2024年3月全國乙卷高三數(shù)學(xué)（文）模擬聯(lián)考試題附答案解析

2024年3月全國乙卷高三數(shù)學(xué)（文）模擬聯(lián)考試題

（考試時間120分鐘滿分150分）2024.03

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.tan240°sin660°的值為（）

1133

A.vB.—C.一D.——

2222

2

2.已知復(fù)數(shù)2==^，貝（1三=（）

15+16

A.1-iB.-1+iC.2-2iD.2+2i

ftk-2「）

3.已知集合/={尤|-l<x+l<2},8=,,則4nA=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x\-2<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}

4.已知點4及。,。為平面內(nèi)不同的4點，若麗=2方-3皮，且就=（2,-1）,則方=（）

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（6,-3）D.（-6,3）

5.近幾年隨著AI技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，下圖為

2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說法錯誤

的是（）

W14-2O22年中國

虛總書橫企業(yè)注冊情加效

94X

A.2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加

1

B.2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410

C.2014-2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915

D.從2018?2022年企業(yè)注辦增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)不大于300的概率為:

6.如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為10cm,粗線畫出的是某體育比賽領(lǐng)獎臺三視圖，則該領(lǐng)獎臺除去

下底面的所有面的面積之和為（）

A.16400cm2B.18400cm2C.20800cm2D.23200cm2

44兀丫22

7.已知函數(shù)y的圖象是等軸雙曲線，將y=:的圖象順時針旋轉(zhuǎn)彳可得到曲線c京-%=1（°>0力>0）,

則C的焦距為（）

A.272B.4C.472D.8

8.函數(shù)/（x）=sin3尤在［0,%）上沒有最小值，則毛的取值范圍是（）

A.（0,$B.（0,y）C.（p-^1D-qg

9.知名數(shù)學(xué)教育家單博曾為中學(xué)生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到了開普勒的將球

裝箱的方法:考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為立

2

的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（）

A4及n2>/2rV2n及

3336

10.過點尸（。㈤可作3條直線與函數(shù)/（%）=-2/的圖象相切，貝|］（）

a31_a31

A.<—B.—》—

~b2b2

a3a3

C.<-2D.>-2

~b~b

2

11.已知點。為坐標原點，直線夕=日（左片0）與橢圓C：L+/交于點A,點3在C上，

a

114

若時+/=3'則°的離心率為（）

2A/6V|

A.叵B.C.D.

33~T3

2

12.已知a=g,6=lng,c=(log67-l)ln5,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

'x+y+2<0

13.已知實數(shù)滿足約束條件x+2y+8Z0,則3x+y的最小值是.

x-2y-10>0

14.函數(shù)/(x)=(2x+a)2-log2(2：i+2)是偶函數(shù),則。=.

15.平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心(三角形三條高的交點)的距

離等于外心(外接圓圓心)到該頂點對邊距離的2倍.若點/,3,C都在圓E上，直線方程為x+y-2=0,

且忸C|=2而，A/BC的垂心G(2,2)在△48C內(nèi)，點E在線段/G上，則圓￡的標準方程.

1A

16.四邊形48co中，50=2,sinN4&D=—40tan—,CD=2BC,設(shè)與ABCO的面積分別為百，

42

邑，則S￡的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知等差數(shù)列｛%｝滿足。5+=0，%+。6=。3+1.

⑴求％；

(2)若a=4-，數(shù)列｛"｝的前”項和為s"，求S"最小時對應(yīng)的"的值.

anan+2

18.某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長》(cm)與身高

x(cm)之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：

X159165170176180

y6771737678

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合>與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

(2)建立〉關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；

3

參考數(shù)據(jù)：=62194^(v,-y)2=8.6,7282?16.8

1=1Vz=l

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=i“t“，回歸方程$=a+Bx中斜率和截距的最小二乘估計公式

Ji(x,-x)2X(y,-y)2

Vi=li=l

.E(^,-^)(z-7)八

分另U為g=-----------------,a=y-bx.

