北京市2021-2022學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期末試題分類練習(xí)-函數(shù)解答

北京市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末分類匯編

專題04函數(shù)解答

一、解答題

1.(2022?北京石景山?高一期末)已知函數(shù)/(%)=旦.

x+l

(1)用定義證明函數(shù)/(，)在區(qū)間(1,+?)上單調(diào)遞增；

⑵對任意xe［2,4］都有成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

2.(2022?北京石景山?高一期末)計劃建造一個室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚,

并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、

右內(nèi)墻各保留L5米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設(shè)溫室的一邊長度為x

米，兩個養(yǎng)殖池的總面積為》平方米，如圖所示：

K-------------------x-------------------X

(1)將y表示為x的函數(shù)，并寫出定義域；

(2)當(dāng)x取何值時，，取最大值？最大值是多少？

3.(2022?北京東城.高一期末)已知函數(shù)/(x)=/+ox+4(aeR).

(1)若/'⑴=0,求不等式/(x)W。的解集；

⑵若/'⑴=2,求Ax)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值，并分別寫出取得最大值和最

小值時的尤值；

⑶若對任意尤e(0,—),不等式〃尤)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.(2022?北京東城?高一期末)已知函數(shù)/(此=-7.

(1)判斷了。)在區(qū)間［0,+8)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；

⑵設(shè)g(x)=f(x)-左(左為常數(shù))有兩個零點(diǎn)看,三，且占＜々，當(dāng)王＜-6時，求上的取

值范圍.

5.（2022?北京東城?高一期末）人口問題是世界普遍關(guān)注的問題，通過對若干個大城市

的統(tǒng)計分析，針對人口密度分布進(jìn)行模擬研究，發(fā)現(xiàn)人口密度與到城市中心的距離之間

呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)關(guān)系.指數(shù)模型應(yīng)是經(jīng)典的城市人口密度空間分布的模型之一，該

模型的計算是基于圈層距離法獲取距城市中心距離和人口密度數(shù)據(jù)的，具體而言就是以

某市中心位置為圓心，以不同的距離為半徑劃分圈層，測量和分析不同圈層中的人口狀

況.其中x是圈層序號，將圈層序號是x的區(qū)域稱為“x環(huán)"（x=l時，1環(huán)表示距離城

市中心0?3公里的圈層；x=2時,2環(huán)表示距離城市中心3~6公里的圈層；以此類推）；

4是城市中心的人口密度（單位：萬人/平方公里），Z為x環(huán)的人口密度（單位：萬人

/平方公里）；6為常數(shù)；e=2.71828….下表為某市2006年和2016年人口分布的相關(guān)

數(shù)據(jù):

年份d

0n

2006*0.13

20160.10

⑴求該市2006年2環(huán)處的人口密度（參考數(shù)據(jù)：e"6.o.77,結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的§,求該環(huán)是這個城市的多少

環(huán).（參考數(shù)據(jù)：m2Q0.7,In3Ml.1）

6.（2022?北京東城?高一期末）已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足：①對任意實(shí)數(shù)x,?

都有f（x+y）+f（x-y）=2/（x）/（y）；②對任意xe[0,l）,/（x）>0.

⑴求了（。）；

（2）判斷并證明函數(shù)/（x）的奇偶性；

（3）若f6=0,直接寫出〃x）的所有零點(diǎn)（不需要證明）.

7.（2022?北京海淀?高一期末）已知函數(shù)〃力=優(yōu)+力L（。>0且。工1）,再從條件①

、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

⑴判斷函數(shù)的奇偶性，說明理由；

（2）判斷函數(shù)/'（x）在（0,+s）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

⑶若/（|時-3）不大于力”2）,直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

條件①：a>l,b=l；條件②：0<a<l,b=-1.

試卷第2頁，共10頁

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

8.（2022?北京海淀?高一期末）已知定義域?yàn)?。的函?shù),若存在實(shí)數(shù)a,使得依eD,

都存在x^D滿足4+；（%）=a,則稱函數(shù)具有性質(zhì)P⑷.

（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)產(chǎn)（0），說明理由；①"X）=2"；②""Tog?x,xe（0,1）.

⑵若函數(shù)的定義域?yàn)榍揖哂行再|(zhì)尸⑴，貝『"（%）存在零點(diǎn)”是“2eO”的

條件，說明理由；（橫線上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”

、“既不充分也不必要”）

⑶若存在唯一的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)〃x）=V+x+4,%?0,2］具有性質(zhì)尸（°）,求實(shí)數(shù)f

的值.

