高中數(shù)學選修2-1全冊導學案

§1.1.1命題及四種命題

自主學習

預習課本2—6頁完成下列問題

1、命題:

2、真命題：假命題：。

3、命題的數(shù)學形式，=

4、四種命題：。

(1)互逆命題：o(2)互否命題：o

(3)互為逆否命題：o

注意：數(shù)學上有些命題表面上雖然不是“若p,則q”的形式，但可以將它的表述作

適當?shù)母淖?，寫成“若p,則q”的形式，從而得到該命題的條件和結論。

二、自主探究：

K例13判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？

(1)空集是任何集合的子集；(2)若整數(shù)。是素數(shù)，則“是奇數(shù)；

(3)2小于或等于2；(4)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

(5)2x<15；(6)平面內不相交的兩條直線一定平行；

(7)明天下雨；(8)3>12

K例22將下列命題改寫成“若p,則q”的形式。

(1)兩條直線相交有且只有一個交點；(2)對頂角相等；(3)全等的兩個三角形面積

也相等；(4)負數(shù)的立方是負數(shù)。

工例32把下列命題改寫成“若P貝門”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否

命題：

(1)兩直線平行，同位角相等；(2)負數(shù)的平方是正數(shù)；(3)四邊相等的四邊形是正

方形。

課堂小結

1

三、鞏固練習：

1、下列語句中是命題的是()

A、周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B、sin45o=1

C.X2+2X-1>0D、梯形是不是平面圖形呢？

2、在命題“若拋物線y=以2+桁+。的開口向下，貝。{xlax2+bx+c<o}w<|)”的逆命

題、否命題、逆否命題中結論成立的是()

A、都真B、都假C、否命題真D、逆否命題真

3、設是兩個集合，則下列命題是真命題的是()

A、如果"cN,那么McN=MB、如果那么McN=V

C、如果那么=VD、如果那么

4、下列命題中為真命題的是

A、命題“若%>九則x>|H”的逆命題B、命題“若無>1,則心〉1”的逆命題

C、命題“若％=1,則心+x—2=0”的否命題

D、命題“若》2>0,則x>l”的逆否命題

5、命題：“若。必不為零，則都不為零”的逆否命題

是O

6、命題“4X2-2QX-3〉0不成立"是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是o

7、原命題：已知函數(shù)/G)為R上的增函數(shù)，。力均為實數(shù)，^a+b>Q,則

/G)+/(Z?)>/(-fl)+/(-Z?)o

(1)判斷原命題的真假，并證明；(2)寫出它的逆命題，判斷其真假，并證明。

2

§1.1.2四種命題間的相互關系

一、自主學習

預習課本6-8頁完成下列問題

1、四種命題間的相互關系:

2、反證法證題的步驟:

3、常見的反設:

詞由大于(>)是所有的，“住急一個…至少一個(■?

臺定不大『(碼不足不都足至少1個不...某個不…一個也沒有?■?

二、自主探究：

K例1%原命題：“若x=y,則X2=y2”寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并判

斷它們的真假。

K例2』：判斷下列命題的真假：

(1)命題''當相<1時，拋物線y=x2+2x+加與X軸存在交點”的逆否命題。

(2)若XHy且XH-y,則X2Wy2。

ci+xc1+y八

K例33：若羽y都為正實數(shù)，且x+y〉2。求證：——<2和—^<2中至少有一個

yx

成立。

3

課堂小結

三、鞏固練習：

1、命題“。力都是奇數(shù)，則。+匕是偶數(shù)”的逆否命題是（）

A、。力都不是奇數(shù)，則6是偶數(shù)B、6是偶數(shù)，。力都是奇數(shù)

C、a+b不是偶數(shù),。力都不是奇數(shù)D、不是偶數(shù)，。力不都是奇

數(shù)

2、用反證法證明命題：“。力?N,能被5整除，那么。涉中至少有一個能被5整除”

