4.3 用乘法公式分解因式-平方差公式、完全平方公式（解析版）

2022-2023學(xué)年浙教版七年級下冊同步培優(yōu)知識點(diǎn)鞏固+易錯題辨析+統(tǒng)考原題呈現(xiàn)+拓展拔高訓(xùn)練4.3用乘法公式分解因式——平方差公式、完全平方公式平方差公式：(1)文字?jǐn)⑹觯簝蓚€數(shù)的等于這兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的的.(2)字母表示：利用公式把一個多項(xiàng)式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是(單項(xiàng)式、多項(xiàng)式).2、能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：(1)只有兩項(xiàng)(或兩個整體)；(2)兩項(xiàng)都能用完全平方表示，即：字母的指數(shù)是偶數(shù)，系數(shù)是完全平方數(shù)或?qū)懗伤乃阈g(shù)平方根的完全平方)；(3)兩項(xiàng)符號(一項(xiàng)為，一項(xiàng)為).3、完全平方公式：(1)文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)的，(或者)這兩數(shù)的積的倍，等于這兩數(shù)和(或者差)的.(2)字母表示：4、能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：(1)要有兩個符號的平方項(xiàng)和一個交叉項(xiàng).(2)交叉項(xiàng)要等于兩個平方項(xiàng)底數(shù)的積的倍.?????(3)完全平方式的形式為：①首2+2首×尾+尾2=(首+尾)2②首2－2首×尾+尾2=(首－尾)2.(4)分解的結(jié)果是和的平方還是差的平方，取決于交叉項(xiàng)的符號.當(dāng)交叉項(xiàng)的符號是“+”時，分解結(jié)果就是的平方.當(dāng)交叉項(xiàng)的符號是“－”時，分解結(jié)果就是的平方.5、立方和公式：；立方差公式：【答案】（1）平方差；和；差；積a2－b2=(a+b)(a－b)；整式(3)相反；正；負(fù)（1）平方和；加上；減去；2；平方（2）a2±2ab+b2=(a±b)24、（1）相同（2）2（4）和；差練習(xí)：1、因式分解（1）4x2﹣1（2）m（3）3a（4）(a（5）(（6）x（7）x【答案】（1）解：4x2﹣19=（2x﹣13（2）解：m（3）解：3a2b-6a（4）解：(a2+1)2-4（5）解：(（6）解：x（7）解：x2、用簡便方法計算.（1）6.42（2）21042（3）2.42（4）20052（5）40【答案】（1）解：6.4（2）解：21042（3）解：2.42×9（4）解：20052-4010×2003+（5）解：40×3.1523、因式分解a2b﹣b的正確結(jié)果是（）A．b（a+1）（a﹣1） B．a(chǎn)（b+1）（b﹣1）C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2【答案】A【解析】a2b﹣b=b（a2﹣1）=b（a+1）（a﹣1）．故答案為：A．4、小明在抄分解因式的題目時，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業(yè)本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指數(shù)），則這個指數(shù)可能的結(jié)果共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】D【解析】該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個數(shù)．故答案為：D．5、將多項(xiàng)式4xA．2x B．4x C．-4x D．【答案】A【解析】A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此選項(xiàng)符合題意；B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此選項(xiàng)不符合題意；C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此選項(xiàng)不符合題意；D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此選項(xiàng)不符合題意；故答案為：A．6、若y2+ky+49是一個完全平方式，則k的值為【答案】±14【解析】由題意可得y2+ky+49=(y±7)2=y2±14y+49，

∴k=±14.

故答案為：±14.7、代數(shù)式x2－6x＋25的最小值是．【答案】16【解析】x2－6x＋25

=(x-3)2+25-9

=(x-3)2+16，

∵(x-3)2≥0，

∴x2－6x＋25的最小值為16.

