2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第27講：函數(shù)y＝Asin(ω＋φ)教師版

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第27講：函數(shù)y=Asin(“*+0)教師

版

【考試要求】1.結(jié)合具體實(shí)例，了解)，=Asin(3x+p)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)必(p,

A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，體會(huì)可

以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.簡諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念

已知函數(shù)y=Asin(①X+9)(4>0,①>0),x20

振幅周期頻率相位初相

7_2花(

AT=-coJr2兀cox+p中

2.用“五點(diǎn)法”畫y=Asin(s+9)(A>0,①>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)

n3兀

s+O0兀27r

2~2

Tt3兀

0一°兀一「2式一甲

X工一中

CDCDCD

CDCD

y=Asin(cox-\-(p)0A0-A0

3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=4sin(Gx+9)(A>0,①>0)的圖象的兩種途徑

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【常用結(jié)論】

1.函數(shù)產(chǎn)Asin(s+8)+攵圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.

2.函數(shù)尸Asin(Gx+p)圖象的對稱軸由少工+9=女兀+，，攵WZ確定；對稱中心由蛆+9=攵兀,

kez確定其橫坐標(biāo).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

⑴函數(shù)段)=Asin(s+8)(AW0)的最大值為A,最小值為一A.(X)

⑵函數(shù)於)=sin2r向右平移/個(gè)單位長度后對應(yīng)的函數(shù)g(x)=sin(2L聿).(X)

(3)把〉=5m次的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的g,所得函數(shù)解析式為y=sin；x.(X)

(4)如果y=Acos(①x+°)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為

【教材改編題】

的振幅、頻率和初相分別為()

7T

B2,

-4

兀K

2c,1D.2,5

C.充88

答案A

I7T

解析由振幅、頻率和初相的定義可知,的振幅為2,頻率為我初相為不

2.(2022?浙江)為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin(3x+§圖象上所有的點(diǎn)

()

A.向左平移彳個(gè)單位長度

B.向右平移胃個(gè)單位長度

C.向左平移點(diǎn)個(gè)單位長度

D.向右平移點(diǎn)個(gè)單位長度

答案D

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解析因?yàn)閥=2sin（3x+M）=2sin3G+*）,所以要得到函數(shù)y=sin3x的圖象，只要把函數(shù)y

=2sin（3x+§圖象上所有的點(diǎn)向右平移含個(gè)單位長度即可，故選D.

3.某港口在一天24小時(shí)內(nèi)的潮水的高度近似滿足關(guān)系式々）=2sin?步一目，其中g(shù)）的單位

為m,t的單位是h,則12點(diǎn)時(shí)潮水的高度是m.

答案1

解析當(dāng)f=12時(shí)，>（12）=2sin（5兀一看）=2sin^=l,

即12點(diǎn)時(shí)潮水的高度是1m.

■探究核心題型

題型一函數(shù)y=Asin（s;+9）的圖象及變換

例1（1）（2021.全國乙卷）把函數(shù)y=/U）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的百倍，縱坐標(biāo)不

變，再把所得曲線向右平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)了二^4犬一；）的圖象，則貢x）等于（）

答案B

解析依題意，J）的圖象向左平移5個(gè)單位長度，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到/（X）的圖象，

將其圖象向左平移巴個(gè)單位長度

所以y=sin（x_g-------------------———y=sin（x+總的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,

以1）=5指6+專）的圖象.

（2）（2022.全國甲卷）將函數(shù)於）=如（3+學(xué)3>0）的圖象向左平移胃個(gè)單位長度后得到曲線C,

若C關(guān)于y軸對稱，則”的最小值是（）

A、B.C.g

答案c

解析記曲線C的函數(shù)解析式為g（x）,則g（x）=sin[0（x+§+W=sin0x+（條。+圳.因?yàn)楹?/p>

7T717r!

數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以9+?=E+]（keZ）,得①=2%+,（%￡2）.因?yàn)棰?gt;0,所

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以tOmin=§.故選C.

思維升華⑴由y=sincox的圖象到y(tǒng)=sin（3x+p）的圖象的變換：向左平移*co>0,0>0）個(gè)

單位長度而非夕個(gè)單位長度.

