2024年中考數學考試易錯題-最值問題之四邊形

中考特色題型專練之最值問題—四邊形

1——

題型一、將軍飲馬(最小值)

1.如圖，菱形/BCD中，440=60。,M是AB的中點，?是對角線ZC上的一個動點,

若PM+尸3的最小值是G，則48長為()

試卷第1頁，共14頁

D

A.2B.1C.273D.3

2.如圖，在邊長為2的正方形/BCD中，點。是3c的中點，點尸是對角線/C上一

D.V5+1

3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-/+2x+3的圖象與x軸交于點B,

與y軸交于點C,點P在線段3C上，則加+尸。的最小值是—.

4.如圖，在正方形23c。中，E是48上一點，BE=2,AE=3BE,則=

若P是/C上一動點，則尸8+PE的最小值是.

題型二、中位線最值

5.如圖，在菱形N3CD中，E,尸分別是邊CD,8c上的動點，連結NE,EF,G,H

分別為/E,E尸的中點，連結G".若/B=60°,BC=4,則G”的最小值為（）

試卷第2頁，共14頁

A.2B.V6C.V3D.3

6.如圖，在菱形/BCD中，E,尸分別是邊CD,3c上的動點，連接NE,EF,G,H

分別為4E,EF的中點，連接AG.若23=45。，8C=2百，則屬的最小值為（）

22

7.如圖，在〃/BCD中，ZC=120°,AD=24B=8,點、H,G分別是邊CD,BC上

的動點，連接N",AG,點E為的中點，點尸為GH的中點，連接EF,則E廠的

最大值與最小值的差為.

8.如圖，在菱形48co中，48=8,48=45。，E,尸分別是過CZ>,3c上的動點,

連接工￡,EF,G,H分別為4E,E尸的中點，連接G”,則G/Z的最小值

為.

題型三、兩動一定

9.已知矩形/BCD中48=6,ZABD=60°,M,N分別是3D4D上的動點，則

/M+MN的最小值為（）

A.6B.6+65/5C.9D.12

10.如上圖所示，矩形/BCD,AB=6,8c=66,點E是邊上的一個動點，點尸

試卷第3頁，共14頁

是對角線8。上一個動點，連接BE,EF,則8E+EF的最小值是（）

A.6B.6gC.12D.1273

11.如圖，在矩形N3CD中，/8=4,/。=8,點￡、廠分別為40、邊上的點,

且EF的長為4,點G為E尸的中點，點尸為3c上一動點，則PA+PG的最小值為.

12.如圖，在正方形48CD中，點￡在邊40上，AE=2,點P、0分別是直線/8、BC

上的兩個動點，將沿翻折，使點/落在點尸處，連接跖,紗，PF,PD,若

正方形的邊長是6,則PD+PF的最小值是

題型四、兩定一定長

13.如圖，N4OB=90°,OC=2,。為OC中點，長為1的線段E尸（點尸在點￡的

下方）在直線03上移動，連接。E,CF,則DE+CF的最小值為（）

A.V5B.V10C.2石D.3也

14.如圖，在邊長為10的正方形A8C。對角線上有E,尸兩個動點，旦AB=4iEF,

點尸是3C中點，連接/旦夕尸，則NE+尸尸最小值為（）

試卷第4頁，共14頁

c.5V2D.10

15.如圖，在矩形48CD中，AB=6,BC=3,點、E,尸分別是N8,CD上的點,

EF1AC,垂足為點O,連接EC,AF,則EC+/P的最小值為.

