貴州省2024年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

貴州省2024年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)/Xx）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)工工0時，/（x）=log2（x+l）+ax2-a+l（。為常數(shù)），則不等式/（3x+4）>—5

的解集為（）

A.（-00,-1）B.（-l,+oo）C.（-00,-2）D.（-2,+oo）

2.設(shè)“2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/（九）=1,若/⑷=1,貝廳（—“）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

x>\

3.已知實數(shù)羽y滿足線性約束條件x+y20，則的取值范圍為（）

x-y+2>0*

A.（-2,-1]B.（-1,4]C.[-2,4）D.[0,4]

4.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個素數(shù)的和”（注：如果一個大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù)），在不

超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)。、b,則卜-4<3的概率是（）

1412

A.-B.—C.—D.一

51535

5.AABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為“,仇。，已知a+2c=2bcosA,則角B的大小為（）

2萬

A.——y

3

6.已知向量a=（-百,1）,%=（3,石），則向量入在向量a方向上的投影為（）

A.-73B.GC.-1D.1

22122

7.設(shè)雙曲線與—*=1（。>0,6>0）的一條漸近線與拋物線丁=%2+]有且只有一個公共點，且橢圓鼻+￡=1

的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

y2—x2_￡=iy2

A.)1R------1c.D.------1

~443~2332

8.為實現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫

離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為70%.2015年開始，全面實施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其

中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率

見下表：

實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)

參加用戶比40%40%10%10%

脫貧率95%95%90%90%

那么2019年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）

9.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員.

面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)、緊跟時代脈搏的熱門APP。該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”、

“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”.“每周答題”、“專項答題”.“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊。某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀

文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）

A.60B.192C.240D.432

10.如圖，在正方體A3CD—44GD1中，已知E、F、G分別是線段AG上的點，且4石=EF=PG=GC1.則

下列直線與平面48。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.CCt

1-z

11.復(fù)數(shù)『的共物復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.在一個數(shù)列中，如果V“eN*，都有44+必什2=左（左為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，上叫做這個數(shù)列

的公積.已知數(shù)列｛4｝是等積數(shù)列，且4=1,g=2,公積為8,則%+出+…+”2020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.直線儂—1=0(機>0,〃>0)過圓+y2-2x+2y—l=0的圓心，則工+工的最小值是.

mn

14.現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有種.(用數(shù)字作答)

15.正四面體A-BCD的各個點在平面M同側(cè)，各點到平面〃的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長為

16.(5分)已知x為實數(shù)，向量a=(2,—1),)=(l,x),且;貝!)|2。+勿=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

_1,

17.(12分)BMl/(%)=%--(Inx)-^lnx-l(^eR).

(1)若/(x)是(0,+s)上的增函數(shù)，求左的取值范圍；

(2)若函數(shù)Ax)有兩個極值點，判斷函數(shù)/(尤)零點的個數(shù).

18.(12分)如圖，三棱柱ABC—A'5'。的側(cè)棱AT垂直于底面ABC,且NACB=90°,ZflAC=30°,BC=1,

A'A=yf6,"是棱的中點.

(1)證明：AB'IA'M；

(2)求二面角A'—Affi'—A的余弦值.

19.(12分)選修4-2：矩陣與變換(本小題滿分10分)

ak~\rk

已知矩陣人=(k#))的一個特征向量為a=,

01—1

A的逆矩陣Ar對應(yīng)的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.

20.(12分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面上40,底面

ABCD,。為AD的中點，"是棱PC上的點且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=lfCD=2.

2

（1）求證：平面平面以PAD；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

21.（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公

司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：

甲公司員工A：410,390,330,360,320,400,330,340,370,350

乙公司員工3：360,420,370,360,420,340,440,370,360,420

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)（含350

件）的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工4在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）為了解乙公司員工3每天所得勞務(wù)費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務(wù)費記為J（單位：元），

求自的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費.

x=2cosa_

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，把曲線（a為參數(shù)）上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)

y=2sma

不變，得到曲線c2.以坐標(biāo)原點為極點，以X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c3的極坐標(biāo)方程0sin（6-工）=472.

一4

（1）寫出。2的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點M在上，點N在上，求IMNI的最小值以及此時M的直角坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

2

由/(O)=0可得。=1,所以/(x)=log2(x+l)+x(x>0),由/(X)為定義在R上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增

函數(shù)，可知y=/(x)在R上單調(diào)遞增，注意到/(-2)=-/(2)=-5,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.

【詳解】

因為/■(*)在R上是奇函數(shù).所以/(0)=。，解得4=1,所以當(dāng)xNO時，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且xe[0,+s)時，/(尤)單調(diào)遞增，所以

y=/(x)在R上單調(diào)遞增，因為/(2)=5,/(-2)=-5,

故有3x+4>-2,解得%>-2.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.

