黑龍江省大慶市肇源縣五校2023-2024學年八年級下學期月考數(shù)學試卷（4月份）（五四學制）

2023-2024學年黑龍江省大慶市肇源縣五校八年級（下）月考數(shù)學試卷（4月份）（五四學制）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是(

)

①；

②；

③；

④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0，，，則AD的長是(

)

A. B. C.5 D.103.關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為(

)A. B.1 C.1或 D.4.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC、BE相交于點F，則為(

)A.

B.

C.

D.5.用配方法解方程時，原方程應變形為(

)A. B. C. D.6.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是(

)A. B. C.且 D.且7.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為BC中點，，則線段OH的長為(

)

A.

B.

C.3

D.58.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是(

)A.12 B.9 C.13 D.12或99.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，連結(jié)AC、BD，CE平分交BD于點E，則DE長(

)A.

B.

C.1

D.10.已知四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，則下列結(jié)論正確的是(

)A.當時，四邊形ABCD是矩形

B.當，時，四邊形ABCD是菱形

C.當時，四邊形ABCD是菱形

D.當，時，四邊形ABCD是正方形二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.已知a是方程的一個根，則的值是______.12.順次連結(jié)菱形各邊中點所得的四邊形必定是__________.13.一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，第三邊長為整數(shù)acm，且a滿足，則此三角形的周長為______14.方程是關于x的一元二次方程，則m的值為______.15.已知，x，y為實數(shù)，則______.16.如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，，且，，矩形ABCD的周長為32cm，則AE的長為______

17.以正方形ABCD的邊BC為邊作等邊，連接AP、DP，則______.18.如圖，在中，，且，，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作于點M，于點N，連接MN，則線段MN的最小值為______.

三、計算題：本大題共2小題，共12分。19.已知關于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長．

如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；

如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．20.閱讀下面的解題過程，求的最小值.

解：，

而，即最小值是

的最小值是

依照上面解答過程，求：

的最小值；

的最大值.四、解答題：本題共8小題，共54分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.本小題8分

解下列方程：

；

22.本小題5分

如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使與AD交于點若，，求的面積.23.本小題6分

已知關于x的方程

求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

若此方程的一個根是1，求出方程的另一個根．24.本小題6分

如圖，已知點D在的BC邊上，交AB于E，交AC于

求證：；

若AD平分，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由．25.本小題6分

如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在AD，CD上，且，連接BE，AF，BE與AF有怎樣的關系？試說明理由.26.本小題6分

已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點E、O、

求證：四邊形AFCE是菱形；

若，，，求菱形AFCE的面積.27.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，，、N在對角線AC上，且，E、F分別是AD、BC的中點．

求證：≌；

點G是對角線AC上的點，，求AG的長．28.本小題9分

如圖，在矩形ABCD中，，，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是每秒1個單位，連接PQ、AQ、設點P、Q運動的時間為t秒

當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；

當時，判斷四邊形AQCP的形狀，并說明理由；

直接寫出以PQ為對角線的正方形面積為96時t的值.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：①，是一元二次方程，故本小題正確；

②，時是一元二次方程，故本小題錯誤；

③，整理后是一元二次方程，故本小題符合題意；

④，是一元二次方程，故本小題符合題意．

故選：

本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】B

【解析】解：因為在矩形ABCD中，所以，

又因為，所以是等邊三角形，所以，

所以，

所以，

所以

故選

本題的關鍵是利用等邊三角形和矩形對角線的性質(zhì)求長度．

此題考查的知識點是解直角三角形，解答此題的關鍵是由矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)首先得出，然后由勾股定理求得3.【答案】D

【解析】解：把代入方程得，

解得：，

是關于x的一元二次方程，

，

即，

的值是

故選：

根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得出，，求出a的值即可．

本題考查了一元二次方程的解，能得出關于a的方程是解此題的關鍵．4.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，

，

又是等邊三角形，

，，

，

，，

，

又，

故選：

根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出，，再求

本題主要是考查正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，本題的關鍵是求出5.【答案】A

【解析】解：，

，

則，即，

故選：

常數(shù)項移到方程右邊，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方，寫成完全平方式即可得．

本題主要考查解一元二次方程-配方法，解題的關鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．6.【答案】D

【解析】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

且，即，解得，

的取值范圍為且

當且時，關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：

由關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得且，即，兩個不等式的公共解即為m的取值范圍．

本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)．

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，再利用勾股定理計算出BC，然后根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到OH的長．

【解答】

解：四邊形ABCD為菱形，

，，，

在中，，

為BC中點，

故選：8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了等腰三角形性質(zhì)、解一元二次方程、三角形三邊關系定理的應用等知識，關鍵是求出三角形的三邊長．求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出即可．

【解答】

解：，

，

，，

，，

①等腰三角形的三邊是2，2，5

，

不符合三角形三邊關系定理，此時不符合題意；

②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是；

即等腰三角形的周長是

故選9.【答案】A

【解析】解：過點E作于點F，

四邊形ABCD是正方形，

，，

平分交BD于點E，

，

正方形ABCD的邊長為1，

，

由勾股定理得，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

為等腰直角三角形，

，

，

故選：

過點E作于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，由正方形的性質(zhì)求出CO的長，再證和全等，得出，從而求出DF的長，再證為等腰直角三角形，于是可求出DE的長．

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些幾何圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．10.【答案】C