時，假設的內容是（）

A、。力者B能一被5整除B、。力都不能被5整除

C、。力不都能被5整除D、。不能被5整除，或匕不能被5整除

3、若命題P的逆命題是4，命題廠是命題4的否命題，則P是廠的（）

A、逆命題B、否命題C、逆否命題D、以上都不正確

4、設原命題：若。+6之2,則。力中至少有一個不小于1。則原命題與其逆命題的真假情

況是（）

A、原命題真，逆命題假B、原命題假，逆命題真

C、原命題與逆命題均為真命題D、原命題與逆命題均為假命題

5"AABC中，若NC=900,則ZA,NB都是銳角”為:

6、“若尸=LI同＜1},則0eP”的等價命題是；

7、分別寫出命題“若X2+W=0,則全為0”的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷

真假。

8、已知下列三個方程：12+4。工—4。+3=0,%2+（4-1）工+。2=0,12+=。至少

有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)〃的取值范圍。

§1.2.1充分條件與必要條件

4

自主學習

預習課本9-10頁，完成下列問題

1.一般地，''若p,則q"為真命題，是指由p通過推理可以得出q.我們就說，由p推出q,

記作P=>q,并且說p是q的條件，4是p的條件。

注意：所謂的“充分”，即要使q成立，有p成立就足夠了；所謂的必“要‘；即q是p成立

的必不可少的條件，缺其不可。

2.若P=4,但qm,則稱p是q的條件，q是p的條件。

注意：判斷充分、必要條件的關鍵是分清誰是條件,誰是結論，若由條件p推出結論q成立，

則條件p是結論q的充分條件;若由結論q推出條件p成立,則條件p是結論q的充分條件。

思考:如何從集合的角度去理解充分條件、必要條件概念？

自主探究：

K例12下列“若尸，則q”的形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件?

(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；

(2)若x>5,貝！Jx>10

K例21下列“若p,則q”形式的命題中哪些命題中的q是p必要條件？

(1)若尤=y,則利=產；

(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等；

(3)若a>6,則ac>6c

K例3]不等式(a+x)(l+x)<0成立的一個充分不必要條件是-2〈x〈T,貝l]a的取值范圍是()

A.a__2B.a—2C.a〈-2D.a>2

變式:設非空集合A={x\2a+l<x<3a-5},8=(卜=J(3-x)(x-22)}則A/5的

一個充分不必要條件是()

A.l<a<9B.6<a<9C.a<9D.6<a<9

課堂小結:

5

鞏固練習：

1.在平面內，下列哪個是“四邊形是矩形”的充分條件？().

A.平行四邊形對角線相等B.四邊形兩組對邊相等

C.四邊形的對角線互相平分D.四邊形的對角線垂直

2.x,yeR,下列各式中哪個是“孫#0”的必要條件？().

A.x+y=0B.X2+y2>0C.x-y=0D.x3+y370

3.平面a〃平面p的一個充分條件是().

A.存在一條直線a,a//a,a〃BB.存在一條直線a,aua,a〃P

C.存在兩條平行直線a,6,aua,buP，a〃B,6〃a

D.存在兩條異面直線a,b,aua,bu0,a〃B,b〃a

4.p:x-2=0,q：(x-2)(x-3)=0,p是q的條件.

5.p:兩個三角形相似；q：兩個三角形全等，p是q的條件.

6.判斷下列命題的真假

⑴“a>b”是“以>從”的充分條件；

(2)加”是“。2>也”的必要條件.

7.已知A={xIx滿足條件p},8={xlx滿足條件q}.