2、D

【解析】

利用/(a)與/(—。)的關(guān)系，求得了(—。)的值.

【詳解】

依題意/(a)=—1=1,e"—=2,

所以/(-a)=-e"-]=-(e"-e-")-1=—2—1=—3

故選：D

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

作出可行域，上三表示可行域內(nèi)點尸(％,y)與定點。(0,-1)連線斜率，觀察可行域可得最小值.

X

【詳解】

作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)，山表示可行域內(nèi)點尸(％,y)與定點連線斜率，A(1,3),

X

腦=3=4'過0與直線x+y=o平行的直線斜率為T，?.?一1<%0.

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題山表示動點P（%,y）與定點

X

連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.

4、B

【解析】

先列舉出不超過15的素數(shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)萬，

滿足4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

不超過15的素數(shù)有：2、3、5、7、11、13,

在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（%）—/（%）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15種情況,

其中，事件“在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)4、b,且心-q<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4種情況，

4

因此，所求事件的概率為尸=話.

故選：B.

【點睛】

本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡，可求出解A

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sin5cosA,即sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA,即有sinA(1+2cosB)=0,

127r

因為sinA>0,貝(JcosB=-一,而Be(O,;r),所以3=—.

23

故選：A

【點睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

投影即為\b\?cose=答，利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)向量a與向量b的夾角為。，

由題意，得a力=—3+1義=—2,卜|=’(一+12=2?

所以，向量b在向量a方向上的投影為忖,c°s'=『=二乎=一百.

故選：A.

【點睛】

本題主要考察了向量的數(shù)量積運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為了=依，與拋物線方程聯(lián)立，利用A=0,求出左的值，得到人的值，求出關(guān)系，進(jìn)而判

b

Y2y2

斷a,1大小,結(jié)合橢圓T+=1的焦距為2,即可求出結(jié)論.

ab2

【詳解】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=履，

代入拋物線方程得f-6+—=0,

3

42

依題意、=k?一個=G,k=±-j=,

a22..

~b=~^，a~〉b,

22

二橢圓二+2=1的焦距2行萬=2，

ab

—b2—b2=-b1=I,/?2=3,?2=4,

33

22

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L-±=1.

43

故選:B.

【點睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.

8、B

【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為。，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率尸=2X40%X95%+2X10%X90%,進(jìn)而可求解.

【詳解】

設(shè)貧困戶總數(shù)為。，脫貧率P=2*40%*95%。+2><：10%><90%%=94%,

a

94%47

所以----二—

70%35,

47

故2019年的年脫貧率是實施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的—倍.

35

故選：B

【點睛】

本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.

【詳解】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)

為=240.

故選：c.

【點睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這

類問題的常用方法.

10>B

【解析】

連接AC,使AC交6。于點。，連接a。、CF,可證四邊形4OCE為平行四邊形，可得利用線面平

行的判定定理即可得解.

【詳解】

如圖，連接AC,使AC交3。于點。，連接a。、CF,則。為AC的中點，

在正方體ABC。-A4G2中，A4〃CG且M="1，則四邊形A4CC為平行四邊形,

AG〃AC且4G=AC,

。、廠分別為ac、AG的中點，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四邊形為平行四邊形，則CF〃4。，

CFz平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面450.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題.

11、A

【解析】

1?Q121

試題分析：由題意可得：==?—-，.共輾復(fù)數(shù)為士+—"故選A.

2-i5555

考點：1.復(fù)數(shù)的除法運算;2.以及復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)的關(guān)系

12、B

【解析】

計算出4的值，推導(dǎo)出a,,+3=%(〃eN*),再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4｝的前2020項

和.

【詳解】

—8彳

由題意可知44+14+2=8,則對任意的〃eN*，。產(chǎn)0，則qa2a3=8,,%=---=4,

由94+14+2=8,得an+ian+2an+3=8，…=4"+1""+2。”+3>…%+3=%，

2020=3x673+1)因此，q+tz2H---=673(4+為+%)+4=673x7+1=4712.

故選：B.

【點睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等

題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解析】

直線?ix-〃y-l=0(m>0,n>0)經(jīng)過圓/+9-2了+2,-1=0的圓心(1,-1),可得機+〃=1,再利用“乘1法"和

基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

mx-ny-1=0(?i>0,zz>0)經(jīng)過圓爐+產(chǎn)-2x+2y-1=0的圓心(1,-1),

/.m+n-1=0,即m+n=l.

1111rnTI1

——k—=(--F—)Cm+n)=2H---1-->2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)機=〃=一時取等號.

mnmnnm2

...則工+工的最小值是4.

mn

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14、36

【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有用種排法，其中甲排在兩端，有2MH種排法，則6人排成一排,

甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有羯4-2用禺=36（種）排法.

