2024年廣東省中考一模數(shù)學試題（含答案解析）

2024年廣東省龍湖區(qū)新溪街道中考一模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列互為相反數(shù)的是（）

A.一2和-（+2）B.-1和-(T)

C.—4和+（—4）D.-5和_|+5]

3.中新網(wǎng)廣東新聞11月8日電，由廣州市創(chuàng)新試點“政府指導、商業(yè)運作”的鰭I歲康”

在2021至2023年，投保1118萬人次，獲賠金額最高的達104.9萬元，將數(shù)據(jù)104.9萬用

科學記數(shù)法表示為（）

A.1.049xl04B.1.049x10sC.1.049x10sD.1.049xlO7

4.如圖，把一個含30。角的直角三角尺的一個頂點放在直尺的一邊上，若/1=35。，則

C.20°D.25°

5.計算J的結果是（）

Q+1Q+1

6a

A.3B.3。+3C.2D.

。+1

6.開學前，根據(jù)學校要求，小寧同學連續(xù)14天進行了體溫測量，結果統(tǒng)計如下表:

體溫（℃）36.235.336.536.836.8

天數(shù)33422

這14天中，小寧體溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()

A.36.5℃,36.4℃B.36.5℃,36.5℃C.36.8℃,36.4℃D.36.8℃,36.5℃

l+x>0

7.在數(shù)軸上表示不等式21V。的解集正確的是（

試卷第1頁，共6頁

8.從實數(shù)亍，0,5,乃，布中隨機抽取一數(shù)，抽到無理數(shù)的概率是（）

12―34

A.—B.—C.-D.一

5555

9.如圖，45是半圓。的直徑，點C,。在半圓。上，若/5。。=140。，則的

度數(shù)為（）

10.如圖，在正方形48C。中，點4c的坐標分別是（1,2）,（-1,-2）,點B在拋物線

二、填空題

11.因式分解：xy2-16x=.

12.計算：V20x^=.

13.當溫度不變時，某氣球內的氣壓P（kPa）與氣體體積憶（n?）成反比例函數(shù)關系（其圖

象如圖所示），已知當氣球內的氣壓P>120kPa時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球

內氣體體積「應滿足的條件是.

試卷第2頁，共6頁

np.'kPa

14.一次生活常識競賽，一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣

1分，小明有2題沒答，競賽成績要不低于83分，則小明至少要答對道題.

15.如圖，將周長為8的AABC沿BC邊向右平移2個單位,得到ADEF,則四邊形ABFD

的周長為.

16.邊長分別為1的正方形和邊長分別為3與2的長方形按如圖所示放置，圖中陰影部

分的面積是.

三、解答題

17.(1)計算：V16+|V2-2l+V=M-2(1+72)°.

(2)已知y與x-1成正比例，當x=-l時，y=4,當x=-8時，求y的函數(shù)值.

18.2023年7月，第31屆世界大學生夏季運動會在成都舉辦，這是中國西部首次舉辦

世界級綜合性運動會，其吉祥物“馨寶”受到了廣大群眾的喜愛，某加工廠在運動會的前

期代加工一批吉祥物，已知甲工人每小時比乙工人多做6個，甲做90個所用的時間與

乙做60個所用的時間相等，求甲、乙每小時各做吉祥物多少個？

19.火災是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的災害，消防車是消防教援的主

要裝備.圖1是某種消防車云梯，圖2是其工作示意圖，當云梯OD升起時，OD與底盤

試卷第3頁，共6頁

0c的夾角為液壓桿48與底盤0c的夾角為".已知液壓桿48=4m,當a=45。,

6=60。時，求ZO的長.

20.如圖，已知直線機〃〃，點。在直線〃上，點3到直線機，”的距離分別為2,3.

(1)利用直尺和圓規(guī)作出以為底的等腰使點/在直線m上(保留作圖痕跡，

不寫作法).

⑵若(1)中得到的“8C為等腰直角三角形，求“3C的面積.

21.綜合與實踐

主題：如何利用閑置硬紙板制作收納盒，收納玩具.

素材：閑置的長方形(一張長為100cm,寬為40cm的硬紙板).

目標：

(1)把長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并

用膠帶粘好，即可做成一個長方體無蓋收納盒.若該無蓋收納盒的底面積為1216cm2,

求剪去的小正方形的邊長.