（2）如果平移前后兩個(gè)圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，

3為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?洛陽模擬）已知曲線Ci：尸cosx,CT.尸sin（2x+§,為了得到曲線

C2,則對曲線G的變換正確的是（）

A.先把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向右平移點(diǎn)個(gè)單位長度

B.先把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移看個(gè)單位長度

C.先把橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向右平移占個(gè)單位長度

D.先把橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移舌個(gè)單位長度

答案C

解析A項(xiàng)，先把曲線Ci上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得了=8$上的圖

象，再把得到的曲線向右平移襲個(gè)單位長度得y=cos朱一襲）==-sin（%一普）的

圖象，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，先把曲線Ci上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=cos%的圖象，再把

得到的曲線向左平移襲個(gè)單位長度得y=cos妥+?）=cos&+金）=sin&+秘的圖象，故B

錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，先把曲線G上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），得y=cos2x的圖象，再把

得到的曲線向右平移自個(gè)單位長度得尸cos2G—+）=cos（2x—1）=sin3+g的圖象，故C

正確；

D項(xiàng)，先把曲線Ci上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的段倍（縱坐標(biāo)不變），得y=cos2x的圖象，再把

得到的曲線向左平移盍個(gè)單位長度得產(chǎn)cos2（x+曰=cos（2x+1）=sin（2x+芝）的圖象，故

D錯(cuò)誤.

（2）（2023?寧波模擬）將函數(shù)尸an,x—縱必））的圖象分別向左、向右各平移衿單位長度后，

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所得的兩個(gè)圖象對稱中心重合，則口的最小值為（）

3

A.2B.2C.3D.6

答案A

解析將函數(shù)產(chǎn)tanQu甘）的圖象向左平移看個(gè)單位長度后,

可得以）=tan|jz>G+§甘=tan（①x+卻甘），

將函數(shù)產(chǎn)tanlyT）的圖象向右平移會(huì)個(gè)單位長度后，

因?yàn)楹瘮?shù)於）與8（工）的對稱中心重合，所以名一,一（一卻甘）=冬HZ,

即全①=當(dāng)，kRZ,解得/=竽，kRZ,

3

又因?yàn)閙>0,所以口的最小值為］

題型二由圖象確定y=Asin（cux+9）的解析式

例2（1）（2023?蕪湖模擬）已知函數(shù)段）=Acos（cwx+9）+b（A>0,。>0,陽噂的大致圖象如圖

所示，將函數(shù)./U）的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3倍后，再向左平移宗個(gè)單位長度，得到

函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[-竽+3E,3E伙GZ)

「3兀一

B.[3E,3E+E)(Z￡Z)

C.[一手+3E,一；+3E(^ez)

D.-/+3E,苧+3E卜eZ)

答案C

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A+h=l,

解析依題意,

~A+b=~3,

[A=2,

解得彳/./(x)=2cos(QC+3)—1,

[b=—\,

而/㈤=i,Xf)=-i.

,T_7C__7r__7C

?,4=3"l2=4?

故7=兀=誓，則co=2,

=2cos(2x+(p)—1,

而2cos(*+,—1=1,

IT

??%+p=2E(%ez),

又陽專故0=一春，

."./(x)=2cos^2x—1.

將函數(shù)/U)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3倍后，

得到y(tǒng)=2cos(|x—含)—1,

再向左平移今個(gè)單位長度，

^(2?兀兀、<2.Tt\

2cosx=

得到g(x)=|<3+3~6)~12COS^X+T|—1,

2ir77rit

令一兀+2EW科+4?2%兀(％￡Z),故一彳+3而一1+3kMk￡Z),故函數(shù)g。)的單調(diào)遞增

區(qū)間為-一m7兀+3E,—兀：+3攵兀一(攵￡Z).

(2)(2021?全國甲卷)已知函數(shù)段)=2cos(5+9)的部分圖象如圖所示,

答案一小

解析由題意可得，%=喑一尹尊

.『2兀八

??7=兀，a)=下=2,

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15IT13jr

當(dāng)-時(shí)，cox+(p=2X-^-+(p=2k7i9zez,

13

：?(p—2kit—^Tt(keZ).

