高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編：多項(xiàng)選擇題-解三角形（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

多項(xiàng)選擇題——解三角形

1.在.ABC中，下列式子與迎a的值相等的有（）

a

A.-B.嗎C.-D.」（R為/ABC的外接圓半徑）

csinAc2R

2.在一ABC中，下列命題正確的是（）

A.若A>3,貝！JsinA>sin3B.若sin2A=sin23,貝曙ABC定為等腰三角形

C.若"+序=02,則.ABC定為直角三角形

D.若三角形的三邊滿足則此三角形的最大角為鈍角

3.43c中，角A,B,C所對(duì)的三邊分別是a,b,c,以下條件中，使得無(wú)解

的是（）

A.a=A/2,b=/I=120；B.a=>/2,b—V6,/A=45；

C.b=2區(qū)ccsA=與,B=6Q;

D.c=y/3b,sinA=\/2sinB,c=60,

4.在,ABC中，下列結(jié)論正確的是（）

A.若貝UsinAvsinNB.若sinAvsin5,則AvB

]1

C.若則cosA>cos5D.若則>--------

sin2Asin2B

5.不解三角形，則下列對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷中正確的是（）

A.a=30,0=25,4=150,有一解B.。=7乃=14,A=30,有兩解

C.<7=6,/?=9,A=45,有兩解D.a=下）力=遍,A=60,無(wú)解

6.下列在解三角形的過(guò)程中，只能有1個(gè)解的是（）

3

A.a=3,b=4,A=30°B.a=3,b=49cosB=-

C.a=3,b=49C=30°D.a=3,Z?=4>B=30°

7.在,.ABC中，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若則sinAvsin3B.若AvB,貝iJcos2A<cos23

]1

C.若AvB,則cosA>cos5D.若A〈B,則<--------

sin2Asin23

8.對(duì)于AABC,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若cosA=cosB,則AABC為等腰三角形

B.若AABC為銳角三角形，有A+B>E,則sinA>cos8

2

C.若a=8,c=10,B=60。，則符合條件的A48C有兩個(gè)

D.若sinNA+sinZBVsi/C,則△ABC是鈍角三角形

9.ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若A>8,貝!|sinA>sin3B.若A=30,b=4,a=3,貝k.ABC有兩解

C.若，45C為鈍角三角形，則/+62>,2

D.若A=60,a=2,則一43c面積的最大值為G

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a=4,b=6,A=30°,則三角形有一解B.a=hcof>C+ccosB

C.若sin2A=sin28,則△ABC一定為等腰三角形

D.若A=60。，a=5,則△A8C面積的最大值為生叵

4

11.在矩形A8CO中，AB=2,4）=4,E,尸分別在邊A￡>,DC±（不包含端點(diǎn)）運(yùn)

動(dòng)，且滿足NEBF=￡,則.5瓦■的面積可以是（）

6

A.2B.2>/2C.3D.4

12.在ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若ABC為銳角三角形且A>8,貝ijsinA>cos8

B.若sin2A=sin28,則，45。為等腰三角形

C.若A>3,則sinA>sin8

D.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的ABC有兩個(gè)

13.設(shè)。，b,c分別為銳角45C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

（2c、sin8-耳卜inA=&（csinC-bsin8）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.B=Ic.q的取值范圍是D.q的取值范圍是

63c\2Jc）

14.在一ABC中，cos-=—,BC=I,AC=5,貝U()

25

A.AB=4吏B.ABC的面積為1

C.ABC外接圓直徑是50D.ABC內(nèi)切圓半徑是6-4忘

15.一ABC中，BC=4,8c邊上的中線4)=4,則下列說(shuō)法正確的有()

UUUUUU1

A..AC為定值B.AC2+AB2=20

C.^<cosA<lD.ZSM)的最大值為30。

2

16.已知，ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為“、b、c,下列四個(gè)命題中正確的

命題是()

ahr

A.若指=嬴,則A%一定是等邊三角形

cosA

B.若acosA=bcos3,貝！I—ABC一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos8=6,貝ijABC一定是等腰三角形

D.若"+從一。2>0，則..ABC一定是銳角三角形

17.在一43c中，若(a+b):(a+c):(6+c)=9:10:ll,下列結(jié)論中正確的有()

