2.4.3二次函數(shù)綜合題

二次函數(shù)綜合題（2015?嘉興）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；②若a=﹣1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6．其中真命題的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號(hào)；②根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；③根據(jù)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y1＞y2；④作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標(biāo)即可解答．【解答】解：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=﹣=1，當(dāng)a=﹣1時(shí)有=1，解得b=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；則DE==；D′E′==；∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為+，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}等，值得關(guān)注．（2011?監(jiān)利縣校級(jí)模擬）已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為

（﹣4，2）、（4，2）、（﹣2，﹣2）、（2，﹣2）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)知當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P到x軸的距離等于圓的半徑，所以令函數(shù)值等于±2求出相應(yīng)的x的值即為圓心的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求得其縱坐標(biāo)即可．【解答】解：∵當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P到x軸的距離等于圓的半徑，∴當(dāng)⊙P位于x軸的上方時(shí)：=2，解得：x=±4，∴此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為：（﹣4，2）、（4，2）；當(dāng)⊙P位于x軸的下方時(shí)：=﹣2，解得：x=±2，∴此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣2）、（2，﹣2）．故答案為：（﹣4，2）、（4，2）、（﹣2，﹣2）、（2，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解圓與x軸相切時(shí)圓心到圓的距離等于圓的半徑，并分兩種情況討論．（2011?汕尾校級(jí)模擬）如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于O，其直徑CD，EF均和x軸垂直，以O(shè)為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過點(diǎn)C，E和點(diǎn)D，F(xiàn)，則圖中陰影部分面積是（）A．π B．πC．π D．條件不足，無法求【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】觀察圖形在y軸兩邊陰影部分面積，將y軸左邊的陰影對(duì)稱到右邊得到一個(gè)半圓的陰影，就是所求的圖中陰影面積．【解答】解：由分析知圖中陰影面積等于半圓的面積，則s==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，把不規(guī)則圖形面積如何用規(guī)則的圖形面積表示，從而來求面積．（2015?陜西模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N（1，﹣2），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C．則：①b=﹣2；②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；③存在這樣一個(gè)a，使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上；④若a=1，則OA?OB=OC2．以上說法正確的有（）A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】①二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N（1，﹣2），因而將M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可消去a、c解得b值．②根據(jù)圖象的特點(diǎn)及與直線MN比較，可知當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，二次函數(shù)圖象在直線MN的下方．③同②理．④當(dāng)y=0時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得到OA?OB的值，當(dāng)x=0時(shí)，可得到OC的值．通過c建立等量關(guān)系求證．【解答】解：①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N（1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故該選項(xiàng)正確．②方法一：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c，a＞0∴該二次函數(shù)圖象開口向上∵點(diǎn)M（﹣1，2）和點(diǎn)N（1，﹣2），∴直線MN的解析式為y﹣2=，即y=﹣2x，根據(jù)拋物線的圖象的特點(diǎn)必然是當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，二次函數(shù)圖象在y=﹣2x的下方，∴該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸．故該選項(xiàng)正確．③根據(jù)拋物線圖象的特點(diǎn)，M、A、C三點(diǎn)不可能在同一條直線上．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．④當(dāng)a=1時(shí)，c=﹣1，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣1當(dāng)y=0時(shí)，0=x2﹣2x+c，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1?x2=c，即OA?OB=|c|，當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，則OA?OB=OC2，故該選項(xiàng)正確．總上所述①②④正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的圖象性質(zhì)及特點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線解析式的確定．（2015?莆田模擬）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=x+b經(jīng)過點(diǎn)M（0，），一組拋物線的頂點(diǎn)B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1=d（0＜d＜1），當(dāng)d為（）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線．A．或 B．或 C．或 D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；新定義．【分析】由拋物線的對(duì)稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點(diǎn)縱坐標(biāo)必定小于1．【解答】解：直線l：y=x+b經(jīng)過點(diǎn)M（0，），則b=；∴直線l：y=x+．由拋物線的對(duì)稱性知：拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．∵0＜d＜1，∴該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）；∵當(dāng)x=1時(shí)，y1=×1+=＜1，當(dāng)x=2時(shí)，y2=×2+=＜1，當(dāng)x=3時(shí)，y3=×3+=＞1，∴美麗拋物線的頂點(diǎn)只有B1、B2．①若B1為頂點(diǎn)，由B1（1，），則d=1﹣=；②若B2為頂點(diǎn)，由B2（2，），則d=1﹣[（2﹣）﹣1]=，綜上所述，d的值為或時(shí)，存在美麗拋物線．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)綜合題，該題是新定義題型，重點(diǎn)在于讀懂新定義或新名詞的含義．利用拋物線的對(duì)稱性找出相應(yīng)的等腰直角三角形是解答該題的關(guān)鍵．（2015?保定一模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②；③當(dāng)0＜t≤5時(shí)，；④當(dāng)秒時(shí)，△ABE∽△QBP；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長(zhǎng)度，然后表示出AE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各小題分析解答即可．【解答】解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小題正確；又∵從M到N的變化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小題錯(cuò)誤；過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=BQ?PF=t?t=t2，故③小題正確；當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小題正確．綜上所述，正確的有①③④．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口，難度較大．