2024中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí) 三角形的性質(zhì)與判定 講練（原卷版）

三角形的性質(zhì)與判定

目錄

考點(diǎn)二特殊三角形的性質(zhì)與判定

一、考情分析

二、知識(shí)建構(gòu)題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

題型02角平分線的性質(zhì)與判定

考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定

題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定

題型05直角三角形的性質(zhì)與判定

題型01三角形的三邊關(guān)系題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)

題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題格問題

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理題型07與三角形有關(guān)的折疊問題

綜合問題題型08趙爽弦圖

題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)題型09利用勾股定理解決實(shí)際問題

際應(yīng)用

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)

三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，所以在中考中考察的幾率

三角形的基礎(chǔ)比較大.在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識(shí)部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊

關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等.特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查

重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，

特殊三角形的性質(zhì)與且等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大.直角三角形的出題類型可以是選擇填空

判定題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景

進(jìn)行拓展延伸.

三三角形的

i品蠹一三角形的高、中線、角平分線中位線、

角重段

形「定理:三角形的兩邊之和大于第三邊.

一廠三角形三邊關(guān)系T

的1

三-推論:三角形的兩邊之差小于第三邊.

角題型三角形的三邊關(guān)系

基01

形題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題

礎(chǔ)廠定理:三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.

的-三角形的內(nèi)角和T題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題

1

性-推論:

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用

質(zhì)

一

三I-定理:三角形的外角和等于360。.

L三角形的外角和T枇山

角三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

J三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

形

的

性「概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形.

質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角相等——等邊對(duì)等角

等腰三角形

與-隨等腰三角形的頂角平分線、底邊上的一=綣人_

與判定中線、底邊上的高相互重合.一找口

判

定義法

定

特L判定

殊」如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

三廠概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形.

角

_I-等邊三角形的三條邊相等.題型線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

形一性質(zhì)~\01

等邊三角形

1-三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60。.題型02角平分線的性質(zhì)與判定

的

性質(zhì)與判定題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定

性一定義法題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定

判定一一三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.

質(zhì)L題型05直角三角形的性質(zhì)與判定

與L有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題

題型07與三角形有關(guān)的折疊問題

判

「直角三角形兩個(gè)銳角互余.題型08趙爽弦圖

定

題型09利用勾股定理解決實(shí)際問題

廠性質(zhì)一一直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

1-在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形

-兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

性質(zhì)與判定

_三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角

形是直角三角形.

L判定一

-有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

_如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,C有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)

三角形是直角三角形.

考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)

真題研析-規(guī)律探尋

題型01三角形的三邊關(guān)系

三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

【解題技巧】

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a,b,求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|<c<a+b

3）所有通過周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形.

1.（2021?湖南婁底?統(tǒng)考中考真題）2,5,血是某三角形三邊的長(zhǎng)，則J（zn—3尸+,（八一7尸等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

2.（2020?甘肅天水?統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程久2一舐+12=0的

根，則該三角形的周長(zhǎng)為.

3.（2022?河北?統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形

5

A.1B.2C.7D.8

4.（2023?河北?中考真題）四邊形2BCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)

△48C為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線4C的長(zhǎng)為（）

A2D

A.2B.3C.4D.5

題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題

三角形有關(guān)的線段的性質(zhì):

高(AD)中線(AD)角平分線(AD)中位線(DE)

△4c

/*N

/\\

B0CBDC金

BD=CDSAABD=SAADCAD=DBAE=EC

1

ZADB=ZADC=90°/BAD=/DAC=wZBAC

1

DE=5BCDE//BC

CAACD—CMBD=AC—AB

翁翁◎◎

1.三角花的高、中旗、角平分線是三條線段，由三角形的

高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間

的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系.

9

杰A桌"http://

2.常見三角形的高：BDCCBBL)C

3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.

