天津市河西區(qū)2024屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

天津市河西區(qū)實驗中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，設(shè)其前"項和S“，若用=4"(〃eN*)，則S5=()

A.30B.3172C.1572D.62

2.如圖，平面四邊形ACBD中，ABLBC,AB=6BC=2,AABD為等邊三角形，現(xiàn)將沿A5翻

折，使點。移動至點P,且則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()

3.已知函數(shù)Ax)滿足當(dāng)無＜0時，2f(x-2)=f(x),且當(dāng)xe(—2,0］時，/(x)=|x+11—1；當(dāng)x＞0時，

/。)=108〃雙。＞0且。/1).若函數(shù)/(*)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則。的取值范圍是()

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

4.已知acR,beR,貝!)“直線ax+2y-l=0與直線(a+l)x-2ay+l=0垂直”是“。=3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對稱的為()

A."MgB./(x)=j7+2x+，7-2x,xe[-l,2]

X,-x

C./(x)=sin8xD.f(x)=—

X

6.已知｛%｝為正項等比數(shù)列，s“是它的前”項和，若q=16,且％與內(nèi)的等差中項為。，則項的值是()

O

A.29B.30C.31D.32

7.如圖，在AABC中，點。為線段AC上靠近點A的三等分點，點P為線段BQ上靠近點B的三等分點，則PA+尸。=

195711027

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

8.數(shù)列｛〃〃｝滿足：q=：，?！ㄒ??！?1=2a〃a〃+i，則數(shù)列｛。/向｝前10項的和為

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

9.已知定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，且y=/(x—1)的圖象關(guān)于x=l對稱，若實數(shù)。滿足

flog/</(-2),則。的取值范圍是()

I2)

A.[ofB.C,D.(4,+oe)

10.已知函數(shù)%+后大有兩個不同的極值點看，x2,若不等式/(%)+/(%2)>2(玉+12)+，有解，貝!K

的取值范圍是()

A.(~℃,—2In2)B.(—co,-21n2]

C.(-w,-ll+21n2)D.(-oo,-ll+21n2]

11.2021年部分省市將實行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生

物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為

11

A.-B.-

84

11

C.—D.一

62

12.已知銳角。滿足2sin2o=l-cos2。，則tana=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）=12一"41函數(shù)8⑴=/⑴+/（—%），則不等式g（x）<2的解集為__.

（%-1）,%>1

但x>0

14.設(shè)/（x）=x'（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=/2（x）—（2根-l）/（x）+2,若函數(shù)g（x）恰有4

-2019%,x<0

個不同的零點，則實數(shù)機的取值范圍為.

15.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S“為其前幾項和，若%=1，且$5=邑+2,則公比q的值為.

22

16.若橢圓C：二+――=1的一個焦點坐標為（0,1）,則C的長軸長為.

mm-1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在平面直角坐標系xOv中，直線/的參數(shù)方程為｛°ca為參數(shù)），以坐標原點。為極點，X軸的

U=3-2，

正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕=4sine.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線/與曲線C交于A、B兩點,求AQ鉆的面積.

18.（12分）已知三棱柱A3C—4用孰中，AB=BB［=2,。是的中點，/B/A=60。，BXD±AB.

（1）求證：AB±AC；

（2）若側(cè)面ACC】A為正方形，求直線用。與平面G所成角的正弦值.

19.（12分）［選修4-4：極坐標與參數(shù)方程］

x=V2+V2cosa

在直角坐標系xQy中，曲線C］的參數(shù)方程為（&是參數(shù)），以坐標原點。為極點，左軸的正半軸

y=yj2sina

為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為Q=4sin，.

（1）求曲線G的極坐標方程和曲線02的直角坐標方程;

⑵若射線e=,O＜，＜m與曲線G交于。，A兩點,與曲線交于。，3兩點，求3+|沖取最大值時tan6

的值

20.（12分）在平面直角坐標系x0y中，已知拋物線石：丁2=2勿（°＞0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,尸是拋物線上E上

一點，且點尸的橫坐標為2,|母1=3.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過點尸的直線機與拋物線E交于4、B兩點，過點/且與直線機垂直的直線〃與準線/交于點"，設(shè)A3的

中點為N,若。、MN、E四點共圓，求直線加的方程.