（2015?無錫校級(jí)三模）已知拋物線y=﹣x2+1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與△PEA相似嗎？（）A．始終不相似 B．始終相似C．只有AB=AD時(shí)相似 D．無法確定【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到OP的長(zhǎng)，再設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根據(jù)△PEF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，從而得到=，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似解答．【解答】解：令x=0，則y=1，∴OP=1，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則AD=﹣m2+1，∵AB⊥y軸，AD⊥x軸，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=1﹣（﹣m2+1）=m2，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，在Rt△POD中，PD===，由AB∥x軸得，△PEF∽△PDO，∴=，即=，解得，PE=m2，∴PA2=PD?PE=m4+m2，∴=，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，即，△PAD與△PEA始終相似．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，表示出兩個(gè)三角形的公共角的夾邊成比例是解題的關(guān)鍵．（2015?天橋區(qū)一模）如圖，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：①拋物線y=ax2（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn)；②x＞0時(shí)，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③AB的長(zhǎng)度可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當(dāng)﹣3＜x＜2時(shí)，ax2+kx＜b，其中正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】①由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷即可；②根據(jù)圖象得到一次函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，拋物線當(dāng)x大于0時(shí)為增函數(shù)，本選項(xiàng)正確；③AB長(zhǎng)不可能為5，由A、B的橫坐標(biāo)求出AB為5時(shí)，直線AB與x軸平行，即k=0，與已知矛盾；④三角形OAB不可能為等邊三角形，因?yàn)镺A與OB不可能相等；⑤直線y=﹣kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對(duì)稱，作出對(duì)稱后的圖象，故y=﹣kx+b與拋物線交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為﹣3與2，找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方時(shí)x的范圍判斷即可．【解答】解：①拋物線y=ax2，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），本選項(xiàng)正確；②根據(jù)圖象得：直線y=kx+b（k≠0）為增函數(shù)；拋物線y=ax2（a≠0）當(dāng)x＞0時(shí)為增函數(shù)，則x＞0時(shí)，直線與拋物線函數(shù)值都隨著x的增大而增大，本選項(xiàng)正確；③由A、B橫坐標(biāo)分別為﹣2，3，若AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④若OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤直線y=﹣kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示：可得出直線y=﹣kx+b與拋物線交點(diǎn)C、D橫坐標(biāo)分別為﹣3，2，由圖象可得：當(dāng)﹣3＜x＜2時(shí)，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，則正確的結(jié)論有①②⑤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練對(duì)稱性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是判斷命題⑤的關(guān)鍵．（2014?日照三模）如圖，A1、A2、A3是拋物線y=ax2（a＞0）上的三點(diǎn)，A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸，垂足為B1、B2、B3，直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C．A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)n﹣1、n、n+1，則線段CA2的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．n D．n﹣1【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；梯形中位線定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意知：A1B1∥A2B2∥A3B3，B1B2=B2B3，得到A1C=CA3，求出B2C的長(zhǎng)，把x=n代入解析式求出A2B2的長(zhǎng)，相減即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意知：A1B1∥A2B2∥A3B3，B1B2=B2B3，∴A1C=CA3，∴B2C=（A1B1+A3B3），=[a（n﹣1）2+a（n+1）2]，=an2+a，∵A2B2=an2，CA2=B2C﹣A2B2=a．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了梯形的中位線定理，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出B2C的長(zhǎng)．（2014?大港區(qū)一模）如圖，拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）與x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1．若四邊形AC1A1C為矩形，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（）A．a(chǎn)b=﹣2 B．a(chǎn)b=﹣3 C．a(chǎn)b=﹣4 D．a(chǎn)b=﹣5【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．【解答】解：令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB=2，BC==．要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB=BC，∴2=．∴4×（﹣）=b2﹣，∴ab=﹣3．∴a，b應(yīng)滿足關(guān)系式ab=﹣3．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于一點(diǎn)中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（2013?湖州）如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過圖中的三個(gè)格點(diǎn)，則以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OB的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是（）A．16 B．15 C．14 D．13【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)在OB上的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3可知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，開口向下，經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識(shí)與二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，作出圖形更形象直觀．（2013?泰安模擬）如圖，拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖∵拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點(diǎn)，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣2=﹣1，當(dāng)x=時(shí)，y=x﹣2=﹣，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），∵拋物線對(duì)稱軸方程為：x=﹣=作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與對(duì)稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長(zhǎng)BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．（2013?寧波模擬）如圖，OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點(diǎn)B在拋物線y=ax2（a＜0）的圖象上，則a的值為（）A． B． C．﹣2 D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】連接OB，過B作BD⊥x軸于D，若OC與x軸正半軸的夾角為15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了邊長(zhǎng)，易求得對(duì)角線OB的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．