A

3.（2021.黑龍江大慶.中考真題）已知，如圖1,若4D是MBC中ABAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得黃=黑，

同理，若AE是AABC中N84C的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：

如圖2,在ATlBC中，8。=2,C。=3,2。是△ABC的內(nèi)角平分線，則△力8c的BC邊上的中線長(zhǎng)，的取值范圍

是

圖1圖2

4.（2022?上海?中考真題）如圖，在△ABC中，ZA=30°,/8=90。，。為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，學(xué)=第

則*

5.（2022?吉林?中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線3|白，AABC與ADBC的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設(shè)人與%之間的距離為九，貝（ISAWBC=,h,SADBC=|fiC-h.

,?S44BC=S^DBC?

【探究】

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在k，I之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)4。到直線12的距離分別為h，h',則產(chǎn)=3

S^DBC九

圖②

證明：

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在L,1之間時(shí)，連接2。并延長(zhǎng)交，2于點(diǎn)M,則抖生=警.

S^DBCDM

圖③

證明：過點(diǎn)4作AEIBM,垂足為E,過點(diǎn)D作DF1BM,垂足為F,貝！U4EM=NDFM=90。,

：.AE\\_.

：.△AEM

.AE_AM

)*DF~DM

由【探究】(1)可知受匹

S&DBC

?S^ABC_AM

S^DBCOM

S"BC的

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在已下方時(shí)，連接4。交辦于點(diǎn)瓦若點(diǎn)4,E,。所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

S^DBC

值為

B■2

D

圖④

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.

推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

1）在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

2）在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

3）在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°.

三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

三角形中角度計(jì)算的6種?？寄Ｐ?

2.（2023?江蘇無錫?中考真題）如圖，2ZBC中,Z.BAC=55°,將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<55。）,得到

AADE,DE交力C于尸.當(dāng)a=40。時(shí)，點(diǎn)。恰好落在BC上，此時(shí)乙4FE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

3.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）如圖，AABC中，N2CB=90°,將△48C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC,

使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在4B邊上，AC.ED交于點(diǎn)尸.若乙BCD=a,貝此EFC的度數(shù)是（用含a的代數(shù)式表

示）（）

4.（2023?四川達(dá)州?中考真題）如圖，AE||CD,AC平分/BCD,乙2=35。,ND=60。貝中B=（）

D

BC

E

A.52°B.50°C.45°D.25°

5.（2021.遼寧本溪.中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若41=80。，則乙2的度數(shù)是（）

A.80°B.95°C.100°D.110°

6.（2020?浙江紹興?中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,BA=BC,將3C繞點(diǎn)8順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)0（0°<0<90。），得到BP,連結(jié)CP,過點(diǎn)A作交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連結(jié)AP,則/以H

的度數(shù)（）

A.隨著0的增大而增大C

B.隨著。的增大而減小

c.不變/\\y'

D.隨著。的增大，先增大后減小

7.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC,Z71=30°,射線

CP從射線C4開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<75°）,與射線力B相交于點(diǎn)D,將△ACD沿射線CP翻折至

△ACD處，射線C4與射線2B相交于點(diǎn)E.若AdDE是等腰三角形，則Na的度數(shù)為.

8.（2022?浙江紹興?中考真題）如圖，在△ABC中，NABC=40。，ZACB=9Q°,AE平分/BAC交于點(diǎn)

E.尸是邊8c上的動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重合），連結(jié)AP,將^APC沿AP翻折得△APO,連結(jié)DC,記/BCD=a.

AA

備用圖

（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求a的度數(shù).

（2）當(dāng)尸與￡不重合時(shí)，記/B4D=g,探究a與6的數(shù)量關(guān)系.

題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用

1.（2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，沿4B方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線4B上湖的另一邊

的。處同時(shí)施工.取乙4BC=150°,BC=1600m,乙BCD=105°,貝l]C,。兩點(diǎn)的距離是m.

2.（2022?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡。B、反射后，沿EF方向

射出，已知N4OB=120°,ZCOS=20°,貝UN力EF=.

3.（2021?河北?統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），4E與BD的交點(diǎn)為C,且乙4,乙B,NE保

持不變.為了舒適，需調(diào)整”的大小，使NEFD=110。，則圖中ND應(yīng)_________（填“增加’或“減少”）—

度.