令女=1可得3=一1，

思維升華確定y=Asin（0x+3）+/;（A>O,O>0）的步驟和方法

M—mM+機(jī)

（1）求4,6.確定函數(shù)的最大值M和最小值加，則A=-2—，b=-2~?

（2）求①.確定函數(shù)的最小正周期T,則0）=開.

（3）求心常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下

降區(qū)間上）或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2020,全國I改編）設(shè)函數(shù)段）=cos（sx+5）在［―兀，n］上的圖象大致如圖，則

式x）的解析式為（）

A.於)=cos

C.於)=cos

答案B

解析由圖象知兀<a2兀，即兀弟<2兀,

I①I

所以1<曲|<2.

因?yàn)閳D象過點(diǎn)（一華，0）,

所以cos（一能+2）=0,

所以一景0+襲=&兀+圣MZ,

93

-攵-

4-4kGZ.

因?yàn)閘<|cy|<2,

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3

得-

=2

（2）（2023?濰坊模擬）己知函數(shù)g（x）=2sin（5+9）（3>0,刷〈無）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g（x）

的圖象向右平移/單位長度，得到函數(shù)於）的圖象，則管）=.

答案1

解析由題圖可知，周期丁=兀，8=7=2,

所以ga）=2sin（2x+9）（ls|v兀），

因?yàn)辄c(diǎn)傳，一2）在g（x）的圖象上,

所以2sin管+,=—2,所以■^+8=竽+2而，

得3=與+2攵兀，kBZ,

因?yàn)閨水兀，所以0=爭,

=2sin(2x+§,

故/用）=2sin（2X晉+1）=2sin（6兀一軻）

=1.

題型三三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)1圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3（2023?臨沂模擬）已知函數(shù)式x）=，5sin2<wx+cos2（ox3>0）的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為］的等

差數(shù)列，把段）的圖象沿x軸向右平移亨個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

A.g（x）在任，可上單調(diào)遞減

B.點(diǎn)件0）是g（x）的一個(gè)對稱中心

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C.g(x)是奇函數(shù)

D.g(x)在區(qū)間，，引上的值域?yàn)閇0,2]

答案B

解析因?yàn)?(x)=4§sin2a>x+cos2cox(a)>0),所以“r)=2(坐sin2cax+；cos2(wx)=

2sin(2s+g,因?yàn)楹瘮?shù)於)的零點(diǎn)依次構(gòu)成一個(gè)公差為為等差數(shù)列，所以去篇專，所以0

=1,所以；(x)=2sin(2x+1),把函數(shù)7U)的圖象沿x軸向右平移寺個(gè)單位長度，得到g(x)=

2sin2(x一5+點(diǎn)=2sin(2x—B)=-2cos2x,即g(x)=-2cos2x,所以g(x)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)

誤；

對于A,當(dāng)xG仔,可時(shí)，2尤書Jr],所以g(x)在，，,上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對于B,g(；)=-2cos(2X：)=-23尹0,故點(diǎn)件0)是g(x)的一個(gè)對稱中心，故B正確；

對于D,因?yàn)閤d,yj,所以2xCI，y,所以cos"—1,1,所以g(x)C[-l,2],

故D錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題

例4已知關(guān)于x的方程2sin?x—小sin2x+m-1=0在住，兀)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，"

的取值范圍是.

答案(一2,-1)

解析方程2sii?x—小sin2x+m—\=0可轉(zhuǎn)化為

m=1-2sin2x+-\/3sin2x=cos2x+小sin2x

=2sin(2x+§,兀).

設(shè)2x+l=t,則re管,制，

題目條件可轉(zhuǎn)化為食=sinr,re管，黨)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

即直線尸發(fā)和函數(shù)y=sin/,傳，黨)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出y4，y=sinr的圖

象，如圖中實(shí)線部分所示.

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由圖象觀察知，號的取值范圍是（-1,-0,

故機(jī)的取值范圍是（一2,—1）.

延伸探究本例中，若將“有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”改成“有實(shí)根”，則m的取值范圍是

答案［-2,1）

解析同例題知，々的取值范圍是［-1,，，

-2Wm<l,的取值范圍是［—2,1）.

