山東省威海市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解即得解.【詳解】由題得.故選：C2.下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知角，利用周期性寫出終邊相同角，再結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意知，與角的終邊關(guān)于軸對稱的角為當(dāng)時，，正確.經(jīng)驗(yàn)證，其他三項(xiàng)均不符合要求.故選：.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由及二倍角公式，得，即可得解.【詳解】由題意，得，所以.故選：C.4.已知正四棱錐的側(cè)棱長為，高與斜高的夾角為，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，正四棱錐，高為，斜高為，然后根據(jù)已知條件列方程可求出高和底面邊長，從而可求出體積.【詳解】如圖，在正四棱錐，高為，斜高為，題意可得設(shè)正方形的邊長為，則，在中，，在中，，則，解得，所以，所以正四棱錐的體積為，故選：A5.在空間四邊形中，若，分別為，的中點(diǎn)，，，且，，則（）A.直線與平行 B.直線，，相交于一點(diǎn)C.直線與異面 D.直線，，相交于一點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】首先利用相似三角形證明且，再利用中位線定理證明且，從而得到四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，設(shè)，交于一點(diǎn)，利用平面的性質(zhì)證明是直線，，的公共點(diǎn)即可．【詳解】因?yàn)?，，且，所以，所以且，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，所以且，故四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，所以，交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，且平面，又平面平面，所以，所以點(diǎn)是直線，，的公共點(diǎn)，故直線、、相交于一點(diǎn)．故選：B6.古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（）（）A.km B.km C.km D.km【答案】C【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)及周長公式即可求解.【詳解】設(shè)地心為，依題意可得，，，設(shè)地球的周長為，半徑為，則，所以km.故選：C7.如圖，為正方形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在射線上，且，則（）A. B. C. D.不確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)邊角關(guān)系證明三角形全等，即可根據(jù)對應(yīng)邊和角相等求解.【詳解】在取，連接,由于，,所以,又，所以,由于,,所以,所以.故,故故選：B8.在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理、平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理得到方程，解得即可.【詳解】依題意，又，所以，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，又、、三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)?、不共線，所以，解得，所以.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.二面角的大小為 D.二面角的大小為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正方體的特征，即可由空間角的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對于A，連接，，由正方體的性質(zhì)知：，所以為等邊三角形，故，由于,所以四邊形為平行四邊形，所以，故即為直線與所成的角，故A正確，對于B,由于,而,所以直線與所成的角為，故B錯誤，對于C，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)椋始礊槎娼堑钠矫娼?，由于，故C正確，對于，連接，，設(shè)正方體的棱長為2，所以，又二面角的平面角，所以，故D錯誤．故選：AC10.記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.（）A.若，則是等腰三角形B.若，則是直角三角形C.若，則等腰三角形D.若，則是等邊三角形【答案】BC【解析】【分析】A.分析得到或，則是等腰三角形或直角三角形，所以該選項(xiàng)錯誤；B.化簡得到.所以是直角三角形，所以該選項(xiàng)正確；C.化簡得到，則是等腰三角形，所以該選項(xiàng)正確；D.化簡得是等腰三角形，所以該選項(xiàng)錯誤.【詳解】A.若，則或，所以或，則是等腰三角形或直角三角形，所以該選項(xiàng)錯誤；B.若，則.所以是直角三角形，所以該選項(xiàng)正確；C.若，所以，所以所以，則是等腰三角形，所以該選項(xiàng)正確；D.若，所以或,則是等腰三角形，所以該選項(xiàng)錯誤.故選：BC11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過計算得到，所以選項(xiàng)A正確；通過計算得到，所以選項(xiàng)B正確；，，所以選項(xiàng)C不正確；通過計算得到，所以選項(xiàng)D正確.【詳解】對選項(xiàng)A：，，所以該選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)B：，，所以，所以，所以該選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)C：，，所以該選項(xiàng)不正確；對選項(xiàng)D：，，所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD12.若函數(shù)（）在有且僅有個零點(diǎn)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.在單調(diào)遞增C.在有且僅有個解D.的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】化簡已知得到，所以選項(xiàng)D正確；令得到，即可判斷選項(xiàng)A正確；求出即可判斷選項(xiàng)B錯誤；求出在有且僅有個解.所以選項(xiàng)C錯誤.【詳解】由題得.∵，因?yàn)楹瘮?shù)在有且僅有個零點(diǎn)，所以，所以的取值范圍是，所以選項(xiàng)D正確；對于選項(xiàng)A，令.令，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以在不是單調(diào)遞增，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C，，所以當(dāng)或時，，所以在有且僅有個解.所以該選項(xiàng)錯誤.故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知銳角，滿足，，則_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正切和角公式即可求解.【詳解】由，得，由于，為銳角，所以，故，故答案為：14.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位，再把所得到的曲線上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖象，則________.