16.如圖，在矩形48CD中，48=8,8c=6,點E在邊3c上，CE=2,若點P、Q

分別為邊。與上兩個動點，線段尸。始終滿足與/E垂直且垂足為尸，則“尸+0￡

題型五、兩點最值

17.如圖，矩形43CZ）中，AB=6,BC=1O,點E在邊/。上，S.AE=2,F為邊AB

上的一個動點，連接E尸，過點￡作EG1.E/交直線3C于點G,連接尸G,若P是FG

的中點，則。P的最小值為（）

A.B.6C.5D.2710

5

18.如圖，在矩形N8CZ）中，AB=2,BC=4,P是對角線/C上的動點，連接。P,將

直線DP繞點P順時針旋轉,使旋轉角等于/'C,且。GLPG,即

試卷第5頁，共14頁

則CG最小值為（）

436

C.一D.——

525

19.圖，在矩形/BCD中,AB=6,AD=4.點￡是22上的動點，點尸是線段NE上

的點，且EF=3/F,DE,CF相交于點尸，則DP的最大值為,最小值

20.如圖，正方形48CD的邊長為4,￡是CD邊上的一點，連接/E,過3點作昉

于點F,點G與尸關于CD對稱，”為CG的中點，則///的最小值為

題型六、平行線之間距離最短

21.如圖，在RM/8C中，z5=90°,48=4,BC=3,點E在月2上，以/C為對角

線的所有口ADCE中，對角線的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

22.如圖，在Rt448C中，NB=90°,BC=4,AC=5,點。在3C上，以NC為對角

線的所有平行四邊形"OCE中，?！甑淖钚≈凳牵ǎ?/p>

試卷第6頁，共14頁

6C.8D.10

23.如圖，在RtA/8C中，48=90。，/C=10,BC=8,點。是線段8C上一動點,

以NO,CD為鄰邊作口4DCE,則對角線的最小值是.

24.如圖，三角形材料NBC,zJB=90°,BC=4,NC=5,點。在邊3C上，添加一

塊三角形材料/CE,加工成口ADCE的材料，則口/DCE的對角線。E的最小值

是

題型七、斜中定值最值

25.如圖，在平面直角坐標系中，正方形48cZ）的兩個頂點/、8是坐標軸上的動點,

若正方形的邊長為4,則線段OC長的最大值是（）

C.472D.8

26.如圖，己知/MQV=90。，線段45長為6,N3兩端分別在ON、ON上滑動，以4B

為邊作正方形/BCD,對角線4C、8。相交于點尸，連接OC.則OC的最大值為（）

試卷第7頁，共14頁

C.3+3后D.9

27.如圖，AMEN=90°,矩形/BCD的頂點8,C分別是/AffiN兩邊上的動點，已知

28.如圖，己知/MCW=90。，線段N8長為6,N8兩端分別在。用、ON上滑動，以4B

為邊作正方形N3C。，對角線/C、2。相交于點P,連接。C,則。。的最大值

題型八、矩形對角線最值

29.如圖，Rt448C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,。是N8上的動點，過點。

作。E//C于點E,。尸，8c于點尸，連接EF,則線段E尸的最小值是（）

30.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=3,/C=4,M為斜邊上一動點，過

“作于點。，過/作MELC8于點E,則線段?！甑淖钚≈禐椋ǎ?/p>

試卷第8頁，共14頁

55~

31.如圖，在R/AA8C中，NBAC=90°,且A4=3,NC=4,點。是斜邊3c上的一

個動點，過點。分別作DM）48于點M,DN，AC于點、N,連接MN,則線段

的最小值為.

32.如圖，在正方形A8CD中，點￡在對角線/C上，EFLAB于點F,EG_L8C于點

G,連接DE,若4B=20,則尸G的最小值為

題型九、費馬點

33.如圖，矩形48co中，AB=6,BC=3,尸為矩形內一點，連接尸/,PB,PC,

則尸/+尸3+尸。的最小值是（）

A.2月+3B.2右C.2G+3D.國

34.如圖，在矩形48CD中，AB=43,BC=3,尸為矩形內一點，連接/P,BP,

CP,則尸N+P8+PC的最小值是（）

試卷第9頁，共14頁

A.V21B.273+3C.V3+3D.4A/3

35.如圖，在菱形NBCD中，點尸為對角線4c上的動點（不與端點重合）.過點尸作

尸于點M,PN1BC于點、N,連接P。，已知tan/A4C=《，AC=24,則

PD+PM+PN的最小值等于

A/

36.如圖，設尸，。是邊長為1的正方形/8C。內的兩個點，貝iJ/P+AP+PQ+QC+紗

的最小值為

題型十、隱直線A

37.如圖，在矩形48c。中，48=10,40=6,動點尸滿足叢詠=；8矩硼比。，則點P

到48兩點距離之和PA+PB的最小值為（）

2734C.1072D.2A/41

38.如圖，在長方形/BCD中，AB=5,AD=3,動點尸滿足S△詠=；S長方如先。，則

P4+P8的最小值為（）

試卷第10頁，共14頁

A.V41B.V34C.V29D.5V2

39.如圖，尸是長方形ABC。內部的動點，AB=4,BC=6,APg。的面積等于9,則

點P到B、C兩點距離之和尸8+PC的最小值為.