9.（2022?北京海淀?高一期末）2015年10月5日，我國女藥學(xué)家屠呦呦獲得2015年諾

貝爾醫(yī)學(xué)獎.屠呦呦和她的團(tuán)隊(duì)研制的抗瘧藥青蒿素，是科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的重大突破，開

創(chuàng)了定疾治療新方法，挽救了全球特別是發(fā)展中國家數(shù)百萬人的生命，對促進(jìn)人類健康

、減少病痛發(fā)揮了難以估量的作用.當(dāng)年青蒿素研制的過程中，有一個小插曲：雖然青蒿

素化學(xué)成分本身是有效的，但是由于實(shí)驗(yàn)初期制成的青蒿素藥片在胃液中的溶解速度過

慢，導(dǎo)致藥片沒有被人體完全吸收，血液中青蒿素的濃度（以下簡稱為“血藥濃度”）的

峰值（最大值）太低，導(dǎo)致藥物無效.后來經(jīng)過改進(jìn)藥片制備工藝，使得青蒿素藥片的

溶解速度加快，血藥濃度能夠達(dá)到要求，青蒿素才得以發(fā)揮作用.已知青蒿素藥片在體

內(nèi)發(fā)揮作用的過程可分為兩個階段，第一個階段為藥片溶解和進(jìn)入血液，即藥品進(jìn)入人

體后會逐漸溶解，然后進(jìn)入血液使得血藥濃度上升到一個峰值；第二個階段為吸收和代

謝，即進(jìn)入血液的藥物被人體逐漸吸收從而發(fā)揮作用或者排出體外，這使得血藥濃度從

峰值不斷下降，最后下降到一個不會影響人體機(jī)能的非負(fù)濃度值.人體內(nèi)的血藥濃度是

一個連續(xù)變化的過程，不會發(fā)生驟變.現(xiàn)用/表示時間（單位：h）,在f=0時人體服用

青蒿素藥片；用C表示青蒿素的血藥濃度（單位：陽/ml）.根據(jù)青蒿素在人體發(fā)揮作用

的過程可知，C是f的函數(shù).已知青蒿素一般會在1.5小時達(dá)到需要血藥濃度的峰值.請根

據(jù)以上描述完成下列問題：

（1）下列幾個函數(shù)中，能夠描述青蒿素血藥濃度變化過程的函數(shù)的序號是.

J0.2t,0<t<1.5

10.75-0③JNL5

12

——?9+-z,0<r<15

55

gi

②。⑺=《------M.5</<4.5

''4020

0,Z>4.5

0.3ez-0.3,0<r<1.5

③C⑺=<0,31n(2.5)§

t'一.

0.21n(^+l),0</<1.5

④C(f)='o.31n(2.5)>

t，

(2)對于青蒿素藥片而言，若血藥濃度的峰值大于等于01%/ml,則稱青蒿素藥片是合

格的.基于(1)中你選擇的函數(shù)(若選擇多個，則任選其中一個)，可判斷此青蒿素藥

片;(填“合格”、“不合格”)

(3)記血藥濃度的峰值為Cmax，當(dāng)CN^Cmax時，我們稱青蒿素在血液中達(dá)到“有效濃度”,

基于(1)中你選擇的函數(shù)(若選擇多個，則任選其中一個)，計算青蒿素在血液中達(dá)到

“有效濃度”的持續(xù)時間.

10.(2022?北京豐臺?高一期末)已知函數(shù)〃x)=lg(l+x)+lg(lr).

⑴求函數(shù)的定義域；

⑵判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；

(3)判斷函數(shù)/■(%)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并用定義證明.

11.(2022.北京豐臺.高一期末)一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒，能在短時間內(nèi)感染大

量文件，使每個文件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴(yán)重浪費(fèi).這種病毒開機(jī)時占

據(jù)內(nèi)存2KB,每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB.

(1)求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式；

(2)如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB(1GB=21()MB,1MB=21OKB)時，計算機(jī)能夠正常

使用，求本次開機(jī)計算機(jī)能正常使用的時長.

12.(2022?北京平谷?高一期末)已知二次函數(shù)/(k=依2-(°+1■+1.

(1)當(dāng)對稱軸為x=-l時，

(i)求實(shí)數(shù)a的值；

(ii)求無)在區(qū)間［—2,2］上的值域.

試卷第4頁，共10頁

⑵解不等式/(x)川.

-%2+2x(0<x<2)

13.(2022.北京平谷.高一期末)已知函數(shù)”無)=

x2+2x(-24尤<0).

Ki

2

I

---1-------1---------------1------1----A

-2-IOI2X

-I-

-於

⑴求/[-'I],u的值；

(2)作出函數(shù)的簡圖；

(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；

(4)由簡圖得出函數(shù)的奇偶性，并證明.

14.(2022?北京昌平?高一期末)已知函數(shù)/(%)=m父+4刃X+3,加￡R

(1)若機(jī)=1，求/(%)工。的確軍集；

⑵若方程/⑴=0有兩個實(shí)數(shù)根巧，且%;+/-3%/>0,求加的取值范圍.

15.(2022?北京昌平.高一期末)已知函數(shù)〃x)=log2(4-尤”

⑴求“X)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

⑶若/(X)(log2(儂+5)對于xe(O,2)恒成立，求實(shí)數(shù)加的最小值.