(1)如果ACB，那么p是q的什么條件？

(2)如果8=A,那么p是q的什么條件？

§1.2.2充要條件

6

自主學習：

預習課本11-12頁，完成下列問題

1.一般地，如果既有p=又有q=就記作：p0這時p既是q的充分條

件，又是q的必要條件，則p是q的條件，簡稱條件。其中O

叫做等價符號。P=q表示P=q且qnP

2.傳遞性：若=則o

思考：判斷充要條件關系的主要方法有哪些？

自主探究：

【題型一】充要條件的判斷

例1下列各題中，哪些p是q的充要條件？

(1)p:b=0,q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0

(3)p:a>b,q:a+c>b+c

變式：下列各題中，哪些p是q的充要條件？

(1)在AABC中，p:NA>/B,q:BC>AC；

(2)p:a+b<0,J=Lab>0,q:a<0,b<0；

【題型二】充要條件的證明

已知A,B是直線L上任意兩點，。是L外一點。

求證：點在直線上的充要條件是O0=MM+yO8,其中,且x+y=l。

7

課堂小結:

鞏固練習：

1.下列命題為真命題的是().

A.a>b是“2>上的充分條件B.la|>|bI是成>拉的充要條件

C.X2=1是x=l的充分條件D.a=P是tana=tanP的充要條件

2.“xeMCN”是“xeMUN”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設p：上-4ac>0(a*0),q-關于x的方程+bx+c=0(a片0)有實根，則p是q的

().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.2尤2-5%-3<0的一個必要不充分條件是().

A.—<x<3B.—<x<0C.—3<x<—D.—1<x<6

222

5.用充分條件、必要條件、充要條件填空.

(l).x>3是x>5的

(2).尤=3是舉一2x-3=0的

(3).兩個三角形全等是兩個三角形相似的

6.求證：\ABC是等邊三角形的充要條件是g+b2+c2=ab+ac+bc,這里a,6,c是AABC的

三邊.

8

§1.3.1簡單的邏輯聯(lián)結詞

自主學習

預習課本14-18頁，完成下列問題

I“且”或”“非”邏輯聯(lián)結詞的含義：

1.一般地，用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來就得到一個新命題，記作

“"，讀作“”

2.一般地，用邏輯聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來就得到一個新命題，記作

""，讀作"”.

3.一般地，對一個命題的全盤否定就得到一個新命題,記作“"，讀作“”

或“”.

注意(1)不含邏輯聯(lián)結詞的命題叫簡單命題，含邏輯聯(lián)結詞的命題叫復合命題。

(2)命題°人4、pvq、「p與集合的交、并、補運算聯(lián)系密切，可以借助集合的關

系理解他們的含義。

II命題p/\q、pvq>的真假判斷:

pqp'q「p

真真

真假

假真

假假

思考數(shù)學中的聯(lián)結詞或、且、非與日常生活中的或、且、非有哪些區(qū)別？

自主探究

【題型一】用邏輯聯(lián)結詞構成新命題

例1.分別寫出有下列各組命題構成的p/xq、pvq、R形式的復合命題:

(1)p:01是無理數(shù)q:6大于1(2)p：NqZq-0EN

(3)p:+1>X-4g：X2+1<x-4

9

【題型二】判斷復合命題的構成

例2.指出下列命題的形式及構成它的簡單命題：

(1)方程廷-3=0沒有有理根；

(2)兩個角是45度的三角形是等腰直角三角形；

(3)如果xy<0,則點(x,y)的位置在第二、四象限。

課堂小結

鞏固練習

1.“P或4為真命題”是“p且q為真命題”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.命題尸：在AABC中，/C>是sinC>sinB的充要條件；命題q：是m2>歷2的

充分不必要條件，則().

A.p真q假B.p假q假C."p或q"為假D."p且q"為真

3.命題：(1)平行四邊形對角線相等；(2)三角形兩邊的和大于或等于第三邊；(3)三角

形中最小角不大于60。；(4)對角線相等的菱形為正方形.其中真命題有().

A.lB.2C.3D.4

4.命題p：0不是自然數(shù)，命題q：兀是無理數(shù)，在命題“p或且“'”非p”"非

q“中假命題是,真命題是.