40.如圖，動點P在矩形23CZ）內運動，AB=1,8C=5,且滿足國謝=10.5,PA+PB

的最小值是.

題型十一、折疊圓

41.如圖，在矩形48CD中，AB=2,8c=4,點￡為3c邊上的動點，將△幺BE沿4E

A.275-2B.2石-3C.2石-4D.無法確定

42.如圖，在平行四邊形/5CZ）中，ZB=60°,AB=4,AD=6,￡是48邊的中點,

廠是線段3C上的動點，將4￡8尸沿E尸所在直線折疊得到△E8'尸，連接夕。，則夕。

A.2廂-2B.6C.4D.2屈-2

試卷第11頁，共14頁

43.如圖，在矩形/BCD中，ND=8cm,尸是3c邊上的一點，且BP=3cm,￡是線段CD

上的一個動點，把APCE沿PE折疊，點C的對應點為足當點￡與點。重合時，點、F

恰好落在邊AB±,則/的最小值是.

44.如圖，矩形ABCZ）中，48=5,AD=3,E是CD邊上一點，將沿/E折疊,

使點。落在點。'處，連接CO.則CD的最小值為.

題型十二、直角圓

45.如圖，尸為正方形48co的邊C。上一動點，AB=2,連接B尸，過A作

交BC于H,交BF于G,連接CG,當CG為最小值時，的長為（）

2后

A.V2C.3-75D.3+石

—

46.如圖，正方形48CD的邊長為4,點E是邊上的一動點，點廠是CD邊上的一

動點，且/E=Z）尸，即與BE相交于點尸，連接尸￡）,在廠運動的過程中，尸。的最小值

B.75-1C.2>/3-1D.273-2

47.如圖，在邊長為1的正方形/BCD中，點、E,尸分別是邊4D,上的動點，且

AE=DF,連接BE,AF,交于點G.

試卷第12頁，共14頁

（1）連接。G,則線段DG的最小值是；

（2）取CG的中點H,連接則線段的最小值是.

48.如圖，在矩形48CD中，AB=6,4D=8,E是3C上的一動點（不與點3、C重

合）.連接4E,過點。作。尸，垂足為尸，則線段B/長的最小值為.

題型十三、其它最值

49.如圖，P是邊長為1的正方形/BCD內的一個動點，且滿足/尸8C+/尸DC=45。,

則”的最小值是（）

A.2-V2B.；C.衛(wèi)D.V2-1

50.如圖，平行四邊形/BCD中，AB=12,AD=10,ZA=60°,￡是邊4D上一點,

且NE=6,尸是邊上的一個動點，將線段E尸繞點E順時針旋轉60。，得到EN,連

接BN、CN,則3N+CN的最小值是（）

----------R

\/

HT~

A.3A/21B.4V14C.14D.4月

51.如圖，E,尸是正方形48C。的邊48的三等分點，尸是對角線/C上的動點，當

試卷第13頁，共14頁

PE+PF取得最小值時，—的值是■

52.閱讀理解：平面內任意兩點（國,弘），（%，%）的距離可以表示為

-xj+（%—%），反之，1（X[-X?）+（%—%）表示點（X[,_V1）與點（馬必）之間的

距離.嘗試利用閱讀內容解決問題：如圖，在正方形中，M為/。上一點，且

—=1，E,F分別為BC,CD上的動點，且BE=2DF,若48=4,則ME+2/尸的

MD1

最小值是.

試卷第14頁，共14頁

1.A

【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，軸對稱最短路

徑問題，連接3DPD,MD,由菱形的性質得到=/C垂直平分5D,貝U

PD=PB,故當尸、D、M三點共線時，尸加■+2￡）最小，即此時PM+P8最小，貝！|

DM=證明ABAD是等邊三角形，得到ZADM=30°,求出

n

AM=—DM=1,貝U=2W=2.