【解答】解：如圖，連接OB，過B作BD⊥x軸于D；則∠BOC=45°，∠BOD=30°；已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則OB=；Rt△OBD中，OB=，∠BOD=30°，則：BD=OB=，OD=OB=；故B（，﹣），代入拋物線的解析式中，得：（）2a=﹣，解得a=﹣；故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，能夠正確地構(gòu)造出與所求相關(guān)的直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵．（2013?大連一模）如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)P在線段MN上移動(dòng)．若點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最大值為3，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)頂點(diǎn)P在線段MN上移動(dòng)，又知點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），分別求出對(duì)稱軸過點(diǎn)M和N時(shí)的情況，即可判斷出A點(diǎn)坐標(biāo)的最小值．【解答】解：根據(jù)題意知，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最大值為3，即可知當(dāng)對(duì)稱軸過N點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)最大，此時(shí)的A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），當(dāng)可知當(dāng)對(duì)稱軸過M點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)最小，此時(shí)的B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)最小為（﹣3，0），故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為﹣3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸的特點(diǎn)，此題難度一般．（2013?株洲模擬）如圖，已知點(diǎn)A（12，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，A），過P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y1和過P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C，射線OB與AC相交于點(diǎn)D．當(dāng)OD=AD=8時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于（）A．5 B．2 C．8 D．6【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=6，DE=2．設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．【解答】解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=8，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=6，由勾股定理得：DE==2．設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴=，=，∵AM=PM=（OA﹣OP）=（12﹣2x）=6﹣x，即=，=，解得：BF=x，CM=2﹣x，∴BF+CM=2．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．（2013?鹽城模擬）如圖，分別過點(diǎn)Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作x軸的垂線，交的圖象于點(diǎn)Ai，交直線于點(diǎn)Bi．則的值為（）A． B．2 C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)Ai的縱坐標(biāo)與Bi縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和為AiBi的長(zhǎng)，分別表示出所求式子的各項(xiàng)，拆項(xiàng)后抵消即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1），∴==2（﹣），∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)綜合題，屬于規(guī)律型試題，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（2012?義烏市）如圖，已知拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．例如：當(dāng)x=1時(shí)，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時(shí)M=0．下列判斷：①當(dāng)x＞0時(shí)，y1＞y2；②當(dāng)x＜0時(shí)，x值越大，M值越??；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)以及M值的取法，分別利用圖象進(jìn)行分析即可得出答案．【解答】解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1；∴①錯(cuò)誤；∵拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；∴當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可以得出x值越大，M值越大；∴②錯(cuò)誤；∵拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），當(dāng)x=0時(shí)，M=2，拋物線y1=﹣2x2+2，最大值為2，故M大于2的x值不存在；∴使得M大于2的x值不存在，∴③正確；∵當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，使得M=1時(shí)，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣，當(dāng)y2=2x+2=1，解得：x=﹣，由圖象可得出：當(dāng)x=＞0，此時(shí)對(duì)應(yīng)y1=M，∵拋物線y1=﹣2x2+2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），（﹣1，0），∴當(dāng)﹣1＜x＜0，此時(shí)對(duì)應(yīng)y2=M，故M=1時(shí)，x1=，x2=﹣，使得M=1的x值是或．∴④正確；故正確的有：③④．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵．（2012?大連）如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P在折線C﹣D﹣E上移動(dòng)，若點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)分別為（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小值為1，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】拋物線在平移過程中形狀沒有發(fā)生變化，因此函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)在平移前后不會(huì)改變．首先，當(dāng)點(diǎn)B橫坐標(biāo)取最小值時(shí)，函數(shù)的頂點(diǎn)在C點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式；而點(diǎn)A橫坐標(biāo)取最大值時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)應(yīng)移動(dòng)到E點(diǎn)，結(jié)合前面求出的二次項(xiàng)系數(shù)以及E點(diǎn)坐標(biāo)可確定此時(shí)拋物線的解析式，進(jìn)一步能求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)最大值．【解答】解：由圖知：當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1時(shí)，拋物線頂點(diǎn)取C（﹣1，4），設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+4，代入點(diǎn)B坐標(biāo)，得：0=a（1+1）2+4，a=﹣1，即：B點(diǎn)橫坐標(biāo)取最小值時(shí)，拋物線的解析式為：y=﹣（x+1）2+4．當(dāng)A點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)應(yīng)取E（3，1），則此時(shí)拋物線的解析式：y=﹣（x﹣3）2+1=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣2）（x﹣4），即與x軸的交點(diǎn)為（2，0）或（4，0）（舍去），∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為2．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)綜合題，解答該題的關(guān)鍵在于讀透題意，要注意的是拋物線在平移過程中形狀并沒有發(fā)生變化，改變的是頂點(diǎn)坐標(biāo)．注意拋物線頂點(diǎn)所處的C、E兩個(gè)關(guān)鍵位置，前者能確定函數(shù)解析式、后者能得到要求的結(jié)果．（2012?余杭區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+mc（a≠0）的圖象經(jīng)過正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)，且ac=﹣2，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】壓軸題．