￡(巧-才

Z=1

19.如圖，在三棱錐力-BCD中，AB=9,其余各棱的長均為6,點E在棱ZC上，AE=2EC,過點E

的平面與直線CO垂直，且與8C,CD分別交于點尸,G.

⑴確定EG的位置，并證明你的結(jié)論;

(2)求點G到平面DEF的距離.

20.已知函數(shù)〃x)=(x-a-l)e*T-x+alwc(a>0).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若“X)在(1,+8)上有極值點看,求證：/(x0)<-2.

21.已知傾斜角為a(0<a<^)的直線/與拋物線C：y2=2px(p>0)只有1個公共點/,C的焦

點、為F,直線AF的傾斜角為尸.

(1)求證：￡=2a；

(2)若P=l,直線/與直線x=-;交于點尸，直線//與C的另一個交點為8,求證：PA1PB.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

…fx=l+Z,

22.在直角坐標系xQy中，直線/的參數(shù)方程為。。(，為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半

卜=2-2f

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為爐=0(4cose+2sinO)-l.

4

(1)求直線/的極坐標方程；

(2)若直線/與C交于點48,求AO4B的周長.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知a,6,ce(O,+<?).

(1)^a2bc+ab2c+abc2=1，求(a+6)(6+c)的最小值；

、abbeca3

⑵右a+6+c-l,證明.(c+Q)(C+b)(Q+6)(Q+C)@+C)@+Q)4,

1.D

【分析】

由誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，化簡求值.

(八

【詳解】tan240°sin660°=tan(180°+60jsir^720°-60)=tan60^-sin60)=^~3>：—

I2

故選：D.

2.B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算和共甄復(fù)數(shù)的概念可得.

【詳解】因為2=三2=三2=一1—i,

1+11-1

所以2=-1+i.

故選：B.

3.C

【分析】

先求出集合45,再由交集的定義求解即可.

【詳解】因為4={M-1<x+1<2}={x|-2<x<1},

所以4cB={x|0<x<1}.

故選：C.

4.D

【分析】

5

根據(jù)題意，由平面向量的坐標運算代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由麗=2方一3萬不得防+2=3萬2-3萬乙

即用=3心,又就=(-2,1),

所以赤=3%=(-6,3),

故選：D.

5.B

【分析】

根據(jù)條形統(tǒng)計圖判斷A、B、C,利用古典概型的概率公式判斷D.

【詳解】由每年注冊增加數(shù)均為正數(shù)，可知2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加，故A正

確；

2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)從小到大排列為：33,48,76,84,121,256,410,

564,948,

所以2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121,故B錯誤；

2014?2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為948-33=915,故C正確；

從410,121,256,564,948中任取兩個數(shù)字，結(jié)果有10種，

所取兩個數(shù)字平均數(shù)不大于300的取法有(410,121),(121,256)共2種，

、.21

所以所求概率尸=歷=不，故D正確.

故選：B.

6.B

【分析】

根據(jù)三視圖可得組合體，根據(jù)面積公式可求所有面的面積之和.

【詳解】

6

解法一：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，

每個長方體的底面都是邊長為40cm的正方形，冠軍臺高50cm,

亞軍臺高40cm,季軍臺高30cm,

該領(lǐng)獎臺除去下底面的所有面的面積之和為3個長方體的表面積之和減去3個邊長為40cm的正方形面

積，減去2個底邊長為40cm高為40cm的矩形面積，

減去2個底邊長為40cm高為30cm的矩形面積，即

6x402+160x(50+40+30)-3x402-2x40x40-2x40x30=184001(m2),

解法二：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，

每個長方體的底面都是邊長為40cm的正方形，冠軍臺高50cm,

亞軍臺高40cm,季軍臺高30cm,

前后兩個面的面積之和為2x40x(40+50+30)=9600(cnf),

上面3個面的面積之和為3x40?=4800(cm?),

余下側(cè)面的面積之和為2x40x50=4000(cm2),

所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為9600+4800+4000=18400(cm2),

故選：B.

