閤￡(e,+8),ln(x-e)+2x+l>0,

可得ln(x-e)+l“譏

to(xe)+1

構(gòu)建g(x)=-,Xe(e,+動(dòng)，則g，(x)=六-爪2［六T：("),

XX

e

構(gòu)建/z(x)=-----ln(x-e),x>e,

x—c

因?yàn)閥=-9—,V=-ln(x-e)在(e,+(?)內(nèi)單調(diào)遞減，

x—c

可知〃(無(wú))在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，且〃(2e)=0,

當(dāng)e<x<2e時(shí)，尤)>0,即g'(x)>0；

當(dāng)x>2e時(shí)，〃(x)<0,即g'(x)<0；

試卷第9頁(yè)，共18頁(yè)

可知g（x）在（e,2e）上單調(diào)遞增，在（2e,+8）上單調(diào)遞減，則g（x）Wg（2e）=',

1,1

可得一可得％2—，

ee

所以實(shí)數(shù)％的最小值為-L

e

故答案為：

e

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大（?。┲禎M足的不等式成立問題，進(jìn)而用導(dǎo)

數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解.

14.祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“事勢(shì)既同，則積不容

異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的

任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.某

同學(xué)在暑期社會(huì)實(shí)踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分

繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）.現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙，其外形的雙曲

線方程為尤2一片=1（-2WyVl）,內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖晅

4

原理”算得此冷卻塔的體積為.

【答案】33t

fy=2xx2=1

【分析】由直線y=，，其中-2W1,分別聯(lián)立方程組’和.4，求得45

的坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為無(wú)，高為

3的圓柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解

【詳解】如圖所示，雙曲線旦=1,其中一條漸近線方程為）=2%,

4

由直線歹=乙其中-2W1,

試卷第10頁(yè)，共18頁(yè)

兀,即旋轉(zhuǎn)面的面積為n,

可得該幾何體的體積與底面面積為兀，高為3的圓柱的體積相同,

所以該幾何體的體積為"=71x3=371.

故答案為：3兀.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意分析可知旋轉(zhuǎn)面的面積為兀，可得該幾何體的體積與底

面面積為兀，高為3的圓柱的體積相同,

四、解答題

15.已知A/BC的內(nèi)角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sm尸.

sinCb-a

⑴求3;

⑵若點(diǎn)。在NC上，且NO=8D=2DC,求處.

C

【答案】（1）8=1

a1

（2）-=-

c2

【分析】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可求3;

—.1—.2—?

（2）利用圖形中的向量關(guān)系，有BD=^BA+gBC,由向量數(shù)量積和余弦定理化簡(jiǎn)得

結(jié)果.

【詳解】（1）

試卷第11頁(yè)，共18頁(yè)

mn

因?yàn)閟，+；，=]__區(qū),即(sin/+sin3)(b—a)=(c-tz)sinC,

由正弦定理可得：(。+6)僅—。)二(。一。)。，整理得/+02一〃=4。,

由余弦定理可得cosC="+i一"=匹=1,

2ac2ac2

且8e(0,兀)，所以8

⑵

2

因?yàn)锳D=8D=2OC,則

3

__n,____n________k1___k.

PS^BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,

4

2

則網(wǎng)1網(wǎng)"網(wǎng)網(wǎng)即b1414

cosB+9-=-c2H—ccix—I—a2,

92

整理得/=!，+!館+/,

42

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB，貝！JQ?+c?=：/+二。Q+/,

42

即gc2=：“c,所以q

42c2

16.如圖，在四棱錐尸-/8CD中，底面/BCD為矩形，側(cè)面為8為等邊三角形，且側(cè)

面PN2_L底面488,BC=24B=4,E,尸分別為以，BC的中點(diǎn)，G為/￡的中點(diǎn).

(1)證明：8G〃平面MD；

(2)求平面DEF與平面DCP夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

31V1045

1045

試卷第12頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】(1)取48的中點(diǎn)。，連接尸。，由面面垂直的性質(zhì)可知尸。，底面4BCD,建

系，利用空間向量證明線面平行；

(2)求平面DCP的法向量，利用空間向量求面面夾角.