所以本題答案為36.

【點睛】

排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題

原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確

的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.

15、回

【解析】

不妨設(shè)點A,D,C,8到面的距離分別為1,2,3,4,平面〃向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點O,與A-

AC分別相交于點E,F,根據(jù)題意F為中點，E為45的三等分點（靠近點A）,設(shè)棱長為a,求得

V=Lx走標(biāo)義逅。=也。3,再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,從而求得

D-AEF324372

S⑺尸=1xDExDFxsinZEDF=1x出ax也"反=舊a"

再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為1,得到

223272112

V=！xSEDFX1=L叵&2義1=好心然后利用等體積法％TEF=%一°EF求解，

A-EDF3'31236

【詳解】

不妨設(shè)點A,D,C,3到面的距離分別為1,2,3,4,

平面"向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點。，與AB,AC分別相交于點E,F,如圖所示：

由題意得：尸為中點，E為A3的三等分點（靠近點A）,

2

設(shè)棱長為a，S.￡F=—x—x—xsin60=—a>

■22324

_V6

頂點D到面ABC的距離為d=----a

3

所以％YEF

324372

11117117

由余弦定理得：EF?=—/—a?—2x—cix—axcos60=—/,DE——片+/—2xax—axcos60——

492336939

，a"EDF…DF「EF—,

DF2=—a2+a2-2x6zx—tzxcos60

4242DEDFV21

所以sinNEO尸=￡,所以S⑺尸=-xDExDFxsinZEDF=-x—,

V2l-2232V2l12

又頂點A到面EDF的距離為1，

2

所以匕EDF=工xSEDFx1=1x/x1=-^-a

/X-tLLJrctLLfrr1/

331236

因為％_AEF=匕.DEF,

所以變/=立/，

7236

解得a=VlO，

故答案為：VlO

【點睛】

本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于

難題，

16、5

【解析】

由a=(2,—1),b=(1,x),且二1，，得。力=2—x=0,解得尤=2,則2a+》=2(2,-l)+(l,2)=(5,0),貝！|

|2a+Z>|=V52+02=5.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(2)三個零點

【解析】

(1)由題意知/'(九"0恒成立，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=x-hu-%,對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；⑵當(dāng)左>1

時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點，再證/(石)>0,/(x2)<0.

【詳解】

(1)由/(%)=x-—(in%)2-Ahu—1得/''(X)=―,

2x

由題意知/''(x)?0恒成立，即X—1IU—左20,設(shè)/(1)=X—hu—%,Ff(x)=l--,

X

尤?0,1)時尸(x)<0,網(wǎng)光)遞減，時，F(xiàn)(x)>0,網(wǎng)力遞增；

故w(x)1111n=尸(1)=1—左之0,即左W1,故左的取值范圍是(一8』.

(2)當(dāng)上W1時，/(力單調(diào)，無極值；

當(dāng)左>1時，/(1)=1—左<0,

一方面，F(xiàn)(ek)=ek>0,且歹(x)在(0,1)遞減，所以網(wǎng)力在區(qū)間(1,1)有一個零點.

另一方面，F(xiàn)(ek)=ek-2k,設(shè)g(左)=才—2左(左>1),則g")=i—2>0,從而g(A)

在(1,+8)遞增，則g(左)>g(l)=e—2>0,即網(wǎng)口>0,又/(%)在(1,+8)遞增，所以

b(力在區(qū)間(1,1)有一個零點.

因此，當(dāng)左>1時/'("在(1,1)和各有一個零點，將這兩個零點記為當(dāng)，

x2(x,<1<x2),當(dāng)xe(0,%)時、(x)>0,即r(x)>0；當(dāng)%?石,不)時網(wǎng)％)<0，即

fr(x)<0；當(dāng)尤e(尤2，+°°)時-X)>°，即/'(x)>0：從而/(%)在(0,%)遞增，在(石,々)

遞減，在(乙，+8)遞增；于是者是函數(shù)的極大值點，％是函數(shù)的極小值點.

下面證明：/(石)>0,/(%)<0

19

由/'(玉)=0得再一1叫一左=0，即左二玉一1叫，由/(%)二%一/(inxj_0nX]_]

得了(%)=玉一；(1叫)2一(須一1叫)1叫-1=%+g(lmq)2_X]\wci-1,

nx

令機(%)=%+!(1IIX)2-xlnx-1,貝=―"1,

2x

①當(dāng)尤G(0,l)時加(X)<O,ffl(x)遞減，則7“(力〉7"⑴=0,而為<1,故/(石)>0;

②當(dāng)xe(l,+oo)時加(x)<0,何尤)遞減,則加(尤)<加⑴=0,而％2>1，故/(尤2)<°；

一方面，因為/卜3)=/?-1<0,又〃％)>0,且“力在(0,%)遞增，所以“力在

(e-2k,石)上有一個零點，即/(力在(0,%)上有一個零點.

