專題03 分式與二次根式核心知識點精講（原卷版）

專題03分式與二次根式核心知識點精講1.了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運算．考點1：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1． 分式設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.3． 最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．（4）分式有無意義的條件：在分式中，①當(dāng)B≠0時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時，B≠0．②當(dāng)B=0時，分式無意義；當(dāng)分式無意義時，B=0．③當(dāng)B≠0且A=0時，分式的值為零．考點2：分式的運算1．基本運算法則分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算QUOTE±QUOTE=QUOTE同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計算.（2）乘法運算兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．2．零指數(shù).3．負(fù)整數(shù)指數(shù)4．分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的．5．約分把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．6．通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．考點3：分式方程及其應(yīng)用1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．4．分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結(jié)果的合理性．考點4：二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.考點5：二次根式的運算1．二次根式的乘除運算(1)運算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：①應(yīng)為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；2．二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質(zhì)；3．二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.【題型1：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)】【典例1】（1）下列各式，，，，，，屬于分式的有（

）A．4個 B．3個C．2個 D．1個（2）若分式的值不存在，則x的值為（

）A． B． C．2 D．11．代數(shù)式，，，，，，中，屬于分式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．對于分式，下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時，分式的值為0 B．當(dāng)時，分式無意義C．時，分式的值為 D．當(dāng)時，分式的值為正數(shù)3．若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（

）A．x為任意數(shù) B． C． D．4．若使分式的值為負(fù)數(shù)，則可以取的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2：分式的運算】【典例2】計算的結(jié)果是（

）A．﹣y B． C． D．1．化簡：（

）A．1 B． C． D．2．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．4．計算的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【題型3：分式方程及其應(yīng)用】【典例3】若關(guān)于的方程無解，則的值是（

）A． B．2 C．-3 D．31．伴隨2023城市自然行動——“1864大熊貓巡展”在長沙站的正式啟動，湖南省地質(zhì)博物館迅速成了巡展的熱門打卡地．某學(xué)校九年級學(xué)生去距學(xué)校的湖南省地質(zhì)博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．若設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則可列方程為（

）A． B． C． D．2．近年來，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程25千米的普通道路，路線包含快速通道，全程21千米，走路線比路線平均速度提高，時間節(jié)省20分鐘，求走路線和路線的平均速度分別是多少？設(shè)走路線的平均速度為千米/小時，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．3．師傅和徒弟兩人每小時共做40個零件，在相同時間內(nèi)，師傅做了300個零件，徒弟做了100個零件．師傅每小時做了多少個零件？若設(shè)師傅每小時做了個零件，則可列方程為（

）A． B． C． D．4．有一個容積為的圓柱形的空油罐，用一根細(xì)油管向油罐內(nèi)注油，當(dāng)注油量到達(dá)容器高度的一半后，改用口徑2倍的粗油管向油罐注油，直至注滿，注滿油的全過程共用30分鐘．設(shè)細(xì)油管的注油速度為每分鐘，由題意列方程，正確的是（

）A． B． C． D．【題型4：二次根式的主要性質(zhì)】【典例4】若是最簡二次根式，則m，n的值為（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，01．與最簡二次根式能合并，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．32．若是正整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)值為（

）．A．0 B．2 C．4 D．63．若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．24．如果最簡二次根式與和是同類二次根式，那么a的值是（）A．4 B．5 C．6 D．8【題型5：二次根式的運算】【典例5】的值等于（

）A． B． C． D．21．已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2 B． C．7 D．32．估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間3．計算：4．計算：．1．下列各式：，，，，，中，分式有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．若分式的值為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．3．若把分式中的x與y都擴(kuò)大3倍，則所得分式的值（）A．縮小為原來的 B．縮小為原來的 C．?dāng)U大為原來的3倍 D．不變4．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．5．計算：，結(jié)果為（）A．1 B． C． D．6．計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．7．已知：，則的值為（

）A． B． C． D．1．已知，其中，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．若將分式與分式通分后，分式的分母變?yōu)?，則分式的分子應(yīng)變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．3．把，，通分的過程中，不正確的是（

）A．最簡公分母是 B．C． D．4．下列式子計算后的結(jié)果與相等的是（

）A． B． C． D．5．若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．86．計算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．二、填空題7．若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．8．分式與通分后的結(jié)果是_________．9．分式，，－的最簡公分母是_______．10．計算：_______.11．計算：_______．12．計算：_______．13．已知，則的值為_________．14．計算＝_________．15．計算：________．16．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題，一組人平分10元錢，每人分得若干，若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢的人數(shù)，若設(shè)第二次分錢的人數(shù)為，則可列方程為__________．17．小明家離學(xué)校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕遲到，加快了腳步，比平常速度快了50（米/分鐘），結(jié)果比平時省了2分鐘時間到學(xué)校，設(shè)小明平常走路速度為x（米/分鐘），根據(jù)題意可列出方程：_____________．三、解答題18．某超市用5000元購進(jìn)一批新品種蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥11000元資金第二次購進(jìn)該品種蘋果，但第二次的進(jìn)貨價比試銷時每千克多了0.5元，第二次購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時的2倍．(1)設(shè)試銷時該品種蘋果的進(jìn)貨價是每千克x元，則試銷時購進(jìn)蘋果數(shù)量為______千克（用含x的式子表示）(2)列分式方程求試銷時該品種蘋果的進(jìn)貨價是每千克多少元？19．某學(xué)校為豐富同學(xué)們的課余生活，購買了一批數(shù)量相等的象棋和圍棋供興趣小組使用，其中購買象棋用了元，購買圍棋用了元，已知每副圍棋比每副象棋貴元．(1)求每副象棋和圍棋的價格各多少元？(2)若該校決定再次購買同種象棋和圍棋共副，但費用不能超過元，則最多可再次購買多少副圍棋？一、單選題1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）若有意義，則的值可以是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）設(shè)，則實數(shù)m所在的范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間5．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．6．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或17．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）為了落實“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球，已