16.(2022?北京昌平.高一期末)已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)?。，如果存在使?/p>

/(%)=%,則稱與為〃x)的一階不動點(diǎn)；如果存在不?￡),使得/'(/(%))=%,且

/(x°)NXo,則稱為為/(x)的二階周期點(diǎn).

(1)分別判斷函數(shù)y=2工與y=?是否存在一階不動點(diǎn)；(只需寫出結(jié)論)

⑵求=X--1|的一階不動點(diǎn)；

ex,0<x<l,

⑶求〃尤)=尤的二階周期點(diǎn)的個數(shù)

2——,l<x<4.

I2

17.(2022.北京房山.高一期末)已知哥函數(shù)〃幻=丁的圖象經(jīng)過點(diǎn)(點(diǎn),2).

⑴求函數(shù)/(無)的解析式；

⑵若函數(shù)/(X)滿足條件/'(2-,試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(2022?北京房山?高一期末)已知函數(shù)〃尤)=&).

⑴判斷函數(shù)的單調(diào)性，并進(jìn)行證明；

⑵設(shè)g(x)=/(x)-l(x22),求函數(shù)g(x)的值域.

19.(2022.北京房山.高一期末)已知函數(shù)f(x)=log“(l+6x)(a>0且。片1),/(1)=1,

f(3)=2.

⑴求函數(shù)/(X)的解析式；

⑵若g(x)=/(尤)-f(-x),指出函數(shù)g(x)的奇偶性，并證明.

20.(2022.北京房山?高一期末)為落實(shí)國家“精準(zhǔn)扶貧”政策，某企業(yè)于2020年在其扶貧

基地投入200萬元研發(fā)資金，用于養(yǎng)殖業(yè)發(fā)展，并計劃今后7年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投

入的資金比上一年增長15%.

(1)寫出第x年(2021年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)了(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式,

并指出函數(shù)的定義域；

(2)該企業(yè)從第幾年開始(2021年為第一年)，每年投入的資金數(shù)將超過400萬元？(參

考數(shù)據(jù)：1g0.15?-0.824,lgl.5?0.176,lgO.115?-0.939,Igl.15*0.061,lg2?0.301)

21.(2022.北京西城?高一期末)設(shè)/(力=公一依+3,其中aeR.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)f(x)的圖像與直線y=3x交點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若函數(shù)f(x)有兩個不相等的正數(shù)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑶若函數(shù)f(x)在(-8,0)上不具有單調(diào)性，求a的取值范圍.

22.(2022?北京西城?高一期末)已知函數(shù)尤)=log2士L

⑴若求a的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

(3)若f(x)2機(jī)對于xe[3,+co)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

試卷第6頁，共10頁

23.（2022?北京西城?高一期末）某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，用于捕撈.已

知該船使用中所需的各種費(fèi)用e（單位：萬元）與使用時間”單位：年）之

間的函數(shù)關(guān)系式為e=2/+10〃，該船每年捕撈的總收入為50萬元.

（1）該漁船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有使用費(fèi)用為正值）？

（2）若當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，漁船以30萬元賣出，則該船為漁業(yè)公司帶來的收

益是多少萬元？

24.（2022?北京通州.高一期末）已知二次函數(shù)/（%）=加-2°x+l.

⑴求的對稱軸；

⑵若/（-1）=7,求。的值及Ax）的最值.

25.（2022?北京通州?高一期末）已知函數(shù)/（x）=a，（a>0,且的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2一）.

4

⑴求。的值；

⑵求“X）在區(qū)間,1］上的最大值；

⑶若g（x）=/（x）-x,求證：g（x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)存在零點(diǎn).

26.（2022?北京通州.高一期末）若函數(shù)/（x）的自變量的取值范圍為［a,川時，函數(shù)值的

取值范圍恰為［，小，就稱區(qū)間［a回為“X）的一個“和諧區(qū)間”.

⑴先判斷“函數(shù)/（x）=J沒有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)g（x）=-x+3（x>0）的

“和諧區(qū)間”；

⑵若是定義在（TO,-Qu。,y）上的奇函數(shù)，當(dāng)尤?1,內(nèi)）時，=

（i）求“X）的“和諧區(qū)間”;

（ii）若函數(shù)g（x）的圖象是“X）在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)加，

使集合｛（x，y）ly=g（x）｝c｛（x,y）|y=x3-w?>0卜恰含有2個元素，若存在，求出加的

取值范圍；若不存在，請說明理由.

27.（2022?北京市懷柔區(qū)教科研中心高一期末）已知函數(shù)/（x）=土二.

x

（1）判斷了（X）奇偶性;

（2）當(dāng)尤e（1,+00）時，判斷的單調(diào)性并證明；

⑶在（2）的條件下，若實(shí)數(shù)加滿足-2加），求加的取值范圍.

28.（2022?北京市懷柔區(qū)教科研中心高一期末）有一種新型的洗衣液，去污速度特別快，

已知每投放k個（IV左V4,且左eR）單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋

放的濃度y(克/升)隨著時間X(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=kf(x),其中

(24

-----l,0<x<4

/(%)=8一；.若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣

7——x,4<x<14

I2

液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液濃度不低于4克/升時，它才

能起到有效去污的作用.