另一方面，根據(jù)方>l+x(x>0)得*>1+左,則有：

f(e4k)=e4k-12k2-1>(1+k)4-12k2-1=kU^k[k-^+：左>0,

又/(%)<0,且在(乙，”)遞增，故在(尤2,e^)上有一個零點，故在

(%，+9。)上有一個零點.

又/(1)=0,故/(x)有三個零點.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點時，有一種方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程

的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動直線與函數(shù)圖象交點問題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函

數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結(jié)論.

18、(1)詳見解析；(2)

【解析】

(1)根據(jù)平面ABC,四邊形ACC'A'是矩形，由以為CO中點，且AA'=CC'=",利用平面幾何知識,

可得A'MLAC',又與'C'J"平面ACO4,所以根據(jù)線面垂直的判定定理可有A'M，平面

AB'C',從而得證.

⑵分別以C4,CB,CC'為x,y,二軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到4(6。,旬

分別求得平他4'5'和平面舷43’的法向量，代入二面角向量公式

L求解.

cos0=|cos<n^n2>|二

I?1I-I?2?

【詳解】

(1)證明：???AT，平面ABC,

二四邊形ACO4是矩形，

?；以為CO中點，且AA'=CC'=?,

???CM=

2

VBC=1,ZBAC=3Q°,ZACB=90°,

A'C'

?.??AC=A'C>=Vr3..*..—C'M—

AGAA,

'：ZMC'A'=ZC'A'A,...AM。4與AC'A'A相似,

：.ZC'A'M=ZA'AC',：.ZA'AC'+ZAA'M=90°,

/.A'M±AC',

VZACB=90°,ABC±平面ACC'A',

B'C'，平面ACC'A',

?.,4/匚平面4。。4'，AB'C'IA'M,

A'A/L平面AB'。'，

(2)如圖，

分別以C4,CB,CC'為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4限0,"),耳0,0,￡|

設(shè)平面MVB'的法向量為々=（%,如4）,則M4'4=0,MB'n2=0,

解得：%=（u，i）,

同理，平面M48'的法向量％=（2---'-1）'

設(shè)二面角的大小為

?囹

貝I]cos0=|cos<%,%>1=

|4|?|%I

2

即二面角A'—MB'—A的余弦值為

【點睛】

本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力,

屬于中檔題.

19、解：設(shè)特征向量為a=卜對應(yīng)的特征值為入，貝?。輐=，ak—k—九k

-101-12=1

因為k#),所以a=2.5分

32k

因為AT,所以A即

1011—1

所以2+k=3,解得k=2.綜上，a=2,k=2.20分

【解析】

試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k

考點：特征向量，逆矩陣

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣.

20、(1)證明見解析;(2)30。.

【解析】

(1)推導(dǎo)出。//BQ,QBLAD,從而平面R4D，由此證明平面平面以PAD；

(2)以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求出二面角的大小.

【詳解】

解：(1)AD//BC,BC=^AD,。為AD的中點，

二四邊形BCOQ為平行四邊形，CD//BQ.

ZADC=90°,^AQB=90°,即QBLAD.

又平面P4D_L平面ABCZ),且平面PAD平面ABCD=A￡),

???BQ，平面PAD.

BQu平面PQ3,

，平面PQ8,平面B4D.

(2)-.PA=PD,Q為AD的中點，

PQ1AD.

平面A4D_L平面ABC。，且平面PAD1平面ABCD=AD,

P。，平面ABC。.

如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

則平面BQC的一個法向量為n=（0,0,1）,

2（0,0,0）,P（0,0,A/3）,5（0,2,0）,C（-l,2,0）,

設(shè)Af（x,y,z）,貝!|PM=卜,％2-6）,MC=（-l-x,2-y,-z）,

PM=3MC，

x=3（-1-x）

<y=3（2-y）,

z-G=-3z

,3

x=——

4

3

邪

z=—

[4

在平面AffiQ中，QB=（0,2,0）,QM=

設(shè)平面MBQ的法向量為m=(%,y,z),

2y=0

m-QB=0

則~，即<33y/3>

m-QM=0——x+—yH-----z=0

L424

二平面的一個法向量為根=(1,0,61

icostm,n

由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為30°.

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

21、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330；(2)見詳解；(3)甲公司：7020(元)，乙公司：7281(元)

【解析】

(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從

中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；

(2)由題意能求出J的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出自的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(3)利用(1)(2)的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費.

【詳解】

解：(1)由題意知

甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平