2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試題

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.橢圓一+丁=1（?！?）的離心率為9,則。=（）

a

A.半B.72C.73D.2

【答案】A

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

【詳解】由題意得6=也三=」,解得0=2叵，

a23

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S）,,%+%=6嗎2=17,則黑=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】C

【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出%+?12的值，然后根據(jù)前〃項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出Sl6的直

【詳解】因?yàn)椤?+%=2%=6,所以%=3,所以%+62=3+17=20,

所以S]6=（"1+?）_=8（%+。12）=160,

故選：C.

4.設(shè)名廠是兩個(gè)平面，相，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.建a：a,U/B,則m_L/B.若mua,lu0,m〃l,則2〃1

C.若a(3=m,l//a,l///3,則加〃/D.若mLa,l工0,m〃l,則(z_L，

【答案】c

【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

【詳解】對(duì)于A,機(jī),/可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,名4可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D,名P可能相交或平行，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理

求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人盹人；*人；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有6種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人"人打人；=8種方法；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知。為直線/：%+2y+l=。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足。？=（1,一3）,記P的軌跡為E,貝U（）

A.E是一個(gè)半徑為出的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為近D.E是兩條平行直線

【答案】C

【分析】設(shè)？（尤,y）,由。尸=（1,一3）可得。點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得尸軌跡后，

結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)尸（x,y）,由Q戶=（1,-3）,則Q（x—l,y+3）,

由。在直線/：x+2y+l=0上，故x-l+2（y+3）+l=0,

化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即p軌跡為E為直線且與直線/平行,

E上的點(diǎn)至U/的距離d=苴=石，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

Vl*2+*22

故選：C.

7.己知，e（羽，兀］,tan26=_4tan［，+四］,則一］；sin2"_=（）

I4）I4）2cos2e+sin28

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將l；：n2’齊次化即可得出答案.

2cos6>+sm26>

【詳解】由題，e［+，7r］,tan2，=-4tan［，+：］,

z2tan0—4（tan8+l）/2八

得B---------二——--------L——4（tan6+lX）=2tan6,

1-tan2^1-tan^v7

則（2tan8+l）（tane+2）=0ntan6=—2或tan。=一;,

因?yàn)??！阥一屋'兀,tan0e（-l,0）,所以tand=_g,

1+sin23_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos2日+sin2^2cos2^+2sin^cos^2+2tan0

-2+（-1）-4

故選：A

22

8.設(shè)雙曲線C:二-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,且，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與。交于A3兩點(diǎn),

ab

區(qū)同=2陽山,與4書3=4〃，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.75D.近

【答案】D

【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得閨H=|乙目、閨固=|耳H且四邊形人與3鳥為平行四邊形，由題意可得出

NF2BFI,結(jié)合余弦定理表示出與“、C有關(guān)齊次式即可得離心率.

【詳解】

由雙曲線的對(duì)稱性可知閨4|=%用，閨到=區(qū)旬，有四邊形AT/g為平行四邊形,

令閨H=|耳目=",則田曰=|&4|=2帆,

由雙曲線定義可知|乙H一|耳H=2。，故有2加—m=2a,即加=2a,

即|犀4]=|用用=?n=2a,|耳=|%4|=4a,

F^AF^B=|F,A|-|2^5|cosZAF.-B=2ax4acosZAF^B=4a*2,

12jr

則cosNAg3=5,即4485=告，故N8班=§

日貨+上呼山用2

（4a）2+（2?）2-（2c）2

則有cosZFBF=

2X2x4ax2a2

20/—4/1204/i

即即3—土=—上，則e?=7，由e〉l,故e=#i.

16a2216162

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于。、〃、c之間的等量關(guān)系，本題中

結(jié)合題意與雙曲線的定義得出閨山、|《耳與。的具體關(guān)系及/耳3耳的大小，借助余弦定理表示出與

〃、。有關(guān)齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

已知函數(shù)/(X)=sin12x+日+cos[2xH——j,則（

9.

A.為偶函數(shù)

B,曲線y=/(x)對(duì)稱軸為工=加,4eZ

c./(%)在區(qū)間單調(diào)遞增

D./(%)的最小值為-2

【答案】AC

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)/(x)=sin[2x+?]+cos]2x+?；再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即

可.

