在體驗(yàn)中形成解決問(wèn)題的策略

【摘

要】畫(huà)圖的策略是指把現(xiàn)實(shí)情境中的條件、問(wèn)題及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來(lái)，再利用圖形分析、推理，探索解決問(wèn)題的思路。以蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“畫(huà)圖的策略”的教學(xué)為例，教師可從“經(jīng)歷比較，體驗(yàn)畫(huà)圖必要性；操作圖形，體驗(yàn)幾何直觀；總結(jié)方法，體驗(yàn)圖形表征；反思抽象，體驗(yàn)策略本質(zhì)”四方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)策略形成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行充分的體驗(yàn)與感悟，使學(xué)生獲得豐富、深刻的領(lǐng)悟，形成策略意識(shí)?！娟P(guān)鍵詞】畫(huà)圖；體驗(yàn)；解決問(wèn)題；策略；教學(xué)設(shè)計(jì)畫(huà)圖的策略是指把現(xiàn)實(shí)情境中的條件、問(wèn)題及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來(lái)，再利用圖形分析、推理，探索解決問(wèn)題的思路。小學(xué)生的思維正處在由具體形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段，在解決問(wèn)題中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要借助直觀圖形來(lái)幫助思考。對(duì)學(xué)生而言，他們并不是第一次接觸畫(huà)圖解決問(wèn)題，只不過(guò)以往沒(méi)有把畫(huà)圖作為一種解決問(wèn)題的策略，沒(méi)有從幾何直觀的高度來(lái)認(rèn)識(shí)畫(huà)圖的策略。要想讓畫(huà)圖成為學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)使用的策略，必須讓學(xué)生在親身經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)畫(huà)圖的策略形成具有個(gè)人意義的體驗(yàn)、感悟和情感。“當(dāng)我們將學(xué)科思維訓(xùn)練內(nèi)化后，它們就會(huì)變成如早年的鐫刻一樣深刻，就能如專家一樣用學(xué)科知識(shí)解釋世界的現(xiàn)象?！保?］因此，教學(xué)畫(huà)圖的策略，首先，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自主解題，通過(guò)比較幾種不同的解題過(guò)程，體驗(yàn)畫(huà)圖解題的必要性；其次，要通過(guò)操作圖形活動(dòng)，體驗(yàn)運(yùn)用圖形描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣；再次，要總結(jié)畫(huà)圖的方法，體驗(yàn)圖形表征的直觀形象特點(diǎn)；最后，要通過(guò)反思抽象，品味畫(huà)圖的思想與方法特點(diǎn)，形成對(duì)畫(huà)圖策略所孕育的數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)性領(lǐng)會(huì)。一、經(jīng)歷比較，體驗(yàn)畫(huà)圖必要性在“畫(huà)圖的策略”的教學(xué)中，教師通常會(huì)先呈現(xiàn)例題：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？同時(shí)提出要求：先畫(huà)圖再列式解答。學(xué)生獨(dú)立嘗試，然后全班交流怎樣畫(huà)圖、怎樣解答。這樣的教學(xué)方式下，學(xué)生只是機(jī)械地執(zhí)行教師的要求，并不能感受用畫(huà)圖描述和分析問(wèn)題之于解決問(wèn)題的必要性，即學(xué)生雖然經(jīng)歷了實(shí)實(shí)在在地畫(huà)圖解答的過(guò)程，卻失去了對(duì)為什么要使用畫(huà)圖策略的思考與感悟。蘇教版教材將解決問(wèn)題的策略（列表的策略、畫(huà)圖的策略、列舉的策略等）作為獨(dú)立單元安排在各冊(cè)教材中，讓學(xué)生每學(xué)期學(xué)習(xí)一種策略。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這不是難事。他們的困難在于，學(xué)過(guò)多種策略后，面對(duì)實(shí)際情境，不知道選擇何種策略來(lái)解決問(wèn)題。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)具體策略時(shí)，教師不能代替學(xué)生作判斷，不能直接告訴他們用某種策略解決問(wèn)題，而要引導(dǎo)學(xué)生思考和感悟問(wèn)題情境與問(wèn)題解決策略之間的內(nèi)在關(guān)系，通過(guò)具體問(wèn)題的解決，感受與把握這種內(nèi)在關(guān)系的必要性。