3

【詳解】解:如圖所示，連接即，PD,MD,

由菱形的性質可得=/C垂直平分8。，

???PD=PB,

：.PM+PB=PM+PD,

當尸、D、M三點共線時，PM+尸。最小，即此時PM+P8最小，

DM=V3，

ABAD=60°,

t^BAD是等邊三角形，

??,M是的中點，

.?.DMJ.AB,ZADM=30°,

3

AB=2AM=2,

故選；A.

2.D

【分析】本題考查了正方形的對稱性，線段和最小，勾股定理，根據正方形性質，得到點8

與點。是對稱點，連接交4C于點尸，此時AP8。周長最小，結合邊長為2的正方形

ABCD^,點。是的中點，^gljBQ=QC=^BC=\,BC=CD=2,ZBCD=90°,根據勾

股定理計算即可..

答案第1頁，共50頁

［詳解】???邊長為2的正方形ABCD中，點0是3c的中點，

■.BQ=QC=^BC=1,BC=CD=2,ABCD=90。，點B與點D是對稱點,

連接交"C于點尸，此時APS。周長最小，

???DQ=yJCQ2+CD2=V5,

△尸3。周長的最小值是PB+PQ+BQ=DQ+BQ=&\,

故選D.

3.5

【分析】先求出8(3,0),"(TO),過點3、C分別作x軸、y軸的垂線，兩線交

于點7,連接PT,證明四邊形OBTC是正方形，且7(3,3),即有點。與點7關于直線3C

對稱，貝U有尸N+P0=P/+P7,當/、P、7三點共線時R4+PT最小，即P/+P。最小，

最小值為4T,問題隨之得解.

【詳解】解：在y=-/+2x+3中，當x=0時，歹=3,

.-.C(0,3),

OC=3；

當V=°時，-Y+2x+3=0,

解得：再=—1,工2=3,

??.8(3,0),4(-1,0),

0B=3,0A=1；

過點夙C分別作x軸、〉軸的垂線，兩線交于點T,連接尸T,如圖，

答案第2頁，共50頁

CTVOC,BTA.OB,

???OBIOC,OB=OC=3,

???四邊形O8TC是正方形，且7(3,3),

.??點。與點7關于直線3C對稱，

PO=PT,

.-.PA+PO^PA+PT,

???當4P、7三點共線時尸N+尸？最小，即尸N+PO最小，最小值為/T,

???^(-1,0),7(3,3),

PA+PO的最小值NT=](3+1)?+(3一二5,

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何綜合，考查了二次函數與坐標軸交點的問題，軸對

稱的性質，勾股定理，正方形的判定與性質等知識，證明四邊形O8TC是正方形，且

7(3,3),得出點。與點7關于直線3c對稱，是解題的關鍵.

4.810

【分析】首先根據題意解得/E、23的值，再根據正方形的性質求得4D的值；連接。E,

交4c于P,連接8P,則此時尸3+PE的值最小，由題意易知AD關于/C對稱，進而可得

PB=PD,所以PB+PE=PD+PE=DE,利用勾股定理解得。E的值，即可獲得答案.

【詳解】解：???BE=2,AE=3BE,

??.AE=3BE=3x2=6,

AB=AE+BE=6+2=8,

???四邊形/BCD為正方形，

/.AD=AB=8；

如下圖，連接交4C于P,連接5尸，則此時尸5+尸￡的值最小，

答案第3頁，共50頁

???四邊形/3C。是正方形，

關于4。對稱，

???PB=PD,

PB+PE=PD+PE=DE,

AE-6,AD-8,

DE=^AD2+AE2=V82+62=10，

故PB+PE的最小值是10.

故答案為：8,10.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、最短路徑問題、軸對稱對稱的性質、勾股定理等知識,

正確作出輔助線是解題關鍵.

5.C

【分析】連接版，利用三角形中位線定理，可知=；/尸，求出"'的最小值即可解決

問題.

【詳解】解：連接相，如圖所示：

???四邊形23CD是菱形，

AB=BC=4,

■■■G,〃分別為NE,E尸的中點，

是A/E廠的中位線，

:.GH=-AF,

2

當Nb/BC時，井最小，G”得到最小值,

答案第4頁，共50頁

貝l|ZAFB=90°,

ZB=60°NBAF=90°-NB=30°,

.-.BF=LAB=2,AF=」AB2-BF。=2拒,

2

:.GH=-AF=s/3,

2

即GH的最小值為g,

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、勾股定理、垂線段最短等知識，解

題的關鍵是學會添加常用輔助線.

