2024年1月高考數(shù)學(xué)“七省聯(lián)考”考前預(yù)測卷5（新高考地區(qū)專用）含答案

2024年1月“七省聯(lián)考”預(yù)測卷05

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合一5^[,'=["inQ"2）｝,則2門8=（）

A.B.卜

C.1x|l<x<D,

2.復(fù)數(shù)z滿足（l+z>z=l—產(chǎn)）25,則1的虛部為（）

A.iB.-1C.-iD.1

3.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).對于任意實(shí)數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若/<〃，則〃<bB.若〃<b,則QC<be

C.若Q<b,c<d,則ac<bdD.若Q<b,c<d,則a+cvb+d

4.如圖所示，。為射線。4,05的夾角，44。,=烏，點(diǎn)尸（一1,3）在射線05上，則sinQ+m）_（）

一

4coser

1

.2+百R-2+V3,273+1D.R

r\.----------D.------------C.-----------

2222

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=2忖B.>=-x3

x2—x

C.y=cos—D.y=In--------

-2-2+x

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝“厲+礪的最

6.已知圓C:（x-l）2+（y-l）2=l上兩動(dòng)點(diǎn)a8滿足A48c為正三角形,

大值為（）

A.2GB.272

C.2V2-V3D.2V2+V3

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個(gè)房間，則女生

甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()

8.a=21nl.01,6=lnl.02,c=Vr04-l，貝I()

A.a<b<cB.b<C<aC.C<a<bD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)歷,々,…,4的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2々-1,…,24-1的方差為8

2

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,尸(2|8)=0.5,則尸(5|=§.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)(加%)4々,為)，…，。"，^)，("22,xl,x2,---,xn,不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)(x?j,)(z=1,2,-??,?)都在直線了=-+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)2=3，求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則c#的值分別是e03和4

10.已知函數(shù)/(x)=cos21x+R(0<0<7i)的一個(gè)對稱中心為則()

A./(X)的最小正周期為兀

C.直線》=正是函數(shù)/(x)圖像的一條對稱軸

D,若函數(shù)y=/(ox)(0〉O)在［0,可上單調(diào)遞減，則

11.己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,%=1,且2(S“+S,”J=d+l(〃22),-----

anan+\

北為｛4｝的前"項(xiàng)和.下列說法正確的是()

=

A.a?2B.an=(-1)"

C.a=2M-1D.T<-

nn"2

12.如圖所示的六面體中，SA,SBSC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形A8C的重心且

SM=271/7(2>0),貝I()

T

A.若2=L則TC，平面7X8

2

B.若4=2,則眼〃平面7BC

C.若s,4民C,T五點(diǎn)均在同一球面上，則4=工

2

D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S—48c外接球的球心，則4=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知非零向量￡,b>"滿足同=問，)=若"為B在Z上的投影向量，則向量Z，B夾角的余

弦值為________

14.(/+1)(%一2)4展開式中v項(xiàng)的系數(shù)為.

15.已知直線y=Qc與y=左2%(勺>白)是曲線V=ax+21nW(aeR)的兩條切線，則尢—左2=.

丫2

16.已知橢圓。：乙+黃=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，居，〃是C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，E

4

為線段〃耳的中點(diǎn)，/耳〃5的平分線與直線￡。交于點(diǎn)P,當(dāng)四邊形孫尸耳的面積為2啦時(shí)，

sinZMF2F1=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在A48C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=b(百sinC+cosC).

A

(1)求5；

(2)已知8C=2百，D為邊45上的一點(diǎn)，若RD=1,ZACD=-,求ZC的長.

2

18.如圖，三棱錐尸—N8C的平面展開圖中，AB1BC,PlB=AB=46,P2A=AC=4,P?=2后,

E為鳥Z的中點(diǎn).

(1)在三棱錐尸—Z8C中，證明：BEVAC,

(2)求平面尸8C與平面48c夾角的余弦值.

