高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 等比數(shù)列及其前n項和6種常見考法歸類（原卷版）

等比數(shù)列及其前n項和6種常見考法歸類

?思維導(dǎo)圖

*核心考點聚焦

考點一、等比數(shù)列及其前〃項和基本量的運算

考點二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

（一）等比中項的應(yīng)用

（二）利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算

（三）等比數(shù)列的單調(diào)性和最值

考點三、等比數(shù)列前"項和性質(zhì)的應(yīng)用

（一）等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用

（二）等比數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)

（三）等比數(shù)列前〃項和其他性質(zhì)

考點四、等比數(shù)列的證明

考點五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系

考點六、等比數(shù)列的簡單應(yīng)用

知識點1等比數(shù)列有關(guān)概念

1.等比數(shù)列定義

一般地，如果一個數(shù)列從第三項舉，每一項與它的前一項的比等于同一個簞黎，那么這個數(shù)列就叫做等比

數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母4表示（4，0）,即：&旦=4（4力0）.

an

CLn1

注：（1）定義的符號表示：募;=q（wGN*且”22）或K=g（〃eN*）；（2）定義強調(diào)“從第2項起”，因為第一

項沒有前一項；（3）比必須是同一個常數(shù)；（4）等比數(shù)列中任意一項都不能為0；（5）公比可以為正數(shù)、負數(shù)，

但不能為0.

n

2.等比數(shù)列通項公式為：an=ax-q-\ax（斯=&何「1些%=?！暗V-叱,通項公式還可以寫成

an=%q",它與指數(shù)函數(shù)丁=就有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列.

q

注：（1）等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)

設(shè)一個等比數(shù)列的首項是可，公比是q,則由定義可知a=q（〃GN*且〃22）.

〃〃一1

n

方法—an=XX…X-X—Xai=qXciX???XqXqXa\=a\q,

an-\an-2a2a\

當〃=1時，上式也成立.

方法—。2=a1q，

〃3=。24=(〃iq)q=〃iq2,

。4=。3夕=(〃iq2)q=Q]q3,

由此可得斯=。應(yīng)"一I當〃=1時，上式也成立.

(2)由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當公比d=l時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；

(3)等比數(shù)列的通項公式知：若｛4｝為等比數(shù)列，則&=

%

3.等比中項

如果在a與6中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做。與6的等比中項，即G是。與

b的等比中項G,b成等比數(shù)列今G2=a4

注：①只有當兩個數(shù)同號時，這兩數(shù)才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數(shù).

②在等比數(shù)列｛4｝中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；

③與等比數(shù)列中的任一項“等距離''的兩項之積等于該項的平方，即在等比數(shù)列｛4｝中，a；=a,1k.a“+k'

④等比中項與等差中項的異同，對比如下表：

對比項等差中項等比中項

若a,A,b成等差數(shù)列，則A若a,G,b成差比數(shù)列，則G

定義

叫做a與b的等差中項叫做a與匕的等比中項

Gb_

定義式A—a=b-A=

a-G

a+b

公式G=±\[ab

2

。與6的等比中項有兩個，且互

個數(shù)a與b的等差中項唯一

為相反數(shù)

只有當。6>0時，a與b才有等

備注任意兩個數(shù)a與6都有等差中項

比中項

知識點2等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系

1.當q>0且時，等比數(shù)列｛?！埃牡趙項斯是指數(shù)型函數(shù)/(無尸矍小上即當苫/時的函數(shù)值，即％

q

=/〃).

2.任意指數(shù)型函數(shù)兀0=上a”,。是常數(shù)，kWO,。>0且aWl),

則式1)=人，fi2)=k^,八")=妨"，…構(gòu)成一個等比數(shù)列｛垢"｝,其首項為版，公比為

注意點：(l)ai>0,歪1時，數(shù)列｛如｝為正項的遞增等比數(shù)列；(2)的>0,0<如1時，數(shù)列｛斯｝為正項的遞減等比

數(shù)列；(3)ai<0,g>l時,數(shù)列｛四｝為負項的遞減等比數(shù)列；(4)ai<0,0<g<l時,數(shù)列｛斯｝為負項的遞增等比數(shù)

列；(5)q=l時，數(shù)列｛斯｝為常數(shù)列；(6%<0時，數(shù)列｛斯｝為擺動數(shù)列；奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同.