6.D

【分析】連接斯，利用三角形中位線定理，可知=求出肝的最小值即可解決

問題.

【詳解】解：連接〃，如圖所示：

???四邊形是菱形，

AB=BC=2。,

■-G,“分別為/E,跖的中點，

;.GH是△/所的中位線，

:.GH=-AF,

2

當時，的最小，所得到最小值,

則ZAFB=90°,

ZB=45°,

是等腰直角三角形，

AF=—AB=—x2也=V6,

22

:.GH=—,

答案第5頁，共50頁

即所的最小值為逅，

2

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質、垂

線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型.

7.V3

【分析】連接NG,AC,過N作/于M；由題意得/8=60。，則可求得/",2M的

長，從而由勾股定理求得/C；由三角形中位線定理得=當G與C重合時，AG

最長；當G與M重合時，AG最短,從而可求得E尸的最大值與最小值的差.

【詳解】解：如圖，連接/G,AC,過4作/ML8c于跖

貝l|ZAMB=ZAMC=90°；

???四邊形45C。是平行四邊形，且NC=120°,

AB//CD9BC=AD=8

Z5=180°-ZC=60°；

???/RW=90。-60。=30。；

vAD=2AB=8,

???AB=4,

,-.BM=-AB=1,

2

由勾股定理得：AM=SJAB2-BM2=273>

:.MC=BC-BM=8-2=6,

由勾股定理得AC=^AM2+MC2=J12+36=473；

,??點E為的中點，點尸為面的中點，

：.EF=-AG-

2

當G與C重合時，/G最長且為46，此時￡5=26；

當G與河重合時，/G最短且為2VL此時即=8；

■■EF的最大值與最小值的差為2g=百.

故答案為：V3.

答案第6頁，共50頁

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，垂線段最短，三角形中位線定理.連接

/G利用三角形中位線定理是關鍵.

8.26

（分析】連接在，利用三角形中位線定理，可知GH=\AF,求出AF的最小值，當/尸，8C

時，根據垂線段最短，即可解決問題.

【詳解】解：連接如"如圖所示：

???四邊形/3CZ）是菱形，

*'.AB=BC=8,

-G,H分別為E尸的中點，

.?.S是△/￡尸的中位線，

：.GH=-AF,

2

當4F7,5C時，4'最小，GH得到最小值，

則ZAFB=90°,

■.■ZB=45°,

尸是等腰直角三角形，

.■.AF=—AB=—xS=4y[2,

22

GH=2^2,

即GH的最小值為2&，

故答案為：2&.

【點睛】本題考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質、垂

線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

答案第7頁，共50頁

9.C

【分析】作點A關于AD的對稱點H,交3。于點O,連接HM,A'N,A'D,先根據軸對稱

的性質可得=從而可得+=+再根據兩點之間線段最短、垂線

段最短可得當時，HN取得最小值，HM+MN取得最小值，然后根據含30。角的

直角三角形的性質、矩形的性質求解即可得.

【詳解】解：如圖，作點A關于3。的對稱點/,交于點。，連接HM,A'N,A'D,

由軸對稱的性質得：A'M-AM,A'O^AO,AA'1BD,

AM+MN=A'M+MN,

由兩點之間線段最短得：當點4，M,N共線時，4M+MV取最小值，最小值為HN,

由垂線段最短得：當時，HN取得最小值，

?.,在矩形/BCD中，4B=6,AABD=60°,

ZADB=30°,

???BD=2AB=12,AD=^BD2-AB2=673-

在Rt"O。中，AO=LAD=3GDO=yjAD2-AO2=9,

2

AA'=AO+A'O=：2AO=673,

AA'?DO673x9

A'N=

AD6V3

故/M+九W的最小值為9.

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的性質、含30。角的直角三角形的性質、勾股定理、軸對稱的性質

等知識點，利用兩點之間線段最短和垂線段最短得出當時，HN取得最小值是解

題關鍵.

