北京市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023北京八十中高三10月月考

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.設(shè)集合=MW,§={3,4,5},則（）

A.{3}B.{1,2,3,4,5）

C.{123,3,4,5}D.{1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】由A與8,求出兩集合的并集即可.

【詳解】VA={1,2,3}，5={3,4,5},

AAUB={1,2,3,4,5）.

故選：B.

2.已知向量a，人滿(mǎn)足a+Z?=（2,3）,a—b=（—2,1）,則卜（―上『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模公式，即可求解.

【詳解】解：?.七+匕=（2,3）,a-b=（-2,1）,

a=（。,2）,b=（2,l）,

向『_,『=4_5=_l.

故選：B.

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-x+lB.y=（x-l）2c.y=|ln%|D.y=x

【答案】D

【解析】

【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】解：y=—尤+1在（0,+。）上單調(diào)遞減，不符合題意；

y=（x—在（0,+。）上不單調(diào)，不符合題意；

??f-lnx,O<x<l11/、

因?yàn)閥=|lnX={，則y=|lnx|在（0,+8）上不單調(diào)，不符合題意；

111人,Ji—A

丁=%在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

4.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線(xiàn)，名尸是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m上n,n〃a,則m_1_。

B.若m〃0,0La,則〃z_La

C.若m，/_Lez,則7”J_a

D.若加_L夕,〃_L〃,"_Lcz,則7“J_a

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,若m_1_〃，n//a,則mua或者加//?；蛘?74a相交，故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,若加〃/，/31a,則加ua或者加//&或者相，&相交，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若加_L〃，nV/3,B，a,則加utz或者”//1或者列a相交，故c錯(cuò)誤,

對(duì)于D,若n工/3，貝1又〃_Le,所以加J_a,故D正確，

故選：D.

5.若a,6eR+,則“a+/?=2"是的（）

A充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由基本不等式，a+Z?=2可推出abVl,反之推不出，則可判斷選項(xiàng).

【詳解】已知a/eR+,由a+622疝，得仍《9丁=1,

故"a+〃=2”是“<1”的充分條件；

若a》<1,令a=100,6=^—,但a+Z?=100w2,

—100一100

故‘。+/?=2”是“。6<1”的不必要條件.

故選：B.

6.己知角。的始邊與無(wú)軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)M（3,4）,貝Usin2。的值為（）

772424

A.—B.——C.—D.——

25252525

【答案】c

【解析】

Z）

【分析】先根據(jù)題意求出tan。的值，再化簡(jiǎn)sin26>為一手一，代值計(jì)算即可.

tan26>+l

4

詳解】解：由題意可知tan6=1,

112tan024

所以sin2。=2sin0cos0=可"。'：

sin2+cos20tan20+125

故選：C.

7.若函數(shù)滿(mǎn)足〃x)—x=2/(2—x),則/⑶=()

11

A.—1B.—C.-D.1

33

【答案】B

【解析】

【分析】將x=—1和％=3分另U代入/（%）—x=2/（2—x）,聯(lián)立即可求解.

【詳解】x=—1代入/（%）—x=2/（2—x）可得/（—1）+1=2/（3）①，

%=3代入/（%）—x=2/（2—x）可得〃3）-3=2/（—1）②

聯(lián)立①②解得/（3）=—；,

故選：B

8.在RCABC中，|AC|=|叫=4,。是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則悶+人斗的最大值為（）

A.12B.872C.576D.6A/5

【答案】A

【解析】

【分析】畫(huà)出圖分析，將|AB+A4的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到圓。上一點(diǎn)距離的最大值求解即可.

【詳解】如圖：

A

D

取8C,8。中點(diǎn)E,G,可知+=且BGLEG,

取BE的中點(diǎn)O,則G為圓O上一點(diǎn)，所以門(mén)可最大值為,。|+1=6,

故,3+4可的最大值為12.

故選：A.

9.坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之

美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若

AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正

切值均為巫,則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

5

C.117mD.125m

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)線(xiàn)面角的定義求得tan/EMO=tanNEGO=YE,從而依次求EO,EG,EB,EF,再

5

把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.

【詳解】如圖，過(guò)后做￡0,平面ABCD,垂足為。，過(guò)E分別做EGLBC,EM±AB，垂足分別為

G,M,連接,

FE

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為ZEMO和ZEGO，

/-JA

所以tanNEMO=tanZEGO=—.