5.已知p：1x2-尤46,q-xeZ,pAq,->q者B是假命題，貝。尤的值組成的集合為

6.寫出下列命題，并判斷他們的真假：

(1)pvq,這里p：4e{2,3}<q-2e{2,3}；(2)p八q,這里p：4e{2,3}>q：

2e{2,3}；

(3)pvq,這里p：2是偶數(shù)，q：3不是素數(shù)

(4)p^q,這里p：2是偶數(shù)，q：3不是素數(shù).

7.判斷下列命題的真假：

(1)5>2且7>3(2)7>8(3)3>4或3<4

10

§132簡單的邏輯聯(lián)結詞

自主學習

預習課本14-18頁，完成下列問題

L若p△q為真，則p,q必為;若p八q為假，則P,q必有一個為

2.若pvq為真,則p,q必有一個為；若pvq為假，則p,q必為

3.「p形式的命題與命題p的真假.

思考：形式的命題叫命題的否定，注意將其與否命題進行區(qū)別

自主探究

【題型一】由復合命題的真假判定簡單命題的真假

例1.若pvq為假命題，則()

A.命題與r4的真值不同B.命題與r4至少有一個假命題

C.命題與「4的真值相同D.命題與都是真命題

【題型二】兩命題之間的關系

4

例2.設p：/(%)=2X2+加%+1在(0,+00)內單調遞增，4：m>-,則「p是一1夕的()

A.充分不必要Bo必要不充分Co充分必要D。既不充的分也不必要

【題型三】利用命題的真假求參數(shù)的取值范圍

例3.已知命題p：-2VxV10,^:x2-2x+l-a2>0(a>0),若是q充分不必要條

件，求a的取值范圍.

11

課堂小結

鞏固練習

1.如果pvq為真，「P為假命題，那么（）

A.p真q彳取B。p真q真C。p彳取q真D。p真q可真可彳發(fā)

2.已知條件p：-3WxW2,條件q:5x—6〉》2,則p是一14的（）

A.充分不必要Bo必要不充分Co充分必要Do既不充分也不必要

3.設p,q是兩個命題，則復合命題pvq為真，。人4為假的充要條件是（）

A.p,q中至少有一個真B.p,q中至少有一個假

C.p,q中有且只有一個是真D.p真，q假

4.若命p,q中至少有一個真題」（pvq）為假命題，貝。（）

A.p,q均為真B.p,q均為假

C.p,q中至少有一個真Dp,q中至多有一個真.

5.如果p是q的充分不必要條件，r是q的必要不充分條件；那么（）.

A.-'p=>_1rB.-'p<=-1r

C.-1po_1rD.pO/

6.命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的正實數(shù)根,命題q：方程4x2+4（m+2）x+1=。

無實數(shù)根，若pvq為真命題，求m的取值范圍.

12

§1.4全稱量詞與存在量詞

自主學習

預習課本21-25頁，完成下列問題

1.短語“”"”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符

“表示，含有的命題，叫做全稱命題.其基本形式為：

VxeM,p(x),讀作：

2.短語“”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用

“表示，含有的命題，叫做特稱稱命題.

其基本形式BxeM,p(x),讀作：

oo

3.一般地，對于一個含有一個量詞的全稱命題的否定有下面的結論：

全稱命題p：V尤ep,p(x),它的否定：

4.一般地，對于一個含有一個量詞的特稱命題的否定有下面的結論：

特稱命題p：3.xe/,p(x),它的否定「0：-

思考：如何對含有一個量詞的命題進行否定？

自主探究

【題型一】全稱命題、特稱命題的判斷

例L判斷下列命題是不是全稱命題或者存在命題

(1)對數(shù)函數(shù)都是單調函數(shù)(2)有一個實數(shù)x，使x2+2x+3=0

000

(3)任何一個實數(shù)除以1,仍等于這個實數(shù)；

(4)存在兩個相交垂直于同一條直線

變式：判斷下列命題的真假：

(1)Vxe(5,8),/(x)=x2-4式一2>0(2)3aeZ,a2=3a-2

【題型二】全稱命題、特稱命題的否定及真假判斷

例2.寫出下列全稱命題、特稱命題的否定，并判斷真假

(1)p：VxeR,x2-x+*0(2)p：所有的正方形都是矩形

(3)p：3XG7?,X2+2X+2<0；(4)p：至少有一個實數(shù)x,使x3+l=0

【題型三】利用命題的真假性解決問題

例3.若r(x)：sinx+cosx>m,s(x):x2+如+1>0,如果對于BxeR,r(x)為假命題,

且VxeR,s(x)為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.