(1)若只投放一次上個單位的洗衣液，當(dāng)兩分鐘時水中洗衣液的濃度為3克/升，求左的值;

(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達(dá)幾分鐘？

(3)若第一次投放2個單位的洗衣液，10分鐘后再投放1個單位的洗衣液，則在第12分鐘

時洗衣液是否還能起到有效去污的作用？請說明理由.

29.(2022?北京朝陽?高一期末)已知函數(shù)/(彳)=尤-2,g(x)=x2-mx+4(meR).

(1)當(dāng)m=4時，求不等式g(x)>“x)的解集；

(2)若對任意xeR,不等式g(x)>/(x)恒成立，求加的取值范圍；

⑶若對任意不€[1,2],存在％e[4,5],使得g(xJ=/(尤2),求加的取值范圍.

30.(2022?北京師大附中高一期末)已知函數(shù)〃力=2二2、.

(1)判斷函數(shù)/(元)的單調(diào)性，并用定義給出證明；

⑵解不等式：/(%)<乎；

(3)若關(guān)于龍的方程/(X)=m-2工-2--只有一個實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

31.(2022.北京師大附中高一期末)已知函數(shù)?/■(無)=log。同口](。>°且411).

(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)當(dāng)a=2時，求函數(shù)/(x)的值域；

(3)若對任意尤eR,/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

32.(2022.北京?清華附中高一期末)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镺,若存在實(shí)數(shù)“，使

得對于任意占e￡>都存在x2cD滿足為+；(%)=*則稱函數(shù)/(x)為“自均值函數(shù)”，

其中。稱為“X)的“自均值數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)/⑺=2工是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由：

(2)若函數(shù)g(x)=sin(s+：)3>0),xe[0,l]為“自均值函數(shù)”，求①的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃(X)=￡+2X+3,尤40⑵有且僅有1個“自均值數(shù)”，求實(shí)數(shù)/的值.

試卷第8頁，共10頁

33.(2022?北京.清華附中高一期末)已知函數(shù)/(x)=2x?+av+q-l.

(1)若的圖象恒在直線y=-l上方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若不等式20在區(qū)間(0,+co)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

34.(2022?北京市第五中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(無)=不二，

(1)指出/(尤)的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明當(dāng)xe(l,+8)時，/(無)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=1gI/(X)I,關(guān)于x的方程g(x)=m有兩個不等實(shí)根X1,須，且為＜%，當(dāng)

為＞-2時，求加的取值范圍.

35.(2022?北京市第五中學(xué)高一期末)已知定義在R上的函數(shù)Mx)滿足：

①對任意實(shí)數(shù)x,九均有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)；

②/⑴=0；

③對任意xe[0,1),/(%)＞0.

⑴求/(0)-/⑵的值，并判斷f(x)的奇偶性；

⑵對任意的xGR,證明：/(%+4)=/(%)；

⑶直接寫出f(x)的所有零點(diǎn)(不需要證明).

36.(2022?北京市第五中學(xué)高一期末)進(jìn)入六月，青海湖特有物種涅魚自湖中逆流而上，

10

進(jìn)行產(chǎn)卵.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)涅魚的游速可以表示為函數(shù)V=51og2礪，單位是m/s,。是表示

魚的耗氧量的單位數(shù).

⑴當(dāng)一條浪魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？(坨2。0.3)

(2)某條涅魚想把游速提高lm/s,求它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

37.(2022.北京順義.高一期末)若函數(shù)"X)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)與使

f(x0+1)=/(x0)+/(I)成立，則稱函數(shù)=(x)有“漂移點(diǎn)”看.

⑴函數(shù)f(x)=2尤+3是否有漂移點(diǎn)？請說明理由；

⑵證明函數(shù)/(尤)=/+3*在(0,1)上有漂移點(diǎn)；

⑶若函數(shù)〃尤)=山號在(0,+⑹上有漂移點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

38.(2022.北京順義.高一期末)為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級每

天利用課間操時間對各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測定，教室內(nèi)每

立方米空氣中的藥含量》(單位：mg)隨時間x(單位：,)的變化情況如圖所示，在

藥物釋放的過程中y與X成正比，藥物釋放完畢后，y與X的函數(shù)關(guān)系為y=qj(a,b

為常數(shù))，其圖象經(jīng)過4口)，8(1」)，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問題.

(1)求從藥物釋放開始，》與X的函數(shù)關(guān)系式；

(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到0.25mg以下時，才能保證對人身無害，

若該校課間操時間為40分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說

明理由.

2

39.(2022?北京順義?高一期末)已知函數(shù)/(%)=根+算曰(me7?)

(1)若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值;

(2)判斷函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；

⑶若函數(shù)為奇函數(shù)，求滿足不等式〃2-1)+/(/一2)<。的實(shí)數(shù)/的取值范圍.