5

因?yàn)槠矫鍭BCD,5Cu平面ABC。，所以石

因?yàn)镋G_L5C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以平面EOG,因?yàn)镺Gu平面EOG,所以3CLOG,.

同理：OMLBM,又BM_LBG,故四邊形QWBG是矩形，

所以由BC=10得OM=5,所以EO=JS，所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=y1EO2+OG2=《呵2+5?=屈

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=VEG。+BG。="商丫+5、=8,

又因?yàn)椤闒=AB—5—5=25-5-5=15,

所有棱長(zhǎng)之和為2x25+2x10+15+4x8=117111.

故選：C

10.空曠的田野上兩根電線(xiàn)桿之間的電線(xiàn)有相似的曲線(xiàn)形態(tài).這些曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為懸鏈線(xiàn).懸鏈線(xiàn)在工程

上有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這些曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式可以為/(x)=ae'+加r(其中a,b為

非零常數(shù))，則對(duì)于函數(shù)y=/(x)以下結(jié)論正確的是()

A.若。=>，則y=/(x)為偶函數(shù)

B.若?！?1,則函數(shù)y=/(x)的最小值為2

C.若a=l,b=2,則函數(shù)y=/(x)—3的零點(diǎn)為0和ln2

D.若y=/(x)為奇函數(shù)，且上e(-oo,0)使62￡+6-2*+/(%)<0成立，則。的最小值為2J5

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接由偶函數(shù)定義判斷即可；對(duì)于B,令a=Z?=—l,ab=l即可判斷；對(duì)于C,令

2xQx.r\/2］.g

g(x)=e7：+'=0結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)互換即可判斷;對(duì)于D,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換為。》寧4=。+/關(guān)

于方在(0,+。)上面有解，結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】對(duì)于A,若。=>，>=/(無(wú))定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

且此時(shí)/(—xNUeT+e-Dbae+e-xk/a),即y=/(x)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B,^a=b=-l,ab=l,貝!］/(%)=—(6’+-”)<0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a=l力=2,則8^)=〃月_3=1+3_3=屋'3：'+2,令g(%)=o,

解得eJi或6%=2,即％=0或x=ln2,所以函數(shù)y=/(%)—3的零點(diǎn)為0和1口2,故C正確；

對(duì)于D,若y=/(x)為奇函數(shù)，則/(0)=。+人=0,即Z>=—“，經(jīng)檢驗(yàn)Z?=—”符合題意，

由題意不等式e2v+e-2x+a(e'—)W0在(―”,0)上有解，

而在(一。,0)上有ex>l>ex，

所以a2匚土之;在(一",0)上有解，

e%-e%

不妨設(shè)/=e-l-e">0,(x<0),則/=卜一'—/『=e%+e2x-2,

所以02三±=/+：關(guān)于/在(0,+“)上面有解，

由基本不等式得a24±2=/+222血，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)t=er—e*=0即x=ln［近三也］時(shí)等

ttI2J

號(hào)成立，

綜上所述，。的最小值為2夜，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先將不等式轉(zhuǎn)換為a?寧*=。+：關(guān)于/在(0,+。)上面有解，

由此即可順利得解.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/(x)=4"+log2X,則/佶］=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，把x=!代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

2

【詳解】函數(shù)/'(xX#+logzX,所以/(g)=43+10823=2—1=1.

故答案：1

12.若向量〃=(l,x),b=(2,1),且且向=.

【答案】亞

【解析】

【分析】根據(jù)。工匕，得。0=0,即lx2+x-l=0,求得尤=—2,再根據(jù)向量的模的計(jì)算方法可求得|同.

【詳解】因?yàn)閍工匕，所以。力=0，即lx2+x4=0,解得x=—2,所以a=(l,-2),所以

故答案為：卮

【點(diǎn)睛】本題考查向量的垂直關(guān)系和向量的模的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.設(shè)函數(shù)/(%)=—sin2],若/(x+0是偶函數(shù)，貝〃的一個(gè)可能值是.

7T

【答案】一(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】由函數(shù)的解析式求出/(x+f)的解析式，根據(jù)題意和三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式求出f的所

有取值的集合，再求出其中一個(gè)值即可.