學(xué)習(xí)“畫(huà)圖的策略”時(shí)，學(xué)生面對(duì)問(wèn)題情境，伴隨對(duì)問(wèn)題的思考，會(huì)自發(fā)生成一些解決問(wèn)題的方法和策略。因此，教師要將選擇權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試解決問(wèn)題。學(xué)生的解答主要有這樣幾種情況：沒(méi)有畫(huà)圖但能正確解答、畫(huà)圖且能正確解答、沒(méi)有畫(huà)圖且解答錯(cuò)誤等?；诖?，教師教學(xué)的重點(diǎn)是要在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上組織兩次比較。第一次比較時(shí)，先讓沒(méi)有畫(huà)圖但能正確解答的學(xué)生敘述解題過(guò)程，然后讓畫(huà)圖且能正確解答的學(xué)生敘述解題過(guò)程，最后比較兩個(gè)人的發(fā)言，全班同學(xué)談?wù)劯惺?。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)同學(xué)能結(jié)合線段圖清楚敘述每一步求的是什么。通過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生自然而然感受到畫(huà)圖能幫助他們分析數(shù)量關(guān)系，從而得到啟發(fā)：以后碰到類似的問(wèn)題，可以試試先畫(huà)圖。教師進(jìn)一步引導(dǎo)：“畫(huà)圖能幫助我們分析數(shù)量關(guān)系，那它能幫助我們理解題意嗎？”學(xué)生感受到，和文字?jǐn)⑹鱿啾?，通過(guò)畫(huà)圖描述問(wèn)題，能把抽象、隱蔽的數(shù)量關(guān)系以直觀形象的方式表示出來(lái)，有助于他們弄清條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，找到解決問(wèn)題的正確思路。第二次比較讓沒(méi)有畫(huà)圖且解答錯(cuò)誤的學(xué)生先說(shuō)說(shuō)自己錯(cuò)在哪里，再說(shuō)說(shuō)自己是怎樣訂正的。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：比較前后的解題過(guò)程，你有什么體會(huì)？讓學(xué)生切身體會(huì)畫(huà)圖描述對(duì)理解題意和分析數(shù)量關(guān)系的作用。經(jīng)歷兩次比較，問(wèn)題情境與圖形之間的關(guān)系在學(xué)生頭腦中逐漸變得清晰起來(lái)，畫(huà)圖的策略得到強(qiáng)化?！安呗浴辈煌诰唧w的解題方法，它是一類解題方法的抽象表達(dá)，適用性更廣。就“畫(huà)圖的策略”而言，教師能教的只有顯性的怎樣畫(huà)圖及如何根據(jù)圖形分析數(shù)量關(guān)系，至于在什么情況下需要畫(huà)圖，畫(huà)什么樣的圖則需要學(xué)生自行進(jìn)行判斷。如果教師直接要求學(xué)生“先畫(huà)圖再解答”，就會(huì)屏蔽學(xué)生內(nèi)在的畫(huà)圖意識(shí)和對(duì)圖形的敏銳感覺(jué)。這樣的教學(xué)方式下，學(xué)生只是解題的工具人，不會(huì)去思考在何種情況下該選擇哪種策略解題，導(dǎo)致他們喪失了對(duì)策略的敏感性和自主選擇策略的意識(shí)，將“畫(huà)圖”當(dāng)作額外的“作業(yè)”。以至于在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生問(wèn)：“老師，這道題要畫(huà)圖嗎？”高水平的理解需要元認(rèn)知的參與。元認(rèn)知是指對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)、自我體驗(yàn)和自我調(diào)節(jié)。高層次的解題活動(dòng)既需要運(yùn)用感知、記憶、思維等認(rèn)知因素進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)，還需要積極地調(diào)動(dòng)元認(rèn)知對(duì)自己的認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控與調(diào)節(jié)。元認(rèn)知影響問(wèn)題的解決。［2］一旦有學(xué)生提出諸如“這道題要畫(huà)圖嗎？”的問(wèn)題，就表明他的元認(rèn)知沒(méi)有參與解題活動(dòng)。因此，解決問(wèn)題的策略的教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。學(xué)生在自主解答問(wèn)題時(shí)，教師要對(duì)需要幫助的學(xué)生提供元認(rèn)知援助，針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的具體情況提出具有啟發(fā)性的問(wèn)題：已知條件和未知條件清楚嗎？怎樣才能清楚地表示呢？之前解過(guò)類似的問(wèn)題嗎？