A.sinA:sin8:sinC=4:5:6B.4ABe是鈍角三角形

C.一ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若c=6,貝L/WC外接圓的半徑為邁

7

18.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且sinB+sinC=2sinA()

A.若A=W，c=l,則。=1B.若A=g,c=l,貝I」ABC的面積為兀

C.若6=2,則A的最大值為gD.若6=2,則.ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4,12)

19.已知,ABC中，其內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.下列命題正確的有()

27r

A.若b=l,c=2,A=—,則〃=

jr2

B.若b=5,B=",sinA=-,則〃=2及

C.若sin?A+sin?B+cos2C>1,則.ABC為銳角三角形

D.若A=60。，a=5,則ABC面積的最大值為生叵

4

4

20.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若aUsinA=§,tanC=7,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.cosA=±-B.B=-C.Z?=-D.AABC中的面積為70

542

21.在二ABC中各角所對(duì)得邊分別為。，b,c,下列結(jié)論正確的有（）

b

A.則工ABC為等邊三角形;

cosAcosBcosC

B.已知（。+/?+。）（。+6—。）=3而，則NC=60;

C.已知。=7,b=4Bc=而，則最小內(nèi)角的度數(shù)為30;

D.在。=5,A=60,b=4,解三角形有兩解.

22.在jABC中，角A、3、C的對(duì)邊分別為。、以c,已知ZA=$=2,下列哪些條件

一定能夠得到。=3?（）

A.a=4B.tanB=3^/3

JTQ

C.3sinA=\jlsinBD.8C邊上的中線長(zhǎng)為----

2

23.在△ABC中，角的對(duì)邊分別為則下列的結(jié)論中正確的是（）

A.sinAcosA=sinBcosB,則△ABC一定是等腰三角形

B.若cosA>cos3,則sinAvsin3

C.若^ABC是銳角三角形，則sinA+sin3+sinC>cosA+8sB+cosC

D.已知△ABC不是直角三角形，則tanAtanBtanC=tanA+tan3+tanC

24.在二ABC中，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）

A.若Av8,貝（JsinAvsin3B.若sinAvsin3,則AvB

11

C.若A>3,則-------->---------D.若A>3,則cos?A>cos?3

tan2/4tan2/?

25.在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c,A+B=2C,。=加，且△A3C

的面積s=6a.若符合條件的△ABC有兩個(gè)，則機(jī)的可能值是（）

7

A.2B.-C.>/15D.4

26.若”43C的內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足b-2a+4asii?=0,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.角C一定為銳角B.4+2〃_C2=O

C.3tanA+tanC=0D.tan3的最小值為立

3

27.已知a,dc分別為的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，ZC=45°,c=y[2,a=x,

若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的值可能為（）

A.1B.1.5C.1.8D.2

28.在一ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,下列結(jié)論中正確的選項(xiàng)有（）

A.若A>8,則sinA>sin8

B.若sin2A=sin23,則△ABC為等腰三角形

C.acosB—bcosA=c,則一ABC定為直角三角形

D.若8=（,a=2且該三角形有兩解，則〃的取值范圍是（6,2）

29.在11ABe中，A、B、C所對(duì)的邊為。、b、c,設(shè)3c邊上的中點(diǎn)為A/,ABC的

面積為S,其中°=26，從+。2=24,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若A=2,則S=3石B.S的最大值為3/

TT

C.AM=3D.角A的最小值為§

30.設(shè)一ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為叫b,c.下列有關(guān)等邊三角形

的四個(gè)命題中正確的是（）.

A.若，一=上-三,則一ABC是等邊三角形

sinAsinB

be

B.巖a則,ABC是等邊三角形

1cosAcosBcosC

「什abc

C.若----=-----=-----則二ABC是等邊三角形

tanAtanBtanC

D.若￡=[=：，則43c是等邊三角形

ABC

參考答案：

1.CD

【分析】利用正弦定理對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得答案；

【詳解】對(duì)A,取a=3,b=5,c=4,顯然組2二4,故A錯(cuò)誤：

ac

對(duì)B,取a=3,0=5,c=4,曾=*?,故B錯(cuò)誤；

sinAac

4-cabc_?sinAsinCI

對(duì)C,D,------=-------=-------=27?,-------=-------=——，

sinAsinBsinCac2R

故C,D正確；

故選：CD

2.AC

【分析】選項(xiàng)A,由三角形邊角關(guān)系和正弦定理，可判斷為正確；選項(xiàng)B,由三角函數(shù)確定

角的關(guān)系，要結(jié)合角范圍，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,由勾股定理的逆定理可判斷其正確；選項(xiàng)。，