4.（2023?四川自貢?中考真題）第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊

形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角乙4cB=15。，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

5.（2023?廣東深圳?中考真題）如圖為商場(chǎng)某品牌椅子的側(cè)面圖，ADEF=120。,DE與地面平行,N4BD=50°,

貝=（）

核心提煉,查漏補(bǔ)缺

三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.

三角形的表示：用符號(hào)表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”.

三角形的分類：

（三邊都不相等的三角形

1）三角形按邊分類：三角形，等邊三角形

（一,I底邊和腰不相等的等腰三角形

（直角三角形

2）三角形按角分類三角形斜三角形.銳角三角形

.鈍角三角形

三角形的穩(wěn)定性：三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.

）

1o.三o角弦的o表示o方叔中“A”代表“三角形”，后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),字母的順序可以自由安排.

即AABC,AACB等均為同一個(gè)三角形.

2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.

3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形

就具有穩(wěn)定性了.

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

一、單選題

1.（2022?河北保定?校考一模）能用三角形的穩(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（）

2.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）在△力BC中，AC=7,BC=4,M是4B上的一點(diǎn)，若AACM的周長(zhǎng)比

△BCM的周長(zhǎng)大3,根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡可以得到符合條件的CM的是（）

3.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡及圖上數(shù)據(jù)，則線段BC的長(zhǎng)可能

為（）

4.（2021?山西呂梁?統(tǒng)考二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！睍r(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四

種輔助線，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是180?！钡氖牵ǎ?/p>

A過C作EF〃BCB延金仃忻過C作CE7/AB作CDLIST點(diǎn)Dj-）QAB±-.^fDE//BC,DF//AC

5.（2022?河北邢臺(tái)?統(tǒng)考二模）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：

如圖，在小人8。中，。為8c的中點(diǎn)，若4C=3,AD=4.貝l|AB的長(zhǎng)不可能是（）

甲同學(xué)認(rèn)為4B,AC,4D這條三邊不在同一個(gè)三角形中，無法解答，老師給的題目有錯(cuò)誤.乙同學(xué)認(rèn)為可

以從中點(diǎn)。出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識(shí)解決.丙同學(xué)認(rèn)為沒必要借助全等三角形的知識(shí)，只需構(gòu)造

一個(gè)特殊四邊形，就可以解決關(guān)于三位同學(xué)的思考過程，你認(rèn)為正確的是…（）

A.甲B.乙C.丙D.乙和丙

6.如圖，在中，力。是8c邊上的高，8E平分NA8C交4C邊于E,Z.BAC=60°,N71BE=26°,貝（JADAC

的大小是（）

7.（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）已知a,b,c是三角形的三條邊，則|c一a—+|c+b-a|的化簡(jiǎn)結(jié)果為

（）

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b—2c

8.（2021?江蘇南京?統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不

在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形.關(guān)于凹四邊形4BCD（如圖），以下結(jié)論：

①）乙BCD=/-A+Z.B+Z.Z）；

②若力B=AD,BC=CD,貝IMCIBD；

③若4BCD=2AA,則8c=CD；

④存在凹四邊形ABC。，^AB=CD,AD=BC.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①③④

二、填空題

9.（2023?河北衡水?二模）如圖，在△A8C中，點(diǎn)。在BC邊上，沿力。將△ABC折疊，使點(diǎn)C與BC邊上的點(diǎn)C，重

合，展開后得到折痕a.

⑴折痕a是AABC的；（填“角平分線”“中線”或“高”）

（2）若NB4L=15。，貝吐。比NB的度數(shù)大°,

10.（2022.河北邢臺(tái)??？既＃┤鐖D，AB,BC,CD是某正多邊形相鄰的三條邊，延長(zhǎng)48,DC交于點(diǎn)P,

ZP=120°.

（1）NPBC的度數(shù)為；

（2）該多邊形為正______邊形.

