2023-2024學(xué)年全國(guó)甲卷高考數(shù)學(xué)(文)押題模擬試題1(含答案)

2023-2024學(xué)年全國(guó)甲卷高考數(shù)學(xué)（文）押題模擬試題

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.（改編）復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2-1）,則」7=（）

z-l

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.已知全集。=3"，一5一640},集合/={xeZ|x（3-x）W0},8={1,2,4}則集合{-1,5,6}

等于（）

A.（電Z）c8B.e（ZU3）C./C&B）D.d（/c8）

3.某公司對(duì)2022年的營(yíng)收額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.在華中地區(qū)的三省中，

湖北省的營(yíng)收額最多，河南省的營(yíng)收額最少，湖南省的營(yíng)收額約2156萬(wàn)元.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A.該公司2022年?duì)I收總額約為30800萬(wàn)元

B.該公司在華南地區(qū)的營(yíng)收額比河南省營(yíng)收額的3倍還多

C.該公司在華東地區(qū)的營(yíng)收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營(yíng)收額之和還多

D.該公司在湖南省的營(yíng)收額在華中地區(qū)的營(yíng)收額的占比約為35.6%

4.如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體的體積為

5.（改編）從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，若這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和不

小于9的概率為（）

數(shù)，則區(qū)間口，2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

8.（改編）在平面直角坐標(biāo)系X。〉中，圓。的方程為一+必一”=0,若直線歹二丘-1上存在一

點(diǎn)P,使過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)左的值不可能是（）

1］/?

A.-1B.——C.-D.—

424

4

9.將函數(shù)/（x）=3sin2x-2圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的1倍，并沿n軸向左平移

"0<0<方］個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖象.若g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)8⑴在事上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）?

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，在已知直四棱柱/BCD-4耳GA中，四邊形/BCD為平行四邊形，尸分別是

的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若3C=1,AA[=6,,則DP"BCXB.MNUCD

C.MN〃平面C[DED.若AB=BC,則平面44。0_L平面&BD

11.已知拋物線C:y2=2必5>0）的焦點(diǎn)為歹，直線/：2x+y-6=0與拋物線c交于4,8兩點(diǎn)，M

是線段的中點(diǎn)，過(guò)M作y軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)N,則下列判斷不正確的是（）

A.若/過(guò)點(diǎn)尸，則C的準(zhǔn)線方程為》=-3B.若/過(guò)點(diǎn)尸，則=3

"\AB『\

_,24D.若麗.福=0，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1，。

C.若麗福=0，貝！jp=-

3,

—x+6x+5,x<-1

12.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g(x)=[/(x)]~-(〃z+2)/(x)+2〃?恰有5個(gè)零

3x>.l

e，

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-1,2）B.（-1,0）C.^0,—jD.^—,2

第II卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線了=豈?在點(diǎn)處的切線方程為.

14.已知向量z，3滿足M=l,W=K,a>3的夾角為150。，則y+B與Z的夾角為.

15.寫(xiě)出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式。“=.①2。用=%+%+2；②數(shù)列

{%}的前n項(xiàng)和S"存在最小值.

16.已知雙曲線C：E-g=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳點(diǎn)是。的一條漸近線上的

ab

兩點(diǎn)，S.MN=2MO（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），WM=|為周.若P為。的左頂點(diǎn)，且/MW=135。，則雙

曲線C的離心率為

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.在。中，角力,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sirUcos^=2sirU-cos^sinB.

（1）求職的值；（2）若6=3,從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得AZ8C存在且唯一

S1IL4

確定，求“3C的面積.條件①：cosB=&條件②：sinC=姮；條件③：“8C的周長(zhǎng)為9.

164

18.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過(guò)加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投

入無(wú)（單位：千萬(wàn)元）對(duì)每件產(chǎn)品成本V（單位：元）的影響，對(duì)近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入占和

每件產(chǎn)品成本%1=1,2,3,…,10）的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下散點(diǎn)圖，并計(jì)算得：［=6.8,亍=70,

10110110v7

=3,E—=1-6>￡&=350.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用函數(shù)模型、=色+”擬合V與尤的關(guān)系，

1=1項(xiàng)J=1XjZ=1XjX

試建立y關(guān)于x的回歸方程；

（2）已知該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售額加（單位：千萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品成本了的關(guān)系為

m=*+11+*■+100.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本10千萬(wàn)

元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入尤為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？（注：年利潤(rùn)

=年銷(xiāo)售額一年投入成本）

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（如匕）、（%#2）、匕、（仆V”），其回歸直線？"/的斜率和截距的

^%匕-nuv

最小乘估計(jì)分另U為：P-母----‘a(chǎn)=v—.

之虱；一nn

i=\

八每件產(chǎn)品成本/元

250-

200

150-?

100-?

50-????.