學(xué)生清楚了思考的方向和解題的思路，就能順利解決問(wèn)題，并積累解題的經(jīng)驗(yàn)。之后再碰到類似的問(wèn)題情境，就能主動(dòng)地選擇相應(yīng)策略解決問(wèn)題。二、操作圖形，體驗(yàn)幾何直觀畫(huà)圖策略的本質(zhì)是“數(shù)形結(jié)合”，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，充分運(yùn)用“形”的直觀來(lái)描述數(shù)量之間的關(guān)系。“即使對(duì)于表面上屬于代數(shù)的問(wèn)題，也能借助‘形把隱藏的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的操作，獲得問(wèn)題解決?！保?］因此，教師要利用“數(shù)形結(jié)合”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助幾何直觀思考問(wèn)題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣?！卑l(fā)展學(xué)生的幾何直觀，既要注重平時(shí)的潛移默化，也要借助典型問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性的探究。在“畫(huà)圖的策略”教學(xué)中，通常有3種方法解決“求小寧和小春的郵票枚數(shù)”的問(wèn)題，分別是“把長(zhǎng)的削去”“把短的補(bǔ)長(zhǎng)”和“勻一半”。以“把長(zhǎng)的削去”方法的教學(xué)為例，教師可先指著“12枚”這一線段，說(shuō)明這一線段表示“小春比小寧多12枚”，給“幾何圖形”賦予“代數(shù)意義”。然后一邊操作圖形，一邊說(shuō)明意義：如果去掉12枚郵票，兩人的郵票就同樣多。即“兩人郵票的總數(shù)減去12枚等于小寧郵票枚數(shù)的2倍”，所以要先算出小寧有多少枚郵票?！鞍讯痰难a(bǔ)長(zhǎng)”和“勻一半”這兩種解題思路也可以依樣畫(huà)葫蘆，指導(dǎo)學(xué)生操作，讓學(xué)生借圖分析。這一方面能使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單、直觀，另一方面也有助于學(xué)生從不同的角度分析問(wèn)題，形成不同的解題思路。解決問(wèn)題的策略的教學(xué)中，“教師難教、學(xué)生難學(xué)”的根源在于，策略除了顯性成分，還包括隱性成分。策略的隱性成分主要指數(shù)學(xué)的思想方法、觀念、價(jià)值取向等。對(duì)于“把長(zhǎng)的削去”“把短的補(bǔ)長(zhǎng)”“勻一半”這3種不同的解法，教師要提出質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生思考這些解法之間的區(qū)別與聯(lián)系。教師提問(wèn)：“把長(zhǎng)的削去”要從總數(shù)里減去12枚，“把短的補(bǔ)長(zhǎng)”要從總數(shù)里加上12枚，而“勻一半”總數(shù)不加也不減，這是為什么呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這樣做的目的在于把不相等的數(shù)量變成相等的。由此把新思路和學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)打通，使學(xué)生感悟到新思路背后變與不變、假設(shè)的思想。學(xué)生在這樣的解法比較中，能親身體驗(yàn)畫(huà)圖的獨(dú)特價(jià)值，對(duì)畫(huà)圖策略的理解也更加深刻。數(shù)學(xué)是思維的體操，“一題多解”能發(fā)散學(xué)生的思維。學(xué)生借助圖形操作，發(fā)現(xiàn)多種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)多種解法的共同本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“多解歸一”，并與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)貫通，將其上升為數(shù)學(xué)思想方法，從而幫助他們形成強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力。三、總結(jié)方法，體驗(yàn)圖形表征對(duì)解決問(wèn)題策略的理解要上升到“學(xué)科教學(xué)的本原性問(wèn)題”上來(lái)。畫(huà)（示意）圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)教學(xué)的本原性問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想和相應(yīng)的畫(huà)圖法。［4］教師要在學(xué)生自主畫(huà)圖的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生總結(jié)畫(huà)圖方法，感悟數(shù)形結(jié)合思想?！爱?huà)圖的策略”中的例題是一道典型的和差問(wèn)題。