三、解答題

11.（2023?廣東東莞?東莞市東莞中學(xué)初中部?？既＃┮阎切蔚膬蛇呴L(zhǎng)分別是1、2,第三邊為整數(shù)且

（2（%—1）VX+1

土＞1的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

12.（2022?陜西渭南.統(tǒng)考三模）如圖，己知AABC,ZA=100°,ZC=30°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作

一點(diǎn)。，使得NA3O=25。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

13.（2023?北京石景山?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，AB=AC,^ACB=2a,BD平分N4BC交力C于點(diǎn)E,

點(diǎn)F是ED上一點(diǎn)且NE4F=a.

A

D

（1）求乙4FB的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）連接FC,用等式表示線段FC與凡4的數(shù)量關(guān)系，并證明.

14.（2023?江西上饒?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在下列10x10的正方形網(wǎng)格中，A/IBC的頂點(diǎn)A,B,C均在

格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，在邊上找一點(diǎn)尸，連接PC,使5AApc=S"PC；

（2）在圖2中，在邊48上找一點(diǎn)0,連接QC,使S-QC=|SABQ「

考點(diǎn)二特殊三角形的性質(zhì)與判定

真題冊(cè)析-規(guī)律探尋

題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的

中垂線）.

性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

對(duì)于含有加直乖分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來.

1.（2022?湖北宜昌.統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于［BC長(zhǎng)為半徑畫弧，

兩弧相交于點(diǎn)M,N.作直線MN,交4C于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接BD.若2B=7,AC=12,BC=6,則

△的周長(zhǎng)為（）

C.19D.18

2.（2022.吉林長(zhǎng)春.統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A8C中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB-AE=^AC

C.Z-DBF+/-DFB=90°D./-BAF=乙EBC

3.（2020?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，2C平分NDCB,CB=CD,的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E,若=49°,

則乙B4E的度數(shù)為.

4.（2020?湖南?中考真題）已知。是RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，ZACB=90°,ZABC=30°,過點(diǎn)D作RtADEF

使NDEP=90。，/DFE=30。,連接CE并延長(zhǎng)CE到P,使EP=CE,連接BE,FP,BP,設(shè)BC與DE交

于M,PB與EF交于N.

（1）如圖1,當(dāng)。，B,尸共線時(shí)，求證：

?EB=EP；

②/EFP=30。；

（2）如圖2,當(dāng)。，B,尸不共線時(shí)，連接8尸，求證：ZBFD+ZEFP=30°.

題型02角平分線的性質(zhì)與判定

角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

性質(zhì)中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件，否則不能

得到線段相等.

T~（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，AaBC中，N4=90。,43=8,4C=15,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)

為半徑畫弧，分別交BC于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)E,作射線BE交4C于點(diǎn)D,則線段的長(zhǎng)為.

2.（2022?四川南充?中考真題）如圖，在Rt△力BC中，NC=90。,NB力C的平分線交BC于點(diǎn)。，DE//AB,交

4C于點(diǎn)E,DF1A8于點(diǎn)RDE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9

3（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，是圓。的直徑，弦平分NBAC,過點(diǎn)。的切線交AC于點(diǎn)E,

ZEAD=25°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

E.C

A.AE±DEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=50°

4.（2021?廣東深圳?中考真題）如圖，已知NB4C=60。，AD是角平分線且AD=10,作AD的垂直平分線交

AC于點(diǎn)F,作DE14C,貝IUDEF周長(zhǎng)為.

5.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實(shí)踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角.”

即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和OB上分

別取點(diǎn)C和。，使得。C=。。，連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,貝IOE就是N4。B的平分線.

請(qǐng)寫出OE平分N40B的依據(jù)：；

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在N40B的邊。4OB上分別取。M=ON,移動(dòng)角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M,N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線。。是乙4OB的平分線，請(qǐng)說明此做法的

理由；

拓展實(shí)踐:

（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐.如圖4,校園的兩條小路4B和4C,匯聚形成了一個(gè)岔路口A,現(xiàn)在學(xué)校要在

兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距

離和休息椅D到岔路口A的距離相等.試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)

的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)：

1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角“）.

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.

等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.

l.w腰三篇形而邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂

角還是底角，需要分類討論.

2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.

3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸.

4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,貝吟＜a.