知識點3等比數(shù)列的判定與證明

證明等比數(shù)列的方法

1.定義法：W=4(〃eN*且”22,q為不為0的常數(shù))；

2.等比中項法：居="皿且九22)；

n

3.通項公式法：an=aiq~\

注：用定義法證明時，a和誓中的〃的范圍不同

知識點4等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)在等比數(shù)列｛4｝中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：％,%，%，％，……；生，

〃8，。13，“18，....；

注：若加，P，〃成等差數(shù)列，則即“出，斯成等比數(shù)歹U.

nm

(2)在等比數(shù)列｛??｝中,對任意m,neN+,an=amq^-

(3)在等比數(shù)列｛a“｝中，若加，n,p,4€、且“+〃=2+4，貝!|“.”-特殊地，2m/>?(/

時，則U'="?"，‘J是〃的等比中項.也就是：ai-an=a2'=a3-an_2=....,如圖所示：

aVan

人

，、

“1，”2，“3，2，〃幾-1，

K,__________v________J?

。2%-1

注：(1)性質(zhì)的推廣：若》i+"+p=x+y+z,有a,“。“的=0亞以z；

(2)該性質(zhì)要求下標的和相等，且左右兩側(cè)項數(shù)相同；

(3)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即ais=a2ST=….

(4)等比數(shù)列下標為奇數(shù)的項正負相同，下標為偶數(shù)的項正負相同；

(4)若｛%｝,出｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝弘癡QQWO),｛屈｝，｛斯?｝,博%乃是等比數(shù)列.

(5)在等比數(shù)列｛廝｝中按序號從小到大取出若干項：氣，氣，氣，…,”，…，若任，左2,⑸…，乂，…成等

差數(shù)列，那么%氣％…,％…是等比數(shù)列.

(6)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即為-%,4，

…成等比數(shù)列，且公比為幺二五二(4—a】)4：。.

a?-q〃2-%

(7)等比數(shù)列的單調(diào)性

a.>0fa<Qfa>0[a,<0

當i或1?]時，｛4｝為遞增數(shù)列，當i或時,｛4｝為遞減數(shù)列.

q>\[O<^<1[0<q<l[>1

知識點5等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系

(1)如果數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛A?！保?A%總有意義)必成等比數(shù)列.

⑵如果數(shù)列｛4｝成等比數(shù)列，且4>0,那么數(shù)列｛log04｝(。>0,且必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列｛4｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛4｝是非零常數(shù)數(shù)列.數(shù)列｛4｝是常數(shù)數(shù)列僅是

數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行

討論，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列.

知識點6等比數(shù)列的前n項和公式

已知量首項Qi,項數(shù)〃與公比q首項末項〃〃與公比q

TlCli,Q~1,nu\,q=1,

公式=<=<

Sn的(1一q"),.Sn

1,q手1i,qW1

lLqli—q

注：(1)等比數(shù)列前〃項和公式的推導(dǎo)

若等比數(shù)列｛詼｝的首項是S，公比是q,如何求該等比數(shù)列的前w項的和？

思路一：因為工=。1+〃2+。3H----F1+即，

=2n2nl

所以Sna\+aiq+a\q-\---\-aiq~+a\q~,

13

上式中每一項都乘等比數(shù)列的公比可得qSn=a\q-\-a\q+a\q-\---^的/一i+aq",

發(fā)現(xiàn)上面兩式中有很多相同的項，兩式相減可得Sn—qS〃=ai—aiq〃,

即(1—q)S“=ai(l—q")，當qWl時，有S〃=；_，而當4=1時，&="的.上述等比數(shù)列求前〃項和的方

1q

法，我們稱為“錯位相減法”.