【詳解】V/(x)=-sin2x,/./(%+?)=-sin2(%+/^)=-sin(2x+2?),

?.?/■(1+/)是偶函數(shù)，,2/=]+析，(左eZ),即/=：+巧，(左eZ),

則，的一個(gè)可能值是士jr.

4

JT

故答案為：一(答案不唯一).

4

x-4,x>A

14.己知aGR,函數(shù)/(x)=當(dāng)4=1時(shí)，不等式/(x)>0的解集是

x~0+3x-4,x<A.

.若函數(shù)/⑺恰有2個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍是.

【答案】①.(f,—4)。(4,+8)②.(-4,1](4,包)

【解析】

【分析】分和光<1兩種情況解不等式/(x)>0,可求得其解集，在同一坐標(biāo)系中作出y=x-4和

y=Y+3x-4的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

x-4,x>l

【詳解】當(dāng)4=1時(shí)，/(x)=<

x2+3%-4,尤<1'

當(dāng)121時(shí)，由/(x)>0,得尤―4〉0,解得x>4,

當(dāng)x<l時(shí)，由/(x)>0,得%2+3%—4>0，(x-l)(x+4)<0,得x<—4或x>l(舍去),

綜上，不等式/(x)>0的解集是(-8,-4)U(4,+8),

在同一坐標(biāo)系中作出y=x-4和y^x2+3x-4的圖象，如圖所示，

由圖象可知當(dāng)

當(dāng)；IWY時(shí)，/⑴只有1個(gè)零點(diǎn)為4；

當(dāng)—4</lWl時(shí)，AM有2個(gè)零點(diǎn)為T(mén)和4,

當(dāng)1</LW4時(shí)，/⑺有3個(gè)零點(diǎn)為—4,1和4；

當(dāng)4>4時(shí)，/(幻有2個(gè)零點(diǎn)為T(mén)和1.

故當(dāng)—4</lWl或4>4時(shí)，Ax)有2個(gè)零點(diǎn)，

即2的取值范圍是(-4,1]IJ(4,+9)，

故答案為：(f,-4)54,+s),(-4,l]lJ(4,4^)

15.己知無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：4+2=4+%+1(〃=1,2,3,?),01M2為有理數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若例>出〉6，則數(shù)列｛??｝單調(diào)遞增；

②數(shù)列｛4｝可能為等比數(shù)列；

③若存在&eN*,&23,%=0,則對(duì)于任意“(左―2,總有a,4+1W0.

④若存在">0,對(duì)于任意“eN*,總有|?！?lt;〃，則4=0.

其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①③④

【解析】

【分析】根據(jù)。3〉。2〉6和4+2=4+%+1("=1，2,3,?)可判斷4〉0,進(jìn)而可判斷①，

根據(jù)等比中項(xiàng)即可得矛盾判斷②，根據(jù)遞推關(guān)系，可由a5=0,設(shè)

即可根據(jù)遞推關(guān)系4+2=%+%+1(〃=1,2,3,?)推斷出數(shù)列的其他項(xiàng)，即可判斷③，

根據(jù)遞推式求出通項(xiàng)公式即可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，由a“+2=%+%+"〃=1,2,3,-),且。3〉。2〉4，所以。3=4+4〉4=>%>°，

因此。3〉。2>。1>°，由4+2+4+1遞推可知，

an>0,所以?！?2-?！?1=4〉0，又。3〉%〉%>0，即見(jiàn)+1>%，故｛?！保秊閱握{(diào)遞增數(shù)列，①正

確；

對(duì)于②，若｛4｝為等比數(shù)列，顯然仆生都不為零，則/q=d，

結(jié)合。3=01+出，因止匕(4+%)《=。2,

故a；-a；=0n生=1±f-a^=0=>—=~~這與4，。2為有理數(shù)矛

盾，

故｛%｝不可能為等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若存在&eN*,左023,。島=。，由4+2=a“+a“+i=1,2,3,?)