【分析】主要考正方形性質(zhì)，把c點(diǎn)坐標(biāo)求出來代入二次函數(shù)y=ax2+mc中就可以求出m了．【解答】解：令x=0，得A點(diǎn)坐標(biāo)（0，mc），因?yàn)樗倪呅蜛BOC為正方形，知∠AOC=45°，所以c點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），代入得：=，左右兩邊都除以mc得：amc+2=0，又有ac=﹣2，∴m=1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合了二次函數(shù)方程考查正方形性質(zhì)，要學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用．（2012?順平縣四模）下列圖形中，陰影部分的面積為2的有（）個(gè)．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；圖表型；數(shù)形結(jié)合．【分析】①分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式即可求解；②把x=1代入函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的y，然后利用三角形的面積公式即可求解；③首先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式即可求解；④根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：①y=﹣x+2，當(dāng)x=0，y=2，當(dāng)y=0，x=2，∴S陰影部分=×2×2=2；②y=4x，當(dāng)x=1，y=4，∴S陰影部分=×1×4=2；③y=x2﹣1，當(dāng)x=0，y=﹣1，當(dāng)y=0，x=±1，S陰影部分=×1×2=1；④y=，∴xy=4，∴S陰影部分=×4=2；故陰影部分的面積為2的有①②④．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)也利用了三角形的面積公式，解題時(shí)要求學(xué)生熟練掌握三種函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能解決問題．（2012?云和縣模擬）記拋物線y=﹣x2+2012的圖象與y正半軸的交點(diǎn)為A，將線段OA分成2012等份，設(shè)分點(diǎn)分別為P1，P2，…，P2011，過每個(gè)分點(diǎn)作y軸的垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)Q1，Q2，…，Q2011，再記直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面積分別為S1，S2，…，這樣就記w=s12+s22+…+s20112，W的值為（）A．505766 B．505766.5 C．505765 D．505764【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，再利用拋物線解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P2011Q2011的平方的值，利用三角形的面積表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根據(jù)等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵P1，P2，…，P2011將線段OA分成2012等份，∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，∵過分點(diǎn)P1作y軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)Q1，∴﹣x2+2012=1，解得x2=2011，∴S12=（×1×P1Q1）2=×2011，同理可得S22=×2010，S32=×2009，…S20112=×1，∴w=S12+S22+S32+…+S20112=×2011+×2010+×2009+…+×1=×=505766.5．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，根據(jù)圖形的變化規(guī)律，分別表示出各三角形的面積的平方是解題的關(guān)鍵．（2012?安徽模擬）拋物線y=ax2+3ax+b的一部分圖象如圖，設(shè)該拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣5，0）和B，與y軸的交點(diǎn)為C，若△ACO∽△CBO，則∠CAB的正切值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】由對(duì)稱軸可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在y軸上，所以可寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），∵拋物線稱軸為直線x=﹣==﹣，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為=﹣，∴x=2，即B（2，0），∴AO=5BO=2．∵△ACO∽△CBO，∴=，∴=，∴0C=．∴∠CAB的正切值=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及拋物線的一些基礎(chǔ)知識(shí)，能夠在理解的基礎(chǔ)上熟練解題．（2012?杭州模擬）關(guān)于x的二次函數(shù)+，其中a為銳角，則：①當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)有最小值﹣；②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，并且當(dāng)a為45°時(shí)，連接這三個(gè)交點(diǎn)所圍成的三角形面積小于1；③當(dāng)a＜60°時(shí)，函數(shù)在x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；④無論銳角a怎么變化，函數(shù)圖象必過定點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】計(jì)算題；代數(shù)綜合題；壓軸題．【分析】①由于2sina＞0，所以函數(shù)一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最小值．②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可能有三個(gè)：與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)．首先將a的值代入解析式，先設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1、x2，那么這兩點(diǎn)間的距離可表示為|x1﹣x2|=，以這條線段為底，拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可得到三交點(diǎn)圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．③由①知，拋物線的開口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對(duì)稱軸方程，若x=1在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，那么隨x的增大，y值先減小后增大．④圖象若過定點(diǎn)，那么函數(shù)值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項(xiàng)拿出來，然后令sina的系數(shù)為0，可據(jù)此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：①當(dāng)a=30°時(shí)，sina=，二次函數(shù)解析式可寫作：y=x2﹣x=（x﹣）2﹣；所以當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣；故①正確．②令y=0，則有：2sinax2﹣（4sina+）x﹣sina+=0，△=（4sina+）2﹣4×2sina×（﹣sina+）=24sin2a+＞0，所以拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，再加上拋物線與y軸的交點(diǎn)，即與坐標(biāo)軸可能有三個(gè)交點(diǎn)（當(dāng)圖象過原點(diǎn)時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn)）；設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（x1，0）、（x2，0）；當(dāng)a=45°時(shí)，sina=，得：y=x2﹣（2+）x﹣，則：三角形的面積S=|x1﹣x2|×=×=×≈0.3＜1故②正確．③∵2sina＞0，且對(duì)稱軸x=﹣=1+＞1，∴x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，因此x＞1時(shí)，y隨x的增大先減小后增大；故③錯(cuò)誤．④y=2sinax2﹣（4sina+）x﹣sina+=sina（2x2﹣4x﹣1）﹣x+；當(dāng)2x2﹣4x﹣1=0，即x=1±時(shí)，拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（1+，﹣）、（1﹣，）；故④正確．綜上，正確的選項(xiàng)是①②④，故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題雖然是選擇題，但難度和計(jì)算量都比較大，將三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合在一起的形式也加大了題目的難度．主要涉及到：二次函數(shù)最值的求法、三角形面積的求法、二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式的聯(lián)系等幾方面的知識(shí)，這就要求同學(xué)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握并進(jìn)一步做到靈活運(yùn)用．（2012?