江西省上饒市玉山縣2024屆九年級(jí)下學(xué)期中考一模數(shù)學(xué)試卷(含解析)

數(shù)學(xué)試卷（滿分：120分鐘考試時(shí)間：120分鐘）一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.答案：C解析：由互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，即可求解．解：∵，∴的倒數(shù)是.故選C2.數(shù)字萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.答案：D解析：本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義：將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于時(shí)，是負(fù)整數(shù)．解：數(shù)字萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．故選：D．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.答案：B解析：選項(xiàng)A中式子，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以判斷是否正確；選項(xiàng)B中的式子，根據(jù)同底數(shù)冪的除法可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以判斷是否正確；選項(xiàng)C中的式子，根據(jù)完全平方公式可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以判斷是否正確；選項(xiàng)D中的式子，根據(jù)積的乘方可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以判斷是否正確．解：∵3x×2x2＝6x3，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵8x2y÷2x2y＝4，故選項(xiàng)B正確；∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵（﹣x3y2）2＝x6y4，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B．4.如圖所示，幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.答案：A解析：根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得俯視圖．解：從上往下看該幾何體的俯視圖，符合題意的是A，

故選：A．5.若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的兩個(gè)根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，則b的值為（）A.﹣3 B.3 C.﹣5 D.5答案：A解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，即可代入求出答案．解：由題意得：，∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，∴，∴b=-3，故選：A．6.如圖，E，F(xiàn)是正方形邊上的兩點(diǎn)，，以為邊向正方形內(nèi)作矩形，，若矩形在正方形內(nèi)可隨線段進(jìn)行自由滑動(dòng)，則正方形邊長(zhǎng)的最小值為（）A. B.4 C. D.答案：B解析：連接HF，如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得HF的長(zhǎng)，過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，于是可得MB的最大值，進(jìn)而可得正方形邊長(zhǎng)的最小值．解：連接HF，如圖，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，∴，過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，∴MB≤4，根據(jù)題意，AB≥MB，∴正方形邊長(zhǎng)的最小值為4．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.分解因式：=____．答案：．解析：利用平方差公式分解因式即可得到答案解：．故答案為：8.計(jì)算：_________答案：解析：先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，然后再計(jì)算加減法即可．解：．故答案為：-1．9.不等式組的解集為__________．答案：解析：分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后找到公共部分即可得不等式組的解集．解：解不等式①得解不等式②得∴不等式組的解集為：故答案為：．10.一副三角板按如圖所示的方式放置，它們的直角頂點(diǎn)分別在另一個(gè)三角板的斜邊上，且，則的度數(shù)為_________．答案：解析：根據(jù)EF∥BC得出∠FDC=∠F=30°，進(jìn)而得出∠1=∠FDC+∠C即可．解：∵EF∥BC，∴∠FDC=∠F=30°，∴∠1=∠FDC+∠C=30°+45°=75°，故答案為：75°．11.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，圓心角的度數(shù)為，則扇形的面積為______.答案：解析：設(shè)扇形所在圓的半徑為R，先根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出R，然后根據(jù)扇形面積公式求解．設(shè)扇形所在圓的半徑為R，根據(jù)題意得20π=，解得R=30，∴扇形的面積=?30?20π=300π．故答案為300π．12.菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠AED=45°，P是菱形上一點(diǎn)，若△AEP是以AE為直角邊為直角三角形，則tan∠APE的值為________．答案：1或或解析：本題以菱形為題目背景，綜合考查菱形的性質(zhì)，并以動(dòng)點(diǎn)問題豐富題干，考查分類討論方式，結(jié)合題干信息特殊角度，可通過做輔助線構(gòu)造特殊直角三角形以滿足求解三角函數(shù)正切值的前提，繼而通過圖形性質(zhì)求解邊長(zhǎng)比例．∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD∴∠BAC=75°連接CE，并延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)P1，如下圖所示當(dāng)∠AED=45°時(shí)，∠BAE=30°，△AEC與△AEP1為直角三角形在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=在△AEC（即△AEP2，此時(shí)點(diǎn)P2與點(diǎn)C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1在△AEP3中，∠EAP3=90°，此時(shí)CP1∥AP3設(shè)OA=，那么EC=AE=，EP1=所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．綜上，tan∠APE值為1或或．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）解方程：；（2）如圖，已知，且．求證：．答案：（1）x=0；（2）見解析．解析：（1）根據(jù)解分式方程的方法解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DBC=∠D，再根據(jù)角的和差即得結(jié)論．（1）解：去分母，得，解這個(gè)方程，得x=0，經(jīng)檢驗(yàn)：x=0是原方程根，∴原方程的解為：x=0；（2）證明：∵，∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，∵，∴∠DBC=∠D，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠D，∴∠C=2∠D．14.化簡(jiǎn)求值：，其中，．答案：，1解析：本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合計(jì)算，先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．解：，當(dāng)，時(shí)，原式．15.中考前，為了解各地市九年級(jí)學(xué)生復(fù)習(xí)備考情況，江西省教育廳準(zhǔn)備對(duì)各市進(jìn)行一次實(shí)地調(diào)研活動(dòng)，調(diào)研的對(duì)象初步確定從南昌市、九江市、景德鎮(zhèn)市、贛州市、上饒市中隨機(jī)抽簽選?。?）若這次調(diào)研準(zhǔn)備選取一個(gè)市，則恰好抽到上饒市的概率是_______；（2）若這次調(diào)研準(zhǔn)備選取兩個(gè)市，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖概率是的方法表示出所有可能的結(jié)果，并求出所選取的兩個(gè)市恰好是南昌市和上饒市的概率．答案：（1）（2）解析：本題考查列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件的概率，