可得%=%.2+%一1=°=%-2=-4。一1，進(jìn)而2%T=一4-1W°，

a=a

又k0-l%-3+氣)-2=-a%-2=k0-3+a&-2=-2。勾-2=a%-3，

所以%-3%0-2=—2"_2W0,

依次類(lèi)推：不妨設(shè)"T=x(xwo),由于4。=0,由%+2=4+4+1(〃=1，2,3,'),

則此時(shí)氣以及其前面的項(xiàng)依次為：，13尤,一8%,5%,-3%,2%-%,蒼。，前啟T項(xiàng)的值

正負(fù)交錯(cuò)出現(xiàn)，故對(duì)于任意九42,總有?0.

當(dāng)4「1=0時(shí)，數(shù)列｛4｝各項(xiàng)都為零，顯然符合題意，③正確;

對(duì)于④，當(dāng)數(shù)列｛4｝各項(xiàng)都為零即%=0時(shí)，顯然存在無(wú)數(shù)個(gè)M＞0,對(duì)于任意〃￡N*,總有

同＜以；

若數(shù)列｛??｝各項(xiàng)不都為零，即4,生中至多一個(gè)為零,

因?yàn)?+2=%+4+1("=1,2,3,),設(shè)。"+2+M”+1%+嗎）,

則4+2=町4+(丁_%)%+1，所以盯=Ly_%=i,即/+X-1=0,

75-1A/5+I

x=------X二-----------------

2一2

解得：＜「或q

V5-1'

A/5+1

41

X=------

，時(shí),A/5-1A/5+I

當(dāng)《Q〃+2-~—2—

V5+1I27

y=-

因?yàn)橹兄炼嘁粋€(gè)為零，且都為有理數(shù)，所以g+與人qwO,

設(shè)%+與!…,

45-1I且里為公比的等比數(shù)列,

因此數(shù)列＜4+1------＞是以X為首項(xiàng)，以

2

n—1

目口,—1JA/5+II(1),

即4+1―

A/5+I

%=re+i]

r46+11-V5

當(dāng)《

透_]時(shí)，4+2--14+1。"+1----------an

2\27

1—y/5n-i

同理，設(shè)4-葉。卬=〃，可得。用―I(2),

2

由⑴⑵聯(lián)立解得:

易知，避上1〉1，_1<匕@<0,

22

〃11-町|

Xa+］『

當(dāng)〃趨向于正無(wú)窮時(shí),

同MJ

所以不存在這樣的4>0,對(duì)于任意〃eN*,總有|%|<加，故只能4=0.④正確.

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義數(shù)列有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及運(yùn)算，利用化歸和

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題進(jìn)行求解.

數(shù)列遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化的常見(jiàn)形式

（1）轉(zhuǎn)化為（%+2一%+J—（4+「％）=常數(shù)，則數(shù)列｛%+「4｝是等差數(shù)列.

11f11

（2）轉(zhuǎn)化為--------=常數(shù)，則數(shù)列一卜是等差數(shù)列.

an+\an4

11f11

（3）轉(zhuǎn)化為--------------=常數(shù)，則數(shù)列------%是等差數(shù)列.

4+i+c4+cU+cJ

（4）轉(zhuǎn)化為北二一直=常數(shù)，則數(shù)列｛〃］是等差數(shù)列.

（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列｛片｝是等差數(shù)列.

（6）轉(zhuǎn)化為log》an+1-logban=常數(shù)，則數(shù)列｛log,an｝是等差數(shù)列.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.

16.在公差不為0的等差數(shù)列｛%,｝中，%=5,且%，的，6成等比數(shù)列?

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和S,；

(2)設(shè)a=求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和公式?；.

a3

2

【答案】(1)4=2〃—3,Sn=n-2n

n

(2)

l-2n

【解析】

【分析】(1)利用已知條件和等比中項(xiàng)，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式;

(2)利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

公差d不為零的等差數(shù)列｛%｝中，%=5,又％，％，4成等比數(shù)列，

。4=4+3d=5a+3d=5

所以I；，即,x、2，、/、，

q=a2a$[(q+2d)=(%+d)(q+5d)

解得的==2,

則cin=勾+(77—Y)d——1+2("-1)=2H—3,

S——YtZZZ?

n22

【小問(wèn)2詳解】

11_______

由(1)可知，

bn=-----(-2--〃—3)(2〃—1)

aa2{2n-32n-l)

??+l

可得數(shù)列｛勿｝的前幾項(xiàng)和

11-nn

2(32n—32/7-12〃一1—1—2〃

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面A3CD為正方形，24,平面ABC。，M,N分別為棱

的中點(diǎn)，PA=AB=2.