40.(2022?北京大興?高一期末)已知函數(shù)/(x)=log2(1-X?).

⑴求了(X)的定義域；

(2)判斷了。)的奇偶性，并說明理由；

(3)設(shè)。<吃<%<1,證明：/(再)><(%).

41.(2022?北京大興?高一期末)用水清洗一堆蔬菜上的農(nóng)藥，設(shè)用x個單位量的水清洗

一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為〃x),且〃0)=1.已

知用1個單位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前殘留農(nóng)藥量的3，用水越多洗掉的農(nóng)

藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.

(1)根據(jù)題意，直接寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

(2)設(shè)/(尤)=Jv，現(xiàn)用。(a>0)個單位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成

2份后清洗兩次，問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少，說明理由；

⑶若/。)=477滿足題意，直接寫出一組參數(shù)Me，廠的值.

1+ce

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.(1)證明見解析

O

(2)[產(chǎn))

【分析】(1)由定義證明即可；

(2)求出/(元)在(L+O上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

(1)

任取外,％e（l,+w）,S.Xl＜X2,

f（x）-f（r）=2%_2占=2%（占+1）-2占（三+1）=2（%-%）

2

'九2+1%+1（%2+DU+1）（尤2+D（石+1）

因?yàn)椋?＞玉＞1，所以％2-%＞O,（X2+1）（%]+1）＞0,

所以/(%)-/(占)>。，即f(電)>/(占).所以/(X)在(1,+8)上為單調(diào)遞增.

(2)

任意xe[2,4]都有/(無)4〃?成立，即％2/(x)1mx.

Q

由(1)知/(X)在(1,"0)上為增函數(shù)，所以xe[2,4]時，/U)max=/(4)=-.

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍是[|，”).

2.(l)y=(尤一3)]1-5,定義域?yàn)椋鹸|3<尤<300｝；

(2)當(dāng)X取30時，y取最大值，最大值是1215.

【分析】(1)應(yīng)用矩形的面積公式寫出y表示為X的函數(shù)，并寫出定義域.

(2)利用基本不等式求》的最大值，并確定對應(yīng)X值.

(1)

依題意得：溫室的另一邊長為幽米，則養(yǎng)殖池的總面積y=(x-3)(”四-5

xvx

x—3>0

因?yàn)?15004C，解得3cx<300.

-5>0

.x

???定義域?yàn)椋鸛[3<X<300｝.

(2)

答案第1頁，共43頁

,‘、(/1500八1…「4500<).

由(1),y=(x-3)l^—-51=1515-1^—+5x1,又3V光v300,

所以幽+5x22.竺”5x=300,當(dāng)且僅當(dāng)幽=5x,即x=30時上式等號成立,

xVxx

所以y=1515一(1515-300.

當(dāng)X=3O時，,max=1215.

當(dāng)力為30時，y取最大值為1215.

3.⑴[1,4]

37

(2)當(dāng)x=；時函數(shù)取得最小值，/(x)1nhi=：,當(dāng)》=-2時函數(shù)取得最大值〃x)1mx=14；

⑶(T*)

【分析】(1)根據(jù)/"⑴=0,代入求出參數(shù)。的值，再解一元二次不等式即可；

(2)首先由f⑴=2求出。的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；

(3)參變分離可得?對4任意xe(0,+s)恒成立，再利用基本不等式求出x+士4的最小

值，即可得解；

(1)

解：因?yàn)?(無)=尤2+依+4(“€尺)且"1)=0,所以F+a+4=0,解得。=-5,所以

f(x)=x2-5x+4,?/(%)<0,即r―5x+440,BP(x-4)(x-l)<0,解得14x44,即原

不等式的解集為[1,4]；

(2)

解：因?yàn)锳D=2,所以/+.+4=2,所以。=—3,所以/(尤)=/一3x+4=]x-+：,

-31(313

因?yàn)橛萫[-2,2],所以函數(shù)在-2,二上單調(diào)遞減，在彳,2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x時函數(shù)

12」【2」2

取得最小值1nM=?=(，當(dāng)x=-2時函數(shù)取得最大值f1ax=/(-2)=14；

(3)

解：因?yàn)閷θ我夤ぁ?。,+8),不等式/(幻>0恒成立，即對任意工￡(0,+8),不等式

44I4

X?+ox+4>0恒成立，即一avxH—對任意％￡(。,+°0)恒成立，因?yàn)閄H■—22、/%?一=4當(dāng)且

xxVx

答案第2頁，共43頁

4

僅當(dāng)％=—,即％=2時取等號；

x

所以一口＜4,即a＞T,所以

4.（1）/（%）在區(qū)間［0,+8）上的單調(diào)遞減，證明詳見解析;

⑵。

【分析】（1）/（X）在區(qū)間［0,+co）上的單調(diào)遞減，任取公，馬W（0,+oo）,且再＜%,再判斷

/（百）-/（々）的符號即可;

7

（2）令g（x）=/（X）-左=0,得到"X）=左，根據(jù)/（%）＞0,轉(zhuǎn)化為y=x2+l有兩個零點(diǎn)冷三,

K

且無］<%,&<—?\/3求解.