杭州模擬）如圖，A0（0，0），A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），…An（n，n2）（n是非負(fù)整數(shù)）是拋物線一組橫坐標(biāo)相隔為單位1的點(diǎn)，過A0作x軸的垂線與過點(diǎn)A1作y軸的垂線得交點(diǎn)B0，依次而作得B0，B1，…Bn﹣1．若記△A1B0A0面積為S1，△A2B1A1面積為S2，…則△A6B5A5面積S6面積為（）A．4.5 B．5.5 C．11 D．18【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】結(jié)合題意，我們可得到A6、A5兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A6（6，36），A5（5，25），又橫坐標(biāo)為單位1的點(diǎn)，所以有A6B5=1，結(jié)合題意，B5A5為點(diǎn)A5到B5A6的距離，即B5A5=11，有△A6B5A5為直角三角形，故S△A6B5A5=?1?11=5.5．【解答】解：根據(jù)題意，可知An+1BnAn均為直角三角形，又A6（6，36），A5（5，25），且A6B5=1，B5A5為點(diǎn)A5到B5A6的距離，即B5A5=11，即S△A6B5A5=?1?11=5.5．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生對(duì)題目的準(zhǔn)確分析和把握的能力，理解清楚題目的要求，這道題目便出來了，這道題目主要是要知道三角形為直角三角形，并且能夠利用已知條件得出各點(diǎn)的坐標(biāo)．（2012?杭州模擬）對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線與x軸交于An、Bn兩點(diǎn)，以AnBn表示這兩點(diǎn)間的距離，則A1B1+A2B2+…+A2010B2010的值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】由題意n為自然數(shù)，拋物線與x軸交于AnBn兩點(diǎn)，關(guān)鍵是把方程x2﹣x+=0分解因式，求出方程的解，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律來解題．【解答】解：∵拋物線與x軸交于An、Bn兩點(diǎn)，令y=0得，x2﹣x+=0，∴方程分解為：（x﹣）（x﹣）=0，∴AnBn=﹣，∴A1B1+A2B2+…+A2010B2010=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，要充分運(yùn)用這一點(diǎn)來解題．解此題的關(guān)鍵是要會(huì)分解因式，找出AnBn的表達(dá)式．（2012?小店區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)．若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，且以A、C、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】由于以A、C、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形并沒有明確邊和對(duì)角線，所以要分兩種情況討論：①以AC為邊，那么EP∥AC，且EP=AC；②以AC為對(duì)角線，那么AE必與CP平行，因此CP∥x軸；根據(jù)上述兩種情況，通過畫圖可找出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．【解答】解：①以AC為邊時(shí)，EPAC，共兩種情況，如圖①；②以AC為對(duì)角線時(shí)，AE∥CP，由于點(diǎn)E在x軸上，因此CP∥x軸，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P的條件，如圖②；綜上，共有三個(gè)符合條件的P點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】在不明確平行四邊形四頂點(diǎn)的排序順序時(shí)，一定需要進(jìn)行分類討論，由于題目是選擇題，因此只需根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)，通過作圖找出符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．（2011?安順）正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．設(shè)小正方形EFGH的面積為y，AE=x．則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根據(jù)y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函數(shù)關(guān)系式，判斷函數(shù)圖象．【解答】解：依題意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，判斷圖形的自變量取值范圍，開口方向及對(duì)稱軸．（2011?連城縣校級(jí)自主招生）如圖已知A1，A2，A3，…An是x軸上的點(diǎn)，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1，分別過點(diǎn)A1，A2，A3，…An′作x軸的垂線交二次函數(shù)y=x2（x＞0）的圖象于點(diǎn)P1，P2，P3，…Pn，若記△OA1P1的面積為S1，過點(diǎn)P1作P1B1⊥A2P2于點(diǎn)B1，記△P1B1P2的面積為S2，過點(diǎn)P2作P2B2⊥A3P3于點(diǎn)B2，記△P2B2P3的面積為S3，…依次進(jìn)行下去，最后記△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面積為Sn，則Sn=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；三角形的面積．【專題】計(jì)算題；壓軸題；規(guī)律型．【分析】把x=n和x=n﹣1代入二次函數(shù)求出y的值，即可求出三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【解答】解：二次函數(shù)y=x2，由圖象知：當(dāng)x=n時(shí)，y=n2，當(dāng)x=n﹣1時(shí)，y=（n﹣1）2，∴Sn=×1×[n2﹣（n﹣1）2]，=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出三角形的邊長(zhǎng)．（2011?浙江模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線y=x﹣1、雙曲線、拋物線y=﹣2x2+12x﹣15共有多少個(gè)交點(diǎn)（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】對(duì)于一次函數(shù)y=x﹣1和反比例函數(shù)線，一次函數(shù)y=x﹣1和拋物線y=﹣2x2+12x﹣15共可分別聯(lián)立它們的解析式解方程組，求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；反比例函數(shù)和拋物線y=﹣2x2+12x﹣15可借助于它們的圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：∵直線y=x﹣1，拋物線y=﹣2x2+12x﹣15，∴x﹣1=﹣2x2+12x﹣15．∴2x2﹣11x+14=0，a=2，b=﹣11，c=14，∴△=b2﹣4ac=121﹣4×2×14＞0，∴x=，∴x1=，x2=2．∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（2，1）．∴直線y=x﹣1和拋物線y=﹣2x2+12x﹣15有兩個(gè)交點(diǎn)．∵直線y=x﹣1，雙曲線，∴x﹣1=，∴x2﹣x﹣2=0，a=1，b=﹣1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=1﹣（﹣8）=9＞0∴x=，∴x1=2，x2=﹣1．∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），（﹣1，﹣2）．∴直線y=x﹣1和雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．把拋物線y=﹣2x2+12x﹣15配方的：y=﹣2（x﹣3）2+3，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）．當(dāng)x=3時(shí)，雙曲線，y=，當(dāng)x=3時(shí)，拋物線y=﹣2x2+12x﹣15=3，∵＜3，∴雙曲線y=和拋物線y=﹣2x2+12x﹣15，在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)．利用圖象可知，它們?cè)诘谌笙捱€有一個(gè)交點(diǎn)．而x=2時(shí)，雙曲線y=1，拋物線y=1，∴（2，1）是這三個(gè)交點(diǎn)中的其中一個(gè)．因此，（2，1）是直線、雙曲線、拋物線的共點(diǎn)．∴直線、雙曲線、拋物線共有5個(gè)交點(diǎn)．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，解決此類問題的思路聯(lián)立解析式解方程組即可．有時(shí)也要借助與它們的圖象．（2010?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)（拋物線隨頂點(diǎn)一起平移），與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為（）A．﹣3 B．1 C．5 D．8【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】當(dāng)C點(diǎn)橫坐標(biāo)最小時(shí)，拋物線頂點(diǎn)必為A（1，4），根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸，可判斷出CD間的距離；當(dāng)D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為B（4，4），再根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸及CD的長(zhǎng)，可判斷出D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大值．