（預習課）2024年高中數學高二暑假講義09 直線的傾斜角與斜率（原卷版）

第第頁§2.1直線的傾斜角與斜率2．1.1傾斜角與斜率學習目標1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率．知識點一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識點二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對應關系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？答案由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．1．任一直線都有傾斜角，都存在斜率．(×)2．任何一條直線有且只有一個斜率和它對應．(×)3．若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(×)4．經過兩點的直線的斜率公式適用于任何直線．(×)一、直線的傾斜角例1(1)已知直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．跟蹤訓練1(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________．(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為________．二、直線的斜率例2經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經過兩點A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；(2)求經過兩點A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率．反思感悟求直線的斜率(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關．跟蹤訓練2(1)若直線的傾斜角為135°，則直線的斜率為________．(2)過點P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為________．三、傾斜角和斜率的應用例3已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．反思感悟傾斜角和斜率的應用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．(2)涉及直線與線段有交點問題常數形結合利用公式求解．跟蹤訓練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．1．(多選)下列說法正確的是()A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B．若k是直線的斜率，則k∈RC．任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角2．下面選項中，兩點確定的直線的斜率不存在的是()A．(4,2)與(－4,1) B．(0,3)與(3,0)C．(3，－1)與(2，－1) D．(－2,2)與(－2,5)3．若經過A(m，3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45°，則m等于()A．2B．1C．－1D．－24.若A(2,3)，B(3,2)，C(eq\f(1,2)，m)三點共線，則實數m的值為________．5．經過A(m，3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1)1．知識清單：(1)直線的傾斜角及其范圍．(2)直線斜率的定義和斜率公式．2．方法歸納：數形結合思想．3．常見誤區(qū)：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清．1．若直線過坐標平面內兩點(4,2)，(1,2＋eq\r(3))，則此直線的傾斜角是()A．30°B．150°C．60°D．120°2．已知經過點P(3，m)和點Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為()A．－1B．1C．2D.eq\f(4,3)3．(多選)下列說法中，錯誤的是()A．任何一條直線都有唯一的斜率B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C．任何一條直線都有唯一的傾斜角D．若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等4．若某直線的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，則該直線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))5．直線l過原點(0,0)，且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α≤90°B．90°≤α<180°C．90°≤α<180°或α＝0°D．90°≤α≤135°6．已知三點A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實數a的值為________．7.如圖，已知直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為________．8．已知點A(2，－1)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為45°，則點P的坐標為________．9．過兩點A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直線的傾斜角為135°，求m的值．10．若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三點共線，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).11．已知直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．012．若三點A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能構成三角形，則實數k的取值范圍為________．13．若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關系是________．14．已知O(O為坐標原點)是等腰直角三角形OAB的直角頂點，點A在第一象限，∠AOy＝15°，則斜邊AB所在直線的斜率為________．15．已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(2，－1)的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是________．16．點M(x，y)在函數y＝－2x＋8的圖象上，當x∈[2,5]時，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．2．1.2兩條直線平行和垂直的判定學習目標1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.2.會運用條件判定兩直線是否平行或垂直3.運用兩直線平行和垂直時的斜率關系解決相應的幾何問題．知識點一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識點二兩條直線垂直的判定圖示對應關系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2思考兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？答案不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，則k1＝k2.(×)2．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．(×)3．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．(√)一、兩條直線平行的判定例1已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，并給出證明．反思感悟判斷兩條不重合的直線是否平行的方法跟蹤訓練1(1)已知l1經過點A(－3,2)，B(－3,10)，l2經過點M(5，－2)，N(5,5)，判斷直線l1與l2是否平行．(2)試確定m的值，使過點A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過點C(－4,3)，D(0,5)的直線平行．二、兩條直線垂直的判定例2已知△ABC的頂點為A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．反思感悟判斷兩條直線是否垂直在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．跟蹤訓練2判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．(1)l1的斜率為－10，l2經過點A(10,2)，B(20,3)；(2)l1經過點A(3,4)，B(3,10)，l2經過點M(－10,40)，N(10,40)．垂直與平行的綜合應用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定圖形ABCD的形狀．[素養(yǎng)提升]用代數運算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關系進行判定．(2)明確運算對象，探究運算思路，是對邏輯推理與數學運算核心素養(yǎng)的考查．1．若過點P(3,2m)和點Q(－m，2)的直線與過點M(2，－1)和點N(－3,4)的直線平行，則m的值是()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．2D．－22．已知直線l1的斜率為a，l2⊥l1，則l2的斜率為()A.eq\f(1,a)B．－eq\f(1,a)C．aD．－eq\f(1,a)或不存在3．已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．無法確定4．(多選)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2B．若k1＝k2，則l1∥l2C．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，則l1∥l25．若不同兩點P，Q的坐標分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．1．知識清單：兩直線平行或垂直的條件．2．方法歸納：分類討論，數形結合．3．常見誤區(qū)：研究兩直線平行、垂直關系時忽略直線斜率為0或斜率不存在的情況．1．過點A(2,5)和點B(－4,5)的直線與直線y＝3的位置關系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不對2．已知過A(－2，m)和B(m，4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是()A．－8B．0C．2D．103．直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點(－1,1)且與y軸交于點P，則P點坐標為()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)4．若直線l經過點(a－2，－1)和(－a－2,1)，且與斜率為－eq\f(2,3)的直線垂直，則實數a的值為()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)5．(多選)設點P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四個結論正確的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS6．若經過點(m，3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．7．直線l1，l2的斜率k1，k2是關于k的方程2k2－4k＋m＝0的兩根，若l1⊥l2，則m＝________，若l1∥l2，則m＝________.8．已知點A(－3，－2)，B(6,1)，點P在y軸上，且∠BAP＝90°，則點P的坐標是________．9．當m為何值時，過兩點A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直線：(1)傾斜角為135°；(2)與過兩點(3,2)，(0，－7)的直線垂直；(3)與過兩點(2，－3)，(－4,9)的直線平行．10．已知?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求點D的坐標；(2)試判定?ABCD是否為菱形？11．(多選)已知點A(m，