思路二：當產(chǎn)1時,由等比數(shù)列的定義得：能少…=念=。，

02+43+…+斯S—a\

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有n

2H-----\~an-\Sn~Cln

Sn~Cll

=4=(1-q)S〃=-ClnQj

SnCln

所以當時，應(yīng)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比數(shù)列的性質(zhì),

推導(dǎo)出了公式，通過上述兩種推導(dǎo)方法，我們獲得了等比數(shù)列的前〃項和的兩種形式，而這兩種形式可以

利用斯1相互轉(zhuǎn)化.

思路二：5八=〃1+〃2+〃3+~+斯=〃1+4(〃1+。2+~+斯-1)，

所以有Sn的+qS〃—“1+q(Sncin)(1q)S〃cinq，

所以當時，吆或S"=叫1二?，顯然方程的思想在本次推導(dǎo)過程中顯示了巨大的威力，在已

1~q1~q

知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決.

(2)在通項公式和前n項和公式中共出現(xiàn)了五個量：ai,n,q,an,S〃.知道其中任意三個，可求其余兩

個.(%,/〃,5“和各已知三個可求第四個

(3)注意求和公式中是q”,通項公式中是不要混淆;

(4)應(yīng)用求和公式時qwl,必要時應(yīng)討論q=l的情況.在應(yīng)用公式求和時，應(yīng)注意到S尸及丁)的使用

條件為而當q=l時應(yīng)按常數(shù)列求和，即

(5)等比數(shù)列前〃項和公式的函數(shù)特征

當公比qWl時，設(shè)A=V、，等比數(shù)列的前〃項和公式是S〃=A(q〃-1).即是九的指數(shù)型函數(shù).

q—1

(s〃=為”+為,設(shè)A-告，則if)

i—q

當公比q=l時，因為ai#O,所以S”=wi,S”是w的正比例函數(shù).

知識點7等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

1.數(shù)列｛詼｝為公比不為一1的等比數(shù)歹U(或公比為一1,且W不是偶數(shù))，S”為其前〃項和，則s”s2n-sn,

舐二馥仍構(gòu)成等比數(shù)列.

注意點：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即s“wo.

注：Sn,S2?-S?,S3”一S2,…仍成等比數(shù)列，證明如下：

思路一：當q=l時，結(jié)論顯然成立；

.?1(1~qn)ai(l—q2n)ai(l—03n)

當qWl時，S?=-^jS2n=:3\

1—q1~q1~q

?_S(1一"”)m(l—q")

M品一\-q1-q~l~q，

ai(l—產(chǎn))aiq2”(l-q")

3n―^2n-i-i-i，

、l~qLqLg

「41/(1—q")~|〃i(l—q")aiq2n(l-qn)

而(S2〃一S〃)2=<勺2,Sn(S3n~Sn)=-\_X>

q」2iqiq

故有(S2n~Sn)2=Sn(S3n-Sin)，

所以S〃，S2n~SnfS3〃-512〃成等比數(shù)列.

思路二：由性質(zhì)Si=S冽可知S2〃=S〃+q$,故有S2LS〃=q0,

2n

S3n=S2n+qSn，故有83〃—氏=/5，故有(S2LS〃)2=S〃(S3〃—S2〃)，

所以S〃，82〃一S〃，83〃-82〃成等比數(shù)列.

2.｛如｝為等比數(shù)列，若?…?斯=4，則G，號,￡，…成等比數(shù)歹U.

Sn+m-Sn

3.若｛斯｝是公比為q的等比數(shù)列，貝IS〃+m=Sz+q"S"〃，m^N^n=匕為公比).

HIQ=mmm

注：/里、路一：S/+〃=4+2H------\~am~\~citn+\-\-am+2~\------cim+nSm-\-aiq-\-a2q-------\~anq

m

=Sm-\-qSn.

=〃

思路二：Sm+ncii+2H---------\-an-\-an+i~\~an+2~\--------1-斯+冽

nn

=Sn+aiq+。2夕"H--------bamq

n

=S〃+0Sm.