命題點(diǎn)3三角函數(shù)模型

例5（多選）（2023?石家莊模擬）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，

至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1）,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車

的工作原理（圖2）.一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知

水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖3中點(diǎn)凡）開始計(jì)時(shí)，

則下列結(jié)論正確的是（）

圖1圖2圖3

A.點(diǎn)P再次進(jìn)入水中時(shí)用時(shí)30秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)

C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)150秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米

D.點(diǎn)P第二次到達(dá)距水面（1+?。┟讜r(shí)用時(shí)25秒

答案BCD

解析由題意，角速度3=森=*（弧度/秒），

又由水輪的半徑為2米，且圓心。距離水面1米，可知半徑OR）與水面所成角為會(huì)點(diǎn)P再

TT+2X?

次進(jìn)入水中用時(shí)為一--=40（秒），故A錯(cuò)誤；

30

當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，半徑0凡轉(zhuǎn)動(dòng)了50義端=絲（弧度），而不一襲=當(dāng)，點(diǎn)P正好處于最低

?JJJ乙

點(diǎn)，故B正確；

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

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設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度H=Asin（（of+0）+B（A>O,cu>0）,

“max=A+B=3,

“min=一A+B=—1,

A=2,

所以,

B=l,

又角速度0=需=關(guān)（弧度/秒），當(dāng)f=0時(shí)，NtOPo舌,所以壺，0=一煮,

所以點(diǎn)尸距離水面的高度〃=2sin儒f一目+1,當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)150秒時(shí)，將f=150代入，得”

=2,所以此時(shí)點(diǎn)P距離水面2米，故C正確；

將〃=1+小代入H=2sin%L季）+1中，得?一聿=2E+^或的一季=2E+空，即f=60k

+15或f=60k+25（AGN）.

所以點(diǎn)尸第二次到達(dá)距水面（1+小）米時(shí)用時(shí)25秒，故D正確.

思維升華（1）研究），=Asin（<ox+O）的性質(zhì)時(shí)可將a）x+<p視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)

合思想進(jìn)行解題.

（2）方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（3）三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽

象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.

跟蹤訓(xùn)練3⑴（2022?長沙模擬）已知函數(shù)外）=Asin（3x+p）（A>0,a）>Q,一兀<”一彳）的部分

圖象如圖所示，把函數(shù)人幻圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的,倍，得到函數(shù)曠=8（幻的圖

象，則下列說法正確的是（）

5rr

為偶函數(shù)

B.g（x）的最小正周期是兀

C.g（x）的圖象關(guān)于直線x=5對稱

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D.g(x)在區(qū)間(居，兀)上單調(diào)遞減

答案B

解析由圖知，A=2,y(0)=-1,則2sin0=-1,

即sin9=V，因?yàn)橐粺o<夕</，所以夕=一普.

因?yàn)閤=，為式x)的零點(diǎn)，則華普=E(&eZ),得㈤=1+竽(％ez).

由圖知，~^<T=-<2n,

1211

則l<0<y,所以％=1,to=y,

從而1x)=2sin^yx-y^.

由題設(shè)，g(x)=2sin借X*一普)=2sin(2x一,)，

貝！IgQ+$=2sin[2(x+號一劄=2sin(2T)為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤;

g(x)的最小正周期7=普=兀，所以B正確;

當(dāng)x=5時(shí)，2x-y=^,則g(x)的圖象不關(guān)于直線廠方對稱，所以C錯(cuò)誤；

當(dāng)XG(12'兀)時(shí)，2x-工喏，周，則g(x)的圖象不單調(diào),所以D錯(cuò)誤.

(2)(2023?六安模擬)已知函數(shù)於)=sin兀cox一小cos兀5(0>0)在。1)內(nèi)恰有3個(gè)極值點(diǎn)和4個(gè)

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)①的取值范圍是()

A《3，6」Bt3,3J

c(ll目DfI223]

C\6f3J6J

答案A

解析/x)=sin兀5—小cosncox—2sin^7icox—,

因?yàn)閤￡(0,l),

...Tt(KTt\

所以兀①x一①兀一可，

又因?yàn)楹瘮?shù),/(x)=sin兀5一5cos兀①式3>0)在(0,1)內(nèi)恰有3個(gè)極值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，

由圖象得3兀<0L畀與，解得￥<云荒，所以實(shí)數(shù)3的取值范圍是(孚y].