(1)求證：〃平面A4B；

(2)求直線(xiàn)與平面PC。所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，"分別為x、＞、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.求出直線(xiàn)“W

的方向向量和平面尸皮）的法向量，由線(xiàn)面角的向量公式代入即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在四棱錐P—ABCD中，

取己4的中點(diǎn)E，連接上3、EM，

因?yàn)镸是。。的中點(diǎn)，所以初"/AD,n.EM=-AD.

2

又因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，N是的中點(diǎn)，

所以5N〃AD,且BN==AD.所以EM/1BN,EM=BN.

2

所以四邊形是平行四邊形，所以MNHEB.

由于石Bu平面上鉆，平面P4B，所以MN//平面P4B.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以又因?yàn)槠矫鍭BCD.

所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x、V、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

4（0,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,尸（0,0,2）,M（0,1,1）,N（2,l,0）.

PC=（2,2,-2）,CD=（-2,0,0），

/、m-PC=0,[x+y-z=0,

設(shè)平面PCD的法向量為根=（x,y,z）.有：{即（'令y=l,則z=l,

'7[m-CD=0,[x=0,

所以機(jī)=（0,1,1）.腦V=（2,0,—l）.設(shè)直線(xiàn)MV與平面PBD所成角為夕

/、\MN-n\|0x2+lx0+lx(-l)|710

有：sin。=cos（MN,m}-----j-p-r

75x72-10

所以直線(xiàn)與平面PC。所成角的正弦值為巫.

10

Z八

18.在△ABC中，A/3sin+—J=-cos+—J.

(1)求8的值；

(2)給出以下三個(gè)條件：①片―〃+02+30=0；②a=6,b=l；③S』BC="^，若這三個(gè)條件

中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問(wèn)題：

(i)求sinA的值；

(ii)求NABC的角平分線(xiàn)5。的長(zhǎng).

2兀

【答案】(1)B=—

3

(2)正確條件為①③，(i)sinA=±g，(ii)BD=—

148

【解析】

【分析】(1)利用和角正弦公式可得2sin[B+1]=0,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求8的值；

(2)根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，(i)應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長(zhǎng)，最后由正弦定

理求sinA；

jr

(ii)由角平分線(xiàn)性質(zhì)求得NAB。=—,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出sin/AOB,再

3

根據(jù)正弦定理求8。的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)6sin13+E)+cosfB+-^-j=2sinfB+j=0,

,71人兀471

而一＜3+一＜——,

333

71271

所以B+—=兀，故3=—；

33

【小問(wèn)2詳解】

若①②正確，則C2+3C+2=(C+1)(C+2)=0,得c=—1或c=—2,

所以①②有一個(gè)錯(cuò)誤條件，則③是正確條件，

若②③正確，則=可得sinC=">l,即②為錯(cuò)誤條件,

242

綜上，正確條件為①③，

⑴由2accosJ3=a?+。2—〃，則c(3-a)=0,即a=3,

又SA*=Lacsin3="百,可得。=5,

ABC24

a614

所以9—廿+25+15=0,可得匕=7,則—^=-7^=F，

sinAsinB

fesinA=—;

14

(ii)因?yàn)閟inA=更且Ae，得cosA=Jl-sii?A=1,

14I3J14

jr

由5D平分/ABC得NABD=—,

3

在△回￡＞中，sinZADB=sin(ZABD+A)=—x—+~x^-=~,

''2142147

5義晅

在△AB。中，由?_=———,得5。1415

sinAsinZADB473T

7

3

19.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=#―ax/(x)+2tzx--x2(aeR).

ci)證明：/(%)<x；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】⑴由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證Inx—x<0,構(gòu)造函數(shù)/2(x)=lnx—%,對(duì)函數(shù)可力進(jìn)行求導(dǎo),

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)人(九)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可得證；

(2)對(duì)函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)aWO,0<a<e,。=e和a〉e這四種情況，進(jìn)而即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：已知/(x)=lnx,函數(shù)定義域?yàn)?0,+“)，

要證/(%)<%,即證Inx—x<0,

不妨設(shè)M%)=lnx-x,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

11—y

可得/(x)=_—1=——，

XX

當(dāng)0cx<1時(shí)，”(％)>0,入⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)x〉l時(shí)，1(力<0,/?)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)無(wú)=1時(shí)，函數(shù)人(同取得最大值，最大值入⑴=—1,