【詳解】/(X)=sin[2x+g〔+cos[2x++]

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-—sin2xsin—

4444

V2V2V2V2_.

------sin2xH------cos2x-------cos2%------sin2%——v2sin2x，

2222

即/(x)=-&sin2x,

對(duì)于A,f-^=-V2sin-^=V2cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B,=—J^sin2x對(duì)稱軸為2x=至+E,keZ=>x='+~^,keZ,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,,y=sin2x單調(diào)遞減，則

/(%)=—0sin2x單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,/(%)=-V2sin2%,則sin2%e[—1,1],所以/(x)e[—后,后],故D錯(cuò)誤；

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則()

【答案】BCD

【分析】設(shè)出z="+歷、w=c+di,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個(gè)計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)z=“+bi(a,〃￡R)、w=c+di(c.deR)；

對(duì)A：設(shè)2=〃+歷(。,人￡1<),則z2=(a+Z?i)2—a?+2abi——片一/+2abi,

故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：2二上一,又z?z=|z1，即有==——,故B正確;

zz-zz\z\

對(duì)C：z-w=a+bi-c-di-a-c+(b-d^i,則z—w=〃一c—(b—d)i,

z=a—bi，w=c—di則2—w=〃一歷一。+泊=〃一c—(b—d)i,

即有z—w=z—w，故C正確;

za+bi(^+/?i)(c-Ji)ac+bd-(ad-bc)i

對(duì)D：一

wc+di(c+di)(c—di)c1+d2

+2abed+b?d?+a2d?—2abcd+b2/

(c2+J2)2

_a-c~+b2d2+a2d2+Z?2c?_Va2c2+Z?2J2+a2J2+b2c2

一V(c2+J2)2-c』?'

且=6+九=出+及義正+虐="+/).+/)

Hy/c2+d2(^+/c2+d2

_yja2c2+/?2c2+a2d2+/72t/2

,Zz

故一故D正確.

ww

故選：BCD.

ii.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/［；卜°，若/(x+y)+/(x)〃y)=4◎，則()

C.函數(shù)/［元―是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+g)是減函數(shù)

【答案】ABD

【分析】對(duì)抽象函數(shù)采用賦值法，令x=＜、＞=°，結(jié)合題意可得/(o)=—i，對(duì)A：令x=g、y=°，

及函數(shù)+g

代入計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：令y=-；,可得f-2x,即可得函數(shù)/

函數(shù)的性質(zhì)，代入x=l,即可得了

則有HH/⑼=/、[口+/⑼]=0,

【詳解】令%y=o

2

又(；卜0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

由/(O)=T,可得df—￡|=°,

又故/1_g]=0,故A正確;

-2%,故函數(shù)/1x—g

即/是奇函數(shù),

有/(x+l-g]=-2(%+1)=_2x-2,即/+^-j=-2x-2,

即函數(shù)+是減函數(shù)，

令％=1,有/1|J=-2xl=-2,

故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/(o)=-1，再重新

賦值，得到/1_g]=0,再得到=

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={—2,0,2,4},3={用無一3區(qū)時(shí)，若AB=A,則加的最小值為.

【答案】5

【分析】由AB=A可得解出集合8后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】由AB=A,故AgB,

由W--m+3<x<m+3,

4<m+3fm>1

故有1~°，即=，即加之5,

-2>-m+3[m>5

即〃z的最小值為5.

故答案為：5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球。的直徑相等，則圓錐W的體積與球。的體積的比值

是,圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

2

【答案】?.|②.1

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑『以及球的半徑R,用,表示出圓錐的高力和母線/以及球的半徑R,然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,，球的半徑為R,

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高,母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑R=@r

2

所以圓錐的體積為匕=|x（7rxr2）xT3r=^7rr3，

球的體積匕=3兀&=3兀=心~皿3,

23312J2

G3

TZ——兀廣①

所以]=3;

%633

——nr

2

圓錐的表面積S]=nrl+nr2=3nr~,

球的表面積52=4?！?=4兀*史r=3口2,

匕…S,3a之

所以吩=T==1,

S23a2

2

故答案為：—；1.