故答案為：16.8、我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式．如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求式子的最大值、最小值等．例1：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，則當(dāng)x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）填空：x2++36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2﹣；（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（注意：直接寫出答案不給分）（3）當(dāng)x為何值時，多項(xiàng)式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出這個最大值．【答案】（1）x2+2x×6+36＝x2+12x+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m2+2m）＝3（m2+2m+1﹣1）＝3（m2+2m+1）﹣3＝3（m+1）2﹣3故答案為：12x，3；（2）x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣62＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（3）﹣x2﹣4x+1＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1＝﹣（x2+4x+4）+4+1＝﹣（x+2）2+5，∵（x+2）2≥0，∴﹣（x+2）2≤0，即﹣（x+2）2+5≤5，則當(dāng)x＝﹣2時，多項(xiàng)式﹣x2﹣4x+1有最大值，最大值為5．1、20163-2016不是下列哪個數(shù)的倍數(shù)?()A．2018 B．2017 C．2016 D．2015【答案】A【解析】∵20163-2016

=2016（20162-1）

=2016（2016+1）（2016-1）

=2016×2017×2015

∴20163-2016能被2016、2017、2015整除，因此它不是2018的倍數(shù)。

故答案為：A2、把多項(xiàng)式y(tǒng)4-81分解因式，結(jié)果是（）A．（y2+9）（y+3）（y-3） B．（y+3）2（y-3）C．（y-3）4 D．（y2+9）（y2-9）【答案】A【解析】y4-81=（y2）2-92=（y2+9）（y2-9）=（y2+9）（y+3）（y-3）故答案為：A.3、257﹣512能被下列四個數(shù)①12；②15；③24；④60整除的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】∵原式=512（52﹣1）=24×512=120×511．∴257﹣512能被①12；②15；③24；④60整除．故答案為：D．4、若n為任意正整數(shù),(n+11)2-n2的值總可以被k整除,則k等于()A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍數(shù)【答案】A【解析】∵（n+11）2-n2，=（n+11+n）（n+11-n），=11（2n+11），∴（n+11）2-n2的值總可以被11整除．故答案為：A5、在多項(xiàng)式中①x2＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋y2；④1＋x＋14x2A．①② B．①④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】①x2＋2xy－y2中平方項(xiàng)的符號不同，故不能用完全平方公式分解；②－x2＋2xy－y2，能用完全平方公式分解；③x2＋xy＋y2，中間項(xiàng)不是兩底數(shù)積的2倍，故不能用完全平方公式分解；④1＋x＋14x2故答案為：D.6、若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，則k的值為（）A．±2 B．±5 C．7或－5 D．－7或5【答案】C【解析】∵4x2－2(k－1)x＋9=（2x±3）2，

4x2－2(k－1)x＋9=4x2±12x＋9，

∴2(k－1)=±12，

解得k=7或-5.

故答案為：C.7、已知a＋1a＝3，則a2＋1A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】a2=(a+1=3=7．故答案為：B．8、分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝；－3x2＋2x－13＝【答案】3(x＋1)(x－3)；－13(3x－1)【解析】x2＋2x(x－3)－9

＝x2－9+2x(x-3)

=(x+3)(x-3)+2x(x-3)

=(x-3)(x+3+2x)

=(x-3)(3x+3)

=3(x+1)(x-3)；

－3x2＋2x－13

=-13(9x2-6x+1)

=-13(x-3)2.

故答案為：3(x＋1)(x－3)和－13(3x－1)2.對于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到我們可以求用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式x2+2ax-8ax===(==(x+a+3a)(x+a=(x+4a)(x像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添(拆)項(xiàng)法.（1）問題解決：請用上述方法將二次三項(xiàng)式x2＋2ax—3a2分解因式；（2）拓展應(yīng)用：二次三項(xiàng)式x2-4x＋5有最小值或最大值嗎？如果有，請你求出來并說明理由.【答案】（1）解：x=====(x+a+2a)(x+a=(x+3a)(x（2）解：有最小值.理由如下：x∵(x∴(x-2)1、（2021·杭州）因式分解：1-A．(1-2y)(1+2y)C．(1-2y)(2+y)【答案】A【解析】1-4y故答案為：A.2、（2020·蘇州）若x+y+3=0，則x(x+4y)-A．3 B．9 C．6 D．-9【答案】B【解析】∵x+y+3=0，

∴x+y=-3，

x(x+4y)-y(2x-y)

=x2+4xy-2xy+y2

=x2+2xy+y2

=(x+y)2

=(-3)2

=9.