_1................L

4EEP

m圖2

(2)把長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體收納盒，如

圖所示，若E尸和的兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為702cm2.問可否把

家里一個玩具機械狗收納入內？機械狗的實物圖和尺寸大小如圖，請通過計算判斷玩具

機械狗能否完全放入該收納盒.

試卷第4頁，共6頁

22.2023年是“一帶一路”倡議提出10周年，為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，校學生處從八、

九年級同學中各抽取10名開展傳統(tǒng)文化知識競賽，為便于統(tǒng)計成績，制定了取整數(shù)的

計分方式，滿分10分，競賽成績如表所示.

學生編號一二三四五六七八九十

八年級8979867a108

九年級679791087710

(1)經(jīng)計算，八年級同學和九年級同學的平均成績都是8分，則表中的。=.

(2)八年級同學成績的中位數(shù)是多少？

(3)若八年級同學成績的方差是1.2,請求出九年級同學成績的方差，判斷八、九兩個年

級哪個年級的成績更為穩(wěn)定？

23.如圖，是O。的直徑，C是48延長線上的一點，。是。。上的一點，AD=CD,

且NC=30°.

(1)如圖1,求證：是。。的切線.

(2)如圖2,過上的點尸，作的平行線，交。。于點E,F,若48=6,BP=2,

試求BE?BF的值.

24.綜合探究

綜合與實踐課上，智慧星小組三位同學對含60。角的菱形進行了探究.

【背景】在菱形/BCD中，4=60。，作=AP,分別交邊3C,CD于

點P,Q.

(1)【感知】如圖1,若點尸是邊8C的中點，小智經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)了線段/P與之間的

數(shù)量關系，請你直接寫出這個關系為.

試卷第5頁，共6頁

(2)【探究】如圖2,當點P為3C上任意一點時，請說明(1)中的結論是否仍然成立,

并寫出理由.

(3)[應用】若菱形紙片ABCD中，N4BC=60°,=8,在BC邊上取一點P,連接AP,

在菱形內部作/尸/0=60°,N。交CD于點0,當/尸=7時，請直接寫出線段。。的長.

25.綜合運用

(1)如圖1,ZACE=90°,頂點C在直線8。上，過點A作于點8,過點E作

ED工BD于點、D,當3C=DE時，判斷線段/C與CE的數(shù)量關系；(直接寫出結果，

不要求寫解答過程)

4

(2)如圖2,直線4：y=]X+4與坐標軸交于點4B,將直線乙繞點B順時針旋轉45。至

直線4,求直線4的函數(shù)解析式；

⑶如圖3,四邊形/3CO為長方形，其中。為坐標原點，點3的坐標為(8,-6),點A在

V軸的負半軸上，點C在無軸的正半軸上，P是線段BC上的動點，。是直線＞=-2x+6

上的動點且在第四象限.若△4PO是以。為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點。的

坐標.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】本題考查相反數(shù)和絕對值的定義，符號不同，并且絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù),

據(jù)此逐項判斷即可，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A、-(+2)=-2,所以-2和-(+2)不是互為相反數(shù)，故選項不符合題意；

B、-(7)=1,所以T和-(-1)互為相反數(shù)，故選項符合題意；

C、+(-4)=-4,所以-4和+(-4)不是互為相反數(shù)，故選項不符合題意；

D、-|+5|=-5,所以-5和-罔不是互為相反數(shù)，故選項不符合題意；

故選：B.

2.B

【分析】掌握軸對稱圖形的定義：在平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是這個軸對稱圖形的對稱軸，判

斷是不是軸對稱圖形的關鍵是找出對稱軸，看圖形沿對稱軸對折后兩部分能否完全重合。

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不符合題意，選項錯誤；

B.不是軸對稱圖形，符合題意，選項正確；

C.是軸對稱圖形，不符合題意，選項錯誤；

D.是軸對稱圖形，不符合題意，選項錯誤.

故選：B.

3.C

【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式為0X10”的形式，

其中1＜忖＜10，"為整數(shù)即可求解，解題的關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【詳解】解：104.9萬=1.049x106,

故選：C.

4.D

【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余，由?！╞可得N3=N1=35。，由

直角三角形兩銳角互余可得/2+/3=60。，據(jù)此即可求解，掌握平行線和直角三角形的性

質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

答案第1頁，共19頁

1

a

*.9a//b,

：.Z3=Z1=35°,

???Z2+Z3=90°-30°=60°,

JZ2=60°—N3=60。—35。=25。，

故選：D.