14.以max"表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<avZ?<c<l,已知或〃+人<1,則

max{b-a,c-b,l-c}的最小值為

【答案】1##0.2

b=l-n-p

【分析】利用換元法可得?，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.

a=l-m-n-p

【詳解】^b-a=m,c-b=n,l-c=p,其中私凡p>0,

b=l-n-p

所以

a=l-m-n-p"

若Z?N2〃，則）二1一〃一pN2（l一加一〃一夕），故2加+〃+夕21,

令〃=max{/?-〃,c-/7,l-c}=max{根,,

2M>2m

因此<M>n，故4-M>2m+〃+1,則M>—,

4

M>p

若Q+b?l,貝|1一〃一p+1一根一〃一夕K1,即m+2n+2/?>1,

=rnax(m,n,/?),

M>m

則《2M>In，故5M>m+2n+2p>1,則A12工，

2M>2p

當(dāng)根=2〃=2P時(shí)，等號(hào)成立,

綜上可知皿乂抄一4。一女1一耳的最小值為!,

故答案：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在622。和〃+b<l前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對(duì)應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/■(*)=11我+/+狽+2在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(X)單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)a=-3

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為1o,gj、(L+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3J3

,極大值——In2,極小值0

4

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得;

(2)借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.

【小問1詳解】

11a

/'（尤）=—+2x+〃,則/'（2）=—+2x2+a=—+〃,

x22

由題意可得+=—1,解得〃=—3；

【小問2詳解】

由a=—3,故/(%)—lux+x2—3x+2,

則/,(x)」+2x-3=21—3x+l=(2x-l)(x-1),3，

XXX

故當(dāng)0<x<J時(shí)，f\x)>0,當(dāng)［<x<l時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)龍〉1時(shí)，f^x)>0,

22

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［o］)、(1,+8)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為&，1)，

故/（%）有極大值U=lng+1￡|13

-3x-+2=——ln2,

24

有極小值/(l)=lnl+F—3xl+2=0.

16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

（2）分布列見解析，E（X）=一

【分析】（1）先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，然后再?gòu)拇_定的每種小球中取1個(gè)，通過計(jì)算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果；

（2）先確定X的可取值為L(zhǎng)2,3,然后計(jì)算出不同取值的概率，注意X的每種取值對(duì)應(yīng)兩種情況，由此可

求分布列和期望E（X）.

【小問1詳解】

記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M,

先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，有C；種方法，

然后每種小球各取1個(gè)，有C；xC；xC；種取法,

所以尸⑼=生《/色整

8

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為L(zhǎng)2,3,

當(dāng)X=1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的小球,

C；C：+C；C,_9

所以尸（X=l）=

當(dāng)X=2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的小球,

所以P（X=2）=當(dāng)蘆4=^

8

當(dāng)X=3時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的小球,

C；C；+C；C；_1

所以P（X=3）=

C；14

所以X的分布列為:

X123

921

P

14714

92110

所以E（X）=lx—+2x—+3又一=一

V'147147

17.如圖，平行六面體ABC。-A4GR中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，。為AC與3。的交點(diǎn),

A4,=2,ZC]CB=ZQCD.ZCjCO=45°.

（1）證明：G。，平面A3C￡）；

（2）求二面角3-憾一。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵述

3

【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接5￡,DG，

因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以5C=DC,

又因zqcB=zqcn,cq=cc>

所以QCD,所以5G=￡>G，

點(diǎn)O為線段3。中點(diǎn)，所以GOLB。,

在△GCO中，CCl=2,CO=^AC=42,ZC,CO=45°,

也

所以cosN￡CO==>CjO=y/2,

22XCJCXOC

22

則qc=OC+C02nc1o±oc,

又OCBD=O,OCu平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以CQ,平面ABC。.

【小問2詳解】

由題知正方形ABC。中AC人3D,G。，平面ABCD,所以建系如圖所示,

則B(0,V2,0),D(0,-V2,0),A(V2,0,0),C(-V2,0,0),G(0,0,72),

則叫=/=(后,0,收)，

AB=(-V2,y/2,0),AD=(-72,-72,0),

設(shè)面BAA1的法向量為加=（石,弘，4）,面的法向量為“=（%,%,Z2）,

-m=0Ox"岳1=0

則

AB-m=0-缶i+為i=0

心R=0=],+々=0n〃=(iTT，

AD?m=0[-y/2x2-y/2y2=0

設(shè)二面角B-44-。大小為氏

八m-n112

則“麗sin0=A/1-COS0二

3，

所以二面角的正弦值為過1.