21.（12分）已知橢圓C：三+\=1（?！?〉0）的離心率為?，右焦點為拋物線V=4x的焦點

（1）求橢圓C的標準方程；

4

（2）。為坐標原點，過。作兩條射線，分別交橢圓于4、N兩點，若OM、GV斜率之積為一彳，求證：△MON

的面積為定值.

22.（10分）已知O為坐標原點，點耳（—也,0）,與（板,0），S（372,0）,動點N滿足|g|+|NS|=4g,點P

為線段Nf；的中點，拋物線C：一=2加火〃2〉0）上點A的縱坐標為#,OA.OS=6屈

（1）求動點P的軌跡曲線W的標準方程及拋物線。的標準方程；

（2）若拋物線C的準線上一點。滿足OPLOQ,試判斷薪干+就產(chǎn)是否為定值，若是，求這個定值；若不是,

請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)%。用=4",分別令”=1,2,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公

式，最后利用等比數(shù)列前"項和公式進行求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由題意可知中：。]>0,4〉0.由?！?。用=4",分別令〃=1,2,可得的2=4、。2%=16,

a,-a,-a=4fa,=J2

由等比數(shù)列的通項公式可得：C2匕=，

c^-q-a^q=16[q=2

因此S5=也1_2.=3172.

51-2

故選：B

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

2、A

【解析】

將三棱錐P-A5C補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角

形的外心連線上，在舟OBE中,計算半徑08即可.

【詳解】

由PBLBC,可知3C，平面%8.

將三棱錐P-ABC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

BC

由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，

記ZXABP的外心為E，由人鉆。為等邊三角形，

可得BE=1.又0E=g=l,故在OBE"中，OB=0，

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8?.

故選：A

【點睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.

3、C

【解析】

先作出函數(shù)/■(》)在(-8,0］上的部分圖象，再作出/(x)=log.x關(guān)于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點

時滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數(shù)/Xx)在(一*0］上的部分圖象，再作出"X)=logflx關(guān)于原點對稱的圖象，

如圖所示，當(dāng)0<。<1時，對稱后的圖象不可能與在(-8,0］的圖象有3個交點；

當(dāng)。>1時，要使函數(shù)fM關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，

^?6M4-2r\<

a>l

貝卜—log.3〉—g,解得9<a<625.

,u1

-logfl5<--

故選：c.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

4、B

【解析】

由兩直線垂直求得則a=0或。=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，“直線ax+2y-1=G與直線(a+l)x-2ay+1=0垂直”

則a{a+1)+2x(—2a)=0,解得a=0或Q=3,

所以“直線依+2y-1=0與直線(a+l)x—2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分條件，故選B.

【點睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得。的值，同時

熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

A中，xeR,f1,故=為奇函數(shù)；

J(-x)~+lVx2+l

5中，/(x)=j7+2x+J7-2x的定義域為[-1,2],

不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，f(x)=sin8x為奇函數(shù)；

。中，xeR且xwO,于(-x)=:=/(?,故/(x)=e'+：'為偶函數(shù).

(—X)x~

故選：D.

【點睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：

(1)定義法：對于函數(shù)“元)的定義域內(nèi)任意一個x都有/(x)=-/(-x),則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；都有/(x)=A(-幻,

則函數(shù)『(X)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點(V軸)對稱.

6、B

【解析】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計

算即可得到所求.

【詳解】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,

則a4=16q3,a7=16q6,

a’與a7的等差中項為W9，

即有34+37=—,

4

9

BP16q3+16q6,=—,

4

解得q=；（負值舍去）,

2

故選C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

PA+PC=BA~BP+BC-BP=BA+BC-^BQ,將BQ=BA+AQ=葩+gAC,AC=BC—BA代入化簡即

可.

【詳解】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-^BQ

=BA+BC-|(BA+Ag)

=-BA+BC--x-AC

333

1?57

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故選:B.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.

8、A

【解析】

11c1

分析：通過對an-an+i=2anan+i變形可知--------=2,進而可知4=------,利用裂項相消法求和即可.

aa

n+ln2n~1

11-

詳解：；,二--=2.

an+\an

...；=；+2（n—3）=2n-l,gpa；）=—^—,

/2〃-1

a“％+i=^（a?-4+i）=〈j1-1I，

22^2n-l2n+ly

；?數(shù)列｛。九%+1｝前10項的和為萬］1_§+§_勺+

故選A.