5.A

【分析】同分母分式相加，分母不變，分子相加，進行計算即可.

■、斗即、々刀3a33a+33(〃+1)

【詳解】解：——+——=----=二——，=3；

。+1〃+1。+1。+1

故選A.

【點睛】本題考查分式的加減.熟練掌握同分母分式相加，分母不變，分子相加，是解題的

關鍵.注意結果要化為最簡分式或整式.

6.B

【分析】本題主要考查了眾數(shù)和中位數(shù)，熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的計算方法進行求解是解決

本題的關鍵.

【詳解】解：由統(tǒng)計表可知，

眾數(shù)為36.5°C,

中位數(shù)為36,5；36?5=36.5(℃).

所以這14天中，小寧體溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別為36.5°C,36.5°C.

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了一元一次不等式組的求解，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵,

掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中間，小大大小找不到”.

【詳…解】解：［fl+x皿>0?②

由①可得：X>—1,

由②可得：X<2,

答案第2頁，共19頁

則不等式的解集為：-l<x<2,

數(shù)軸表示為：T八；！A

故選：B.

8.B

【分析】本題主要考查了概率公式，正確得出無理數(shù)的個數(shù)是解題關鍵.

【詳解】解:從0,5,n，C這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，抽到的無理數(shù)的有萬，瓜,

這2種可能，

抽到的無理數(shù)的概率是：.

故選：B.

9.B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得

=90。,根據(jù)圓內接四邊形的性質得出乙4=40。，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即

可求解//3C,熟記圓周角定理及圓內接四邊形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：：四邊形N2DC為圓。的內接四邊形，

:.ZA+ZBDC=l^0°,

■：ZBDC=140°,

//=40°,

是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

:.ZA+ZABC=90°,

ZABC=50°,

故選：B.

10.D

【分析】本題考查了正方形的性質，余角性質，全等三角形的判定和性質，二次函數(shù)的圖象

和性質，作肱V_Lx軸，AM工MN于■M,BNLMN于'N,證明AZA?多A_8NC（AAS）得到

777—（一1）—2—YI

）=，解方程組得到BQ，T），

代入二次函數(shù)解析式得26+c=1,又由拋物線經(jīng)過原點得c=0,即可得到6=1,再代入b+c

2

答案第3頁，共19頁

計算即可求解，證明△41"且ASNC得到CN=5M,=是解題的關鍵.

【詳解】解：作軸，AM_LMN于M,BNLMN千N,AAMB=ZBNC=90°,

??,四邊形為正方形，

AAABC=90°,AB=BC,

：.DABM+^CBN=90°,

9：DABM+DBAM^90°,

???/BAM=/CBN,

*.*/AMB=ZBNC=90°,

.?.之△BNC(AAS),

CN=BM,BN=AM,

設3(九〃),

??,點4C的坐標分別是(1,2),(-1,-2),

.fm-(-1)=2-n

**[〃一(一2)-m-\'

fm=2

解得J

\n=-1

.*.5(2,-1),

:點3在拋物線了=-；/+bx+c的圖象上,

1

—x29+26+c=—1,

2

二.26+c=1,

?..拋物線經(jīng)過原點(0,0),

c=0,

答案第4頁，共19頁

26+0=1,

b+c=—F0=—,

22

故選：D.

ii.x(y+4)d)

【分析】本題主要考查了因式分解，先提取公因式X,再利用平方差公式分解因式即可得到

答案.

【詳解】解：xy2-16x

=x[y2-16)

=x(y+4)(y-4),

故答案為：x(y+4)(y_4).

12.回

【分析】本題考查了二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法法則求解即可，掌握二次根式的

乘法法則是解題的關鍵.

【詳解】解：720x^1=^20x1=40,

故答案為：V10.

13.K>0.8

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用，根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象是反比例函數(shù)，設〃=:，

因為圖象過點(1280),將點(1.2,80)代入即可得出函數(shù)解析式，再根據(jù)。4120kPa,即

96

y<120,即可求解，根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵.

【詳解】解：設p=￡,

?.?點(1.2,80)在反比例函數(shù)的圖象上，

80=—,

1.2

左=96,

答案第5頁，共19頁

?當氣球內的氣壓P>120kPa時，氣球將爆炸，

???為了安全起見，pW120kPa,

96

即一V120,

V

解得『NOMn?,

故答案為：K>0.8.