02468#101214

年技術(shù)創(chuàng)新投入/千萬(wàn)元

19.如圖，已知正方體MCD-//CQi的棱長(zhǎng)為2,瓦尸分別為仞,。。1的中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)G滿足西=4麗，求證'E,G1四點(diǎn)共面；（2）求點(diǎn)G到平面的距離.

r2p2

20.已知橢圓C：-+==1（Q〉6〉0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,A,5是其左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于4,

ab

34—

5的動(dòng)點(diǎn)，且左“褊二-"⑴求橢圓。的方程；（2）若尸為直線％=4上一點(diǎn)，PA,可分別與橢

圓交于C,。兩點(diǎn).①證明：直線CD過(guò)橢圓右焦點(diǎn)8；②橢圓的左焦點(diǎn)為片，求△。耳。的周長(zhǎng)

是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/（x）='+ln尤-2G,。為常數(shù)，且。>0.（1）判斷“X）的單調(diào)性；（2）當(dāng)0<a<l時(shí),

如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)優(yōu)，"且+=證明.〃?+*>2

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022）,簡(jiǎn)稱(chēng)“杭州2022年亞運(yùn)

會(huì)”，將在中國(guó)浙江杭州舉行，原定于2022年9月10日至25日舉辦；2022年7月19日亞洲奧

林匹克理事會(huì)宣布將于2023年9月23日至10月8日舉辦，賽事名稱(chēng)和標(biāo)識(shí)保持不變。某高中體

育愛(ài)好者為紀(jì)念在我國(guó)舉辦的第三次亞運(yùn)會(huì)，借四葉草具有幸福幸運(yùn)的象征意義，準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一枚

四葉草徽章捐獻(xiàn)給亞運(yùn)會(huì)。如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，方程0=2（1+34。+$府46）表示的圖形為

“四葉草”對(duì)應(yīng)的曲線C.

⑴設(shè)直線/：。弋（"尺）與C交于異于O的兩點(diǎn)/、B,求線段的長(zhǎng)；

⑵設(shè)尸和。是C上的兩點(diǎn)，且/尸。0=）求|。尸|+|。。|的最大值.

O

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/'（xHx-21+3此⑴求不等式/（無(wú)）210的解集；（2）若〃x）的最小值為m,正數(shù)

4

a,b,。滿足a+6+c=加，a2+b2+c2>—.

答案解析

123456789101112

CBDCDADBBBDD

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【正確答案】8x+y-8=014.【正確答案】60°15.【正確答案】2〃-6（答案不唯一）16.【正

確答案】V5

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.【詳解】（1）VsiiL4cos5=2siib4-cos^sin5,

則2siib4=siMcosB+cos/siiiS=sin（/+5）=sin。，（3分）

*=2

（4分）

sirU

（2）由（1）可得sinC=2siik4,由正弦定理可得c=2a,（5分）

若選條件①:由余弦定理COSB="-+C2-“，即4-+4,-9=口,°分）

2ac4a16

注意到〃>0,解得Q=2,貝！JC=4,由三角形的性質(zhì)可知此時(shí)“5C存在且唯一確定，（9分）

cosB=^->0,則可得sinB=Jl—cos2^,（“分）

16I2）16

**?的面積=；Qcsin5=gx2x4x^^=（12分）

若選條件②：???c>。，可得。〉兒則有：

若c為銳角，則cosC=Jl-sin2C=L由余弦定理cosC="一+"一丁，即工=里止生，

42ab46a

3

整理得：2/+?！?=0,且〃〉0,解得。=彳，則。=3；（7分）

2

若。為鈍角，則cosC=-Jl-sin2c=—1,由余弦定理cosC="+"—）,即/=儲(chǔ)+9-4”,

42ab46a

整理得：2a2—a-6=0j且Q〉0,解得Q=2,貝！jc=4；（10分）

綜上所述：此時(shí)zUBC存在但不唯一確定，不合題意.（12分）

若條件③：由題意可得：a+b+c=9,即。+3+2。=9,解得。=2,貝！Jc=4,（6分）

由三角形的性質(zhì)可知此時(shí)。3C存在且唯一確定，（7分）

由余弦定理可得（9分）

貝可得sin5=，1一cos?^,（11分）

\）16

*,?的面積=；QCsin8=1x2x4x^^.（12分）

18.【詳解】（1）解：令〃=工，則V關(guān)于〃的線性回歸方程為>=[+￡〃，（1分）

x

n___

八E",%T0"V

由題意可得,=-------=,rnn=200,?=v-3x=70-200x0.3=10,（3分）

16-0.9

Z=1

則V=10+200”,所以，了關(guān)于X的回歸方程為y=10+”2.（5分）

X

（2）解：由y=10+迎可得x=（7分）

X歹一10

年利潤(rùn)加=加_%_]0__工+殳?200+1利200—]。=一_L5_20『+90.8,（9分）

50025J一10y-10500v）

當(dāng)歹=20時(shí)，年利潤(rùn)N取得最大值，止匕時(shí)x==20,（11分）

y-W20-10

所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為20千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值取最大值.（12分）