13

課堂小結

鞏固練習

1.下列命題為特稱命題的是（）.

A.偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱B.正四棱柱都是平行六面體

C.不相交的兩條直線都是平行線D.存在實數(shù)大于等于3

2.下列命題中假命題的個數(shù)（）.

（l）Vxe7?,%2+1>1；（2）3x67?,2x+l=3；

（3）HxeZ,x能被2和3整除；（4）上eR,x2+2尤+3=0

A.0個B.1個C.2個D.4個

3.命題“對任意的-無2+140"的否定是（）.

A.不存在-X2+140B,存在xeR,x3-x2+140

C,存在xeR,x3-x2+1>0D.對任意的xeR,x3-x2+1>0

4.下列命題中

（1）有的質數(shù)是偶數(shù)；（2）與同一個平面所成的角相等的兩條直線平行；（3）有的三角形

三個內角成等差數(shù)列；（4）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線，其中全稱命題是一

特稱命題是.

5.用符號“V”與“三”表示下列含有量詞的命題.

（1）實數(shù)的平方大于等于0：（2）存在一對實數(shù)使2x+3y+3<0成立：

6.平行四邊形對邊相等的否定是_________________

7.命題“存在一個三角形沒有外接圓”的否定是o

8.把下列命題寫成含有量詞的命題：

（1）余弦定理；（2）正弦定理.

14

§2.1.1曲線與方程(1)

3學習目標

i.理露曲贏方程、方程的曲線；

2.求曲線的方程.

?撿一….學—當過程.一

一、課前準備

(預習教材理心尸尸對找出疑惑之處)

34Jo

復習1：畫出函數(shù)y=2x2(TWxW2)的圖象.

復習2：畫出兩坐標軸所成的角在第一、三象限的平分線，并寫出其方程

二、新課導學

派學習探究

探究任務一：

到兩坐標軸距離相等的點的集合是什么？寫出它的方程.

問題：能否寫成〉=田，為什么？

新知：曲線與方程的關系：一般地，在坐標平面內的一條曲線C與一個二元方程尸(x,y)=0

之間，

如果具有以下兩個關系：

1.曲線C上的點的坐標，都是的解；

2.以方程尸(龍,丫)=0的解為坐標的點，都是_____

的點，

那么，方程尸(x,y)=0叫做這條曲線C的方程；

曲線C叫做這個方程尸(x,y)=0的曲線.

注意：1。如果...，那么....；

2?！包c”與“解”的兩個關系，缺一不可；

3°曲線的方程和方程的曲線是同一個概念，相對不同角度的兩種說法;

4°曲線與方程的這種對應關系，是通過坐標平面建立的.

試試：

1.點P(10在曲線k+2移-5y=。上，則。=.

15

2.曲線無2+2肛/-by=0上有點。(1,2),則b=.

新知：根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程.

X典型例題

例1證明與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)H左＞0)的點的軌跡方程式是町=±0

變式：到x軸距離等于5的點所組成的曲線的方程是y-5=0嗎？

例2設兩點的坐標分別是(-1,-1),(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.

變式：已知等腰三角形三個頂點的坐標分別是4(0,3),8(-2,0),C(2,0).中線(。為

原點)所在直線的方程是x=0嗎？為什么？

反思：8c邊的中線的方程是尤=0嗎？

小結：求曲線的方程的步驟：

①建立適當?shù)淖鴺讼?，用M(x,y)表示曲線上的任意一點的坐標;

②寫出適合條件P的點M的集合P={Mlp(M)}；

③用坐標表示條件P,列出方程f(x,y)=0；

④將方程/(羽y)=0化為最簡形式；

⑤說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.