19.已知數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，為=3,且%是電與小4的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛4｝滿足

4=1也+i=2b“+1.

(1)求數(shù)列{4},{4}的通項(xiàng)公式；

(2)若左—a“N8〃+2左—24對任意〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

2

20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個(gè)月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(4N)(48)(民幺)(B,B)

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)假設(shè)M表示事件"/餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”，已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明.

尸可.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，/為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以廠為焦點(diǎn)、。為頂點(diǎn)作拋物線

C:/=2px（p>0）.設(shè)尸為第一象限內(nèi)拋物線C上的一點(diǎn)，。為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，設(shè)。（一見0）,使得尸。

（2）是否存在點(diǎn)尸，使圓G與。2的面積之和取到最小值.若存在，求出點(diǎn)少的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

22.已知?eR,函數(shù)/(x)=q+lnx,g(x)=ax-tax-2.

(1)當(dāng)/(X)與g(x)都存在極小值，且極小值之和為0時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值;

112

⑵若/（Xj=/（X2）=2（X|HX2）,求證：—+—

人］人？Lt-

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷05

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

8451n（2，—2）},則zn”（）

A.1x|0<x<-||B.|x|l<%<g]

C.1x|l<X<jD.卜

【答案】B

【解析】由3-2x〉0解得x<|,所以幺={x|x<||,

由2*-2〉0解得x>l，所以5={x|x〉l},

所以Nc5=<x<g].

故選：B

2.復(fù)數(shù)Z滿足(1+Z>2=1—嚴(yán)25,則三的虛部為()

A.iB.-1C.-iD.1

【答案】D

【解析】v(l+z)-z=l-z2025=l-z,

,(1")_-2i；

"—l+廠+-2-，

所以[的虛部為1.

故選：D.

3.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).對于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若“<〃，貝U6B.若〃<b,則QC<be

C.若Q<b,c<d,則QC<bdD.若Q<b,c<d,則a+c<6+d

【答案】D

【解析】對A：因?yàn)椤?lt;/,可能b<〃<0,故錯(cuò)誤；

對B：當(dāng)c<0時(shí)，若a<b,貝ijac>bc,故錯(cuò)誤；

對C：當(dāng)c<dvO時(shí)，則故錯(cuò)誤；

對D：右a<b,c<d,則a+cv6+d,故正確.

故選：D.

1:，點(diǎn)P(-l,3)在射線OB上，則sm(a+§)

4.如圖所示，a為射線。4,03的夾角，ZAOx=-

i.

COS。

.2+V3-2+V3c2百+1D2--1

r\.-----tr5.------

2222

【答案】A

3V1001V10

【解析】設(shè)射線03所對的角為則有sin￡=1=■—,cosp—i——,

VioioVioio

7T

又因?yàn)槭?0+4,

JT

所以1=4一1,

r.F)。,年../7

(sinB-cosB)-----，cosa-cos(/?——)

4N34

圻I、J./兀、1.A/32V5+V1L5

所以sin(a+—)----cosa=----------,

32210

./兀、2逐+&?

所以

costtV52

V

故選：A.

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()

A.y—2WB.y=-x:)

X12—x

C.y=cos-D.y=In

2+x

【答案】c

【解析】對于A,函數(shù)/(x)=2國的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱

且/(-x)=2T=2M=/(%),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)〃x)=2，，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故A不符合題意；

對于B,函數(shù)/(》)=-》3的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(—x)=_(—x)3=/=一/⑴，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

由嘉函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)>=/在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=-/在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；

對于C,函數(shù)〃x)=cos］的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

XX

且/(—X)=C0S(—］)=C0S2=/(X),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)蘆(0,1),又(0』)寺,口，