14.22

【分析】本題考查一元一次不等式的應用，設小明答對x道，根據(jù)“一共有25道題，答對一

題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，有2題沒答，競賽成績要不低于83分”可得相應

的一元一次不等式，解題的關鍵是讀懂題意，列出不等式.

【詳解】解：設小明答對x道，根據(jù)題意得：

4x-1x(25-2-x)>83

解得：x221.2

.?.小明至少要答對22道題.

故答案為：22.

15.12

【分析】先根據(jù)平移的性質可得NCnDECF：/。：？，再根據(jù)三角形的周長公式可得

AB+BC+AC=S,然后根據(jù)等量代換即可得.

【詳解】由平移的性質得：AC=DF,CF=AD=2,

?.?A48c的周長為8,

AB+BC+AC=8,

貝I四邊形ABFD的周長為/3+3尸+。尸+/。=/8+(BC+CF)+AC+AD,

=AB+BC+AC+2+2,

=8+2+2f

=12.

故答案為：12.

【點睛】本題考查了平移的性質等知識點，掌握理解平移的性質是解題關鍵.

答案第6頁，共19頁

2

【分析】由正方形的性質，線段的和差求出所=3,相似三角形的判定與性質求出4N=§,

根據(jù)線段的和差求得跖v=!，最后由三角形的面積公式求出陰影部分的面積是。.

36

【詳解】解：如圖所示：

/.AB=AD=2，EF=AM=1,

又EB=EA+AB,

:.EB=3

又?:AN//EF,

:AABNS^EBF,

.AB_AN

,?商一奇’

…AB「尸2?2

AN=EF=—x1=一,

￡533

又?:AM=AN+MN,

3

S"MN=gFM.MN

1?1

=—xlx—

23

=6；

故答案為：7.

6

17.(1)-V2;(2)18.

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，正比例函數(shù)的定義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

(1)原式利用平方根，立方根的定義，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)幕即可求解；

(2)利用正比例函數(shù)的定義，設〉=左(％-1),把已知的一組對應值代入求出上即可得到正

比例函數(shù)的解析式，即可求解.

【詳解】解：(1)V16+|72-21+^=64-2(1+72)°

答案第7頁，共19頁

=4+(-V2+2)-4-2

=4-72+2-4-2

=—y/2;

(2)設了=左卜-1),

?.,當x=-l時，y=4,

4=左(-1-1),

解得：k=—2,

正比例函數(shù)的解析式為：j=-2(x-l),

.?.當x=-8,v=-2(-8-l)=18.

18.甲每小時做18個吉祥物，乙每小時做12個吉祥物.

【分析】本題考查了分式方程的應用，設乙每小時做x個吉祥物，甲每小時做(x+6)個吉祥

物，根據(jù)時間=總工作量+工作效率，即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出

結論，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設乙每小時做x個吉祥物，甲每小時做(x+6)個吉祥物，

根據(jù)題意得：竺=々，

xx+6

解得：'=12,

經(jīng)檢驗，x=12是原方程的解，且符合題意，

/.X+6=18,

甲每小時做18個吉祥物，乙每小時做12個吉祥物，

答：甲每小時做18個吉祥物，乙每小時做12個吉祥物.

19.(26-2)m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過點3作于點E,解直角三角形N8E得

至1」8￡=26111,AE=2m,進而解直角三角形08E得到0E=2#m,再根據(jù)線段的和差關系

即可求解，掌握解直角三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：過點B作BE，OC于點E,則NBEO=90°,

答案第8頁，共19頁

R

BEAE

在RtA^E,中，=sin萬=sin60°,=cosP=cos60°,

61

/.BE=^5-sin60°=4x^-=26m,AE=^5-cos60°=4x-=2m,

BE

在Rt^OBE中，---=tana=tan45°,

OE

/?OE=BE=—=2V3m,

tan4501

40=OE-AE=仁艮2)m,

答：NO的長為僅百-2)m.

20.(1)見解析;

29

⑵了.

【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的畫法,

平行線間的距離，等腰三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.

(1)作8C的垂直平分線交直線加于點A,連接ZB/C即可；

(2)根據(jù)題意，結合(1)證明四A。。，可得4E=CD=5,BE=4D=2,所以

CF=DE=AE+AD=7,利用割補法即可求出^ABC的面積.