7.D

【分析】

4jr

由函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，求出頂點，順時針旋轉(zhuǎn);可得到等軸雙曲線C,直接求解即可.

x4

【詳解】函數(shù)V=3的圖象與對稱軸y=X的一個交點尸(2,2)就是曲線y=a的頂點，

XX

該點旋轉(zhuǎn)后變?yōu)椤?20,0),曲線C也是等軸雙曲線，

所以°=b=2夜,c=4,C的焦距為8,

故選：D

8.C

【分析】

根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.

【詳解】

7

函數(shù)/(x)=sin3尤中,當xe[O,Xo)時，3xe[O,3xo),

由〃x)=sin3x在[0,x。)上沒有最小值，得兀解37r得]IT7T

所以吃的取值范圍是

故選：C

9.D

【分析】

首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.

【詳解】

以8個頂點為球心的球各有:在正方體內(nèi)，以6個面的中心為球心的球各有;在正方體內(nèi)，

所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為變的球的體積之和，

2

44度丫

所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為“xinxb也.

-------------.....--——兀

86

故選：D

10.A

【分析】

設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出切線，由切線過點尸(。/),整理得4/一6〃2-6=0有3組解，轉(zhuǎn)化為三次函

數(shù)有三個零點問題，利用導(dǎo)數(shù)解決.

【悌解】

設(shè)過點尸(。回的直線與函數(shù)/(x)=-2/的圖象切于點Q(t,-2t3),

/(尤)=-6x2,則函數(shù)在點Q處的切線斜率k=f'(t)=-6t2,

切線方程為＞+2r=_&2。7),

由切線過點尸S，6),所以有6+2/=-6?(.一)，整理得4/一6才一6=0,

設(shè)g⑴=4P-6M-6,則問題轉(zhuǎn)化為g⑺有3個零點，

因為g'⑺=12〃-12*由g'(/)=0得/=0或公。，

若a=0,g'⑺20恒成立，g⑴在R上單調(diào)遞增，不合題意.

8

當a>0時，g'?)>0解得/<0或g'⑺<0解得0<t<a,

此時g（。在（-鞏0）和（。,+℃）上單調(diào)遞增，在（0,a）上單調(diào)遞減,

g（0）為函數(shù)極大值，g（a）為函數(shù)極小值;

當a<0時，g'(/)>0解得/<"或I>0,g'?)<0解得a<t<0,

此時g"）在（-叫。）和（0,+的上單調(diào)遞增，在伍,。）上單調(diào)遞減,

g（a）為函數(shù)極大值，g（0）為函數(shù)極小值;

g⑺有3個零點，則g（0）與g（a）異號，

即g（O）g（a）=-6）＜0,所以6（2/+6）＜0,

ZR2a3+Z?2〃3,mr、i1

得------=——+1＜0,所以＜——.

bbb2

故選：A

11.C

【分析】

2

設(shè)/（須,乂）,8（%,%）,聯(lián)立直線尸丘（入0）與橢圓C：±+J?=i（a＞i）的方程求出x：,,由橢圓的

a

114

弦長公式表示出QB「，代入+即可得出答案.

|0^||OB|3

【詳解】設(shè)4（題,必）,5（々,%），

y=kx之

由＜"1得

Va

由。4_LO5,設(shè)。8:y=^尤（左片0）,

a202k2

可得：￥

a2a2+k2?

F+,

9

a2+a2k2

所以。川2=0+用X：-：；，?

a/cI1

左2+])

=1+4,

所以一

\OAI23『/(左2+1)a

所以1+5=。,°=百，所以C的離心率為乎="

a-3V33

故選：C.

12.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（無）=足（尤+1）-無。＞0）,由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以得到

尤＞ln（x+l）,得到;＞lnb+gj=lng,作差比較logsG-loge7的大小，利用基本不等式比較大小即可.