Y

所以函數(shù)〃X)=COS］在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意；

對于D,函數(shù)/(x)=In三的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對稱，

2+x

且f(-x)=In2+'=ln(---)-1=-In---=-f(x),

')2-x2+x2+xv7

112x

所以/(x)是奇函數(shù)，又/'(x)=^——丁，

2-x2+x(2-x)一(2+x)、

令/r(x)<0=>-2<x<0,令>0=>0<x<2,

所以函數(shù)/(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.已知圓C:(x-l)2+(y-l)2=l上兩動(dòng)點(diǎn)出8滿足為正三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝“厲+礪|的最

大值為()

A.2GB.2A/2

C.2V2-V3D.2V2+V3

【答案】D

【解析】由題可知是邊長為1的正三角形，

設(shè)48的中點(diǎn)為則=

又所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x—I)?+(y—1)2=：,目JOC卜

因?yàn)閰?礪=2而，所以|。4+。@=2|。拉］,

__n

^\OM\<\OC\+\MC\=41+^~,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段。河上時(shí)等號成立,

所以|而|的最大值為肥+斗,

所以W+得的最大值為2V2+V3.

故選：D.

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個(gè)房間，則女生

甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()

1123

A.-B.-C.-D.—

46710

【答案】C

【解析】3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間.

若3名女生住2個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為C；C；A；；

若3名女生住3個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為C；A；,

C：A；2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是c|cx+|cx7-

故選：C

8.a=21nl.01,Z?=lnl.02,c=VlXM-b貝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依題意，a-c=21nl.01+l-VT04,c-Z)=Vf04-l-lnl.02,

令/(x)=2ln(l+x)+1-Jl+4x,0<x<1,

2_2_22=2

求導(dǎo)得/(x)=>0,

]+xJl+4xJl+2x+x2Jl+4xJl+3xJl+4x

因此函數(shù)，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>o,則a〉c；

，/、111I

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<1,求導(dǎo)得g(x)=/——-:—=―,

Vl+2x1+x+2xJl+2x+x~

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(0.02)〉g(0)=0,即C—6>o,則c>b,

所以A<c<a.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)再,々，…，4的方差為2,則數(shù)據(jù)2玉—1,2々-1,…,24-1的方差為8

2

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,P(幺|6)=0.5,則尸(5|Z)=j.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)(項(xiàng),必),(々/2)，…，(x“，S)，(n>2,玉,々，…，x“，不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)(x?Z)(z=1,2,-??,?)都在直線了=-+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-g

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)2=3，求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則c,左的值分別是e03和4

【答案】ABD

【解析】對于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)…，4的方差為2,則數(shù)據(jù)2』-1,2/-1,…,24-1的方差為

22x2=8/7，故A正確；

對于選項(xiàng)B：若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(出3)=0.5,則

2

尸⑷⑷二個(gè)組尸⑷尸⑷嘰處”—>故B正確;

P(A)P(A)0.6

對于選項(xiàng)C：在一組樣本數(shù)據(jù)(西,%),(%,必),…,(毛,%),(?>2,占,%，…，毛，不全相等)的散點(diǎn)圖中，

若所有樣本點(diǎn)=…/)都在直線^=—；x+l上，其中—9是線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)，不

是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個(gè)量，范圍是[T,1],當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時(shí)呈正相關(guān)

關(guān)系，為負(fù)時(shí)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；

對于選項(xiàng)D：以模型y=ceb去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=3，

則z=ln^=lnc+lne"=lnc+Ax,由題線性回歸方程為3=4x+0.3,貝!JInc=0.3,左=4,故G左的值

分別是e03和4,故D正確.

故選:ABD.

x+￡卜0<°<兀）的一個(gè)對稱中心為711

10.已知函數(shù)/(x)=cos?，貝1J()

6；2

A./（x）的最小正周期為兀

兀

B.

12

57r

C.直線X=三■是函數(shù)/（X）圖像的一條對稱軸

若函數(shù)了=/（5）（?！?）在［0,可上單調(diào)遞減，則0e10,A

D.