點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)一不=717(2)「---『+k-赤);(3)

n[n+k)k\nn+kJ弋n+kkv'

]_J_(_[______]__y]=,^hn〃+i)；〃+2)；此外'需注意裂項

(2w-l)(2n+l)~2{2n-l~2n+lJ；⑷n(n+l)(n+2)-2

之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

9、C

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，又由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分

/、

析可得ylog/<f(-2)f(|log2tz|)</(2)|log2a\<2,解可得。的取值范圍，即可得答案.

\2J

【詳解】

將函數(shù)y=/(%—1)的圖象向左平移1個單位長度可得函數(shù)y=/(￡)的圖象，

由于函數(shù)y=/(%—1)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

(\

即函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù),由/logy</(-2),得"|log24)</(2),

I2)

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，則|log24<2,得—2<log2i<2,解得:<Q<4.

因此，實數(shù)。的取值范圍是]:,4

故選：c.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)y=/(%)的奇偶性，屬于中等題.

10、C

【解析】

先求導(dǎo)得r(x)=2a『—J+1(%>0),由于函數(shù)/(九)有兩個不同的極值點再，/，轉(zhuǎn)化為方程2依2—%+1=。有

X

兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)/,%+々，求出"的取值范圍，而/(玉)+/(七)>2(%+為2)+/有解，通

過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)力(。)=-力-l-ln(2a)[0<a<g；通過利用導(dǎo)數(shù)研究/z(a)單調(diào)性、最值，即可得出?

的取值范圍.

【詳解】

由題可得：f(x)=2-~~X+1(x>0),

X

2

因為函數(shù)/(x)=ax-x+lnx有兩個不同的極值點占，x2,

所以方程2依2-x+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，

A=1—8〃>0,

于是有%+%2=—>0,解得0<6Z<—.

2a8

=—>0,

122a

若不等式/(%)+/(%)>2(%+%2)+r有解，

所以/<[/(再)+/(%)-2&+%)]厘

因為〃%)+/(%)—2(%+x2)=鬲一%+lnXj+遍一兀2+lnx2-2(玉+x2)

=〃[(再+%2J-2X1%2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)=.

設(shè)/z(a)—------1—ln(2〃)|0<67<一|,

4aI8)

/(a)=上學(xué)>0,故/。)在jo」]上單調(diào)遞增，

4a一I8J

故")<W=—ll+21n2,

所以f<—n+21n2,

所以t的取值范圍是(―8,—11+21n2).

故選：C.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計算

能力，有一定的難度.

11、B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率。=—=一,

124

故選B.

12、C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2。=1一2sin2a代入計算即可.

【詳解】

由已知，4sinacos?=2sin2?>因&為銳角，所以sintzwO,2coscir=since,

即tana=2-

故選：C.

【點睛】

本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

/(%)=<l-x,-l<x<l,/(-x)=<1+%,-1<X<1,

,x>1(x+l)~,x<-1

x2+3x+4,x<-1

所以g(x)=2,-IVxVl,

x2-3x+4,x>1

所以g(x)W2的解集為［-2,2］。

點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進行分段處理，再得到了(-x)的解析式，求得g(x)的分段函數(shù)

解析式，再解不等式g(%)W2即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。

14、m>2

【解析】

求函數(shù)1(x),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)Ax)的圖象，設(shè)f=/(x),若函數(shù)g(x)恰有4個零點，則等價為

函數(shù)/z(Z)=Z2-(2m-l)/+2有兩個零點，滿足/>1或利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可.

【詳解】

當(dāng)%>0時，F(xiàn)(x)=e(l

X

由/'(%)>。得：1-Znr>0,解得0<x<e,

由廣(x)<。得：1一/加<0,解得x〉e,

即當(dāng)x=e時，函數(shù)/(尤)取得極大值，同時也是最大值，f(e)=1,

當(dāng)xf中?,y(x)f。，

當(dāng)XfO,/(x)f-8,

作出函數(shù)/'(x)的圖象如圖,

設(shè)［=/(%),

由圖象知，當(dāng)/〉1或/<0,方程r=/(x)有一個根,

當(dāng)/=0或/=1時，方程”/(X)有2個根,

當(dāng)0</<1時，方程f=/(x)有3個根，

則g(x)=f(x)-(2m-1)/(%)+2,等價為/!(?)=?-(2m-l)Z+2,

當(dāng)［=0時,/7(0)=240,

二若函數(shù)g(x)恰有4個零點，

則等價為函數(shù)的）=/一（2相-1）?+2有兩個零點，滿足/>1或0</<1,

7/(0)=2>0

則

/?(1)<0

BPA（1）=l-2m+l+2=4-2/n<0

解得：m>2,

故答案為：7">2

【點睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的/（X）的單

調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

V5-1

15、

2

【解析】

將已知由前"項和定義整理為。3+%+%=2,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列｛風(fēng)｝各項均為正數(shù)，舍根得

解.