(1)

解："X）在區(qū)間［0,+8）上的單調(diào)遞減,

證明如下：任取西,馬?0,心），且玉＜%,

22_2(々+%)(％2—%)

則/(再)-/<>2)=2

%；+1X2+1(石2+1)(々2+1)'

因?yàn)檎?赴e（0,+oo）,

所以％+網(wǎng)＞0,

因?yàn)橛瘢捡R，

所以％-玉＞0,

所以〃石）-/（巧）＞0,

即/&)>/(/),

所以/（X）在區(qū)間［。,+8）上的單調(diào)遞減;

⑵

令g(x)=/(x)-4=0,則/(X)=k,

因?yàn)??＞0,所以k＞0,

222

則由7即廠丁+1，

答案第3頁，共43頁

因?yàn)間(x)=f(x)-左(左為常數(shù))有兩個零點(diǎn)不，馬，且為＜W，&＜_JL

所以'=尤2+1(左為常數(shù))有兩個零點(diǎn)占,三,且再＜3，再＜-6，

所以,＞卜南+1=4,

解得0(人

5.(1)1.7

⑵4

【分析】(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，由&=2.2e*26求解；

(2)根據(jù)2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的鼻，由qx2.3=2.3e@，求解.

⑴

解:由表中數(shù)據(jù)得：4=2.2e-26。2.2x0.77~1.7；

⑵

因?yàn)?016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的葭

所以一x2.3=2.3e?/*,即一=e°",

32

3

所以0.卜=嗎=1113-111221.1-0.7=0.4,解得*=4,

所以該環(huán)是這個城市的4環(huán).

6.(1)/(。)=1

(2)/。)為偶函數(shù)，證明見解析

(3)x=2k+l,k&Z

【分析】(1)令x=y=0,化簡可求出/(0),

(2)令x=0,貝IJ/“)+/(-y)=2/(0)/(y)=2/(y),化簡后結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷即可,

(3)利用賦值求解即可

(1)

令x=y=0,則/(0)+/(0)=2〃(0),

/2(0)-/(0)=0,得/(0)=0或/'(0)=1,

答案第4頁，共43頁

因?yàn)閷θ我鈞e[O,l)](x)＞。，所以八。)=1

(2)

/(X)為偶函數(shù)

證明：令x=0,則/(y)+/(-y)=2/W(y)=2/(y),

得/(-y)=/(y),

所以〃x)為偶函數(shù)

(3)

令x=k+Ly=k,keZ,貝1]/(24+1)+/(1)=2/(左+1))(左)，

因?yàn)?⑴=0,所以"26+1)=2〃々+1)/伏),

當(dāng)左=1時，/(3)=2/(2)/(1)=0,

當(dāng)人=2時，f(5)=2/(3)/(2)=。，

當(dāng)左=3時，/(7)=2/(4)/(3)=0,

當(dāng)％=4時，/(9)=245)/(4)=0,

所以"2左+1)=0

即當(dāng)尤=2左+1,左eZ時，f(x)=0,

所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=2Z+l,左eZ

7.(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)定義域均為R,代入/(-x)化簡可得出與的關(guān)系，從而判斷奇偶性；(2)

利用定義任取“馬?0,+8),且占＜%，作差判斷〃%)-/(%)的正負(fù)，可得出單調(diào)性;

(3)根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可得到何卜3與2的不等關(guān)系，求解可得加的范圍.

(1)

解：選擇條件①：。＞1，b=l.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，理由如下：

/(x)的定義域?yàn)镽,對任意xeR,則一xeR.

答案第5頁，共43頁

因?yàn)?-x)=「+/='(尤)，

所以函數(shù)/(X)是偶函數(shù).

選擇條件②：0<a<Lb=-\.

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下：

“X)的定義域?yàn)镽,對任意xeR,則-xeR.

因?yàn)?(-%)="T-優(yōu)=一/(x),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

(2)

選擇條件①：a>\,6=1.

“X)在(0,+8)上是增函數(shù).

任取石，x2G(0,+oo),且占<々，則占+%>0.

因?yàn)?>1,

所以小>1.

所以/a)-"％)=〃+叱一(*+山熱)

〃國+刀2_1

…<。即/(%)</(%)

所以“X)在(0,+8)上是增函數(shù).

選擇條件②：0<a<1,b=-l.

/(x)在(0,+s)上是減函數(shù).

任取孫A:2G(0,+OO),且再<%.

因?yàn)?<°<1,

所以優(yōu)1>d>0.

所以“不)一“%)=〃_廠)

=(優(yōu)二十)，+^^]>0,即〃現(xiàn))>/?).

答案第6頁，共43頁

所以“X）在（。，+8）上是減函數(shù).

（3）

選擇條件①：a>\,b=l.

實(shí)數(shù)加的取值范圍是[-5,-1卜[1,5].

選擇條件②：0<<2<1,b=-l.