【答案】AC

1171TlTT

【解析】/(%)=—cos(2x+0)+—?jiǎng)t有2x—+0=—+E,左eZ,解得。=—+E,左eZ,

22626

11

因?yàn)?<。（無，所以。=百，所以/（%）=-cos2x+-+-,

62I6J2

則/（%）的最小正周期為兀，故A正確;

71!cosg+==g,故B錯(cuò)誤;

122324

2Xn+i=71,則直線x=1^是/（X）圖像的一條對稱軸，故C正確;

1[.兀I兀7T_71

J=/(0X)=—cos2Gx+一H—,當(dāng)XE[0,兀]時(shí)，2(DXH-G一,2版+一,

262666

若函數(shù)V=/（ox）3>0）在［0,可上單調(diào)遞減，則有25+巴V兀,

6

解得則外￡0,2,故D錯(cuò)誤.

I12

故選：AC

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,%=1,且2(S"+S“_J=+1(/7>2),“eN*也=

a“4+i

北為｛4｝的前〃項(xiàng)和.下列說法正確的是（)

A.a?—2B.??=(-1)"

C.a=2n-lD.7；<-

n'2

【答案】CD

【解析】2(S“+S〃T)=a；+l(〃22),%〉0,

可得〃=2時(shí)，2(1+g+1)=。；+1，解得？=3，故A錯(cuò)誤，

當(dāng)〃23時(shí)，由2(S“+Si)=a；+1,可得2(%+兀)=吮+1，

上面兩式相減可得2伍"+%_])=說-a>=(a?+a?_1)(a?-a?_j)，

由于%+%_產(chǎn)0,所以%=2,

而出一%=2,則=&+2(〃-2)=3+2(“-1)=2附-1,首項(xiàng)也符合,

所以%=2"—1,〃eN.故B錯(cuò)誤，C正確,

==_()

anan+i(2〃-1)(2〃+1)22n-l2n+l

-----)=—(1)<—D正確,

2?+1--22”+1---2

故選：CD

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形4BC的重心且

SM-AMT(A>0),貝U()

A.若則TCL平面力43

2

B.若2=2,則64〃平面加C

C.若S,48,C,T五點(diǎn)均在同一球面上，則彳=!

2

D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S—48c外接球的球心，則4=2

【答案】BCD

【解析】因?yàn)榱骟w中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形48c的重心",

所以可以將六面體放在長方體中，點(diǎn)T在對角線MV上運(yùn)動(dòng)，

以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，S8,SC,S4所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SB—m,SC-n.SA=t,

設(shè)BC的中點(diǎn)/，連接/尸，與MV交于點(diǎn)M,且⑷=

-j—k2~~~*/\2?TYlTl

設(shè)〃（q,叫e）,由尸得?w,eT）=1—

3D'NN

—?1—■

解得q=—m,yv=—n,e=-t,故一機(jī),一〃,―/SM=-SN,

33313333

1—-1—.

A選項(xiàng)，若彳=—,即SM=—MT,此時(shí)點(diǎn)T在點(diǎn)N處，

22

此時(shí)TC=（0,〃,0）-（私〃,/）=（-私0,T）,TA=,

由于美?泊=（一/,0,T＞（—%,f,0）=療#0,故TC,力4不垂直,

故TC與平面不垂直，A錯(cuò)誤；

______（innt

B選項(xiàng)，若2=2,即豆7=2而，此時(shí)點(diǎn)T為對角線SN的中點(diǎn)，此時(shí)T萬，5,5

設(shè)平面TBC的法向量為］=（x,y,z）,

jCB=(x,j,z)0)=mx-ny=0

解得z=o,令％=〃，貝=故7=(2機(jī),o),

又&4=(0,0,1),故j-SA=(M,OT,O)-(O,O,?)=0,

故J,旗，所以"〃平面形C,B正確;

c選項(xiàng)，由于長方體的頂點(diǎn)在同一球面上，若s,a民C,T五點(diǎn)均在同一球面上，

則點(diǎn)T一定在點(diǎn)N處，此時(shí)彳=」，C正確；

2

D選項(xiàng)，三棱錐S-48c的外接球即為長方體SN的外接球，

若點(diǎn)T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則點(diǎn)T為對角線MV的中點(diǎn)，