（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）根據(jù)題意列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)和所選取的兩個(gè)市恰好是南昌市和上饒市的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案；解題的關(guān)鍵是掌握求概率的求法：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．小問1解：∵調(diào)研的對(duì)象共有個(gè)城市，分別是南昌市、九江市、景德鎮(zhèn)市、贛州市、上饒市，

∴恰好抽到南昌市的概率是，

故答案為：；小問2用，，，，分別代表南昌市、九江市、景德鎮(zhèn)市、贛州市、上饒市，列表如下：共有種等可能的結(jié)果，所選取的兩個(gè)市恰好是和的結(jié)果有種，其概率是：，

∴所選取的兩個(gè)市恰好是南昌市和上饒市的概率是．16.如圖，已知正方形與，點(diǎn)E在上，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上．請(qǐng)利用無刻度的直尺按下列要求畫圖（保留畫圖的痕跡）．（1）在圖1中，畫出的中點(diǎn)；（2）在圖2中，畫出的垂直平分線．答案：（1）見解析；（2）見解析．解析：（1）如圖1，連接GE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ASA易證△AEH≌△BEG，可得AH=GB=FE，連接FH交AB于點(diǎn)P，根據(jù)AAS可證明△APH≌△EPF，可得AP=PE，問題即得解決；（2）如圖2，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)L，連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接BL、CE交于點(diǎn)N，作直線MN，由正方形和矩形的性質(zhì)可得：直線MN即為BC的垂直平分線．解：（1）如圖1，點(diǎn)P即為所求；（2）如圖2，直線MN即為所求．17.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)垂直于軸，垂足為，其中．（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．答案：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）；（2）一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為解析：（1）利用OA=OB=OD=2直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平分線分線段成比例定理計(jì)算出CD得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式．（1）∵OA=OB=OD=2．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），AD=4，

∵OB∥CD，

∴，∴CD=，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；（2）把C（2，4）代入，得∴反比例函數(shù)的解析式為，把A（-2，0），B（0，2）代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.為增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)．實(shí)施垃圾分類管理．某中學(xué)舉行了“垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽"并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．知識(shí)競(jìng)賽成饋頻數(shù)分布表組別成績(jī)（分?jǐn)?shù)）人數(shù)根據(jù)所給信息，解答下列問題．（1）a=__________，；（2）請(qǐng)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在扇形的圓心角的度數(shù)；（3）補(bǔ)全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；（4）已知該中學(xué)有名學(xué)生，請(qǐng)估算該中學(xué)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)低于分的人數(shù)．答案：（1）300，50；（2）C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為；（3）補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖見解析；（4）該中學(xué)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)低于分的人數(shù)約為175人．解析：（1）先根據(jù)D組人數(shù)及其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以B組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例可得a的值，用總?cè)藬?shù)減去其它各組人數(shù)之和可得b的值；

（2）用360°乘以C組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例即可得；

（3）根據(jù)（1）中所求結(jié)果即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中E組人數(shù)所占比例可得．解：（1）∵被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為200÷20%=1000（人），