4.若｛④｝是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，貝h

(1)在其前2〃項中，U=q;

J奇

?__41+〃2〃+14+42〃+2/,

(2)在其前2九十1項中,S奇—S偶=。1一Z+的一。4H—一。2〃十。2〃+1=]_（_夕）=—]+.-（q子一1）?

S奇=〃i+qS偶.

注：若等比數(shù)列｛斯｝的項數(shù)有2〃項，則

其偶數(shù)項和為S偶=〃2+〃4H

其奇數(shù)項和為S奇=〃I+Q3H----容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對應(yīng)項之間存在聯(lián)系，即S偶-----------H

S偶

a2n-iq=qS奇，所以有屏'=/

若等比數(shù)列｛斯｝的項數(shù)有2〃+1項，則其偶數(shù)項和為S偶=奧+。4+…+儂，其奇數(shù)項和為S奇=〃1+的+…+

〃，〃

1+2什1從項數(shù)上來看，奇數(shù)項比偶數(shù)項多了一項，于是我們有S奇一〃1=3H---------\-a2n-\+a2n+i=a2q+

〃4夕++〃2〃q=qS偶，艮PS奇=〃i+qS偶.

知識點8等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用

1.解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.

2.一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.

3.注意問題是求什么("，an,S?).

注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答.

(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確.

(3)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關(guān)系.

(4)在近似計算時，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求.

1、等比數(shù)列基本量運算的解題策略

(1)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量q,an,q,n,Sn,已知其中三個就能求另外兩

個(簡稱“知三求二”),通過列方程(組)便可迎刃而解；

(2)運用方程思想解答等比數(shù)列的基本運算問題是高考常見題型，要抓住基本量可、q,掌握好設(shè)未知數(shù)、

列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算.

(3)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整

體代換，如qn,~都可看作一^個整體.

1-q

(4)等比數(shù)列的前幾項和公式涉及對公比9的分類討論，首先要對公比9=1或9W1進行判斷，若兩種情況

都有可能，則要分類討論.當q=l時，｛%｝的前w項和S,=〃ai;當qWl時，｛詼｝的前w項和為="，1''

1q

=干等，當夕>1時，用公式5=言(/一1)代入計算，當了1時，用公式S“=告(1—q")代入計算，可

避免出現(xiàn)符號錯誤.

(5)特殊設(shè)法:三個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為四個數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為.

qqq

這對已知幾數(shù)之積，求數(shù)列各項，運算很方便.

2、等比中項要注意的問題

兩個同號的實數(shù)a,6才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±7^)，而不是一個(屈)，這是容易

忽視的地方.

3、等比數(shù)列的證明方法

若；1—q(4為非零常數(shù)，〃WN*)或—q(q為非零常數(shù)且〃GN*),

斯

定義法CLn-\

則｛&｝是等比數(shù)列

中項

若數(shù)列｛斯｝中，斯W0且尾+I=a,?斯+2(WGN*),則｛斯｝是等比數(shù)列

公式法

通項若數(shù)列｛斯｝的通項公式可寫成斯=。4"一i(c,q均為非零常數(shù)，"GN*),貝!)｛斯｝

公式法是等比數(shù)列

前n項和若數(shù)列｛為｝的前〃項和a=七q'—網(wǎng)左為非零常數(shù)*q#O,l),則｛詼｝是等比

公式法數(shù)列

4、等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用

(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=P+q,則

礪S=即他"，可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形.止匕外，解題時注意設(shè)而

不求思想的運用.

5、判斷等比數(shù)列的單調(diào)性的方法

⑴當q>l,ai>0或0<q<l,ai<0時，｛斯｝是遞增數(shù)列.

(2)當q>l,的<0或0<q<l,句>0時，｛斯｝是遞減數(shù)列.

⑶當q=l時，｛斯｝是常數(shù)列；當g<0時，｛斯｝是擺動數(shù)列.

6、處理等比數(shù)列前w項和有關(guān)問題的常用方法

(1)充分利用Sm+"=Sm+d"S"和S",S2"-S",S3"—S2"…(n為偶數(shù)且q=-1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì)，

能有效減少運算.