10.B

答案第8頁，共50頁

【分析】作點8關于/。的對稱點8,過點"作笈GL8D于點G,交AD于點、H,即可得到

8E+既的最小值為B'G,再解直角三角形即可解答.

【詳解】解作點8關于4D的對稱點"，過點"作夕GL8D于點G,交AD于點H,如圖

B?

由對稱性可得=

:.BE+EF>B'G,

當夕，E,尸三點共線，且5戶，AD時，即點E在點H處，點廠在點G處時，BE+BF

的值最小.

AB=6,BC=643,

:.BB'=12,BD=J+(6哺=12,

ZADB=30°,

NABD+ZBB'G=NABD+NADB=90°,

:.ZBB'G=ZADB=30。,

DD'

B，G="xG=6百.

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查矩形的性質和線段和最小值問題，勾股定理，含30度的直角三角形

的性質，解題的關鍵在于作出適當的輔助線.

11.8A/2-2##-2+8>/2

【分析】本題考查了利用軸對稱求最短路徑，解題關鍵利用軸對稱和直角三角形的性質確定

最短路徑.作點/關于3C的對稱點X,連接HP,DG,DH,可知當〃、P、G、。共線

時，尸/+PG最小，求出DH、DG長即可.

【詳解】解：作點/關于的對稱點連接〃P,DH,GH,如圖所示：

答案第9頁，共50頁

〃

■：DH-DG<GH<HP+PG=PA+PG,

.?當H、P、G、。共線時，P/+PG最小,

vAB=4,AD=8,

,,,4H=8,DH=A/82+82=8A/2>

???E尸的長為4,點G為E尸的中點，

GD=2,

■■8s/2-2<AP+PG，

故答案為：872-2.

12.4vHi-2

【分析】此題考查了翻折變換、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用軸對稱,

根據兩點之間線段最短解決最短問題.

作點。關于3c的對稱點。'，連接PD；ED',由軸對稱可知，DP=D'p,

PD+PF=PD'+PF,又EF=AE=2,即可推出當E、F、P、。共線時，P0+PR定值最

小，最小值為4瓦-2.

【詳解】解：如圖，作點。關于3C的對稱點。，連接PD',ED',

答案第10頁，共50頁

在中，

■：DE=AD-AE=6-2=A,DD'=2DC=\2,

ED'=yjED2+DD'2=V42+122=4710，

由軸對稱可知，DP=DP'

：.PD+PF=PD'+PF,

???EF=AE=2,

當E、F、P、。共線時，PD'+尸尸定值最小，最小值為4麗-2,

PD+PF的最小值是4麗-2,

故答案為：4麗-2

13.B

【分析】如圖，作點。關于08的對稱點7,作窗〃OB,使得TR=EF,連接CR交08于尸，

在尸。的延長線上，取點E,使得斯=1,連接ET.DE,此時OE+C/的值最小.

【詳解】解：如圖，作點。關于的對稱點T,作窗〃OB,使得TR=EF,連接CR交05

于尸，在尸。的延長線上，取點E,使得斯=1,連接ET.DE,止匕時OE+C尸的值最

答案第11頁，共50頁

---RT=EF=\,RT//EF,

四邊形TME是平行四邊形，

ET=FR,

D,r關于OB對稱，

ED=ET,

DE=RF,

DE+CF=RF+FC=RC,

此時CR的值最小，最小值=JTR2+CT：=+3,=而,

故選：B.

【點睛】本題考查軸對稱一最短問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的

關鍵是學會利用軸對稱添加輔助線，構造特殊四邊形解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

14.A

【分析】取CD的中點Q,連接尸。，EQ,證明四邊形尸QE尸為平行四邊形，求出

AE+PF=AE+EQ,最后用勾股定理求出最小值.

【詳解】解：取的中點。，連接尸0,EQ,如下圖所示：

?.?正方形/BCD的邊長為10,

；.4B=BC=CD=4D=1。,NADC=90°,

???BD是正方形ABCD的對角線，

???BD=41AB=1072，

???P。是的角平分線，

???PQ=41BD=5叵P01|BD,

AB=41EF,AB=\0,

EF=5A/2,PQ=EF,

■.■PQ//BD,gpPQ//EF,

答案第12頁，共50頁

???四邊形PQEF為平行四邊形,

：.PF=EQ,

.-.AE+PF^AE+EQ,

.??當/、E、0三點共線時，/￡+尸尸的值最小，最小值就是工。的長，

???點。時CD的中點，.?.8=1。=5,

由勾股定理得，AQ=^AD2+DQ2=5A/5,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形中位線，勾股定理的知識，掌握性質是解題的關鍵.