【解析】解：A、對角線AC與BD互相垂直，時，無法得出四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤；

B、當，時，無法得到，四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤；

C、當兩條對角線AC與BD互相垂直，時，，，

四邊形ABCD是平行四邊形，

兩條對角線AC與BD互相垂直，

平行四邊形ABCD是菱形，故此選項正確；

D、當，時，無法得到四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤；

故選：

根據(jù)平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)分別判斷得出即可．

此題主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟練掌握相關判定是解題關鍵．11.【答案】16

【解析】解：是方程的一個根，

，

，

故答案為：

利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．

本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．12.【答案】矩形

【解析】【分析】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理，正確理解菱形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．

根據(jù)三角形的中位線定理首先可以證明：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形．再根據(jù)對角線互相垂直，即可證明平行四邊形的一個角是直角，則有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

【解答】

解：如圖，四邊形ABCD是菱形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，

則，；，，

故四邊形EFGH是平行四邊形，

又，

，

四邊形EFGH是矩形．

故答案為：矩形．13.【答案】17

【解析】解：解方程得或7cm，

根據(jù)三角形三邊之間的關系，可得第三邊a的取值范圍為，故，

故此三角形的周長為

先根據(jù)題意求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關系判斷出第三邊的長，進而求出其周長即可．

解答此題應根據(jù)三角形三邊之間的關系判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．14.【答案】2

【解析】解：方程是關于x的一元二次方程，

且，

解得：

故答案為：

根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出m即可．

本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出和是解此題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：，

，

，

，，

，，

，

故答案為：

本題主要考查了完全平方公式的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，負整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)已知條件式，利用完全平方公式推出，據(jù)此得到，，最后代值計算即可得到答案．

本題主要考查了完全平方公式的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，負整數(shù)指數(shù)等知識，解題的關鍵是學會利用配方法解決問題．16.【答案】6

【解析】解：在和中，

而

，

在與中，

，

≌

，

矩形ABCD的周長為

，即，

整理得：

解得：

故答案為

先證，再證，然后結(jié)合題目中已知的線段關系求解．

本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．17.【答案】或

【解析】解：如圖，當點P在正方形ABCD內(nèi)部時，

是等邊三角形，

，，

四邊形ABCD是正方形，

，，

，，

；

如圖，當點P在正方形ABCD外部時，

是等邊三角形，

，，

四邊形ABCD是正方形，

，，

，，

；

綜上所述，或

故答案為：或

分兩種情況討論：當點P在正方形ABCD內(nèi)部時；當點P在正方形ABCD外部時，即可求解．

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．18.【答案】

【解析】解：，且，，

，

，，

，

四邊形DMAN是矩形，

，

當時，AD的值最小，

此時，的面積，

，

的最小值為；

故答案為：

由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DMAN是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．

本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．19.【答案】解：是等腰三角形．理由如下：

是方程的根，

，

，

，

，

是等腰三角形；

是直角三角形．理由如下：

方程有兩個相等的實數(shù)根，

，

，

，

是直角三角形．

【解析】見答案；

見答案.

根據(jù)方程解的定義把代入方程得到，整理得，即，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；

根據(jù)判別式的意義得到，整理得，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理．20.【答案】解：，

，

，

的最小值為2019；

，

，

，

的最大值為

【解析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答即可．

本題考查的是配方法的應用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．21.【答案】解：，

，，，

，

，

解得；

，

，

，

或，

解得

【解析】利用公式法解方程即可；

先移項，然后利用因式分解法解方程即可．

本題主要考查了解一元二次方程，掌握求根公式和因式分解是解題的關鍵．22.【答案】解：設，則，

在直角中，，

即，

解得：，

則，，

則

故的面積為：

【解析】設，則，在直角中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

本題考查了圖形的折疊以及勾股定理，正確利用勾股定理求得AE的長是解決本題的關鍵．23.【答案】證明：，

而，

方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

解：方程的一個根是1，

，

解得：，

原方程為：，

解得：，

故方程的另一個根是

【解析】要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明即可．，因為，可以得到；

將代入方程，求出m的值，進而得出方程的解．

此題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解的定義．24.【答案】證明：，，

四邊形AEDF是平行四邊形，

；

若AD平分，四邊形AEDF是菱形，

理由：平分，

，

，

，

，

，

又四邊形AEDF是平行四邊形，

平行四邊形AEDF為菱形．

【解析】本題考查了平行四邊形的判定，及菱形的判定的掌握情況．

利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得出；

利用AD是角平分線，結(jié)合，易證，利用等角對等邊，可得，再根據(jù)四邊形AEDF是平行四邊形，從而可證平行四邊形AEDF為菱形．25.【答案】解：，且，理由如下：

四邊形ABCD是正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

【解析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，每一個角都是直角可得，然后利用“邊角邊”證明≌，從而得出結(jié)論．

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．26.【答案】解：證明：四邊形ABCD是矩形，

，

，

是AC的垂直平分線，

，

，

四邊形AFCE是平行四邊形，

，

平行四邊形AFCE是菱形．

在矩形ABCD中，，

在中，，，

根據(jù)勾股定理得：，

，

故菱形AFCE的面積

【解析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得，可得，根據(jù)EF是AC的垂直平分線，即可證明結(jié)論；

根據(jù)勾股定理可得AC的長，進而可得菱形的面積．

本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的運用，關鍵是根據(jù)題意推出，題目比較典型，難度適中．27.【答案