【詳解】設(shè)/（尤）=ln（x+l）-尤（尤＞0）,則小卜心-1=言＜0,〃耳在（0,+8）上單調(diào)遞減,

?A*IxAIJ.

所以/(x)</(0)=0,所以x>ln(x+l),|>lnH+^-j=ln1,ln|=(log56-l)ln5,

（36）」咒1口

lg6_lg7=0g6/-Jg51g7

log56-log67=>

lg5lg61g51g6lg51g6

所以a>6>c,

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)/'（x）=ln（x+l）-x（x＞0）,由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（無）在（0,+s）上

單調(diào)遞減，所以得到x＞ln@+l）,利用基本不等式比較大小即可.

13./

2

【分析】

畫出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合圖象找出目標函數(shù)的最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最小值.

【詳解】

fx+y+2=0x=4,、/、（9、

由；°c解得：即C4,-6,同理求出/2,-4閭1,-彳，

如圖所示，不等式組表示的可行域是以/（2,-4）,《1,-3,C（4,-6）為頂點的三角形區(qū)域,

設(shè)z=3x+y,貝ljy=_3%+z,作直線）=—3%,

10

93

把該直線平移到點B處z取得最小值，z1nhi=3x1后=-，

3

故答案為：-不

14-1

【分析】

根據(jù)題意，利用/'（X）-/（-力=0列出方程，結(jié)合對數(shù)的運算，即可求解.

【詳解】

因為/（x）=（2x+a）2_log?（23，M+2）是偶函數(shù)，

戶+13

nT#/（x）-/（-x）=8ax-log23x+1=（8a-3）x=0,所以。=$.

2+2o

故答案為：I.

o

15.（JC-3）2+（J-3）2=18

【分析】

首先根據(jù)塞爾瓦定理以及圓的幾何性質(zhì)，求解廠和忸G|,并求直線EG的方程，求解點￡的坐標，即可

求解圓的方程.

【詳解】

由△NBC的垂心G（2,2）到直線8C距離"=0，設(shè)圓E半徑為r,

由塞爾瓦定理可得r+|EG|=2（忸G|+亞），由圓的幾何性質(zhì)可得（怪3+0）2+（9『=/，聯(lián)立解得

\EG\=V2,r=3^2>

因為直線3c方程為x+y-2=0,37,6。,且6（2,2）,所以直線EG方程為>=x,

設(shè)E（a,a）,則E到直線3c距離"'=為3=2收，解得。=-1（舍去）或。=3,

11

所以圓￡的標準方程為(x-3p+(y-3)2=18.

故答案為：(X-3)2+(J-3)2=18

16.—##-V3

99

1A4

【分析】根據(jù)正弦定理得Sin/A40=：/Dtan7,再結(jié)合余弦定理及基本不等式得45?4。(彳，得

423

S,=-AB-ADsmA<^,設(shè)6C=r,由cosC二.乜一一2?’5產(chǎn)一4,可求得

232t-2t4t2

2

=-t-2tsinC==-J--9[?-—Y<從而可求解.

24\9I9J3

【詳解】

J11J

因為30=2,由正弦定理得sin/54D=-----------=-ADsinA=-ADtan—

BD242f

.A

ijJAsm-JA1,271

所以sin/=—tan—,即2sin—cos—=-----J因為sin—wO,所以cos?—=—cos—A=——

22222c°sW224223

2

所以cos/=-1,sinZ=@

22

4

由余弦定理得5>=4爐+/02+/5./。2345./。，所以當45=4。時取等號,

所以￡=—AB?ADsin4<—x—x^-=,

122323

設(shè)5。=%,則C0=2%,在△BCD中由余弦定理得

產(chǎn)+⑵丫—225?—4

cos。二——」----

2t,2t

所以S?=；>2fsinC=J'(l-cos20芳-{7,

當。=拽時，邑取得最大值

33

所以SS的最大值為述.

9

故答案為：巫.