【詳解】(1)解：是以3c為底的等腰三角形，

AB=AC,

.?.作BC的垂直平分線交直線加于點A,連接48,AC,如圖：

“3C就是所作的等腰三角形，以3C為底，點A在直線加上.

答案第9頁，共19頁

(2)解：如圖，過點。作加于點。，則/C4O+NZC0=9O。,

為等腰直角三角形，

???NEAB+ZCAD=180°-90°=90°,

：.ZABE=ZCAD,

在△45￡和久40中，

ZAEB=ZCDA

<ZAGE=NCAD,

AB=CA

:?八ABE知CAD(AAS),

：.AE=CD=2+3=5,BE=AD=2,

AB2=AE2+BE2=^+^=29,

i29

/.AABC的面積=-xAB-=—.

22

21.(1)剪去的小正方形的邊長為12cm；

(2)玩具機械狗不能完全放入該收納盒，理由見解析.

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二元一次方程組的應用，合理將實際問題轉化成

方程(組)是解題的關鍵.

(1)設剪去的小正方形的邊長x,則無蓋收納盒的長為(100-2x),寬為(40-2x),列出方

程求解即可；

(2)設小長方形的寬為xcm(x<20),長”m,列出方程組求解即可.

【詳解】⑴解：設剪去的小正方形的邊長尤，則無蓋收納盒的長為(100-2x),寬為(40-2x),

依題意得：

(100-2x)(40-2x)=1216,

答案第10頁，共19頁

整理得：x2-70.x+696=0

解得：網(wǎng)=12,x2=58（舍去），

???剪去的小正方形的邊長12cm.

（2）解:設小長方形的寬為無cm（x<20）,長ycm,由題意得：

2（y—x）=100—2y

（40-2x）（100-27）=702'

解得：］;=11

=30.5'

...小長方形的寬為11cm,

當E尸和用兩邊恰好重合且無重疊部分，收納盒的高為11<18,

玩具機械狗不能完全放入該收納盒.

22.（1）8

⑵8

（3）九年級同學成績的方差為1.8,八年級成績更穩(wěn)定

【分析】本題主要考查判平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算

方法是解題的關鍵.

（1）利用平均數(shù)即可計算；

（2）先將其余九個數(shù)有小到大排列，之后根據(jù)。的大小分類討論即可求出中位數(shù)；

（3）先求出九年級的平均數(shù)，再求出九年級的方差，之后比大小即可得到答案.

【詳解】（1）解：；八年級的平均數(shù)為8,

6+7+7+8+8+8+Q+9+9+10

二.----------------------------=8,

10

解得3=8；

（2）解：將九個數(shù)字從小到大排列為6,7,7,8,8,8,9,9,10,

8+8

當〃<8時，即為6,7,7,a,8,8,8,9,9,10,中位數(shù)為——=8；

2

8+8

當a=8時，即為6,7,7,8,8,8,9,9,10,中位數(shù)為——=8；

2

8+8

當0>8時，即為6,7,7,8,8,8,a,9,9,10,中位數(shù)為——=8；

2

綜上所知，八年級的同學成績的中位數(shù)為8；

答案第11頁，共19頁

(3)解：九年級同學成績的平均數(shù)為6+4.7+8^*9+2義10=8,

，九年級同學成績的方差為

《［(6-8)2+4x(7一8『+(8-8)2+2x(9-8『+2x(10一8)1=1.8,

?,■1.2<1.8,

八年級成績更穩(wěn)定.

23.(1)證明見解析；

(2)BE-BF的值為6.

【分析】此題考查了圓周角定理、切線的判定定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、

相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

(1)連接QD,則04=。。，由4D=CD,得N/=NC=30。，所以/OD/==30。，可

求得/ODC=90。，即可證明。是。。的切線;

(2)作8GL尸E于點G,連接4尸，則N4ra=NEG2=90P,再根據(jù)“同角的補角相等”證

jDBF

明/FAB=NGEB,貝I]△/必,所以——二——，于是得BE?BF=AB?BG,由尸尸〃4。，

BEBG

ZBPG=ADAC=30°,所以8G=3BP=1,則BE-BF=AB-BG=6.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接OD,貝1JOA=OD,

圖1

"：AD=CD,

：.ZA=ZC=30°,

NOD4=ZA=3Q°,

ZODC=90°,

,：OD是GO的半徑，S.CD1OD,

.?.CD是OO的切線.