【詳解】(1)取43的中點(diǎn)O,連接PO,

因?yàn)閭?cè)面"2為等邊三角形，則尸0,48,

由側(cè)面P48_L底面48cZ),側(cè)面P48c底面48cz>=48,POu側(cè)面P48,

可得底面48a),

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。尸分別為x，z軸所在直線，過。與平行的直線為V軸

所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系，

,412。彳號(hào)。弓］,

則4(-1,0,0),8(1,0,0),。(1,4,0),"-1,4,。，/(0,0月,

uuor(7uuirumr(i、八

5G=--,0,—,Z)F=(2,-2,0),ED=--,4,--

n?DF=2x-2y=0

設(shè)平面EFD的法向量n=(xJ,z),則1一1也

n-ED=——x+4y--z=0

122

令x=8,貝!jy=G,z=7,可得元=(百，百,7),

UUDTr7萬(wàn)__k_

因?yàn)?G?〃二一一xV3+0xV3+—x7=0,即BG_L〃，

44

且BGU平面瓦刀，所以8G〃平面￡7*.

umruunr/L\

(2)由(1)可得。C=(2,0,0),。尸=(1=4,6),

、m'DC=2Q=0

設(shè)平面OCP的法向量比=(〃z也。)，貝—,L

m-DP=a-4b+yJ3c=0

令b=Q＞，則a=0,c=4,可得加=(0,6,4),

n-m3131V1045

貝Ucos(瓦沅)=

同同V55xV191045

所以平面DEF與平面DCP夾角的余弦值為對(duì)@1.

1045

17.關(guān)于撲克牌的由來(lái)，一種說法是由唐代天文學(xué)家張遂發(fā)明，最初稱作“葉子戲”，因

試卷第13頁(yè)，共18頁(yè)

為紙牌只有樹葉那么大.后來(lái)由馬可波羅把它傳播到了歐洲I,歐洲人根據(jù)自己的文化和

傳統(tǒng)，對(duì)紙牌游戲進(jìn)行了改進(jìn)，最終出現(xiàn)了“撲克牌”.某同學(xué)聚會(huì)上，玩一種撲克牌游

戲：第一個(gè)人手中有黑桃，梅花、紅桃各一張，其余每人手中有四種花色各一張，主持

人從第一個(gè)人手中隨機(jī)抽取一張撲克牌給第二個(gè)人，然后從第二個(gè)人的手中隨機(jī)抽取一

張撲克牌給第三個(gè)人，以此類推，記￡為從第，個(gè)人手中抽取的撲克牌為黑色(黑桃或

梅花)的概率.

⑴求心，A；

(2)求4.

【答案】(1)6=2；月=n

⑵耳小I7

0

【分析】

(1)由遞推關(guān)系即可求得8出;

3?

(2)根據(jù)題意可得4M=4X(+(1-4)x《，再構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式可求耳.

【詳解】(1)

o0-510oao

由題意得月二，所以巴=丁丁/丁正，^=^x-+(l-^)x-=-;

3212

(2)由題意得匕］=4*,+(1_耳)*《=《4+不，

所以-

所以［4一;,是以:為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，

所以耳一?口

所以岑

18.已知直線/：》-劃-1=0經(jīng)過拋物線C：y1=lpx(p>0)的焦點(diǎn)R與拋物線交

于4,8兩點(diǎn).過4,3兩點(diǎn)且與拋物線相切的直線相交于點(diǎn)尸.

⑴求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

試卷第14頁(yè)，共18頁(yè)

⑵求證：PFAB=O-

【答案】(l)/=4x

(2)證明見詳解

【分析】

(1)由題意可知：直線/：%-@-1=0與》軸的交點(diǎn)為尸(1,0),結(jié)合拋物線方程運(yùn)算

求解；

(2)設(shè)/［14J,呂］",為］,聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)題意可得切線P4P8的

22

方程為：X=^v-^,X="y-匹，進(jìn)而可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

2-424

分析證明；

【詳解】(1)由題意可知：直線/：x-0-l=O與x軸的交點(diǎn)為(1,0),即尸(L0),

可得勺1,即。=2,可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為j?=4x.

(2)由題意可知：直線/與拋物線C相交，設(shè)/［1/J,無(wú)，弘%W0，

x—ky-1=0

聯(lián)立方程消去x可得/_4劃-4=0,

y2=4x

可得%+%=優(yōu)必?%=-4,

顯然過力［的切線斜率存在且不為°，設(shè)為x=加(歹-yJ+號(hào)~=my-myx+,

「2

_2i_

聯(lián)立方程X=叼-孫+彳，消去X可得y_4叼+4竹「弁=0,

y2=4x

則A=16/-4(4即i-y；)=4(2加一切7-o,解得加=￡,

222

可得切線尸/:X=巧』+左=巧』，

2-242-4

試卷第15頁(yè)，共18頁(yè)

同理可得：切線尸8:》=三丁一區(qū)，

24

聯(lián)立方程2t，解得4

即尸(-1,2左),可知點(diǎn)尸(-1,2斤)在拋物線的準(zhǔn)線—一1上,

可得而=(2,-2左)，方=［割

所以

y2y,y2yi

PF-AB=1x~+(-2k)(y2-yl)=(y2-y1)^^-2k^=(y2-yl)(2k-2k)=0.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟

(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與

參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3