所以2=2,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量￡,B，"滿足|[=W，c=1a,若"為B在￡上的投影向量，則向量Z，B夾角的余

弦值為________

【答案】-

3

_1—_

【解析】由c=-a,"為B在￡上的投影向量，

所以:a=cos(a,B)a,故cos(al)=；

故答案為：—

3

14.(d+IXx—2)4展開式中Y項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】8

【解析】由題意可知：(x—2)4展開式的通項(xiàng)公式為￡+]=C1x4，(—2y/=0,l,2,3,4,

4

所以(V+1)(X-2)展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為C：x(_2?+C；x(-2)=16-8=8.

故答案為：8.

15.已知直線y=々x與歹=心》(勺>自)是曲線V=辦+2MW(aeR)的兩條切線,則k{-k2=

4

【答案】一

e

【解析】由已知得，曲線的切線過（0,0）,

x>0時(shí)，曲線為y=ax+21nx,設(shè)士>0,直線y=幻在曲線上的切點(diǎn)為（石,%+21nxJ,

,2

V=a+—,

X]

2)

切線：^一(辦1+21nxJ=a+—(x—xj,又切線過(0,0)

Ix\)

2]zx2

_ciXy_2InXj—QH—(一Xj),?，?X]=e,k1=aT—,

I\)e

同理取x<0,曲線為y=ax+21n（—x）,設(shè)％2<0，直線天二e工在曲線上的切點(diǎn)為

f一,

(x2,ax2+21n(-x2)),y=Q+

(2)

切線：一又切線過

j-(ax2+21n(-x2))=a+(x-x2),(0,0)

%=-e,k?=a—,:?k[_k?=_,

ee

4

故答案為：一

e

.己知橢圓亍+/的左、右焦點(diǎn)分別為片，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

16c：=1F2,MCOE

為線段〃4的中點(diǎn)，/片〃區(qū)的平分線與直線交于點(diǎn)尸，當(dāng)四邊形兩尸鳥的面積為2忘時(shí),

sinZA/7^7^=

【答案】丑

【解析】

由題可知陽聞=2百，|阿|+W啊=4.

因?yàn)镸3平分/片上與，所以尸到上明，兒與的距離相等,

設(shè)為人則5犯”=，|町|+|M|)/z=2鼠

易知?！晔恰髌ㄆ闹形痪€，延長耳P,“區(qū)交于點(diǎn)G,則尸為片G的中點(diǎn)，

過片作片8_LMG于8,

易得\FxH\=2h=\FxF21sin/4/耳，則SMF^=l^smZMF.F,=2后，從而sin/4里片=平.

故答案為：逅

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在A48C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=b(GsinC+cosC).

（1）求8；

（2）已知8C=2g，。為邊48上的一點(diǎn)，若BD=l,ZACD=-,求NC的長.

2

【答案】（1）5=m.（2）ZC=@.

62

【解析】（1）。=6（百sinC+cos。），根據(jù)正弦定理得，sin^4=sin5V3sinC+cosC）,

即sinBcosC+cosBsinC=y/3sinBsmC+sinBcosC，

所以cosBsinC=V3sin5sinC，因?yàn)閟in。＞0,

n

所以cosB=CsinB，所以tanB=——，

3

因?yàn)樨＃?，所?=9

6

（2）因?yàn)?C=2百，BD=1,3=5，根據(jù)余弦定理得

6

222V3

CD=BC+BD-2BC-BD-cosB=1+12-2x1x143X--=----7，CD=5.

2

,JNBDC=g兀+ZA,：.sinZBDC=sin|+ZAj=cosA.