(2)解：如圖2,作8GLPE于點G,連接N尸，則NPG8=/￡GB=90。,

答案第12頁，共19頁

圖2

是。。的直徑，

ZAFB=/EGB=90P,

?.?/FAB+/FEB=180°,ZGEB+/FEB=180°,

ZFAB=/GEB,

：."FBs^EGB,

.AB_BF

??麗—茄’

:.BEBF=ABBG,

???PF//AD,

/BPG=/DAC=3。。,

???AB=6,BP=2,

BG=-BP=-x2=l,

22

:.BE?BF=ABBG=6xT=6,

；?BEBF的值為6.

24.（y）AP=AQ

（2）成立；理由見解析

⑶線段。。的長為5或3

【分析】（1）數(shù)量關系：AP=AQ.連接力C,利用菱形的性質和等邊三角形的三線合一性

質證明尸也即可；

（2）利用菱形的性質和等邊三角形的性質證明4Pg即可；

（3）利用菱形的性質和等邊三角形的性質可得2E=EC=3,利用勾股定理求出

2

AE=4C,PE=\,分當點尸在點￡的左側和點尸在點E的右側兩種情況，可得PC=5或3,

再利用（2）中的結論△A4尸也△C。即可得出結論.

【詳解】（1）解：線段4P與/。之間的數(shù)量關系：AP=AQ.

答案第13頁，共19頁

理由：如圖，連接/c,

。??四邊形45。。是菱形，且/5=60。，

AB=AD=BC=CD,/B=/D=60°,

:AABC和AADC都是等邊三角形，

/.ZBAC=ZDAC=60°fAB=AD=AC,

???點尸是邊BC的中點，

APLBC,ABAP=ZCAP=-ABAC=30°,

vZPAQ=ZB=6(T,

/.ZCAQ=ZPAQ-ZCAP=6(P-3O5=3。，

/.ZDAQ=ADAC-ACAQ=6?！?。=3。,

/.ZCAQ=30°=ZDAQf

J.AQLCD,

/.ZAPB=ZAQD=90P,

在尸和△4。。中，

ZB=ZD

<NAPB=ZAQD,

AB=AD

.?.△ABP%ADQ(AAS)

AP=AQ,

故答案為：AP=AQ.

(2)證明：成立.理由：

如圖，連接ZC,

力,??四邊形43CD是菱形，且NB=60。，

答案第14頁，共19頁

.-.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD=60°,

:品ABC和AADC都是等邊三角形，

AB=AC,ZS=AACQ=60°,ZBAC=60°,

:.ZBAP+ZPAC=60°,

ZPAQ=60°,

ZPAC+ZCAQ=6CP,

NBAP=ZCAQ,

在△84P和中，

ZABP=ZACQ

<AB=AC,

ZBAP=ZCAQ

:.ABAP^CAQ（ASA）,

AP=AQ.

（3）解：如圖，過點A作NE_L8C于E,連接NC,

c

BC=CD=AB=8,

48c是等邊三角形，

BE=EC=-BC=4,

2

AE=dAB。-BE。=A/82-42=4x/5，

-.,AP=1,

PE=yjAP2-AE2=卜2_（4⑸2=i,

當點P在點E的左側時，PC=EC+PE=4+1=5,

當點尸在點E的右側（圖中P處）時，PC=EC-PE=4-1=3,

尸。=5或尸C=3,

由（2）知：ABAP咨ACAQ,

BP=CQ,

答案第15頁，共19頁

尸C=5或3.

，線段。。的長為5或3.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形

的判定和性質，勾股定理等知識，運用了分類討論的思想.解題的關鍵是添加適當?shù)妮o助線

構造全等三角形.

25.(1)ZC=C￡；

(2)V=；x+4；

1,c、/2022、

(3)(4,-2)或［?-,一丁J.

【分析】(1)由/ZCE=90?？傻肗C48=NEC￡>,根據(jù)AAS即可證明A/CD也ACBE；

(2)證明“CD也AA4O(AAS),得到C(-7,3),最后運用待定系數(shù)法求直線4的函數(shù)表達

式即可；

(3)根據(jù)是以點。為直角頂點的等腰直角三角形，當點。是直線y=-2x+6上的動

點且在第四象限時，分兩種情況：點。在矩形/0C8的內部時和點。在矩形/OC3的外部

時，設。(x,-2x