貝I]f[x)<x-

【小問(wèn)2詳解】

已知g(X)=[必一ax]InX+2ax--|x2,函數(shù)定義域?yàn)?0,+"),

可得g，(x)=(x-a)lnx+[；x2-ax^--+2x-^x=(x-a)(lnx-l),

令g'(x)=0,解得x=a或％=e,

若〃<0,

當(dāng)0<x<e時(shí)，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)％〉e時(shí)，g'(X)>0,g(x)單調(diào)遞增；

若0<ave,

當(dāng)0(尤<a時(shí)，g'(%)>0，g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)a<x<e時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)％>e時(shí)，g'(x)〉O,g(x)單調(diào)遞增；

若…,gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

若a〉e,

當(dāng)0<x<e時(shí)，g'(X)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)e<%<〃時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>a時(shí),g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，g(x)在(O,e)上單調(diào)遞減，在(e,+“)上單調(diào)遞增；

若0<a<e時(shí),8(力在(0,。)，3+。)上單調(diào)遞增，在(a,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=e時(shí)，g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a〉e時(shí)，8(x)在(0簿)，(a,+“)上單調(diào)遞增，在(e,a)上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證Inx—x<0,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx—x是解題關(guān)鍵，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

的最值問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)以及分類(lèi)討論思想.

1+尤

20已知函數(shù)/(x)=tu-----.

ex

(1)若曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為丁=%+入，求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)若函數(shù),⑺在區(qū)間(0,2)上有本單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若/(丈)在區(qū)間(0,2)上存在極大值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果).

【答案】(1)a=l力=-1

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)7=—a：*=三+a,再根據(jù)曲線(xiàn)y=/(元)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為

y=x+b求解;

Y

(2)根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(0,2)上存在單調(diào)增區(qū)間，又/7x)=—+。>0在(0,2)上有解求解;

e

小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?''(x)=a—l+

exe

所以/'(0)=a,

因?yàn)榍€(xiàn)y=/(尤)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為y^x+b,

所以切線(xiàn)斜率為1,即。=1,/(0)=—1="

所以a=l,b=-l.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)于(x)在區(qū)間(0,2)上存在單調(diào)增區(qū)間，

Y

所以/5)=—+。>0在(0,2)上有解，

ex

即只需(x)在(0,2)上的最大值大于0即可.

X1—x

令h(x)=r(x)=—+a,h\x)=—,

exex

當(dāng)xe(0,1)時(shí),/z'(x)>0,/z(x)為增函數(shù)，

當(dāng)xe(1,2)時(shí)，〃'(x)<0,〃(x)為減函數(shù)，

所以，當(dāng)x=l時(shí)，及O)取最大值1+a,

e

故只需—Fa>0,即a〉—.

ee

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-1,+8I.

【小問(wèn)3詳解】

21.己知數(shù)列{4},也}的項(xiàng)數(shù)均為m(加>2),且凡也e{l,2,…,根},{%},{2}的前〃項(xiàng)和分別為

A”,B”,并規(guī)定為=穌=0.對(duì)于左e{0,l,2,..，相},定義〃=max*l4W4，ie{0,1,2,…，叫},其

中，max"表示數(shù)集/中最大的數(shù).

(1)若％=2,4=1,%=3,4=L4=3,4=3,求為“，公弓的值；

(2)若生/偽,且2rz<弓+1+號(hào)_],/=1,2,,m-l,,求乙；

(3)證明：存在p,dsje{0,1,2,、口},滿(mǎn)足。〉使得A。+g=4+及.

【答案】(1)4=0,[=1,4=1,4=2

(2)

(3)證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】⑴先求A，A，A，A，8。,4,馬鳥(niǎo)，根據(jù)題意分析求解；

(2)根據(jù)題意題意分析可得?-〃21,利用反證可得=l,在結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解；

(3)討論4“,與,的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知：4=。，4=2,4=3,A3—6,B0—0,51=1,B2—4,53=7,

當(dāng)左=0時(shí)，則4=A=0,4>4,，=1,2,3,故為=0；

當(dāng)％=1時(shí)，則30Va,4va,4>A,,力=