（2）運用等比數(shù)列的前w項和公式，要注意公比4=1和4W1兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時，通常用約分

或兩式相除的方法進行消元.

7、處理等比數(shù)列奇偶項和有關(guān)問題的常用方法

等比數(shù)列｛斯｝共有2n項，要抓住和S假+S+=S2“這一隱含特點；若等比數(shù)列｛呢｝共有2?+1項，要

3奇

抓住S奇=。1+贅偶和S偶+S奇=S2〃+1這一隱含特點.要注意公比q=l和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）

時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元.

A考點剖析

考點一、等比數(shù)列及其前〃項和基本量的運算

1.在等比數(shù)列｛〃“｝中，若〃3=2,a3+a5=10f則%=.

2.在等比數(shù)列｛4｝中，4=1，a5-a9=16,則%=.

3.在等比數(shù)列｛。〃｝中，%+〃9=3,a9+an=12,貝巾4+小=（）

A.12B.24C.48D.96

4.已知｛?！ǎ秊榈缺葦?shù)列，公比9>0,%+。3=12嗎?。5=81,則。5=（）

A.81B.27C.32D.16

5.已知等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且公比q>0,邑=『S4r2=弓，則4=（）

2o

A.1B.1C.-D.-

48

S-S

6.已知等比數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，%_4，q_8,則/_()

A.16B.8C.6D.2

7.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14,積等于64,則這個等比數(shù)列的公比是（）

A.2或3B.2或一;C.—2或gD.-2或-萬

考點二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

（―）等比中項的應(yīng)用

8.若。，b,。均為實數(shù)，試從①"=改；領(lǐng)=&;③中選出“。，6,c成等比數(shù)歹廣的必要條件的

bc

序號.

9.已知2a+3,a,2a-3是正項等比數(shù)列中的連續(xù)三項，則公比4=.

10.已知。是2和4的等差中項，正數(shù)b是-2和-8的等比中項，則仍等于.

11.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若外,%，%成等比數(shù)列，則。2=（）

A.-10B.-6C.4D.-4

12.已知等差數(shù)歹I]｛4｝前3項和邑=12,6-1,%-1，%+3成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公差”=

(-)利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算

13.已知等比數(shù)列｛%｝中，出=4,%='，貝！|%R+%%的值是.

14.已知數(shù)列｛4｝為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若44+2/。5+44=25,則生+生=()

A.5B.-5C.±5D.無法確定

,、1111

15.已知等比數(shù)列｛%｝滿足：%+“4+&+4=2。，a2-as=2,則一+—+—+—的值為.

^^2^^4^^6^^8

16.在正項等比數(shù)列｛4｝中，若4，%是關(guān)于尤的方程/-〃吠+4=0的兩實根，貝I

log,q+log2%+log,a,++log2oQ=()

A.8B.9C.16D.18

17.等比數(shù)列｛a“｝滿足：弓AO,“〉。,"%為為為=32,則？+%的最小值為.

18.在9與1之間插入5個數(shù)，使這7個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的5個數(shù)的乘積為.

(三)等比數(shù)列的單調(diào)性和最值

19.已知｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，貝廣4>0'’是"｛%｝為遞增數(shù)列'’的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

20.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，首項為外,公比為q,則4(4-1)<。是“數(shù)列｛4,｝遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

21.在等比數(shù)列｛4｝中，4+%=9,。2a6=8,且。"<。用，則％3=.

22.設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足q+%=1。，4+4=5,貝!]叫?%的最大值為()

A.32B.16C.128D.64

23.試寫出一個無窮等比數(shù)列｛4,｝,同時滿足①%=1；②數(shù)列｛|?！梗龁握{(diào)遞減；③數(shù)列｛%｝不具有單調(diào)性，則

a

當〃eN*時，n=?