用余弦定理可判斷不正確.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,在j,ABC中，若A>3,則因此sinA>sin3,A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,若sin2A=sin28,則2A=23或2A+2B="，

TT

即或A+8=5，

所以一ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,若/+〃=/,由勾股定理的逆定理可知.ABC定為直角三角形，C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,若三角形的三邊滿足"+〃>02,由余弦定理可知cosC>0,僅可得C為銳角，

最大角不確定，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

3.ABD

【分析】根據(jù)正余弦定理及三角形的性質(zhì)分析解即可.

【詳解】對(duì)于A,大邊對(duì)大角，而"6,無(wú)解；

對(duì)于8,由正弦定理得sinB>l,無(wú)解;

對(duì)于C,由cosA=或可得sinA=2叵，正弦定理求出。，再由正弦定理或余弦定理可求出

55

c,有解:

對(duì)于D,由‘=>/%和4=氏?，通過(guò)余弦定理可得cosC=0,與C=60矛盾，無(wú)解.

故選：ABD

4.ABC

【分析】對(duì)于AB,利用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)和正弦定理判斷，對(duì)于C,利用余弦函

數(shù)的單調(diào)性判斷，對(duì)于D,舉例判斷

【詳解】解：對(duì)于A,由大角對(duì)大邊得，若則。<人，由正弦定理得2RsinAv2Rsin3,

所以sinAvsinB,所以A正確，

對(duì)于B,因?yàn)閟inAvsin6,所以2RsinAv2Rsin6,所以由正弦定理得〃<〃，由大邊對(duì)大

角，得AvB,所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)閥=cosx在(0,1)上單調(diào)遞減，A,3￡(0,I),且AV5,所以COSA>COS3,所

以C正確，

]]___1_11

<

對(duì)于D,當(dāng)A=W，8=?時(shí)，sin2A如色sin-飛出23‘in不〉，此時(shí)

‘6T,33

故選：ABC

5.AD

【分析】應(yīng)用正弦定理結(jié)合各選項(xiàng)的條件求sin8=處町4,由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷

a

各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：由正弦定理sin8="巧4=盤，又0<8<￡,故8只有一個(gè)解，正確；

a126

B：由正弦定理sinB=%2=l,又0<8<多，顯然B=W只有一個(gè)解，錯(cuò)誤；

a62

C：由正弦定理sinB=SU=*>l,顯然3無(wú)解，錯(cuò)誤；

a4

D：由正弦定理sinB=M4=逅>l,顯然8無(wú)解，正確；

a2

故選：AD

6.BCD

【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判斷即可；

【詳解】解：根據(jù)題意，在A條件下；="EnsinB=《xsinA=3,因?yàn)椤?lt;2<亳，所

bsinB33232

以角B在（今,?）和（今,葛）上各有一個(gè)解，并且這兩個(gè)解與角A的和都小于乃，所以A

3

不滿足；在B條件下，a=3,Z?=4,cos8=1，根據(jù)余弦定理可得序=々2+02_2a803,

1Q7

2

Bpi6=9+c-yC）解得c=5或c=-g（舍），所以只有1個(gè)解，滿足題意；在C條件下，

條件為邊角邊，所以有唯一解；在D條件下，￡=^^sinA=2xsinB=|；因?yàn)?/p>

bsinB4882

所以角A在（0,總和仁,萬(wàn)）匕各有一個(gè)解，當(dāng)解在傳，"時(shí)，角8與角A的和大于萬(wàn)，

所以只有I個(gè)解，滿足題意，

故選：BCD.

7.AC

【分析】利用大邊對(duì)大角定理結(jié)合正弦定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論結(jié)

合二倍角的余弦公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；

利用特殊值法可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若A<8,則a<"由正弦定理可得sinAvsinB,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若A<3,且A、,則0<sinA<sin3,

貝ijcos2A=l-2sin2A>l-2sin2B=cos2B,B錯(cuò);

對(duì)于c選項(xiàng)，因?yàn)?<A<B</r,且余弦函數(shù)N=cosx在（0,乃）上為減函數(shù),

故cosA>cosB,C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，取A=5，8=竺，則sin2A=sin工=sin2B=sin—=,

633232

11

此時(shí),-------->---------D錯(cuò).

sin2Asin2B

故選：AC.