15.—##7.5

2

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，三角形的

三邊關系，勾股定理，分別以EREC為邊作平行四邊形ESF,連接/〃，過點尸作

FG〃BC交AB于點G,根據相似三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可，根據題意

正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解分別以EF、EC為邊作平行四邊形ECHF,連接,過點尸作尸G〃交AB

于點G,則尸G=BC=3,FH=EC,

H

4

-AC=YIAB2+BC2=A/62+32=3A/5，

ZCCF,ZAOG+ZBAC=90°f/COF+/GFE=90。,

ABAC=ZGFE

?：/ABC=NFGE=90。,

小FGEs^ABC,

答案第13頁，共50頁

FG_AB

~FE~liC

解得EF=C7/=「L,

2

?.?四邊形石CHF是平行四邊形，

'.EF//CHf

???AC1EF,

???/ACH=90。,

在RG4C〃中，由勾股定理得：

AH=^AC2+CH2=](3指了+]孚)=^-<AF+FH=AF+EC,

??.EC+E4的最小值為9，

故答案為：-y-.

16.5A/5

【分析】過點。作于點利用相似三角形的性質求出產以=3,設5。=%,則

CH=x,PD=5-x,AP+QE=^62+(5-x)2+Vx2+42,求N尸+0￡的最小值，相當于在x

軸上找一點M(x,O),使得點加到(0,4),K(5,6)的距離和最小，作點J關于x軸的對稱點

J',連接KT,則燈=爐而=56,由MJ+MK=MJ'+MKNKJ'=5后,可得結論.

【詳解】解：如圖，過點。作。于點

E

四邊形A8CD是矩形，

AB=CD=8,AD=BC=6,/B=NC=/D=90°,

■:CE=1,

答案第14頁，共50頁

:.BE=BC—CE=6—2=4,

???QHLCD,

/B=ZQHP=ZQHC=90°,

J四邊形5C7/0是矩形，

BQ=CH,BC=QH=6,QH//BC,

:.NAQH=NB=90。，

AELQP,

ZQAF+ZAQP=90°,AAQP+AHQP=90°,

/BAE=/LHQP,

“BEsgHP,

AB_BE

一函一麗'

.8_4

,?,

6PH

PH=3,

設8Q=x,則C〃=x,DP=5-x,

AP+QE=而+(5-X)2+VX2+42,

欲求NP+QE的最小值，相當于在x軸上找一點M(x,0),使得點"到J(0,4),K(5,6)的距離

和最小，如圖1中，

作點J關于x軸的對稱點/,連接K/',

;K(5,6),/(0,-4),

:.KJ'=^52+W2=5>/5，

答案第15頁，共50頁

■：MJ+MK=MJ'+MK>KJ'

.?.加+壓的最小值為5vL

，/P+QE的最小值為50.

故答案為：5石.

【點睛】本題考查矩形的性質，軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質等知識，解題的

關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于

中考填空題中的壓軸題.

17.A

【分析】先找出P點的運動軌跡.作EG，于G1,連接NG1,BE交于點。作EG2LEB交BC

的延長線于G.當尸點與/點重合時，G點與G1點重合，此時尸點與O點重合.當尸點與8

點重合時，G點與G2點重合，此時尸點與C點重合，因此P點的運動軌跡就是線段OC.當

DPJ_OC時，DP的值最小.由AOBC歹吐匕例式求出DP的長即可.

解：???四邊形/BCD是矩形，

ABAD=NABC=ZBCD=ZADC=90°,

且DC==6,AD=8C=10.

當點尸與點4重合時，作EGjBC于G”

則四邊形/5GH是矩形.

連接交于點O,則。點是NG】的中點，也是8E的中點,

此時，尸點與。點重合.

當廠點與2點重合時，作EG2JLE8交3c的延長線于

AD\\BC,

:.ZAEB=ZEBG2.