【答案】【解析】【分析】用三角函數(shù)的圖象變換法則即可求解.【詳解】將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再把圖象上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.故答案為：15.已知非零向量，滿足，且，則向量與的夾角為_______.【答案】##【解析】【分析】由已知得，再利用數(shù)量積公式化簡即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?故答案為：16.已知三棱錐中，平面，，，.在此棱錐表面上，從點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則該棱錐外接球的表面積為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何體的線面關(guān)系可將其放進(jìn)一個長方體，外接球直徑就是體對角線長，此時需要長方體的長寬高數(shù)據(jù)，根據(jù)題干中的最短路徑數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化成平面問題列余弦定理方程求解.【詳解】由于平面，，可將三棱錐放在一個如上圖的長方體里，長方體的外接球直徑就是三棱錐的外接球，就是體對角線的長，下將翻折到和共面的狀態(tài)，如下圖：由平面，平面，故，在上圖長方體中，顯然平面，又平面，故，在中，，則，于是，由題意，點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則平面圖中的，設(shè)，在中，由余弦定理，，整理得，解得（負(fù)值舍去）.故長方體中，，則，即為外接球直徑，故外接球的表面積是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，由線面平行的判定定理即可證明；（2）由線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可得證.【小問1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的取值范圍；（2）若銳角，滿足，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可根據(jù)整體法求解范圍，（2）根據(jù)同角關(guān)系求解，，即可根據(jù)正弦和差角公式求解.【小問1詳解】,因?yàn)?，則，所以，所以.【小問2詳解】由第（1）問知，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為銳角，所以，因?yàn)?，所以，所?19.記的內(nèi)角所對的邊分別為已知向量，，且.（1）求角；（2）若為的中點(diǎn)，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示先找出中的邊角關(guān)系，利用三角恒等變換和邊角互化進(jìn)行求解；（2）利用，平方后列出關(guān)于邊長的條件，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由題意知，所以，由正弦定理可知，即，因?yàn)?，所以，所以，即得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，①由余弦定理可知，所以，②由①②得，所以.【點(diǎn)睛】20.圖①是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，.將其沿，折起使得與重合，連接，如圖②.（1）證明：平面平面；（2）證明：//平面；（3）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直即可得面面垂直，（2）利用線線平行或者面面平行即可求證線面平行，（3）根據(jù)線面角的定義，得其幾何角，即可利用邊角故選求解.【小問1詳解】由題意知，，平面,

所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】法一：由題意可知，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.法二：因?yàn)椋矫?平面,所以平面,，平面,平面,所以平面,平面，所以平面平面，又平面，所以平面.【小問3詳解】過作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為平面,所以平面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，在中，，，在中，，，所以，所以，所以與平面所成角的正切值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且.（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，現(xiàn)將向量繞原點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知向量與，的夾角分別為，，且，，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合和差角公式即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?，點(diǎn)在第二象限且橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，由三角函數(shù)定義可知，，因?yàn)橄蛄坷@原點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，所以角的終邊位于射線上，所以，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為且，所以，所以點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且點(diǎn)在第二象限，所以角的終邊位于射線上，又，，所以點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別為，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?22.（1）證明：；（2）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.（?。┳C明：；（ⅱ）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）證法一：從左向右證，先變形，然后利用兩角和與差的余弦公式化簡即可，證法二：從右向左證，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可，（2）（?。┳C法一：將利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡即可，證法二：將利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，然后利用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒變換公式化簡即可；（ⅱ）解法一：由可得，再由，得，再結(jié)合余弦定理和得，換元后構(gòu)造函數(shù)分類討論可求得結(jié)果，解法二：將由正弦定理統(tǒng)一成角的形式，再結(jié)合得，換元后構(gòu)造函數(shù)分類討論可求得結(jié)果，解法三：由，將整理得，換元后構(gòu)造函數(shù)分類討論可求得結(jié)果.【詳解】證明：（1）法一：.法二：，，所以.（2）（?。┓ㄒ唬阂?yàn)椋烧叶ɡ砜芍?，即，即，可得，由?）可知，所以，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以或（舍），所?法二：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?/p>