16

X動手試試

練1.下列方程的曲線分別是什么？

X2x—2

（1）y=-（2）y=———（3）y=

Xx2-2x

練2.離原點距離為2的點的軌跡是什么？它的方程是什么？為什么？

三、總結提升

派學習小結

1.曲線的方程、方程的曲線；

2.求曲線的方程的步驟：

①建系，設點；

②寫出點的集合；

③列出方程；

④化簡方程；

⑤驗證.

派知識拓展

求軌跡方程的常用方法有：直接法，定義法，待定系數(shù)法，參數(shù)法，相關點法（代入法）,

交軌法等.

—左——學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：

1.與曲線y=為相同的曲線方程是（）.

A.y=—B.y=

17

c.y=D.y=2sgx

2.直角坐標系中，已知兩點A(3』)，8(-1,3),若點C滿足。C=aOA+POB,其中a,

peR,a+p=l,則點C的軌跡為().

A.射線B.直線C.圓D.線段

3.A(l,0),B(0,l),線段A3的方程是().

A.x-y+l=0B.x-y+l=Q(0<x<l)

C.無+y-l=0D.x-j+l=0(0<x<l)

4.已知方程辦2+辦2=2的曲線經(jīng)過點A(o,g)和點8(1,1),則a=,b=.

DA1

5.已知兩定點4-1,0),8(2,0),動點p滿足詬=5，則點P的軌跡方程是

■課后作業(yè)

1.點4(1,-2),8(2,-3),C(3/0)是否在方程

￥-無y+2y+1=0表土的曲線上？為什么？

2求和點。(0,0),A(c,0)距離的平方差為常數(shù)c的點的軌跡方程.

§2.1.2曲線與方程(2)

18

心學習目標

i.求曲線的方程;

2.通過曲線的方程，研究曲線的性質.

Q學習過程

一、課前準備

（預習教材理匕【尸爐找出疑惑之處）

365/

復習1：已知曲線C的方程為y=2無2,曲線C上有點4（1,2）,A的坐標是不是y=2尤2的

解？點（0.5在曲線C上,則".

復習2：曲線（包括直線）與其所對應的方程/（無,y）=0之間有哪些關系?

二、新課導學

派學習探究

引入：

圓心C的坐標為（6,0）,半徑為r=4,求此圓的方程.

問題：此圓有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程.

探究：若1人川=4,如何建立坐標系求A8的垂直平分線的方程.

派典型例題

例1有一曲線，曲線上的每一點到X軸的距離等于這點到A（0,3）的距離的2倍，試求曲線的

方程.

19

變式：現(xiàn)有一曲線在X軸的下方，曲線上的每一點到X軸的距離減去這點到點A(0,2),的距

離的差是2,求曲線的方程.

小結：點P(a,b)到x軸的距離是；

點P(a,b)到y(tǒng)軸的距離是;

點尸(10到直線x+y-1=0的距離是

例2已知一條直線/和它上方的一個點尸，點尸至心的距離是2,一條曲線也在/的上方，

它上面的每一點到廠的距離減去到/的距離的差都是2,建立適當?shù)淖鴺讼?，求這條曲線的

方程.

派動手試試

練1.有一曲線，曲線上的每一點到x軸的距離等于這點到直線x+y-l=O的距離的2倍,

試求曲線的方程.

20

練2.曲線上的任意一點到A(-3,0),8(3,0)兩點距離的平方和為常數(shù)26，求曲線的方程.

三、總結提升

X學習小結

1.求曲線的方程；

2.通過曲線的方程，研究曲線的性質.

派知識拓展

圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線.

0<e<1：橢圓；

e=l：拋物線；

e>l：雙曲線.