【詳解】

因為—kS<2+2=>%+%+生+。4+〃5=4+%+2—/+。4+%=2

-1±A/5

即〃3+i3V+o3v2=2nq2+g-i=0ng=

-2~

又等比數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，故"=與1

故答案為：避二

2

【點睛】

本題考查在等比數(shù)列中由前〃項和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.

16、2百

【解析】

由焦點坐標得根2-1-m=1從而可求出7〃=2,繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.

【詳解】

解：因為一個焦點坐標為(0」)，則根2—1—771=1,即加之—777—2=0,解得加=2或機=—1

2222

由二+Y—=1表示的是橢圓，貝!|加＞0,所以加=2,則橢圓方程為乙+工=1

m-132

所以a=-\/3,2a—2＞/3?

故答案為：2班.

【點睛】

本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略機＞0,從而未對的兩個值進行取舍.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、⑴l:2x+y-3=0,C:x+y-4y^0；(2)^1.

【解析】

(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)f可得出直線/的普通方程，在曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以夕，結(jié)合

'n2=x2+V2

■可將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；

Qsm。=y

(2)計算出直線/截圓C所得弦長|人耳，并計算出原點。到直線/的距離d',利用三角形的面積公式可求得AGL4B的

面積.

【詳解】

X—t

(1)由1cc得y=3-2x,故直線/的普通方程是2x+y—3=0.

U=3-2f

一二42

由夕=4sin6?,得"=4psin。，代入公式-得1+丁2=4丫，得一+/一分=。，

[psm3=y

故曲線C的直角坐標方程是/十/一4丁=o；

(2)因為曲線C:f+y2—4y=0的圓心為(0,2),半徑為廠=2,

圓心(0,2)到直線2x+y—3=0的距離為1=卑)=且，

則弦長|AB|=2,2—屋=2

又。到直線/：2x+y—3=0的距離為/=以=遞,

v55

3回

所以SAOAB」|A8|x"x亞"

2112555

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算，考查計算能力,

屬于中等題.

18、(1)證明見解析(2)空

5

【解析】

(1)取A3的中點。，連接8,。耳，證明A3,平面。。用得出A3,OD,再得出ABJ_AC；

(2)建立空間坐標系，求出平面GA。的法向量〃，計算cos<〃，與?！导纯傻贸龃鸢?

【詳解】

(1)證明：取AB的中點。，連接8,OBy,

N43A=60。，B[B=2,OB=^AB=1,

OB1=。4+1-2x2xlxcos60°=y/3,

OB2+OB；=BB；,故AB_L06,

又AB_LBQ,OB,(BXD=B,,平面。。及，

A3，平面。。四，

AB±OD,

O,。分別是AB,的中點，，。。//人。，

:.AB±AC.

(2)解：四邊形ACGA是正方形，???ACLAA，

又ACLAB,ABQA4,=A,AB,A4,u平面A531A，

.?.47，平面45用4，

在平面內(nèi)作直線A5的垂線AE,以A為原點，以AB,AC,AE為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系

A-xyz,

則A(0,0,0),0(1,1,0),G(-l,2,邪),男(1,0,5,

AD=(1,1,0),AG=(-1,2,73),4。=(0,1,-A/3),

n-AD-0

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,貝小

n-AC}二0

令x=l可得：〃=（1,—1,石），

/.cos<n監(jiān)＞=2禽=+一竽

利＞1=咨

直線B]D與平面QAD所成角的正弦值為Icos＜〃

【點睛】

本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題.

19、（1）G的極坐標方程為夕=20cos6.曲線。2的直角坐標方程為必+:/一分=0.（2）V2

【解析】

'222

%/_|_y/-0^

⑴先得到G的一般方程，再由極坐標化直角坐標的公式得到一般方程，將代入得/+y2=4y,得到

y=psinO

曲線C2的直角坐標方程；（2）設(shè)點4、B的極坐標分別為（月,。），（0力），

將。=尸0＜，＜?分別代入曲線弓、。2極坐標方程得：2i=20cos〃，0=4sin〃,

|Q4|+|0/=20cos^+4sin8之后進行化一，可得到最值，此時夕=會-夕，可求解.