2

BCCD

在ABDC中，由正弦定理知,

sinZBDC

??.cos除理，心?,所以sinz=￥

.一nZ上"M：心叵

cosA3AC2

18.如圖，三棱錐尸—NBC的平面展開圖中，AB1BC,^3=AB=46,P2A=AC=4,4c=2/，

E為的中點(diǎn).

（1）在三棱錐尸—48。中，證明：BEVAC.

（2）求平面尸8C與平面N8C夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

33

【解析】（1）

由片8=45=J4,得PB=AB=迎,且E為P4的中點(diǎn)，

所以8￡，尸4,

取NC中點(diǎn)為R，連接E尸，BF，

PCr-

可得￡尸=——=J2,

2

在△尸員4中，BE=YIAB2-AE2=V2，

Ar

在AZBC中，BF=——=2,

2

所以BE?+FE?=BF?，

所以BELEF

因?yàn)樗鵱PZ=E,EF,PNu平面尸4C,

所以BE，平面0/C,

因?yàn)閆Cu平面尸4C,

所以B￡_L/C；

(2)如圖，過點(diǎn)E作EG,尸Z,交NC于點(diǎn)G,

以反,EA＞而分別為x軸，了軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則￡(0,0,0),/(0,2,0),5(0,0,72),尸(0,-2,0),

在AABC中，可得點(diǎn)C到PA距離為幣,

故可得c(J7,—1,0),

方=(0,-2,向，5C-(V7,-1,-V2),P5-(0,2,72)

設(shè)平面48c與平面尸8C的一個(gè)法向量分別為〃i=(xi，%,zj,々=(x2,j2,z2),

平面PBC與平面ABC的夾角為9,

〃“5=-2%+任1=03s舟

由＜———?I—I—，取y=l=x=-----4=72，

?1-5C=V7x1-j1-V2z1=07

’3g

所以,1,V2,

"1=~T

7

?2-PB=2y2+V2z2=0V?

由＜

———?/—i—，取y=—l=>x=z9

n2BC=sf7x2-y2-V2z2=07

?〃2V_V165

所以cos6=HL

-

〃2V30xV2233

所以兩平面的夾角的余弦值為巫5.

33

19.已知數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，q=3,且％是生與的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛4｝滿足

bi=1也+i=2"+L

（1）求數(shù)列｛與｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若晨空土*—%28〃+2左一24對任意〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

2

【答案】（1）%=3X2〃T,〃=2"—1；（2）[4,+8）.

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為9,則qeN*,

33

。3是。2與W“4的等差中項(xiàng)，「.2a3=%+W“4，

32

2q=l+-q~,解得q=2或q=§（舍去），.?.%=3X2〃T

?.?%=24+1,.也+|+1=2色,+1）,

又4+1=2,.?.數(shù)列｛4+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

:也+1=2",;也=2"—1；

（2）由左—------ci28〃+2k—24,

2"

整理可得左（2"1+2）—3X2〃T28（〃一3）+2左，即（左一3）28（〃一3）,

左一3〃一3

對任意neN*恒成立，

162

令小）=展，則/（〃+1）-/（〃）=--展2）/（"3）=宗

，當(dāng)"＜4時(shí)，/（?+1）＞/（?）,當(dāng)〃25時(shí)，/（?+1）＜/（；7）,

.??當(dāng)〃=4或5時(shí)，/（〃）取得最大值，

“（〃）s=/（4）=16

k-31

，——2—.解得上24.

1616

故實(shí)數(shù)左的取值范圍是［4,+8）.

20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（4N）（幺㈤（民/）

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（x）；

（3）假設(shè)M表示事件Z餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”，P（M）＞0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明.

尸（閡N）＞P（M可.

【答案】（1）0.6（2）分布列見解析，1.9（3）證明見解析

【解析】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，

因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

1Q

所以尸（0=痛=0.6.

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，

則X的所有可能取值為1和2,

所以/＞（刀=1）=0.3、0.2+0.1、0.4=0.1,

p（X=2）=l-P（X=l）=0.9,

所以X的分布列為

X12