9

【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)

的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題,

12

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限

制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

17.(1)6Z?=2/7-13；(2)4或6.

【分析】

(1)通過基本量計算求解可得；

(2)分“V4,〃=5,6,“27討論數(shù)列也｝的符號即可求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力

由％+=°，&+&=6+1得

J2%+1Id=0

12%+8d=%+2d+1

解得q=-11,d=2,

所以+=-ll+(〃_l)x2=2“-13.

(2)由(1)得知=2〃-13,

b=3=____2,7-11----

"anan+2(2〃一13)(2〃-9)

當"V4時6”<0,

-111-1<o,所以&+4=0,

又4=——=->o,b=----

5-3x136-1x3

因為"27時2>0,

所以數(shù)列｛2｝的前4項或前6項之和最小，即S“最小時〃的值為4或6.

18.⑴說明見解析⑵？=-13.81+0.51無

【分析】

(1)根據(jù)題意，由線性相關(guān)系數(shù)的公式代入計算，即可判斷；

(2)根據(jù)題意，由線性回歸方程中2的公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

13

55

￡x,=850,x=170,￡%=365,j=73,

Z=1Z=1

5

f(X,.-X)2=112+52+02+62+102=282,

1=1

5555

￡(%-7)2=8.6,￡(x,-可(％-刃=￡XJ,-亍￡y,=62194-170X73X5=144

1=11=1J=1Z=1

5

i=l-------?0.997

16.8x8.6

Vi=li=l

因為y與龍的相關(guān)系數(shù)近似為0.997,說明了與X的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合

y與x的關(guān)系.

5

.q5一刃14424

(2)由歹=73及(1)得6=口-----------=—=--0.51,

工G(/匕-％—)\2ZoZ4/

i=l

A?4

6=歹—及=73—^x1702—13.81,

所以V關(guān)于x的回歸方程為/=T3.81+0.5h.

19.(1)尸，G^^BF=2FC,CG=-CD,證明見解析(2)又迺

6103

【分析】(1)取C0中點0,連接力。,3。，證明CD,平面NOB,從而得到平面斯G〃平面然

后根據(jù)平行線分線段成比例定理確定，尸&的位置并證明.

(2)分別以△EGF為底，DG為高,以ADEF為底,點G到平面。瓦7的距禺為高，利用等體積法求解.

【詳解】(1)尸為線段3c的三等分點且靠近C,G為線段cr?的六等分點且靠近C,

證明如下：取C0中點O,連接力。,3。，

由已知可得AC=AD=BC=BD,

所以4O_LCD,BO_LC。，

因為2。口8。=。且都在面/。3內(nèi)，

所以CD,平面NOB,

因為CD_L平面E/G,

所以平面所G〃平面NOB,

過E作的平行線與BC的交點即為廠,過E作Z。的平行線與CD的交點即為G,

因為/E=2￡C,

14

所以8b=2尸C,CG=』CO=1c。，

36

所以當3尸=2尸CCG=，CD時，平面EFG與直線CD垂直

（2）由題意可得04=05=36，因為48=9,

27+27—811

則cos2x36x3塢=-5'結(jié)合三角形內(nèi)角范圍有4408=120"，

由（1）可得/EGF=//O3=120°,GE=GF=；。4=班,

所以AEGF的面積S=LxG￡xG尸xsin/EGF=-x屈屈sinl20°=,

224

又點D到平面EGF的距離為DG=yCD=5,

6

所以三棱錐D-EG/的體積%=，xOGxS=-x5x—=—,

3344

在△DCE中，CD=6,CE=2,ZDCE=60°,

所以DE=yjCD-+CE2-2CD-CEcosZDCE=,36+4-2x6x2xcos60°=2近，同理。尸=2近，

又EF=gAB=3,所以ADEF的面積S'=；EFx卜￡2_g_昉］=｝頭小28-＞力^￡,

設(shè)點G到平面DEF的距離為h,則三棱錐G-DEF的體積廣=L/￡，=晅4，

34

由『=『得畫^=述，所以〃=%O.