8.ABD

【分析】對(duì)于A,利用余弦定理判斷即可，對(duì)于B,利用誘導(dǎo)公式判斷即可，對(duì)于C,利用

余弦定理求解判斷即可，對(duì)于D,利用正弦定理和余弦定理判斷即可

【詳解】對(duì)于A：若cosA=cos8,則"+<“_jc「+c'*,整理得：a=b,故AABC為

2bc2ac

等腰三角形，故A正確；

TTTPTC

對(duì)于B：若ZVIBC為銳角三角形，有A+B>],整理得人>5-3,故sinA>sin(,-3),則

sinA>cosB,故B正確；

對(duì)于C：由于。=8,c—10,3=60。，利用余弦定理求出/?=+-2-2ac8sB=，故

△ABC唯一，故C錯(cuò)誤；

2i22

對(duì)于D：sin2A+sin2B<sin2C,利用正弦定理：a2+b2<c2,故cosC=以士....-<0,故

2ab

故AABC是鈍角三角形，故D正確.

故選：ABD.

9.ABD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由A>8,得到a>b,再利用正弦定理判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，由

bsinA<"b判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，由一A8C為鈍角三角形且C為鈍角，利用余弦定理判斷;

對(duì)于D選項(xiàng)，利用余弦定理與基本不等式集合三角形面積公式求解判斷.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若A>8,則“>〃，由正弦定理可得」7=二，所以，sinA>sinB,

sinAsinB

A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，AinA=4sin30=2,則加inAcacb,如圖:

所以ABC有兩解，B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)'若一為鈍角三角形且C為鈍角，則30=去1<。，可得“2+〃/,

c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)，由余弦定理與基本不等式可得

4=a2=tr+C1-2bccosA=b2+c2-bc>2bc一be=be,即歷W4,當(dāng)且僅當(dāng)人=c=2時(shí)，等

號(hào)成立，

1A

所以SAABC=53csinA=7〃(?4石，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

10.BD

【分析】由正弦定理得3有兩解，所以三角形有兩解，所以A錯(cuò)誤；

化簡(jiǎn)得bcosC+c8s8=2/?sinA=a,所以B正確；

由題得A=B或A+8=、，所以一45C為等腰三角形或直角三角形，所以C錯(cuò)誤；

由題意可得打小;立反，bc<25,所以S.V竽，所以D正確.

【詳解】解：由正弦定理得焉=T''sin'=:>sin3(),,所以8有兩解，所以三角形有兩

2

解，所以A錯(cuò)誤；

Z?cosC+ccosB=27?sinBcosC+2RsinCcosB=2R(sinBcosC+sinCcosB)=2/?sinA=a,所以

B正確；

冗

由sin2A=sin28,得A=B或A+8=^,所以為等腰三角形或直角三角形，所以C

錯(cuò)誤;

由題意可得50叱=￥根，又從+。2-歷=25,所以從+。2=兒+252助c,所以歷425,

所以S.BC?竽，所以D正確.

故選：BD.

11.BC

【分析】以5為原點(diǎn)，BA,8c所在的直線為從，軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

F(x,4),E(2,y),利用勾股定理可得忸肝=16+x2，怛呼=(2-x)2+(4-y)2,\BEf=4+y2,

再利用由余弦定理和基本不等式得4x?+16產(chǎn)=192+3x2y2-Mxy>\6xy,從而求出孫的范

圍，由SBEF=S71BCO—SBCF—SEF—S一曲可得=4-］盯，再根據(jù)選項(xiàng)可得答案.