(3)(2022?南京模擬)時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，其開放與閉合與體內(nèi)的一種時(shí)

鐘酶有關(guān).研究表明，當(dāng)氣溫上升到20℃時(shí)，時(shí)鐘醐活躍起來，花朵開始開放；當(dāng)氣溫上升

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到28c時(shí)，時(shí)鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5?17

時(shí)的氣溫7（單位：°C）與時(shí)間f（單位：h）近似滿足關(guān)系式7=20—?jiǎng)t該景區(qū)這

天時(shí)鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷（）

（sin瑞仁0.8）

A.1.4hB.2.4hC.3.2hD.5.6h

答案B

解析設(shè)fl時(shí)開始開放，f2時(shí)開始閉合，結(jié)合時(shí)鐘花每天開閉一次，

可得20—105吊（利一衛(wèi)|=20,ne[5,17],

解得力=9,

20-10sin^2-gJ=28,z2e[5,17],

?廝做一料七

由siny^^O.8得sin心一

由12一1=喑得亥=弓￡[5/7],

12

.?改一A="y=2.4（h）.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（2023?武漢模擬）為了得到尸4冊一方）的圖象，只需將產(chǎn)sinx圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不

變（）

1JT

A.每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹暝傧蛴移揭频脗€(gè)單位長度

B.每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移缶個(gè)單位長度

C.先向右平移得個(gè)單位長度，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

O

D.先向右平移I;T個(gè)單位長度，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1

答案C

解析y=sinx圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=sin；的圖象，再向右平移方個(gè)

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[一I)的圖象，故A,B錯(cuò)誤；y=sinx的圖象先向右平移吊個(gè)單位長度

71X71

的圖象，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?的圖象，故

C正確，D錯(cuò)誤.

(2023?煙臺(tái)模擬涵數(shù)段)=sin(2x—§的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向左平移。(0＜。寫

2.，個(gè)單

若g(0=-『S

位長度得到的,則(P的值為()

A兀c?！ㄘ兀

A-3B，C%D.萬

答案A

因?yàn)楹瘮?shù)外)=sin(2_r—的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向左平移夕(0＜片)

解析個(gè)單位長度得

到，

所以g(x)=sin2(x—0)一彳

ngf)

因?yàn)椋?坐

故可得2勿=2?一鼻，攵￡Z或鼻-29=2E一卷kGZ,

又0＜9號所以9=?

3.(多選)血壓(BP)是指血液在血管內(nèi)流動(dòng)時(shí)作用于單位面積血管壁的側(cè)壓力，它是推動(dòng)血液

在血管內(nèi)流動(dòng)的動(dòng)力.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.在未使用抗高血壓

藥的前提下，18歲以上成人的收縮壓2140mmHg或舒張壓290mmHg,則說明該成人有高

血壓.設(shè)從未使用抗高血壓藥的陳華今年45歲，從某天早晨6點(diǎn)開始計(jì)算(即早晨6點(diǎn)時(shí)，f

=0h),他的血壓pQ)(inmHg)與經(jīng)過的時(shí)間/(h)滿足關(guān)系式pQ)=115+20sin則下列

選項(xiàng)中正確的是()

A.當(dāng)天早晨6?7點(diǎn)，陳華的血壓逐漸上升

B.當(dāng)天早晨9點(diǎn)時(shí)陳華的血壓為125mmHg

C.當(dāng)天陳華沒有高血壓

D.當(dāng)天陳華的收縮壓與舒張壓之差為40mmHg

答案ABD

解析由已知,選項(xiàng)A,當(dāng)天早晨6?7點(diǎn),則00,1],全TT+T芳T悖IT外7T所以函數(shù)p⑺在[0,1]

上單調(diào)遞增，陳華的血壓逐漸上升，故該選項(xiàng)正確；

57r

選項(xiàng)B,當(dāng)t=3時(shí),p(/)=115+20sin不=125,所以當(dāng)天早晨9點(diǎn)時(shí)陳華的血壓為125mmHg,

第14頁共22頁

故該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)C,D,因?yàn)榈淖畲笾禐?15+20=135,最小值為115—20=95290,所以陳華的收

縮壓為135mmHg,舒張壓為95mmHg,因此陳華有高血壓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；他的收縮壓與

舒張壓之差為40mmHg,故選項(xiàng)D正確.