6.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為/B、ZC,則NA=180°-2ZB,ZB=ZC=~°^~

7.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形.（即頂

角36°,底角72°）.

8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等

關(guān)系的重要依據(jù).

1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.以點(diǎn)2為圓心，任

意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)G,分別以點(diǎn)尸和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩

弧相交于點(diǎn)H,作射線交AC于點(diǎn)。；分別以點(diǎn)8和點(diǎn)。為圓心，大于18。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交

于M、N兩點(diǎn),作直線交于點(diǎn)E,連接。E.下列四個(gè)結(jié)論:①乙4ED=乙ABC；②BC=AE；③ED=通；

④當(dāng)4C=2時(shí)，XD=V5-1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.江西?統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象上，點(diǎn)B在無軸正半軸上，若AOAB

為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5,貝帽B的長(zhǎng)為.

3.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在AZBC中、NB=Z_C=a（0。<a<45。），AM1BC于點(diǎn)M,。是線段MC上

的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M,C重合），將線段DM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段2C上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2,若在線段8M上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)2,M重合）滿足=連接4E,EF,直接寫出N2EF的

大小，并證明.

4.（2022?新疆?中考真題）如圖，在A4BC巾，^ABC=30°,4B=AC,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段

OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)。，C重合），將△ACD沿折疊得到AAED,連接BE.

AA

(2)探究N4E8與a4。之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)設(shè)4C=4,△4CD的面積為x,以A。為邊長(zhǎng)的正方形的面積為》求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

5.(2022?安徽?中考真題)已知四邊形ABC。中，BC=CD.連接3D,過點(diǎn)C作的垂線交A3于點(diǎn)￡,

連接DE.

圖1圖2

(1)如圖1,若DEIIBC,求證：四邊形BCDE是菱形；

(2)如圖2,連接AC,設(shè)BD,AC相交于點(diǎn)凡OE垂直平分線段AC.

(i)求/CEO的大小；

(ii)AF—AE,求證：BE—CF.

題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定

等邊三角形的性質(zhì)：1)等邊三角形的三條邊相等.

2)三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.

等邊三角形的判定：1)三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.

2)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°,無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合.

6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=乎邊長(zhǎng)2

4

1.（2022.貴州貴陽.統(tǒng)考中考真題）如圖，己知乙4BC=60。，點(diǎn)。為B4邊上一點(diǎn)，BD=10,點(diǎn)。為線段8。

的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，線段。8長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E,連接DE,貝加E的長(zhǎng)是（）

C

A.5B.5V2C.5V3D.5V5

2.（2022?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以

看作是由全等的等邊三角形4BC和等邊三角形OEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27

厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為.厘米.

3.（2022?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）AABC和A/IDE都是等邊三角形.

（1）將A/IDE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合），有P4+PB=PC

（或P4+PC=PB）成立；請(qǐng)證明.

（2）將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接8D,CE相交于點(diǎn)P,連接加，猜想線段以、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（3）將A4DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接8。，CE相交于點(diǎn)P,連接以，猜想線段抬、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

4.(2020?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線

BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

【問題解決】

(1)如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

【類比探究】

(2)如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由.

5.(2022?湖北武漢?中考真題)問題提出：如圖(1),△ABC中，AB=AC,D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)

E,使DE=DB,延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F,探究竟的值.

⑴先將問題特殊化.如圖⑵,當(dāng)NB"=60。時(shí)，直接寫出言勺值；

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：如圖(3),在△ABC中，AB=AC,D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，||=|(n<2),延長(zhǎng)BC至

點(diǎn)E,使DE=DG,延長(zhǎng)ED交4B于點(diǎn)工直接寫出蕓的值(用含n的式子表示).

6.(2022?山東臨沂?中考真題)已知△力BC是等邊三角形，點(diǎn)3,。關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD,CD.

(1)求證：四邊形A8C。是菱形；

(2)在線段AC上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)除外)，連接PD將線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在8A延長(zhǎng)

線上的點(diǎn)。處.請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)尸在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，NDPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

題型05直角三角形的性質(zhì)與判定

直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.

2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c