如圖，以B為原點(diǎn)，BA、8c所在的直線為x、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)F(x,4),E(2M(0<x<2,0<y<4),

因?yàn)殁钍?|8C『+|CF「，\EF(=\FD\"+\DE(,\BE(=\BA^+\AE(,

所以忸Ff=16+f,|EF『=(2-x)+(4-忸￡|2=4+尸,

由余弦定理得cosZEBF=忸H:忸二產(chǎn)刊得

7i_16+x2+4+/-(2-x)2-(4-y)2

可得

4x2+16y2=192+3x2y2-Mxy＞l6xy,當(dāng)且僅當(dāng)2x=4y等號(hào)成立,

Q

即3fy2-80^+192＞0,解得xyN24,或0《孫,

Q

因?yàn)?vxv2,0vy＜4,所以?！磳O＜8,所以0＜盯

因?yàn)镾BEF=SABCD-SBCF—SDEF一SBEA,

所以兀"=8-；網(wǎng)|3-3閥|四|-小叫的

=8-2x--^(2-jc)(4-y)-y=4--^A3?,

841

因?yàn)?＜孫(4，所以一］二一5孫vO,

418

所以］44一耳孫＜4，5＜8般＜4,

而2任*4),2夜e|,4),3e24),4g:4),

故選：BC.

12.AC

【分析】對(duì)于A,因?yàn)槿鬭ABC為銳角三角形且A>8,得A+B>JT],則所TT以

sinA>sin(]-B)=cosB,從而判斷出選項(xiàng)A；對(duì)于B,若sin2A=sin2B,則2A=28或

2A=/r-23.分兩種情況判斷出B不正確；對(duì)于C,利用大邊對(duì)大角得。>>，然后利用正弦

定理得sinA>sin8,故C正確：對(duì)于D,利用余弦定理求得b=2⑨，只有一個(gè)解，故D

不正確，

7T

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槿?A5C為銳角三角形且A>3,所以A+B>],

所以A>]-B,所以sinA>sin(5-B)=cosB,故A正確；

對(duì)于B,若sin2A=sin2B,則2A=28或2A=乃-28.

若2A=28,則-ABC為等腰三角形；

TT

若2A=萬(wàn)一28,則A+B=],則一4?C為直角三角形，故B不正確；

對(duì)于C,由A>8可得”>〃，所以三>二結(jié)合正弦定理可得sinA>sin8,故C正確:

2A2A

22r2

對(duì)于D,a=8,c=10,8=60。，cosB=—C-------,

lac

即COS60。=艾士3二互，解得方=2⑨，只有一個(gè)解，故D不正確，

2x8x10

故選：AC.

13.BD

【分析】利用正弦定理角化邊結(jié)合余弦定理求出B=q,再利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和

的正弦公式轉(zhuǎn)化為C的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形求出C的范圍求范圍即可

【詳解】由正弦定理得2ssinB-信=J3（c2-b2）...=sinB即

\）2ac

GcosB=sin8==q,故B對(duì)，A錯(cuò)；

■,sin(c+f)-sinC+—cosC瓜,

又@smA13J2243,1

-----------==--------------------1-----

sinCsinC----------------sinC2tanC2

0<C<—7Tr-

兀02WW-<C<-,tanC>^-故旦

又銳角"c中1

0<^-C<^6232tanC2

32

故選：BD

14.ACD

3

【分析】先由倍角公式求出cosC=-余弦定理求出A8即可判斷A選項(xiàng)；求出sinC,由

面積公式即可判斷B選項(xiàng)；直接正弦定理求出外接圓直接判斷C選項(xiàng)；由

+=S.c即可判斷D選項(xiàng).

Q3

【詳解】cosC=2cos2y-l=-1,AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC=25+\+6=32,故

AB=4A/2.A正確；

sinC=>/l-cos2C=1,故SABc=18C-AC-sinC=2,B錯(cuò)誤；

AB_4&歷

由正弦定理知，外接圓直徑為碇=丁='"2,C正確；

5

1112x2I-

設(shè)內(nèi)切圓半徑為廠，則5r-AB+；r-AC+5r-BC=S.c，則〃=1+5+4,=，-44,D正

確.

故選：ACD.

15.AD

【分析】由4B.4C=(4。+DB).(4。+OC)計(jì)算判斷A,由48-4C=CB平方計(jì)算判斷B,

由數(shù)量積定義結(jié)合基本不等式判斷C,利用A在以。為圓心，4為半徑的圓上(除去直線3c

與圓的交點(diǎn))，得出2<AB<6,然后由余弦定理求得cos結(jié)合基本不等式，余弦函

數(shù)性質(zhì)判斷D.