畫(huà)圖時(shí)，第一步要找出比較句“小春比小寧多12枚”，確定誰(shuí)和誰(shuí)比，誰(shuí)作為“標(biāo)準(zhǔn)量”，先畫(huà)“標(biāo)準(zhǔn)量”，再畫(huà)“比較量”；第二步要畫(huà)出另一個(gè)條件“小寧和小春共有72枚郵票”；第三步要標(biāo)出“問(wèn)題”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：為什么不先畫(huà)“小寧和小春共有72枚郵票”？幫助學(xué)生明確畫(huà)圖時(shí)確定標(biāo)準(zhǔn)的重要性。鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求變、求聯(lián)。因此，針對(duì)“小春比小寧多12枚”，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)條件還可以怎樣畫(huà)？讓學(xué)生明白：也可以先畫(huà)小春的枚數(shù)，再畫(huà)小寧比小春少12枚。然后在兩個(gè)量比較的基礎(chǔ)上，再引入一個(gè)量，變成三個(gè)量比較，如可以增加一個(gè)條件“小明比小寧的2倍少4枚”，繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：這個(gè)條件應(yīng)該怎樣畫(huà)呢？教師應(yīng)通過(guò)例題及各種變式，幫助學(xué)生總結(jié)畫(huà)圖方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要把文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。學(xué)生掌握畫(huà)圖的策略，要先學(xué)會(huì)畫(huà)圖，即把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言；還要學(xué)會(huì)識(shí)圖，即掌握一些識(shí)圖技能，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言（數(shù)學(xué)模型），再用圖形分析數(shù)量關(guān)系并解決問(wèn)題。用畫(huà)圖的策略來(lái)解決問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的多元表征能力。文字表征易于理解，圖表表征賦值清晰，圖形表征表現(xiàn)直觀。［5］不同的表征形式之間具有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)與形是同一問(wèn)題的不同側(cè)面。學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換，可以把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀圖形，由此發(fā)展思維能力。這是畫(huà)圖的策略所要達(dá)成的目標(biāo)。四、反思抽象，體驗(yàn)策略本質(zhì)“建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的方式是活動(dòng)和反思抽象?！保?］因此，在“畫(huà)圖的策略”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主畫(huà)圖的需求，體驗(yàn)運(yùn)用圖形描述及解決問(wèn)題，在對(duì)畫(huà)圖的方法與價(jià)值有了較深認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)反思將畫(huà)圖的方法抽象概括為解決問(wèn)題的策略。體現(xiàn)反思抽象需要數(shù)學(xué)問(wèn)題的引領(lǐng)。教師可以提問(wèn)：數(shù)學(xué)中的“畫(huà)圖的策略”與一般的畫(huà)圖有什么區(qū)別？學(xué)生由此認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中的“畫(huà)圖的策略”要去除情境，力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)元素，是用數(shù)、符號(hào)和圖形表示數(shù)量關(guān)系。它有一個(gè)“模式化過(guò)程”［7］，即一種“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思考方法。那什么時(shí)候畫(huà)圖呢？當(dāng)題目中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖使復(fù)雜問(wèn)題變得直觀形象，它只是解決問(wèn)題的一種手段。如果在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能一邊讀題一邊在腦中把文字轉(zhuǎn)化為圖形，并能根據(jù)腦中的圖形進(jìn)行思考，說(shuō)明他已經(jīng)掌握了畫(huà)圖的策略。這是畫(huà)圖策略要達(dá)成的終極