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為﹣3時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為A（1，4），對(duì)稱軸為x=1，此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，則CD=8；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)為B（4，4）時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】能夠正確地判斷出點(diǎn)C橫坐標(biāo)最小、點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．（2010?遵義）如圖，兩條拋物線y1=﹣x2+1，y2=與分別經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（）A．8 B．6 C．10 D．4【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】?jī)珊瘮?shù)差的絕對(duì)值乘以兩條直線的距離即可得到所求的陰影部分的面積．【解答】解：∵兩解析式的二次項(xiàng)系數(shù)相同，∴兩拋物線的形狀完全相同，∴y1﹣y2=﹣x2+1﹣（﹣x2﹣1）=2；∴S陰影=（y1﹣y2）×|2﹣（﹣2）|=2×4=8，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查能否正確的判斷出陰影部分面積，而解答此題．（2010?資陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)A1，A2，…，A2011在函數(shù)y=x2位于第二象限的圖象上，點(diǎn)B1，B2，…，B2011在函數(shù)y=x2位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C1，C2，…，C2011在y軸的正半軸上，若四邊形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2010A2011C2011B2011都是正方形，則正方形C2010A2011C2011B2011的邊長(zhǎng)為（）A．2010 B．2011 C．2010 D．2011【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)正方形對(duì)角線平分一組對(duì)角可得OB1與y軸的夾角為45°，然后表示出OB1的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)B1的坐標(biāo)，然后求出OB1的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出OC1，表示出C1B2的解析式，與拋物線聯(lián)立求出B2的坐標(biāo)，然后求出C1B2的長(zhǎng)，再求出C1C2的長(zhǎng)，然后表示出C2B3的解析式，與拋物線聯(lián)立求出B3的坐標(biāo)，然后求出C2B3的長(zhǎng)，從而根據(jù)邊長(zhǎng)的變化規(guī)律解答即可．【解答】解：∵OA1C1B1是正方形，∴OB1與y軸的夾角為45°，∴OB1的解析式為y=x，聯(lián)立，解得，，∴點(diǎn)B1（1，1），OB1==，∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式為y=x+2，聯(lián)立，解得，，∴點(diǎn)B2（2，4），C1B2==2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式為y=x+（4+2）=x+6，聯(lián)立，解得，，∴點(diǎn)B3（3，9），C2B3==3，…，依此類推，正方形C2010A2011C2011B2011的邊長(zhǎng)C2010B2011=2011．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，正方形的性質(zhì)，表示出正方形的邊長(zhǎng)所在直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．（2010?阜陽(yáng)校級(jí)自主招生）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+8的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分BC，若在x軸上側(cè)的A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC為銳角，則AD的取值范圍是（）A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】首先設(shè)出B、C的坐標(biāo)，用韋達(dá)定理求出BC的長(zhǎng)，若以BC為直徑作圓，根據(jù)圓周角定理易得出當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，∠BAC為銳角，那么AD的長(zhǎng)就應(yīng)該在BC和DP之間（設(shè)P為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)），且AD不等于BC．【解答】解：設(shè)B（m，0），C（n，0）；則有：m+n=2，mn=﹣8；故BC===6；設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，則P（1，9）；∴BC＜AD≤DP，即3＜AD≤9；故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、圓周角定理等知識(shí)，能夠正確的根據(jù)圓周角定理判斷出∠BAC是銳角時(shí)A點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵．（2010?邢臺(tái)一模）如圖，點(diǎn)A（m，n）是一次函數(shù)y=2x的圖象上的任意一點(diǎn)，AB垂直于x軸，垂足為B，那么三角形ABO的面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的圖象．【專題】壓軸題．【分析】因?yàn)锳（m，n）是一次函數(shù)y=2x的圖象上的任意一點(diǎn)，所以n=2m．根據(jù)三角形面積公式即可得出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)關(guān)系式即可解答．【解答】解：由題意可列該函數(shù)關(guān)系式：S=|m|?2|m|=m2，因?yàn)辄c(diǎn)A（m，n）是一次函數(shù)y=2x的圖象上的任意一點(diǎn)，所以點(diǎn)A（m，n）在第一或三象限，又因?yàn)镾＞0，所以取第一、二象限內(nèi)的部分．故選D．【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)熟記：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．且注意分析題中的“小細(xì)節(jié)”．（2009?湖州）已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過81個(gè)格點(diǎn)中的多少個(gè)（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的圖象．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】建立如圖坐標(biāo)系，水平為x軸，豎直為y軸，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+bx+c，要使得點(diǎn)最多，取整數(shù)點(diǎn)（0，1），（1，1），（2，2）代入拋物線的解析式，求出a、b、c的值，再把各整數(shù)格點(diǎn)代入求解即可．【解答】解：由題意，建立如圖坐標(biāo)系，水平為x軸，豎直為y軸，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+bx+c，要使得格點(diǎn)最多，拋物線如圖所示：取整數(shù)點(diǎn)D（0，1），E（1，1），F(xiàn)（2，2）代入拋物線的解析式得，1=a×02+0×b+c，1=a×12+1×b+c，2=a×22+2b+c，解得a=，b=，c=1，故y=x2﹣x+1，∴A（﹣3，7）；B（﹣2，4）；C（﹣1，2）；D（0，1）；E（1，1）F（3，4）；G（3，4）；H（4，7）共8個(gè)．建立坐標(biāo)系的方法：設(shè)方格左下角為（0，0），沿著方格的邊沿建立直角坐標(biāo)系．取拋物線為y=（x﹣3）（x﹣4），則它能經(jīng)過8個(gè)格點(diǎn)：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）．對(duì)于任意的二次函數(shù)，如果我們依次考察x=0，1，2，…，8時(shí)的值，并依次用后一個(gè)值減去前一個(gè)值，總得到一個(gè)等差數(shù)列．要使經(jīng)過的格點(diǎn)盡量多，則這個(gè)等差數(shù)列的公差要盡量小，且為整數(shù)．因此，令公差為1，這相當(dāng)于取二次項(xiàng)系數(shù)為．驗(yàn)證：如果拋物線經(jīng)過9個(gè)格點(diǎn)，那么在拋物線的頂點(diǎn)及一側(cè)至少經(jīng)過5個(gè)格點(diǎn)，由于這5個(gè)格點(diǎn)的橫坐標(biāo)都差1，考慮到拋物線的遞增或遞減趨勢(shì)，這5點(diǎn)的縱坐標(biāo)的極差不小于1+2+3+4=10，顯然這5個(gè)格點(diǎn)不全在8×8網(wǎng)格之內(nèi)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道新穎題，定義了一個(gè)格點(diǎn)的概念，思路比較開放，要建立合適的坐標(biāo)系來找最多格點(diǎn)，考查了拋物線的基本性質(zhì)．（2008?杭州）如圖，記拋物線y=﹣x2+1的圖象與x正半軸的交點(diǎn)為A，將線段OA分成n等份，設(shè)分點(diǎn)分別為P1，P2，…Pn﹣1，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)Q1，Q2，…，Qn﹣1，再記直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，Pn﹣2Pn﹣1Qn﹣1的面積分別為S1，S2，…，這樣就有S1=，S2=，…；記W=S1+S2+…+Sn﹣1，當(dāng)n越來越大時(shí)，你猜想W最接近的常數(shù)是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】已知點(diǎn)Pn都在x軸上且將線段OA分成n等份，則每等分為，點(diǎn)Qn都在拋物線y=﹣x2+1上，三角形面積等于底乘以高的積的，利用垂直條件求出高，就可以把OP1Q1，P1P2Q2，…的面積表示出來，找出規(guī)律，寫出Sm的表達(dá)式再求和，最后當(dāng)n很大時(shí)，求出W最接近的常數(shù)．