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（r?，T]qi，+8）.

8.（1）①不具有性質(zhì)產(chǎn)（。）;②具有性質(zhì)尸（。）

（2）必要而不充分條件，理由見解析

⑶仁士也

4

1

【分析】（1）根據(jù)2->0舉例說明當(dāng)%>0時不存在芯+占）=0;取%=2-e（0,1）可知

/（x）=log2x,xe（O,l）具有性質(zhì)尸⑼.（2）分別從/⑴存在零點(diǎn)，證明2e[0,1].和若2eD,

“X）具有性質(zhì)尸（1）時，/（々）=0.兩個角度證明“/（x）存在零點(diǎn)”是“2eZT’的必要而不充分

條件.（3）令函數(shù)/（X）=4+X+4,xe[0,2]的值域?yàn)槭?，g（x）=2a-x,xe[0,2]的值域

A=[2?！?,2a].若函數(shù)/（x）有性質(zhì)P（。），則有對％e[0,2],Bx2G[0,2]，使得/（9）=2a-％

成立，所以F=A,分情況討論,的范圍，從而求出/的取值.

（1）

函數(shù)〃x）=2,不具有性質(zhì)尸（0）.理由如下：

對于。=0,占=1,因?yàn)?±^;>0,4eR，所以不存在玉eR滿足*+2（%）=o.

22

所以函數(shù)“x）=2,不具有性質(zhì)尸（0）.

函數(shù)/（力=1幅8x?0，l）具有性質(zhì)尸（。）.理由如下:

對于％e（0,1）,取無2=2』，則々?0,1）.

祗咨=皿=0,

22

所以函數(shù)/（X）=log2x,XG（0,1）具有性質(zhì)尸⑼.

答案第7頁，共43頁

⑵

必要而不充分理由如下：

①若〃X)存在零點(diǎn)，令〃x)=3x-l,xe[O,l],則C=。.

因?yàn)椤叭∝怚3?,且占+/(々)=.+2-%=].

所以/'(X)具有性質(zhì)P(l),但240,1].

②若2e￡>,因?yàn)椤ㄓ?具有性質(zhì)產(chǎn)⑴，

取士=2,則存在/eD使得芭+/(%)=2+/(%)=1.

22

所以〃9)=0,即存在零點(diǎn)4.

綜上可知，“/(x)存在零點(diǎn)”是“2eD”的必要而不充分條件.

(3)

記函數(shù)/(X)=4+X+4,xe[0,2]的值域?yàn)镕,函數(shù)g(x)=2a-x,xe[0,2]的值域

A=[2a-2,2。].

因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)。，使得函數(shù)〃X)=4+X+4,xe[0,2]有性質(zhì)產(chǎn)⑷，即存在唯一的實(shí)

數(shù)。，對％e[0,2],BX2e[0,2],使得/(9成立，所以尸=A.

①當(dāng)t=0時，f(x)=x+4,XG[0,2],其值域P=[4,6].

由產(chǎn)=A得a=3.

②當(dāng)-ivr,且辦0時，f(x)=a2+x+4,xe[0,2]是增函數(shù)，所以其值域歹=[44+6].

由/=人得，=0,舍去.

③當(dāng)一;<，<一;時，/(x)=tv2+x+4,x￡[0,2]的最大值為=4--—,

ZqI乙IJ?I-

最小值為4,

所以的值域尸=4,4-2.

由/=人得/=一，，舍去.

O

當(dāng)f<一時，/(X)=￡+X+4,xe[0,2]的最大值為/[一1]=4-：,最小值為八2)=4f+6,

乙\乙CJIL

答案第8頁，共43頁

所以“X）的值域歹=今+6,4-2.

由p=A得;土立（舍去公二1詆）.

44

9.⑴④

（2）合格

【分析】（1）先分析函數(shù)C⑺同時滿足的條件，再逐一對每個函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證;

（2）作差比較進(jìn)行判斷；

（3）令C?）20.11n2.5,分段解不等式，再取并集即可求解.

⑴

解：根據(jù)題意，得函數(shù)C⑺同時滿足以下條件：

4函數(shù)C⑺在［0,1.5）上單調(diào)遞增,在［1.5,+⑹上單調(diào)遞減；

民當(dāng)t=L5時，函數(shù)C?）取得最大值；函數(shù)C⑺的最小值非負(fù)；

C.函數(shù)C⑺是一個連續(xù)變化的函數(shù)，不會發(fā)生驟變.