19.【詳解】（1）證明：如圖，作。。中點(diǎn)連接4H,HF,

因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以?分）

在中，EG為中位線，故EG〃AH,所以EG〃BF,故2,瓦G,尸四點(diǎn)共面.（5分）

（2）設(shè)G到平面8E廠的距離為〃，點(diǎn)￡到平面8G的距離為=2,（7分）

在ABE尸中,BE=BF=45,EF=y/6.故△AEF的面積,成.2.（9分）

同理%酬=1，由三棱錐跖的體積4。0分）

所以《邑回力=：邑購(gòu)尸2,得〃=生旦.故￡到平面的距離為勺包.（12分）

3312121

20.【詳解】⑴由已知得：0=2,/（-2,0）,5（2,0）,

設(shè)河宙，％乂X。A±2）,因?yàn)椤ā鲈跈E圓上，所以內(nèi)；：+4就=4/①（2分）

因?yàn)椤啊靶?安43

x；-44

將①式代入，得4〃片=12—3片，得/=3,（4分）

所以橢圓。:^+片=1.（5分）

43

,6t2

(2)①證明：設(shè)尸(41)(fw0),貝U女尸4二:，l'.x=—y—2,同理可得女尸6=7,l:x=—y+2,

6PAt2PBt

（6分）

x^-y-2

254-2/1設(shè)

2?2'得，C=18%54-?/

聯(lián)立方程則C（7分）

27+/227+產(chǎn)'27+產(chǎn)

X+廣727+/

--------1---------1

143

2

x=-y+2

-6t2C-6-6t

同理聯(lián)立方程：22可得力=則。（8分）

3+/23+”

土+匕=13+t

143

27-3r18z2-9-6t

又橢圓的右焦點(diǎn)為月。,0）,所以"C=,（9分）

27+產(chǎn)‘27+尸3+『'3+『

27—3r-6tIStr-9

因?yàn)?------rx-----T---------x--------=0,說(shuō)明C,D,耳三點(diǎn)共線，即直線CD恒過(guò)耳點(diǎn).（10

27+/3+/227+/3+〃

分）

②周長(zhǎng)為定值.因?yàn)橹本€CD恒過(guò)耳點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義，所以△小〃的周長(zhǎng)為44=8.（12分）

、X2

21.【詳解】(1)Vf(x)=—+Inx-2ax,

x-2依+1,xe(0,+co),記g(x)=f-2ax+l,(1分)

x

①當(dāng)A=4〃2—4<0,即0<Q4l時(shí)，g(x)=%2一2辦+120恒成立,

所以f'（x）N0在（0,+8）上恒成立,所以“X）在（0,+司上單調(diào)遞增.（2分）

②當(dāng)公=4。2-4>0,即a>l時(shí),

2a-J4a--4-^~i0,2a+j4q24y+^3y>0,

方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且玉==a>

22

X/x￡(0,〃_J。?-1),/_2"+1>0,/%)>0,/(、)單調(diào)遞增,

VxG16/-J/—I,a+Jq2-1j,x2-2ax+1<0,/'(x)<。，/(%)單調(diào)遞減,

VX￡(Q+V^^1,+8),X2-+1>0，/心）>0,/（X）單調(diào)遞增，（4分）

綜上所述：①當(dāng)0<。41時(shí)，/（x）在（0,+司上單調(diào)遞增，②當(dāng)。>1時(shí)，“X）在0,”石口和

（a+Ja~-l,+oo）上單調(diào)遞增,在（a——1,>+，儲(chǔ)—1）上單調(diào)遞減.（5分）

（2）V/（l）=1-2a,,-./（m）+/（n）=l-4a=2/（l）,（6分）

由（1）可知0<a<l時(shí)，“X）在（0,+<%>）上單調(diào)遞增，故不妨設(shè)0〈根<1<〃，

要證：m+n>2,即證：it>2-m>1,（7分）

又??,當(dāng)0<Q<l時(shí)，/（X）在（0,+。）上單調(diào)遞增，???只需證/⑺>7（2—冽），

又:加）+/（〃）=1—4Q,?,?只需證：1一4。一/（冽）〉/（2—冽），（8分）

即證：f（m）+f（2-m）<l-4a,（0<m<l）,記=/（x）+/（2—x）,xe（0,l）,

V（x）-f（x）-/r（2-x）=x+—2a-（2-x）---------F2a=--工，

JC2xx（2x?

.?.當(dāng)xe（O,l）時(shí)，F(xiàn)（x）>0恒成立，尸（x）單調(diào)遞增，（11分）

.?.尸（x）〈尸⑴=2/⑴=1-4°,.?.原命題得證.即加+">2.（12分）

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.【詳解】⑴設(shè)/、5兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,哈卜卜,胃），（2分）

貝lj/?]=211+cosy+sin2；21+9

rl2

J113兀.213兀9Q

p[=211+cos———Fsin—2H^=7