【詳解】ABAC=(AD+DB)(AD+DC)=(AD+DB)(AD-DB)=AD-DB，=42-22=12

是定值，A正確；

由A3-AC=CB得(AB-AC)2=A3AC+AC?=.?+AC?-2x12=4?，所以

AB-+AC2=40.B錯(cuò)；

AB-AC=AB-ACeosA=12，

1224243

cosA=>AB=AC=26時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò),

ABAC~AB2+AC2405

8c=4,8c邊上的中線4)=4,A在以。為圓心，4為半徑的圓上(除去直線8c與圓的

交點(diǎn)）,

BD=2,所以4—2vA3v4+2,ER2<AB<6,i己AB=x,即2vxv6,

AB2+AD2-BD2x2+16-4

cos/BAD=當(dāng)且僅

2ABAD8x8x8x8Vx2

當(dāng)戶號(hào)即x=2當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以?加的最小值是日,即校的最大值是3。。,

D正確.

故選：AD.

16.AC

【分析】對(duì)于A.利用正弦定理證明△ABC是等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B,利用正弦定理化簡(jiǎn)得AABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,利用正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)得AA8C是等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D,利用余弦定理化簡(jiǎn)得角C為銳角，但AABC不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤.

,.?_._什abc?.sinAsinBsinC?一

【詳解】對(duì)于A.右----=-----=-----，則-----------=-----,B|JtanA=tan3=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

即A=B=C,即△ABC是等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B,若acosA=AosB,則由正弦定理得27?sinAcosA=2Rsin8cos8,

.?.sin2A=sin2B,則2A=28或2A+2B=180,即A=B或A+8=90,則AABC為等腰三

角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,bcosC+CcosB=b,則sin8<：0$。+5吊（7858=5皿（8+。=5m4=5山3即4=8,

則△ABC是等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D,△ABC中，：/>0,2abeosC>0,r.cosC>0,所以角C為銳角，但△ABC

不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

17.ACD

【分析】先根據(jù)題意求出。，b,%結(jié)合正弦定理可得A,D的正誤，結(jié)合余弦定理可得B,

C的正誤.

【詳解】由題意，設(shè)a+3=9x,a+c=10x,gc=llx,

解得a=4x,b=5x,c=6x;

所以sinA:sinB:sinC=4:5:6,

所以A正確；

由以上可知C最大，

（4x）2+（5x）2-（6x）2

cosC=一一一~=->0

2x4xx5x8

所以C為銳角，

所以B錯(cuò)誤；

由以上可知A最小，

C°SA=（5X）'（6X）2一（4娟二,

2x5xx6x4

91

cos2A=2cos9~A-l=2x-----1=—,

168

即cosC=cos2A,

因?yàn)镃為銳角,2A為銳角，所以C=2A

所以C正確；

因?yàn)閏osC——,所以sinC=Jl-cos2c=,

88

設(shè).ABC外接圓的半徑為J則由正弦定理可得2r='=3紅

sinC7

所以r=5互

7

所以D正確.

故選:ACD.

18.ACD

【分析】由正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角形三邊關(guān)系及基本不等式可求解.

【詳解】因?yàn)閟in3+sinC=2sinA,所以6+c=2?.

對(duì)于A,B,若c=l,則力=2。-1,

h2+c2-a2當(dāng)乃《解得“"

cosA

2bc

一ABC的面積S=26csinA=3,A正確，B錯(cuò)誤.

24

—TC什，cEccXb2+c2-a23。2-8。+83<,1Q,

對(duì)于C,右b=2,則c=2a—2,cosA=----------=-----------=-a-1+----+2-1

2bc8。-88Va-\J

2\(aT>工+2-l=i當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí);等號(hào)成立，所以A的最大值為與，C正

oVci-i23

確.

(a+c>b,fa+2a—2>2,4

對(duì)于D,若匕=2,則根據(jù)三邊關(guān)系可得，即。c.解得；<。<4,則

[a+b>c,[a+2>2a-2,3

4<3a<12,ABC的周長(zhǎng)為a+%+c=3a,故ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4,12),D正確.

故選：ACD

19.ABD

【分析】A.利用余弦定理求解判斷；B.利用正弦定理求解判斷；C.由條件變?yōu)?/p>

sin2A+sin28-sin2c>0,得到a2+b2-c2>0,再利用余弦定理求解判斷;D.根據(jù)A=60。,

a=5,由余弦定理求得從'425,再利用三角形面積公式求解.