【詳解】

x=0+42cosal

(1)由<r得％2_20x+y2=o,

y=^Isina

x2+y2=p2

將“二代入得:

X=pcosd

Q=20COS。，故曲線q的極坐標方程為夕=20cos。.

由夕=4sin8得O2=42sin。，

將“=P代入得犬+/=4'，故曲線。2的直角坐標方程為V+y2—4y=0.

y=psind

⑵設(shè)點A、3的極坐標分別為g,e),(0,e),

將。=尸［。<，<曰分別代入曲線弓、。2極坐標方程得：夕］=2j5cos〃，夕2=4sin〃,

=

JU!)|OA|+1OB^=2-\/2cosy0+4siny5=2A/6sin^-+cos/3'2-\/6sin,其

中9為銳角，且滿足sino=l8,cos°=95,當(dāng)￡+夕=彳時，|。4|+|。闿取最大值，

332

7T

此時,=_—2=上葉=肥

2sinesin。J3

T

【點睛】

這個題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，極坐標化為直角坐標的方法，以及極坐標中極徑的幾何意義，極徑代

表的是曲線上的點到極點的距離，在參數(shù)方程和極坐標方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，

其中極徑多數(shù)用于過極點的曲線，而t的應(yīng)用更廣泛一些.

20、(1)>2=4%(2)y=±拒(X-1)

【解析】

(1)由拋物線的定義可得|P司=2+9即可求出乙從而得到拋物線方程；

(2)設(shè)直線加的方程為x=O+l,代入y2=4x,得/_4什一4=0.

設(shè)4(%,%),3(%,%)，列出韋達定理，表示出中點N的坐標，若。、M>N、E四點共圓，再結(jié)合

得OMLON,則OM.ON=0即可求出參數(shù)乙從而得解；

【詳解】

解：⑴由拋物線定義，得附=2+言=3,解得p=2,

所以拋物線E的方程為y2=4x.

(2)設(shè)直線機的方程為x=9+1，代入V=4x,得/一43一4=0.

設(shè)4(%,%),B(%2,y2),則乂+%=4乙％%=-4.

由％=4芯,yf=4%，得

L義=(%+%)2-2%%_(47)2—2x(—4)

Xj+X==4r+2，

244-4—4

所以N(2r+l,2t).

因為直線的斜率為:，所以直線〃的斜率為-人則直線”的方程為y=-《x-1).

解得"(—1,2/).

若。、M，N、尸四點共圓，再結(jié)合MVLRV/,得OMLON,

解得t=±42,

貝!|QM-QN=—lx(2/+l)+2>2f=2F—l=0,

2

所以直線m的方程為j=±V2(x-l).

【點睛】

本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.

22

21、(1)—+^=1；(2)見解析

54

【解析】

(1)由條件可得c=l,再根據(jù)離心率可求得。力，則可得橢圓方程；

(2)當(dāng)MN與x軸垂直時，設(shè)直線的方程為：x=4-〈/＜與橢圓聯(lián)立求得的坐標，通

過ON斜率之積為-g列方程可得f的值，進而可得△MQV的面積；當(dāng)肱V與左軸不垂直時，設(shè)"(七,％),

Nl9,%)，MN的方程為丫=履+加，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和。暇、(加斜率之積為-g可得

2"/=5尸+4,再利用弦長公式求出MN,以及。到的距離，通過三角形的面積公式求解.

【詳解】

(1)拋物線/=4x的焦點為b(1,0),

7.C=1,

V5c非

e——，「.———

5a5

.\a=59b=29

22

橢圓方程為土+匕=1;

54

(2)(i)當(dāng)MN與x軸垂直時，設(shè)直線的方程為：x=t(-y/5<t<45,t^0

45-t2_4

5-t---5

5

解得：t29=-

29

(ii)當(dāng)MN與x軸不垂直時，設(shè)N(x2,y2)9MN的方程為丁=區(qū)+加

y—kx+m

rfctJ222

tn]Xy1n（4+5k2）J+lObnx+5m-20=0,

——+—=