［0.2t,0<t<1.5

選擇①：C（/）=o%f>15，

IU./D—U.Jl,r21Q

因?yàn)镃(3)=0.75-0.3x3=-0.15不滿足條件B,

所以①不能描述青蒿素血藥濃度變化過程;

91

選擇②：c(t)=\—--t,1.5<t<4.5,

0,t>4.5

當(dāng)0Vf<15時，+1,

當(dāng)f=l時，函數(shù)C⑺取得最大值，不滿足條件8,

所以②不能描述青蒿素血藥濃度變化過程；

答案第9頁，共43頁

0.3e’-0.3,04f<1.5

選擇③：C（t）=<0,31n（2.5）§

因?yàn)?.3eL5-0.3=0.3（e15-l）>0.3x（215-l）=0.3x（2^-l）>0.54,

0.31n（2.5）0.31ne”

<=0.2,

1.5-----1.5

所以不滿足條件C,

所以③不能描述青蒿素血藥濃度變化過程；

0.21n（?+l）,0<t<1,5

選擇④：C⑺=.0.31n（2.5）§

0.31n（2.5）

因?yàn)?.21n（1.5+1）=0.21n2.5=

1.5

且當(dāng)d1.5時，C⑺>0,

所以C⑺同時滿足三個條件，

即④能描述青蒿素血藥濃度變化過程；

綜上所述，能夠描述青蒿素血藥濃度變化過程的函數(shù)的序號是④.

(2)

O.21n(z+1),0<t<1.5

解：由⑴得：函數(shù)④：C?)=<0,31n(2.5)

t，

525

因?yàn)?.21n2.5-0.1=0.1(21n—-l)=0.11n—>0,

24e

即血藥濃度的峰值大于0.1pg/ml,

所以此青蒿素藥片合格，

即答案為：合格；

(3)

解：當(dāng)04/<1.5時，令0.2In。+1)20.1In2.5,

所以InQ+l)221n2.5,即Q+lyNg,

即2/+布-320,解得出-2+M或鵬-2一炳,

22

答案第10頁，共43頁

日n一2+J10_

即-------<r<1.5;

21n

當(dāng)/21.5時，令。32.520］皿26,

t

3

貝!|為1,解得W3,

t

BP1.5<r<3；

綜上所述，青蒿素在血液中達(dá)到“有效濃度”的持續(xù)時間

為3一弓或《一半h.

10.⑴(-L1)

(2)函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，證明見解析

(3)函數(shù)/'(X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的真數(shù)部分大于零列不等式求解；

(2)根據(jù)/(-尤)=/(力可證明為偶函數(shù)；

(3)%,且為<%,計算變形“力-〃％)=1g；；：：［I］；；，判斷符號即可判

斷出單調(diào)性.

(1)

、fl+x>0,

根據(jù)題意，有<c得T<X<1.

所以函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?-U).

(2)

函數(shù)/(%)為偶函數(shù).

證明：函數(shù)/(X)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，

因?yàn)?(-x)=lg(l-x)+lg(l+尤)=/(”,

所以“X)為偶函數(shù).

(3)

函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.

答案第11頁，共43頁

證明：青,6(0,1),且王<尤2有

f(X)|-f(X2)=[lg(l+X,)+lg(l-X,)]-[lg(l+A：2)+lg(l-X2)]=lg^^^_^,

因?yàn)?V%V尤2<1，

(1+王乂1—玉)一+%2)(1—九2)=(1—石2)—(1—^"2)=(%2—%J(%2+不)>0

又(1+尤2)(1-尤2)>。

所以了自小.

(l+x2)(l-x2)

所以嘴歌中。，即/⑷>"%)?

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

11.⑴,=2守』R*)

(2)57分鐘

【分析】(1)根據(jù)題意可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB=220KB,根據(jù)(1)中的解析式，列出不等

式，可得答案.

⑴

因?yàn)檫@種病毒開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存2KB,每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.

所以x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為，得y=2>(xcR+)

(2)

因?yàn)椴《菊紦?jù)內(nèi)存不超過1GB時，計算機(jī)能夠正常使用，

故有2.42?。，解得XV57.

所以本次開機(jī)計算機(jī)能正常使用的時長為57分鐘.

154

12.(1)(i)(ii)

333

(2)答案見解析.

【分析】(1)(i)解方程綽D=-i即得解；(ii)利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解；

2a

(2)對。分類討論解不等式.

答案第12頁，共43頁

⑴

解：(i)由題得__("+1)="工=-1,；々+］=_2—」；

2a2a3

i7

(ii)/(%)=--§x+l,對稱軸為x=—1,

1o4

所以當(dāng)xe［-2,2］時，/(x)max=/(-D=--+j+l=-.

445

/(^=/(2)=----+1=--.

所以/⑴在區(qū)間［-2,2］上的值域?yàn)椋踎*￡.

⑵

解■:cu3-(〃+1)%+120,

當(dāng)Q=0時，一兀+1>0,.e.X<1；

當(dāng)。>0時，(依一1)(%—1)20,「.芯=—>0,x=1,

a2

當(dāng)0<々<1時，不等式的解集為｛%|工2工或xKl｝；

a

當(dāng)〃=1時，不等式的解集為R；

當(dāng)時，不等式的解集為口1尤之1或無?4｝；

a

當(dāng)〃<0時，(0￥_1)(—兄+1)40,「.石=—<0,x=1,

a2

所以不等式的解集為｛X\-<X<1］.

a

綜上，當(dāng)。=0時，不等式