單位圓與正弦、余弦函數(shù)的定義 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

§4.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念第一章三角函數(shù)

初中我們學(xué)過，在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分別叫做銳角α的正弦、余弦和正切，它們的值分別等于什么？ABCα探究點(diǎn)1銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)當(dāng)α不是銳角時，α的正弦、余弦和正切值又該怎么計(jì)算？

對于銳角α，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),故u是由銳角唯一確定的，v也是由銳角α唯一確定的.

過點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為M.在Rt?OMP中,OP=1,OM=u,MP=v,有

由此可知，對于銳角α來說，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v是該角的正弦函數(shù)值，記作v=sinα;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u是該角的余弦函數(shù)值，記作u=cosα.

給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u,v),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.仿照上述銳角三角函數(shù)的定義，把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值，記作v=sinα;把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值,記作u=cosα.探究點(diǎn)2任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

如果角的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα，余弦u=cosα分別是以角的大小為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，其值域?yàn)閷?shí)數(shù)的子集合.這樣定義的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就與高中引入的函數(shù)概念一致了.

一、任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)例1在單位圓中，

.(1)畫出角α；(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.解(1)以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為始邊，順時針旋轉(zhuǎn)

.與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M.于是

即為所作的角.(2)設(shè)點(diǎn)P(u,v),則一、利用定義求已知角的正弦和余弦值二、正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號

正余弦函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(取值的正負(fù))：取決于終邊上的點(diǎn)P(x,y)所在的位置，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時，縱坐標(biāo)y>0，當(dāng)點(diǎn)P在第三、四象限時，縱坐標(biāo)y<0.

所以，正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三四象限角是負(fù)的.同理，余弦函數(shù)值在第一四象限角是正的，在第二、三象限角是負(fù)的.一均正、二正弦、三均負(fù)、四余弦例2：若α＝2，則(

)A．sinα＞0且cosα＞0 B．sinα＞0且cosα<0C．sinα＜0且cosα＜0 D．sinα＜0且cosα>0解：因α＝2是第二象限角，所以sinα＞0，cosα<0.故選B.

跟蹤訓(xùn)練

Ｃ

D

已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x,y),求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解

先考慮角α的終邊不在坐標(biāo)軸上的情況.設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα,sinα),且OP=1.點(diǎn)Q(x,y)在角α的終邊上,則OQ=.分別過點(diǎn)P,Q作x軸的垂線PM，QN垂足為M,N.易知△POM∽△QON.所以

，即.因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)Q在同一象限，所以sinα和y的符號相同，于是得到.同理,.當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時，容易驗(yàn)證上述等式仍然成立.抽象概括設(shè)角終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q（x，y），則抽象概括設(shè)角終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q（x，y），則

A三

由終邊或終邊上的點(diǎn)求正弦值和余弦值