J.一學習評價一

派自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.方程(3x-4y_12)|jog2(x+2y)-3]=0的曲線經(jīng)過點4(0,-3),8(0,4),C(4,0),

中的().

A.。個B.1個C.2個D.3個

21

2.已知A(1,O),B(-1,O),動點滿足

|M4|-|MB|=2,則點M的軌跡方程是().

A.y=0(-1<x<1)B.y=0(x>1)C.y—0(x<-1)D.y=0(|x|>1)

3.曲線y=TA-X2與曲線y+|x|=0的交點個數(shù)一定是().

A.0個B.2個C.4個D.3個

4.若定點A(l,2)與動點尸(x,y)滿足OP?OA=4,則點尸的軌跡方程是.

5.由方程k-l|+|y-l|=l確定的曲線所圍成的圖形的面積是.

心課后作業(yè)

1.以。五面心，2為半徑，上半圓弧的方程是什么？在第二象限的圓弧的方程是什么？

2.已知點C的坐標是(2,2),過點C的直線CA與戈軸交于點A,過點C且與直線C4垂直

的直線與y軸交于點3.設點M是線段A3的中點，求點M的軌跡方程.

§2.2.1橢圓及其標準方程(1)

22

0學習目標

i.仄具底情布市施象出橢圓的模型;

2.掌握橢圓的定義；

3.掌握橢圓的標準方程.

3學習過程

一、課前準備

P

(預習教材理P38-尸40,文32~找出疑惑之處)

復習1：過兩點(0,1),(2,0)的直線方程.

復習2：方程(x-3)2+(y+l)2=4表示以_為圓心,為半徑的,

二、新課導學

派學習探究

取一條定長的細繩，

把它正兩端都固定在圖板的同一個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫

出的軌跡是一個

如果把細繩麗吊拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，

移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

思考：移動的筆尖(動點)/滿足的幾何條件是什么？

[1/I

Fp/

經(jīng)過觀察后思考：在移1-----動筆尖的過程中，細繩的保持不變,

即筆尖等于常數(shù).

新知1:我們把平面內與兩個定點尸，尸的距離之和等于常數(shù)(大于忸尸I)的點的軌跡

1212

叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

反思：若將常數(shù)記為2a,為什么2a>|尸尸]?

12

當2a=|尸尸|時，其軌跡為；

12-----------------

當2.<忸尸|時，其軌跡為

12-----------------

試試：

已知/(-4,0),F(4,0)，到尸，尸兩點的距離之和等于8的點的軌跡是.

1212

小結：應用橢圓的定義注意兩點：

①分清動點和定點；

②看是否滿足常數(shù)2。>忸下I.

12

新知2：焦點在x軸上的橢圓的標準方程

—+—=1(tz>Z?>0)其中Z72=Q2-C2

〃2/72

若焦點在y軸上，兩個焦點坐標,

則橢圓的標準方程是______________.

23

X典型例題

例1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程:

⑴。=4乃=1,焦點在x軸上；

(2)a=4,c=y/15,焦點在y軸上；

⑶〃+。=10,c=2^5.

變式：方程1+2=1表示焦點在X軸上的橢圓，則實數(shù)機的范圍_______________.

4m

小結：橢圓標準方程中：〃2=拉+。2；a>b.

例2已知橢圓兩個焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點||,-|),求它的標準

方程.

變式：橢圓過點(-2,0),(2,0),(0,3),求它的標準方程.

24

小結：由橢圓的定義出發(fā)，得橢圓標準方程.

X動手試試

Y2

練1.已知AA8C的頂點3、C在橢圓了+尸=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的

另外一個焦點在BC邊上，則AABC的周長是（）.

A.2/B.6C.4百D.12

練2.方程［-2=1表示焦點在y軸上的橢圓，求實數(shù)機的范圍.

9m

三、總結提升

X學習小結

1.橢圓的定義：彗星人

?太陽

2.橢圓的標準方程

X知識拓展

1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起，海爾?波

普彗星將逐漸接近地球，過4月以后，又將漸漸離去,并預測3000年后，它還將光臨地球上空.