24.已知等比數(shù)列｛4｝的前5項積為32,1<4<2,則生+當+件的取值范圍為

考點三、等比數(shù)列前"項和性質(zhì)的應(yīng)用

(-)等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用

25.已知等比數(shù)列｛。"｝中，前”項和為S“，且兀=10,邑。=50.求％.

26.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S,是其前〃項和，且既=15,幾=195,貝應(yīng)4=.

27.已知S“為等比數(shù)列｛4｝的前w項和，且S3=8,56=7,貝(]%+%+…+%=.

28.設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的前“項和為S"，若邑=10邑，則法的值為.

d2

29.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前”項和是S".已知邑=30,$6=120,貝.

d3

30.設(shè)S“是等比數(shù)列｛%｝的前"項和，若稱=:,則不%=___.

'J十^12

31.記S,為等比數(shù)列｛4｝的前"項和，已知$3=1,$6=5,貝=.

%一>3

（-）等比數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)

32.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q=；,且q+%+%+L+頰=90,貝I]%+%+a3+L+al00=.

33.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64,則4=

（）

A.1B.4

C.12D.36

34.已知正項等比數(shù)列｛q｝共有2〃項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比0=.

35.已知等比數(shù)列｛%｝的前10項中，所有奇數(shù)項的和為85；,所有偶數(shù)項的和為170^,則S=/+4+%+%2

的值為.

36.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64,則q=

（）

A.1B.4

C.12D.36

（三）等比數(shù)列前n項和其他性質(zhì)

37.已知｛%｝為等比數(shù)列，｛%｝的前w項和為S,,前"項積為則下列選項中正確的是（）

A.若S的>5m一則數(shù)列他”｝單調(diào)遞增

B.若%>7”則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增

C.若數(shù)列｛S“｝單調(diào)遞增，則。2022上。2021

D.若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則的）222的⑼

38.設(shè)等比數(shù)列｛七｝的公比為4,其前〃項和為臬，前“項積為1,并且滿足條件％>1,4%>1，工<°，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.a6as>1B.0<q<lC.5"的最大值為跖D.（的最大值為心

39.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前”項和為冬，前〃項積為1,并滿足條件q>L的必。儂〉]，

(生必-1)-(%)22—1)<0,則下列結(jié)論中不正確的有()

A.q>l

B.S2022>B021

C.02021?02023<1

D.4m是數(shù)列⑵｝中的最大項

40.若等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其前幾項和為s“，前〃項積為月，并且則下列正確的是()

A.4>1B.0<Oj<1

C.S,的最大值為$8D.1的最大值為京

考點四、等比數(shù)列的證明

41.已知數(shù)列｛”“｝滿足4=1,加?“+1=2(力+1)%,設(shè)a=?.

⑴判斷數(shù)列｛〃｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(2)求｛%｝的通項公式.

42.在數(shù)列｛a“｝(q產(chǎn)0)和｛〃,｝中，q=1,a=2,且。計也,是和。也包的等差中項.

b

⑴設(shè)C”=H,求證：數(shù)列仁-1｝為等比數(shù)列；

an

⑵若勿=言，｛g｝的前W項和為s“，求證：s“<3.

43.數(shù)列｛4｝中，4=2,??+1=2o?-l.

⑴求證：數(shù)列｛氏-1｝是等比數(shù)列；

⑵若bn=an+n,求數(shù)列也｝的前〃項和T?.

2

44.己的數(shù)列｛%｝的首項4=§,anan+l=2an-an+l,neN+.

⑴求證：數(shù)列］J等比數(shù)列；

⑵記<=,+'+…+」~,若(<7,求〃的最大值.

a｛a2an

q3+

45.已知數(shù)列｛4｝滿足4=g,??+i=j^(?eN)

24%

⑴求證：是等比數(shù)列；

ZX111

(2)設(shè)…%=d(〃wN),求和:-+—+—

02%

考點五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系

46.已知數(shù)列｛an｝的前“項和S“=3"+1,求｛%｝的通項公式________.

47.若等比數(shù)列｛%｝的前"項和S“=5+a-6"+1，貝。.

48.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若4=2,S?+1=2S?+1,則S“=.