故答案為：B.3、（2022·包頭）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b-a=1，則代數(shù)式A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴當(dāng)a=2時，代數(shù)式a2+2b-6a+7有最小值，最小值為5，故答案為：A．4、（2022?合川）已知2x﹣y＝3，則代數(shù)式x2﹣xy+14y2A．434 B．134 C．3 D【答案】D【解析】解：∵2x﹣y＝3，∴x2﹣xy+14y=14（4x2﹣4xy+y2=14（2x﹣y）=14×＝4，故選：D．5、（2022?墾利）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分別對應(yīng)下列六個字：利、愛、我、墾、游、美，現(xiàn)將（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．愛我墾利 B．游我墾利 C．游美墾利 D．游美【答案】A【解析】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b），∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：愛我墾利，故選：A．6、（2022?和平）已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為（）A．1 B．3 C．6 D．1010【答案】B【解析】解：設(shè)x＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，則2x＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，∴x＝3，故選：B．7、（2021·溫州）分解因式：2m2【答案】2（m+3）（m-3）【解析】2=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）.故答案為：2（m+3）（m-3）.8、（2022?張店）若三角形的三邊長a，b，c滿足（a﹣c）2+（a﹣c）b＝0，則這個三角形形狀一定是三角形．【答案】等腰【解析】解：∵（a﹣c）2+（a﹣c）b＝（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，∵三角形的三邊長a，b，c，∴a﹣c+b≠0，∴a＝c，∴這個三角形形狀一定是等腰三角形，故答案為：等腰．9、（2022·陽泉）請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù):（1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式(從左往右推導(dǎo))；（2）已知,求的值．【答案】（1）見解析；（2），．【解析】（1）解:（2）解：10、（2022·江蘇）閱讀理解以下文字：我們知道，多項(xiàng)式的因式分解就是將一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式．通過因式分解，我們常常將一個次數(shù)比較高的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個次數(shù)較低的整式的積，來達(dá)到降次化簡的目的．這個思想可以引領(lǐng)我們解決很多相對復(fù)雜的代數(shù)問題．例如：方程就可以這樣來解：解：原方程可化為所以或者．解方程，得所以解為，．根據(jù)你的理解，結(jié)合所學(xué)知識，解決以下問題：（1）解方程：；（2）解方程：；（3）已知的三邊長為，，，請你判斷代數(shù)式的值的符號．【答案】x1=0或x2=5；（2）x1=-1，x2=3；（3）見解析【解析】∴∴x=0或x-5=0∴x1=0或x2=5；（x+3）2-4x2=0∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0∴（3x+3）（-x+3）=0∴3x+3=0或-x+3=0，

解方程得：x1=-1，x2=3；∵△ABC的三邊長為4，x，y∴x+y＞4，x+4＞y∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，

∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代數(shù)式y(tǒng)2-8y+16-x2的值的符號為負(fù)號．1、小石將（2020x＋2021）2展開后得到多項(xiàng)式a1x2+b1x+c1A．﹣1 B．﹣4041 C．4041 D．1【答案】B【解析】∵（2020x+2021）2展開后得到a1x2+b1x+c1；∴a1=20202，∵（2021x-2020）2展開后得到a2x2+b2x+c2，∴a2=20212，∴a1-a2=20202-20212=（2020+2021）（2020-2021）=-4041，故答案為：B．2、若4次3項(xiàng)式m4+4m2+A是一個完全平方式，則A=.【答案】4或±4m3【解析】①∵m4＝(m2)2，4m2＝2×2m2，∴A＝22＝4.②∵m4＝(m2)2，4m2＝(2m)2，∴A＝±2·m2·2m＝±4m3.綜上A＝4或±4m3.故答案為：4或±4m3.3、計算：20221122【答案】1【解析】2022112=202211=202211=202211=202211=202211=1故答案是：12正整數(shù)p，q（p＜q）分別是正整數(shù)n的最小質(zhì)因數(shù)和最大質(zhì)因數(shù)，并且p2+q2