【解答】解：由圖象知S3=，總結(jié)出規(guī)律：，則w=S1+S2+…+Sn﹣1=++…+====﹣﹣+﹣=﹣﹣，當(dāng)n越來越大時(shí)，可知W最接近的常數(shù)為．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查拋物線性質(zhì)和面積公式，是道規(guī)律題，要結(jié)合圖象和幾何關(guān)系，求出統(tǒng)一表達(dá)式Sm，學(xué)會(huì)觀察圖形求面積．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是正方形ABCD邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】本題需先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，然后得出y與x、m是二次函數(shù)關(guān)系，從而得出函數(shù)的圖象．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，則m＞0，∵AE=x，∴DH=x，∴AH=m﹣x，∵EH2=AE2+AH2，∴y=x2+（m﹣x）2，y=x2+x2﹣2mx+m2，y=2x2﹣2mx+m2，=2[（x﹣m）2+]，=2（x﹣m）2+m2，∴y與x的函數(shù)圖象是A．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在解題時(shí)要能根據(jù)幾何圖形求出解析式，得出函數(shù)的圖象．（2004?深圳）拋物線過點(diǎn)A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x軸的直線CD交拋物線于點(diǎn)C、D，以AB為直徑的圓交直線CD于點(diǎn)E、F，則CE+FD的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意，G為直徑AB的中點(diǎn)，連接GE，過G點(diǎn)作GH⊥CD于H．知CE+FD=CD﹣EF=CD﹣2EH，分別求出CD，EF即可．【解答】解：由題意得：D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，），如圖，G為直徑AB的中點(diǎn)，連接GE，過G點(diǎn)作GH⊥CD于H．則GH=，EG=2，則EH==1∴CE+FD=CD﹣EF=CD﹣2EH=6﹣2=4．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題首先要正確分析出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算．（2002?濟(jì)南）拋物線y=ax2與直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】此題主要考數(shù)形結(jié)合，畫出圖形找出范圍，問題就好解決了．【解答】解：由右圖知：A（1，2），B（2，1），再根據(jù)拋物線的性質(zhì)，|a|越大開口越小，把A點(diǎn)代入y=ax2得a=2，把B點(diǎn)代入y=ax2得a=，則a的范圍介于這兩點(diǎn)之間，故≤a≤2．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生的觀察能力，把函數(shù)性質(zhì)與正方形連接起來，要學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合．（2002?河北）如圖，二次函數(shù)y=x2﹣4x+3的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，則△ABC的面積為（）A．6 B．4 C．3 D．1【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，即△ABC的底和高求出，然后根據(jù)公式求面積．【解答】解：在y=x2﹣4x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，x=1、3；當(dāng)x=0時(shí)，y=3；即A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）故△ABC的面積為：×2×3=3；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)．下列圖形中陰影部分的面積相等的是（）A．甲乙 B．乙丙 C．丙丁 D．甲丁【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)各圖形的函數(shù)解析式求出函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得各個(gè)陰影部分的面積，進(jìn)而可比較出個(gè)陰影部分面積的大小關(guān)系．【解答】解：甲：直線y=﹣x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），（0，2），故S陰影=×2×2=2；乙：圖中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；丙：該拋物線與坐標(biāo)軸交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S=×2×1=1；?。捍撕瘮?shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為：S=xy=×2=1；因此丙、丁的面積相等，故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及圖形面積的求法，是基礎(chǔ)題，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．（2015?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=﹣．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；②先證得CD∥x軸，進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x），分兩種情況討論即可求得；（2）若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線交于y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＞0時(shí)，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．【解答】解：（1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1，BF=AO=2，∴D的坐標(biāo)是（3，1），根據(jù)題意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，∴b=，∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+x；②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴C（，1），∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，∴CD∥x軸，∴∠BCD=∠ABO，∴∠BAO與∠BCD互余，要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x），（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，則tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，∴﹣x2+x=，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3則tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，∴﹣x2+x=﹣，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余．（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．分兩種情況：①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)．（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，直線OQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的Q有2個(gè)；（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)；（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q才兩個(gè)．根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時(shí)直線OQ的斜率為﹣，則直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣或a＞．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)，最小值等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．（2015?金堂縣二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-直接開平方法；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】當(dāng)C點(diǎn)橫坐標(biāo)最小時(shí)，拋物線頂點(diǎn)必為A（1，4），根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸，可判斷出CD間的距離；當(dāng)D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為B（4，4），再根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸及CD的長(zhǎng)，可判斷出D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大值．