1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象.天文學家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準確時

間呢？原來，海爾?波普彗星運行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運行中的一些有關數(shù)據(jù)，

可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它運行周期及軌道的的周長.

-Z

2學習評價

派自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：

1.平面內一動點M到兩定點產、歹距離之和為常數(shù)2a,則點M的軌跡為（）.

12

A.橢圓B.圓

C.無軌跡D.橢圓或線段或無軌跡

2.如果方程加+62=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)上的取值范圍是（）.

A.（0,+oo）B.（0,2）

C.（1,+OO）D.（0,1）

3.如果橢圓三+羽=1上一點P到焦點尸的距離等于6,那么點P到另一個焦點歹的距

1003612

25

離是().

A.4B.14C.12D.8

4.橢圓兩焦點間的距離為16,且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9和15,則橢圓的

標準方程

是__________________________________________

5.如果點M(x,y)在運動過程中，總滿足關系式)舉+(y+3)2+"舉+(y-3》=10,點M的

軌跡是，它的方程是.

2課后作業(yè)

1.寫向醫(yī)合下歹牛的橢圓的標準方程：

⑴焦點在尤軸上，焦距等于4,并且經(jīng)過點尸

⑵焦點坐標分別為(。，-4),(0,4),。=5；

⑶Q+C=10,4=4.

2.橢畤+千=1的焦距為2,求〃的值.

§2.2.1橢圓及其標準方程(2)

26

心學習目標

1.掌握點的軌跡的求法；

2.進一步掌握橢圓的定義及標準方程.

3學習過程

一、課前準備

（預習教材理也「尸，文乜一尸黨找出疑惑之處）

41423436

復習1：橢圓上?+==1一點尸到橢圓的左焦點歹的距離為3,則P到橢圓右焦點歹的

25912

距離

是.

復習2：在橢圓的標準方程中,0=6/=屈，則橢

圓的標準方程是.

二、新課導學

派學習探究

問題：圓舉+產+6x+5=0的圓心和半徑分別是什么?

問題：圓上的所有點到_______（圓心）的距離都等于_________（半徑）；

反之，到點（-3,0）的距離等于2的所有點都在

圓__________________________b.

派典型例題

例1在圓x2+y2=4上任取一點尸，過點P作x軸的垂線段P。，。為垂足.當點尸在圓上

運動時，線段的中點M的軌跡是什么？

變式：若點M在OP的延長線上‘且翳=|,則點〃的軌跡又是什么？

27

小結：橢圓與圓的關系：圓上每一點的橫（縱）坐標不變，而縱（橫）坐標伸長或縮短就可

得到橢圓.

例2設點42的坐標分別為（-5,0）,（5,0）,.直線AM,相交于點M,且它們的斜率之積

4

是-？，求點M的軌跡方程.

9

變式：點43的坐標是（-1,0）,（1,0）,直線相交于點M,且直線AM的斜率與直線

BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？

派動手試試

練1.求到定點晨2,0）與到定直線x=8的距離之比為拒的動點的軌跡方程.

2

28

練2.一動圓與圓北+#+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心

的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.

三、總結提升

X學習小結

1.①注意求哪個點的軌跡，設哪個點的坐標，然后找出含有點相關等式；

②相關點法：尋求點M的坐標與中間尤，y的關系，然后消去,得到點M的軌跡

0000

X知識拓展

橢圓的第二定義：

到定點尸與到定直線/的距離的比是常數(shù)e(0<e<l)的點的軌跡.

定點尸是橢圓的焦點；

定直線/是橢圓的準線；

常數(shù)e是橢圓的離心率.

.底汾一學習.評價

派自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.若關于的方程xzsina-yzcosa=1所表示的曲線是橢圓，則a在().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若AA2C的個頂點坐標4(-4,0)、8(4,0),AA2C的周長為18,則頂點C的軌跡方程為

().