4.（2023?湘潭模擬汜知函數(shù)於）=Asin（3x+9）（A>0,s>0,|卬嶗的部分圖象如圖所示，則

將y=/（x）的圖象向左平移;個(gè)單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）

A.y=-cos2x

C.y=si

答案c

解析觀察圖象得A=l,令函數(shù)網(wǎng)的周期為T,則有斗=皆一點(diǎn)=*解得7=無，則0=

2兀

=2,

而當(dāng)x=4時(shí)，yu）max=l,則有2Xd+e=2E+g,左ez,又磔力,則3=4，

因此，yU）=sin（2r+^）,將），=於）的圖象向左平移1個(gè)單位長度得了（r+?=sin（2x+"）,

所以將y=/U）的圖象向左平移鼻個(gè)單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

sin（2x+^.

5.（2023?九江模擬）已知函數(shù),/（X）=COS（2A-1）,先將其圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來

的4倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移2號7r個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

A.g（x）的最小正周期是2兀

B.g（x）的最小值為一2

C.g（x）在（0,兀）上單調(diào)遞增

D.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn),0）對稱

答案C

解析由題先將其圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變）得），=

第15頁共22頁

再將所得圖象向右平移竽個(gè)單位長度得

口/2哈兀](\2兀、

產(chǎn)CO*步一司―5」=cos(jx一司，

所以g(x)=cos(；x—爭)其最小正周期為4兀，最小值為-1.排除A,B；

其單調(diào)遞增區(qū)間為一兀+2EW%—用W2/(%eZ),解得工￡一爭+4E,華+4E(AWZ),C

正確；

對稱中心為/一丁=—/+E(Z￡Z),解得x=1+2也(攵￡Z),所以其圖象關(guān)于點(diǎn)(j+2E,0J

(z￡Z)對稱，排除D.

6.已知函數(shù)?x)=-sin2(wc(m>0)的最小正周期為7U,若將其圖象沿x軸向右平移〃(a>0)個(gè)單

位長度，所得圖象關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

c兀-3兀、兀

A.itB.§C.彳D4

答案B

解析函數(shù)yu)=—sii?①%=小2羅~~)公>0)的最小正周期為薨=兀，所以0=1,

cos2x—1

所以兀0=2

cos（2x-2。）一1

若將其圖象沿軸向右平移〃(〃>個(gè)單位長度，可得的圖象,

x0)y=2

再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x音對稱，可得2X>2.=?,ZGZ,

令20,可得實(shí)數(shù)a的最小值為全

7.(2022?鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)./W=2sin(x+],將函數(shù)>=於)的圖象向左平移聿個(gè)單位長度，

得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)在[0,2兀]上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案■TJ

解析將函數(shù)尸於I的圖象向左平移2個(gè)單位長度，得/(x+§=2sin(x+1),即g(x)=

2sin(x+§,由當(dāng)，xG[0,2n],得看《牛.

8.(2023?蕪湖模擬)函數(shù)y=sin(2x+o)?的圖象向右平移好單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)

于y軸對稱，則(p=.

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答案-I

解析由尸sin（2x+p）的圖象向右平移,個(gè)單位長度后，可得抬尸疝上[一胃+^=

sin（2r—1+，的圖象，

因?yàn)槲＃?sin（2x甘+，的圖象關(guān)于》軸對稱，

7FITS71

所以一g+9=E+],kGZ,解得9=%兀+石，&￡Z.

TTTT

因?yàn)殛柵c，所以9=一%.

9.（2022?杭州模擬）求范圍和圖象：

（l）y=sinx的函數(shù)圖象先向左平移J;T個(gè)單位長度，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?點(diǎn)得到式x）的圖象,

求式x）在0,胃上的取值范圍；

⑵如圖所示，請用“五點(diǎn)法”列表，并畫出函數(shù)），=2sin（2x+y在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

2x+：

X

y

解（1）由題設(shè)，可得於）=sin（2x+S）,當(dāng)0,與時(shí)，2x+鋁去坐

所以—乎，1

⑵

2x+Jn3兀

0712n

2~2

7tTt3兀5TC77t

X-R8yy~8

y020-20

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的圖象如圖.