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為﹣3時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為A（1，4），對(duì)稱軸為x=1，此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，則CD=8；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)為B（4，4）時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)最大，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8；故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，用直接開平方法解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，理解題意并根據(jù)已知求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)比較典型的題目．（2015?東至縣一模）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m=﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個(gè)定點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有①②④．（只需填寫序號(hào)）【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；新定義．【分析】①把m=﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問題；③首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；④根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；①當(dāng)m=﹣3時(shí)，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；此結(jié)論正確；②當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，|x2﹣x1|=+＞，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于，此結(jié)論正確；③當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一個(gè)開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減?。?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，=﹣＞，即對(duì)稱軸在x=右邊，因此函數(shù)在x=右邊先遞增到對(duì)稱軸位置，再遞減，此結(jié)論錯(cuò)誤；④當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個(gè)定點(diǎn)此結(jié)論正確．根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．（2015?棗莊校級(jí)三模）若拋物線與滿足，則稱y1，y2互為“相關(guān)拋物線”．給出如下結(jié)論：①y1與y2的開口方向，開口大小不一定相同；②y1與y2的對(duì)稱軸相同；③若y2的最值為m，則y1的最值為k2m；④若y2與x軸的兩交點(diǎn)間距離為d，則y1與x軸的兩交點(diǎn)間距離也為d．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是①②④（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)相關(guān)拋物線的條件，a1、a2的符號(hào)不一定相同，即可得到開口方向、開口大小不一定相同，代入對(duì)稱軸﹣和即可判斷②、③，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與x軸的兩交點(diǎn)的距離|g﹣e|和|d﹣m|，即可判斷④．【解答】解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，①根據(jù)相關(guān)拋物線的條件，a1、a2的符號(hào)不一定相同，所以開口方向、開口大小不一定相同；②因?yàn)?=k，代入﹣得到對(duì)稱軸相同；③因?yàn)槿绻鹹2的最值是m，則y1的最值是=k?=km，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④因?yàn)樵O(shè)拋物線y1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（e，0），（g，0），則e+g=﹣，eg=，拋物線y2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），（d，0），則m+d=﹣，md=，可求得：|g﹣e|=|d﹣m|=，故本選項(xiàng)正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)相關(guān)拋物線的條件進(jìn)行判斷．（2014?上城區(qū)校級(jí)模擬）我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3）AB為半圓直徑，半圓圓心M（1，0），半徑為2，則“蛋圓”的拋物線部分的解析式為y=x2﹣2x﹣3．經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”的切線的解析式為y=．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】首先根據(jù)題意確定出A、B、D點(diǎn)的坐標(biāo)．假設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．從圖中可看到拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、D，聯(lián)立組成方程組，解得a、b、c的值，拋物線解析式即可確定．首先根據(jù)M、半徑確定出“蛋圓”半圓部分的解析式．再求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)C、M點(diǎn)坐標(biāo)確定出直線CM的斜率，進(jìn)而根據(jù)兩直線垂直，斜率之積是﹣1．求得經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”的切線的斜率，進(jìn)而確定出切線的解析式．【解答】解：由題意得A（﹣1，0）、B（3，0）、D（0，﹣3）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、D∴可列出方程組，解得c=﹣3、a=1、b=﹣2，該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．∵半圓的圓心M（1，0），半徑為2，∴圓的解析式為半圓的解析式為（x﹣1）2+y2=4（y≥0），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，k），∵點(diǎn)C在半圓上，∴1+k2=4，解得k=即C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則直線CM的解析式斜率為，因而過點(diǎn)C圓M切線的解析式斜率為=故經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”的切線的解析式為y﹣=，即y=．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、直線解析式的確定、圓的切線問題．（2013?成都）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線y=x2﹣2交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在y軸左側(cè)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4），連接PA，PB．有以下說法：①PO2=PA?PB；②當(dāng)k＞0時(shí)，（PA+AO）（PB﹣BO）的值隨k的增大而增大；③當(dāng)k=時(shí)，BP2=BO?BA；④△PAB面積的最小值為．其中正確的是③④．（寫出所有正確說法的序號(hào)）【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】首先得到兩個(gè)基本結(jié)論：（Ⅰ）設(shè)A（m，km），B（n，kn），聯(lián)立兩個(gè)解析式，由根與系數(shù)關(guān)系得到：m+n=3k，mn=﹣6；（Ⅱ）直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱．利用以上結(jié)論，解決本題：（1）說法①錯(cuò)誤．如答圖1，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，若結(jié)論①成立，則可以證明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此產(chǎn)生矛盾，故說法①錯(cuò)誤；（2）說法②錯(cuò)誤．如答圖2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）=16為定值，故錯(cuò)誤；（3）說法③正確．聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求得BP、BO、BA，驗(yàn)證等式BP2=BO?BA成立，故正確；（4）說法④正確．由根與系數(shù)關(guān)系得到：S△PAB=2，當(dāng)k=0時(shí)，取得最小值為，故正確．【解答】解：設(shè)A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．聯(lián)立y=x2﹣2與y=kx得：x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6．設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，﹣4），A（m，km）代入得：，解得a=，b=﹣4，∴y=（）x﹣4．令y=0，得x=，