[詳解]A.因?yàn)?=1,c=2,A=,,由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=7,解得a=J7,

故正確；

B.因?yàn)椤?5,B=f,sinA=],由正弦定理得：一三=二勺，解得。=誓，=一/=2血，

45sinAsin8sin8V2

2

故正確；

C.因?yàn)閟in2A+sin2B4-cos2C>1>所以sin?A+sin?3+cos?C>sin?C+cos?C,則

sin2A+sin2B-sin2C>0?BPa2+b2-c2>0,所以cosC="十"——>0,所以角C為銳

2ab

角，但角AB不確定，所以，ABC不一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤;

D.因?yàn)锳=60。，a=5,所以由余弦定理得/=/十廿—2"cosA="+c?-從Nbc當(dāng)且僅當(dāng)

b=c時(shí),等號(hào)成立，則Ac<25,

所以ABC面積的最大值為S."c=gAsinAV；x25><曰=乎，故正確.故選：ABD

20.BC

【分析】對(duì)于A,由tanC=7可求出sinC=述，cosC=4，再結(jié)合sinA=0,可得角A為

銳角，從而可求出cosA的值，對(duì)于B,利用兩角和的余弦公式可求得cosB的值，從而可求

出角8,對(duì)于C,利用正弦定理求解即可，對(duì)于D,利用三角形的面積公式直接求解即可

【詳解】對(duì)于A,由題意得tanC="g=7,所以sinC=7cosC>0,因?yàn)閟i/C+cos2c=1,

cosC

所以sinC=Z^,cosC=4，因?yàn)閟inA=±=2<逑，所以sinAvsinC,由正弦定理得

101051010

a<c,所以A<C,所以cosA>0,所以cosA=Jl-sii?A=、,所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,cosB=cos[^--(A+C)]=-cos(A+C)

=一cosAcosC+sinAsinC

一，也+幻逑=正,

5105102

TT

因?yàn)樗?=4,所以B正確,

,4x出廠

對(duì)于C,由正弦定理上7=芻，得人=竺叫0=「^-=這，所以C正確,

smAsinBsmA22

5

對(duì)于D，SABC=-absinC=-x4x^x^=l,所以D錯(cuò)誤，

ABC22210

故選：BC

21.ABC

【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計(jì)算可得;

,、4nF,H。bcn.sinAsinBsinC,._

【詳解】解：對(duì)于A：若----=----=---—，則---7=------=------?BarPntanA=tanB=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

即A=B=C,即..ABC是等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B：由（a+6+c'）（a+6-c）=3a6,可得a'+U-c?="，余弦定理：

cosC=a2+b2~c2=-.0<C<^,：.C=~,故B正確.

lab23

對(duì)于C：因?yàn)閍=7,b=4?,c=V13,所以c<b<a,所以C<B<A,所以

cosC—/+從—I_7?+（4括）一（屈）,0<。<萬(wàn)，，C=2，故C正確；

lab2x7x4626

5_4廠廠

對(duì)于D：因?yàn)閍=5,A=60，8=4,所以二，即方=蓊解得sin8=也<9,

sinAsinB——52

2

因?yàn)樨?lt;a,所以B<A,所以三角形只有1解；

故選：ABC

22.BD

【分析】根據(jù)余弦定理可判斷A錯(cuò)誤；由tanB=3岔可求出sinB,cos3,再根據(jù)兩角和的正

弦公式可求得sinC=@，然后由正弦定理即可判斷B正確；由3sinA=V7sin8可得6=也,

77

再根據(jù)余弦定理可得〃=2近或。=近，從而可判斷C錯(cuò)誤；由中點(diǎn)公式的向量形式可得

uuuuniiiiui

2AD=AB+AC^再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可求出6=3,D正確.

【詳解】由題意ZA=0，c=2,

對(duì)于A,。=4,由余弦定理可得/=加+c2-?ccosA,可得16=b2+4-2x&x2xg,可得

b2-2b-12=0,解得6=1+VH,（負(fù)值舍去），故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由tan8=3百，可得cosB=sinB=11-cos^B=~~~，可得

8x/713x/2l后

sinC=sin（A+8）=sinAcosB+