3

18.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過產(chǎn)的直線/交C于A3兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交。于

兩點(diǎn)，其中5。在x軸上方，加,尺分別為4民￡）￡的中點(diǎn).

（1）證明：直線"N過定點(diǎn);

(2)設(shè)G為直線AE與直線3。的交點(diǎn)，求一GMN面積的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)8

【分析】(1)設(shè)出直線A3與直線CD的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示出

直線后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)出直線AE與直線的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為-1,再

結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C:/=4x,故歹(1,0),由直線A3與直線CD垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設(shè)直線AB、CD分別為％=嗎>+1、x^m2y+l,有叫冽2=一1，

A（/X）、§（%,%）、石（毛,為）、。（%4，%）,

y2—4x

聯(lián)立C：/=4x與直線A3,即有廣，

x=m[y+l

消去尤可得y?-4叫,一4=0,A=16加；+16>0,

故%+%=4叫、乂%=-4，

則%+%2=%%+1+犯％+1=町（％+%）+2=4琳+2,

故月上=2喈+1,無a=2叫，

即“（2鬲+1,2班），同理可得N（2濡+1,2叫），

當(dāng)2/n；+1w2欣+1時(shí)，

則心尸遍帝"（I喈T）+2%

即尸存3（-2琳T+2ml-①±1+2叫（也+肛）

7

g一叫、和+叫m2+ml

x2/+1-2mm2-2/x1—2mm2

—l—1）

g+仍g+叫叫+叫g(shù)+叫

X1+217.X

由叫加2=_]，即,=-----------------=--------—

加2+叫加2+mim2+mi

1

故x=3時(shí)，有＞=(3-3)=0,

m2+m.

此時(shí)MN過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）,

當(dāng)24+1=2滋+1時(shí)，即宿=加;時(shí)，由班機(jī)2=-1,即仍=±1時(shí),

有/〃N：元=2+1=3,亦過定點(diǎn)（3,0）,

故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）；

由A（%，x）、5（程％）、￡（F，為）、。（%4，乂），

則“AE：丁=一^~(x—X)+X，由y；=4石、=4x2,

X3~xi

(2\A22,

MXY%,v_4x%4x?M%

iyy——2----T--------十%—------------------------------1----------------

故A-Xl4)%+X%+M為+X%+M%+M'

44

4%+,2y4,聯(lián)立兩直線，即,%+%%+%

同理可得:y=--

%+%%+%y=4x+%%

■%+y2%+y2

有上+4=上+4

%+M%+X/+%%+%

即4x(y4+y2)+%%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+%)，

百x=y2y4(%+%)-%%(〉+%)

由％%=-4，同理y3y4=-4，

4(%+%-%-%)

二y2y4(%+M)—%%(%+%)y2y3y4+2y4-3y4-%%%

-4(%+%—%-%)4(%+

T%+N-%-%)=]

4(%+%-%-%)

故%=T，

過點(diǎn)G作GQ〃x軸，交直線跖V于點(diǎn)Q,則SGMN=；|%—%|義卜—XG|，

由“（2〃?；+1,2g）、N（2屁+1,2mj）,

,,2Ir

故加一%=2叫一2加2=2g+—N22mlX一=4,

呵、叫

當(dāng)且僅當(dāng)叫=±i時(shí)，等號(hào)成立，

下證,2一％卜4：

由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)叫＞0,則7%＜0,

當(dāng)叫＞1時(shí)，有鈾=-二-€（—1,0）,則點(diǎn)G在X軸上方，點(diǎn)。亦在X軸上方,

叫

---i~r＞0（\

有加2+叫m_J_，由直線肱V過定點(diǎn)（3,0）,

m2

此時(shí)一＞3-（-1）=4,

同理，當(dāng)班＜1時(shí)，有點(diǎn)G在x軸下方，點(diǎn)。亦在x軸下方，

有一--＜。，故此時(shí)上一無G|＞4，

m、+mAIeI

當(dāng)且僅當(dāng)叫=1時(shí)，x°=3,

故卜。一%,4恒成立，且叫=土1時(shí)，等號(hào)成立，

故SGMN=1|yM-^|X|^-XG|^|X4X4=