49.設(shè)數(shù)列｛a,｝的前n項和為Sn,且4s“+2a?=3,則數(shù)列｛4｝的通項公式為冊=.

考點六、等比數(shù)列的簡單應(yīng)用

50.《莊子?天下》中講到：“三尺之梗，日取其半，萬世不竭.”這其實是一個以1為公比的等比數(shù)列問題.有

一個類似的問題如下：有一根一米長的木頭，第2天截去它的;，第3天截去第2天剩下的《，…，第”

天截去第n-l天剩下的則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的（）

n

A.-^―B.-^―C.—D.----

2021202240424044

5L朱載埴（1536~1611）,是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制

成了最早的“十二平均律".十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，

各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱"十二等程律"，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之

比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設(shè)前三個音的頻率總和為A，前六個音的頻率總和為4,

則今=（）

A

A-1+2ZB-1+25C-1_2?D'1-215

52.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足"中有一道兩鼠穿墻問題："今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大

鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”描述的問題是：有五尺厚的墻，兩只老

鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（）天

后兩鼠相遇.

A.1B.2C.3D.4

53.某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位:

萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計

劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：13°。13.79）（）

A.3937萬元B.3837萬元

C.3737萬元D.3637萬元

54.2018年，某地區(qū)甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a,甲林場木材存量每年比上一年遞增25%

而乙林場木材存量每年比上一年遞減20%.

（1）經(jīng)過幾年兩林場木材的總存量相等？

（2）兩林場木材的總量到2022年能否翻一番？并說明理由.

?過關(guān)檢測

一、單選題

1.（2023上?新疆伊犁?高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列｛%｝中，%+的=3,%+4=12,則％]+&=)

A.12B.24C.48D.96

2.（2023?四川成者R?校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列｛q｝中，出,〃6是方程％?—8%+根=0兩根，若〃3。5=3。4,則

加的值為（）

A.3B.9C.-9D.-3

7

3.（2023上?甘肅隴南?高二?？计谀﹥蓚€正數(shù)6的等差中項是：，等比中項是2石，且。＞人，則橢圓

22

A+與"=1的禺心率為（）

ab

A.-B.叵C.立D.立

3443

4.（2023上?江蘇淮安?高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，貝是“存在"eN*滿足

?！?2＜4＜見+1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2023上?甘肅白銀?高二甘肅學(xué)?？计谀┘褐椀缺葦?shù)列｛%｝的前〃項和為S”4=2,

且§4=3(4+%),則％=()

_n+l

〃

A.2+iB.2號C.2"D.22

6.（2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且2%+3%=1,4=9廿6.設(shè)

b,=log3q+log3a2+........+log3a,,則數(shù)列)

2nAn

A.—2nB.

n+l

7.（2023上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）己知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列,4=1。。，公比"=若1是數(shù)列｛%｝的

前”項積，則T,取得最大值時〃的值為（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2023上?新疆伊犁?高二校考期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個問題“三百七十

八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”，其大

意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走

了6天后到達目的地，問此人前4天共走了（）

A.189里B.288里C.336里D.360里

9.（2023上?甘肅天水?高二天水市第一中學(xué)?？计谀┮阎椀缺葦?shù)列｛%｝滿足:$3=2%+3%,若存在兩

iQ

項品,4,使得。筋“=4。；，則一+一的最小值為（）

mn

28

A.yB.5C.4D.不存在

10.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,%=9,4=243,若關(guān)于w的不等式

3a"-2s2“-73。W0恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為（）

A.（-co,27]B.（YO,54]

C.（-oo,27）D.（-oo,54）

二、多選題

11.（2023下?山東東營?高二統(tǒng)考期末）己知數(shù)列｛凡｝的首項4=1,且。1=2%+1,滿足下列結(jié)論正確的

是（）

A.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列

C.??=2--1

D.數(shù)列｛4｝的前"項的和S“=2"-〃

12.（2023上?廣東深圳?高三深圳市寶安中學(xué)（集團）?？茧A段練習(xí)）設(shè)公比為4的等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和