10.(2023?重慶模擬)已知函數(shù)/(x)="75sintox+2cos^^+機(jī)的最小值為-2.

(1)求函數(shù)負(fù)x)的最大值；

(2)把函數(shù))，=>(x)的圖象向右平移焉個(gè)單位長度，可得函數(shù)y=g(x)的圖象，且函數(shù)y=g(x)在

0,上單調(diào)遞增，求。的最大值.

解(l)/(x)=V^sinozx+2cos2^+〃7=小sinox+cos①x+l+〃2=2sin(cox+]+l+〃?，

???函數(shù)次無)的最小值為一2,

工-2+1+〃?=-2,解得m=—1,

則fix)=2sin(0x+事),

???函數(shù)/U)的最大值為2.

(2)由(1)可知，把函數(shù)?x)=2sin(Gx+§的圖象向右平移焉個(gè)單位長度，

可得函數(shù)￥=g。)=2$足公丫的圖象.

?.?尸g(x)在[o,日上單調(diào)遞增，

.??函數(shù)g(x)的周期7=誓/，即。的最大值為4.

0綜合提升練

11.函數(shù)式x)=Asin(s+0)+6(mi<；)的圖象如圖，則危)的解析式和S=/(0)+*)+旭)+…+

式2020)+A2021)+/2022)+/2023)的值分別為()

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A./(x)=^sin2TUC+1,S=2023

B.y(x)=^sin2TLV+1,S=2023

1Tt1

C.於)=9in那+1,S=20242

D.危)=尹11條+1,S=2024

答案D

J2兀

T=-=4,

解析由圖象知<A+b=,,

—A+b=\,

?九人i41

??<?=],b=l,A=2?

，於)=gsin&+8)+1.

由./U)的圖象過點(diǎn)(i,§得

|sin(j+^+1=|,

：.<p=2kK,fcEZ,又|*|專則9=0.

???/U)=3sin2^*+1，

??次0)+<1)+次2)+犬3)

=Qsin0+1)+Qsin^+l)+(|sin7t+l)+^siny+1)=4.

又2024=4X506,.*.5=4X506=2024.

12.(2023?福州模擬)已知函數(shù)/)=2小5訪(：+縱116一?+sinx,將函數(shù)兀v)的圖象上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的/縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移磯》0)個(gè)單位長度，所得的圖象

關(guān)于y軸對稱，則°的值為()

A兀C兀八3兀一兀

A-24B--24CTD4

答案A

解析由題意可知，

於)=2巾sin(w+引sing—引+sinx

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=2巾sin（；+1）cos（1+5

+sinx

=>\/3sin^+^+sinx=y[3cosx+sinx=2sin（x+^,

將函數(shù)兀v）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的去縱坐標(biāo)不變,

的圖

象，

然后再向左平移伊（8>0）個(gè)單位長度，

可得y=2sin0x+49+§的圖象，

因?yàn)樗玫膱D象關(guān)于），軸對稱，為偶函數(shù)，

冗7T7TkjL

所以4°+5=hr+2（keZ）,解得夕=次+這（&七2）,

取-0,得0=言.無論左取任何整數(shù)，無法得到B,C,D的值.

13.（2023?大連模擬）如圖為函數(shù),/U）=Asin（2r+9）（A>0,取詞的部分圖象，對于任意的足,

X2^[<2>b\>且加云》2，1都看人為+*2），則9=.

答案I

解析由三角函數(shù)的最大值可知A=2,

不妨設(shè)3：'2=加,則X]+x2=2m,

由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，

兀

2m+?=2kli+1（2eZ）,

則j\x\+xi）=2sin[2（xi+及）+（p\

=2sin（2X2機(jī)+9）

=2sin[2X（2m+e）-M

=2sin2X（2E+0—9

=2sin（4攵兀+兀-p）=2sin9=地,

貝ijsin3=乎，結(jié)合陽芍，得8寸

14.風(fēng)車發(fā)電是指把風(fēng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能.如圖，風(fēng)車由一座塔和三個(gè)葉片組成，每兩個(gè)葉

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片之間的夾角均為120。.現(xiàn)有一座風(fēng)車，塔高60米，葉