∴a=1000×=300，b=1000-（300+300+150+200）=50，

故答案為：300、50；

組所在扇形的圓心角的度數(shù)為補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：該中學(xué)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)低于分的人數(shù)約為人19.如圖，是的外接圓，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，使．（1）求證；與相切．（2）若，，求的長(zhǎng)．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖，連接并延長(zhǎng)，交于，連接，，設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得到，繼而得到，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到，可得，即可得證；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，求得，得到，根據(jù)垂徑定理推論可得，，再由求得，即可得出結(jié)論．小問1證明：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于，連接，，設(shè)與相交于點(diǎn)，在中，和都是所對(duì)的圓周角，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴與相切；小問2解：設(shè)，則，∵，，∴，∵在中，，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，是的半徑，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．20.圖1是一種手機(jī)自拍桿，桿體從上至下分別由手機(jī)夾架、多節(jié)套管和可升降支架腳連接而成．使用時(shí)通過自由伸縮套管調(diào)節(jié)自拍桿的長(zhǎng)度，同時(shí)可以通過調(diào)節(jié)支架腳使拍攝時(shí)更靈活安全．圖2是其正面簡(jiǎn)化示意圖，手機(jī)（為矩形）與其下方套管連接于點(diǎn)E，E為的中點(diǎn)，，支架腳，與地面平行，．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E到地面的高度；（2）若在某環(huán)境中拍攝時(shí)，調(diào)節(jié)支架腳使，若，求點(diǎn)G到直線與交點(diǎn)的距離．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）答案：（1）點(diǎn)E到地面的高度；（2）點(diǎn)G到直線與交點(diǎn)的距離約為．解析：（1）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理得出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得FM的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的和差即可得；（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)、余弦值求出GH的長(zhǎng)，從而確定與交點(diǎn)的位置，如圖（見解析），延長(zhǎng)AB分別交GF于點(diǎn)P，交GH于點(diǎn)Q，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得MQ的長(zhǎng)，從而可得GQ的長(zhǎng)，然后在中利用余弦值即可得．（1）如圖，設(shè)EF與GH的交點(diǎn)為點(diǎn)M，即，在中，答：點(diǎn)E到地面的高度；（2）由（1）已知，（等腰三角形的三線合一），即則依題意，延長(zhǎng)AB分別交GF于點(diǎn)P，交GH于點(diǎn)Q，畫圖如下所示：四邊形ABCD是矩形，即，即又四邊形BEMQ是平行四邊形平行四邊形BEMQ是矩形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)在中，，即解得答：點(diǎn)G到直線與交點(diǎn)的距離約為．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.某超市購(gòu)進(jìn)一批成本為每件元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(件)與銷售單價(jià)(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若超市按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)(元)最大?（3）若超市要使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)為元，則每天的銷售量應(yīng)為多少件?答案：（1）；（2）銷售單價(jià)定為元時(shí)，該超市每天的利潤(rùn)最大；（3）每天的銷售量應(yīng)為件．解析：（1）將點(diǎn)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）由題意得，即可求解；（3）由題意得，解一元二次方程即可得到結(jié)論．（1）設(shè)與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為:將點(diǎn)代入一次函數(shù)表達(dá)式得解得故函數(shù)的表達(dá)式為：（2）由題意得，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，而當(dāng)時(shí)，有最大值故銷售單價(jià)定為元時(shí)，該超市每天的利潤(rùn)最大;（3）由題意得解得每天的銷售量每天的銷售量應(yīng)為件22.對(duì)于某個(gè)函數(shù)，若自變量取實(shí)數(shù)，其函數(shù)值恰好也等于時(shí)，則稱為這個(gè)函數(shù)的“等量值”．在函數(shù)存在“等量值”時(shí)，該函數(shù)的最大“等量值”與最小“等量值”的差稱為這個(gè)函數(shù)的“等量距離”，特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)“等量值”時(shí)，規(guī)定其“等最距離”為0．（1）請(qǐng)分別判斷函數(shù)，，有沒有“等量值”？如果有，直接寫出其“等量距離”；（2）已知函數(shù)．①若其“等量距離”為0，求的值；②若，求其“等量距離”的取值范圍；③若“等量距離”，直接寫出的取值范圍．答案：（1）函數(shù)沒有“等量值”；，函數(shù)有-1和1兩個(gè)“等量值”，其“等量距離”為2；函數(shù)有0和1兩個(gè)“等量值”，其“等量距離”為1；（2）①；②；（3）的取值范圍為或．解析：（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）①首先由函數(shù)y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由“等量距離”為0，求得答案；

②由①，利用1≤b≤3，可求得“等量距離”的取值范圍；③由②可知，，解不等式組，即可得到答案．解：（1）函數(shù)沒有“等量值”，函數(shù)有和1兩個(gè)“等量值”，其“等量距離”d為2．函數(shù)有0和1兩個(gè)“等量值”，其“等量距離”d為1．（2）①∵函數(shù)的“等量距離”為零，令，則，∴，∴，，∴，∴．②解方程，得：，．∵，∴．∴，∴函數(shù)的“等量距離”的取值范圍為：．③由②可知，，∴或，∴或；∴的取值范圍為或．六、解答題（12分）23.（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖（1），在正方形ABCD中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（均不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=45°，試判斷BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．小明把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，發(fā)現(xiàn)EF=BE+DF，請(qǐng)你給出證明過程；（2）類比探究①如圖（2），在正方形ABCD中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，DC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)寫出證明過程．②如圖（3），在正方形ABCD中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，請(qǐng)直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（不要求證明）（3）拓展應(yīng)用在（1）中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，AE=，求EF的長(zhǎng)．答案：（1）見解析；（2）①不成立，理由見解析；②BE=EF+DF；（3）5解析：（1）證明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，則結(jié)論得證；（2）①將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM根據(jù)SAS可證明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，則結(jié)論得證；②將△ADF