答案第16頁，共50頁

又?/ZBAE=ZBEG2=90°,

/SJ4,BE~^EG?B,

.AE_BE

■：BE=yjAB2+AE2=V62+22=2屈，

,22V10

"2V10-BG2

解得2G2=20.

設3G2的中點為Q,則=10,

5點與C點重合，

??.P點的運動軌跡是線段OC.

當。PLOC時，。尸的值最小.

,??。點是BE的中點，C點是BG2的中點，

二.OC是"EG2的中位線.

.-.OCHEG],

NBOC=NBEG[=90°,

ZBOC=ZDPC.

?1?ZOBC+ZOCB=90°,ZOCB+ZPCD=90°,

NOBC=ZPCD,

:.^OBC~APCD,

.PC_BC

"DPDC'

■：BO=；BE=?,BC=IQ,

OC=^BC2-BO2=7102-(V10)2=3麗.

3A/W10

--------.....,

DP6

解得。?=亞.

5

答案第17頁，共50頁

故選：A.

【點睛】本題是一道矩形中的動點問題，難度較大.主要考查了矩形的性質、勾股定理、三

角形中位線定理、相似三角形的判定和性質，綜合性較強.解題的關鍵是要找出P點的運動

軌跡.

18.C

【分析】作于X,連接7/G延長HG交C。于R作HELCD于H,證明

△ADHs小PDG,得NO〃G=NNP=定值，則點G在射線上運動，故當CGLHF時,

CG的值最小，^FH=FC=DF=\,可知HE=CG,利用等積法求出HE的長即可.

【詳解】解：如圖，作。。丁?〃，連接"G延長"G交CD于R作HELCQTE,

???四邊形45cZ）為矩形，

CD=AB=2,ZADC=90°,

-DG±PG,DH±AC,

:?/DGP=NDHA=90。,

-ZDPG=ZDAHf

???小ADHs^PDG,

AD_PH

而一訪ZADH=ZPDG,

：?NADP=/HDG,

???AADPS^DHG,

???ZDHG=ZDAP=定值，

???點G在射線HF上運動，

???當CGL77F時，CG的值最小,

???四邊形/BCZ）是矩形，

???/4。。=90。，

:./ADH+NHDF=90。，

???ZDAH+ZADH=90°,

??.ZHDF=ADAH=ZDHF,

答案第18頁，共50頁

：.FD=FH,

-ZFCH+ZCDH=90°,ZFHC+ZFHD=90°,

??.ZFHC=ZFCH,

FH=FC=DF=-CD=1,

2

在氏A/DC中，

ZADC=90°,AD=4,CD=2,

由勾股定理得：AC=y^AD2+CD2=A/42+22=275-

處型=坪=拽

AC2755

-CH=yJCD2-DH2=拽

5

PHCH4

CD5

???ZCFG=/HFE,ZCGF=ZHEF=90°,CF=HF,

小CGFWHEF(AAS),

4

...CG=HE=~,

4

■■CG的最小值為m.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理以

及全等三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造相似三角形得出點G的運動路徑是解題

的關鍵.

8V138A/5

1\.Oy.-------------

75

【分析】設/尸=x,可得EF=3x,=4x,由矩形性質可得Z3〃CQ,推出APCDS.FE,

求得PD=JL>E,由勾股定理可得。石=癡而=石，推出尸〃=83+1

x+2x+2

令x+2=入貝！Jx=t-2,得出尸Ong,s[1一]]+1,即可求得答案.

【詳解】解：設/尸=x,?:EF=3AF,

???EF=3x,

??.AE=AF+EF=x+3x=4x,

答案第19頁，共50頁

???四邊形/3C。是矩形，48=6,AD=4,

AB//CD,AB=CD=6fAD=BC=4,ZA=ZB=90°,

MPCDS^PFE,

PDCD口口PD6

---=---,即

PEEFDE-PD3x

.-.PD=-^—DE,

x+2

2222

在Rt/XZOE中,DE=yjAD+AE=^4+（4X）=4V?+1,

x+2

令x+2=，，貝｛Jx=t—2.,

-0<AE<6,BP0<4x<6,

3

0<x<—,

2

37

??.（）<￡—2?—,