44103

20.(1)答案見解析⑵證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求/(x)的單調(diào)性

(2)由(1)中的結(jié)論，得極值點小的值，代入函數(shù)解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

【詳解】(1)/(x)=(x-a-l)exl-x+dn.x,函數(shù)定義域為(0,+e),

15

則有/，(x)=(x-a)e^'-l+￡=(x-a)卜--j,

設(shè)g(x)=ei-1,函數(shù)定義域為(0,+動，

由函數(shù)y=e-和y=-L在(0,+。)上都單調(diào)遞增，則g(x)在(0,+0上單調(diào)遞增,

X

又g(l)=0，貝|0<x<l時，e'T<0；尤>1時，ex-'-->0,

XX

⑴若0<a<l,xe(a,l)時/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,xe(0,a)和xe(l,+")時/(x)>0,/(x)單調(diào)

遞增；

(ii)若。=1,r(x)>o,〃無)在(。,+8)上單調(diào)遞增;

(iii)若0>1,xw(l,a)時/<x)<0,/(x)單調(diào)遞減,xe(0,l)和xe(a,+oo)時/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞

增.

綜上可得，

0<a<1時/'(x)在(a,1)上單調(diào)遞減，在(0,a)和(1,+8)上單調(diào)遞增；

a=1時〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

a>1時/(X)在(l,a)上單調(diào)遞減，在(0,1)和(a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知/(x)在(1,+e)上有極值點飛,則。>1,且％=a,

所以/'(%)=f(a)-alna-a-ea~l,

設(shè)〃(a)=ataa-a-ea-1(a>1),貝?。輍'(a)=\na-ea-1,

設(shè)"⑷=〃(a),則dS)=』-e"T,

由。>1,有,<1,ea-1>1,

a

所以°,⑷<0,貝IJ〃(a)在(L+e)上單調(diào)遞減，得〃⑷<〃(1)=-1<0,

所以〃(a)在(1,+“)上單調(diào)遞減，

有〃(°)<硝)=一2,即

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化

為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函

16

數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成

立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問題，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用

它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.

21.（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】

（1）設(shè)出得直線/的方程為=再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合只有一個切點可

得，=」乙，從而可求解.

tana

（2）設(shè)則直線N5的方程設(shè)為X=叼+；,與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根關(guān)系為/=-1,

從而可求解.

【詳解】（1）

(I1、

設(shè)力~一/,貝!1/的方程為歹一%=%—7—tana,

(22)I2p)

與）2=2px聯(lián)立得「--紅~y+2”72-0,

tanatana

因為直線l與拋物線C只有1個公共點，

所以空一-4（上匹-產(chǎn)］=0,整理得/=一^

tana\tana）tana

/71匕入21--2，I，

^2tanatana)

P

又“與,01，所以tan￡=—皿^—=2嗎=tan2a,

[2Jpp1-tan2a

2tan2a2

jrTT

因為0<a<—,0<2a<—

42f

所以tanp=tan2a>0,0</?<p

所以〃=2a.

(2)

夕=1時，。的方程為/=2x,

17

把P=l,tag；代入了—=卜總卜na得/的方程為廣河，

把戶一代入得廣；-f

設(shè)直線AB方程為x=my+^,與/=2》聯(lián)立得「-2加》-1=0,

t,%是該方程的兩個根，所以為f=T,所以為=-;，

所以a?a=；I卜？]2"=_],

于十萬

方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（為,必）,（如力）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或了）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為%+Z、網(wǎng)%（或%+%、必%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

22.⑴O（2cos0+sin0）=4；⑵2療+笠I.

【分析】

（1）利用消參法求出直線/的普通方程，再利用直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化公式，即可求得答案;

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（2）解法一：利用極坐標方程求出門=.=不，可得|。4|,|。邳，再利用點到直線的距離公式結(jié)合弦長

公式求出恒同，即可求得答案；

解法二:求出C的直角