2024年湛江市普通高考第二次模擬測試（二模） 數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024年湛江市普通高考第二次模擬測試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：?

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

?黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合A={I|1V|H|V4},B={工|z>一2),則

A.(1,4)B.(-1,0)11(0,4)

C.(-2,4)D.(-2,-l)U(l,4)

2.如圖，這是一件西周晚期的青銅器,其盛酒的部分可近似視為一個(gè)圓臺(設(shè)上、下底面的半徑

分別為a厘米,6厘米，高為c厘米)，則該青銅器的容積約為(取K=3)

A.c(a2+ac+》2)立方厘米

B.c(a2—ac+加)立方厘米

C.c(/+ab+62)立方厘米

D.c(a2—a6+〃)立方厘米

3.函數(shù)f(N)=4sin(5z—套)在[0,當(dāng)]上的值域?yàn)?/p>

00

A.E-2,2]B.[-2,4]C.[-273,4]D.[-273,2]

4.若復(fù)數(shù)z=(2/+yi)(2z-4yi)(z,yGR)的實(shí)部為4,則點(diǎn)的軌跡是

A.直徑為2的圓B.實(shí)軸長為2的雙曲線

C.直徑為1的圓D.虛軸長為2的雙曲線

9

5.已知(1-21)9=曲+。1%+,??+a9%9，則ao+Sa=

i=2t

A.-2B.-19C.15D.17

6.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，中)，石.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)工,乂>0時(shí),其

中入十月=1且；考慮取等號的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)以1+川外"2步?用這個(gè)式

子估計(jì)月可以這樣操作:10^義9%^X10+4X9=苧，則早弋3.167,用這樣的方

法，可得海的近似值為

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

【高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】?24-390C-

7.已知函數(shù)/(x)=12工一11—a,g(z)=]2—4|z|+2—a,則

A.當(dāng)g(z)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)J包)只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)g(z)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),/殳)有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)f(z)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),g(口有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)/包)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),g(z)有4個(gè)零點(diǎn)

8.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,PA,底面ABCD,/ABD=60°,PB,PC與底面

ABCD所成的角分別為a,仇且a+/?=45°,則舞=

A々一2RET

A.22

C—2D―3

22

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則

A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬

B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢

G湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬

D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬

10.已知函數(shù)/Xz)的定義域?yàn)椴烩驗(yàn)榱?，且—y)nZ/XP/Xy),則

廣/(0)=1

B./Cz)為偶函數(shù)

C./(%)在工=0處取得極小值

D.若/(a)=0,則/(x)=/(z+4a)

11.下列命題為真命題的是

A.，靖一4v—8，—n不7+1X—11的最小值是2

2

B.\/x—4JC—8\/~~x+4+|x—11的最小值是收’

C.C22_-4二一8，一丁江+，]2—2z-4的最小值是笈

【高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】

■24-39OC-

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.若向量G=(—3,—1),5=(處￡-6),(1〃。,則z=▲,log'z=▲.(本題

第一空3分,第二空2分)

13.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)

的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測量財(cái)富匯大廈的高

度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A,點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)0,兩個(gè)

測量基點(diǎn)B,C與0在同一水平面上，他測得BC=102「米，NB0C=

120°,在點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為外tan0=2),在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角

為45°,則財(cái)富匯大廈的高度OA=▲米.

14.已知F15F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足|尸B/=

191PF2/，則C的離心率的取值范圍是▲.

四、解答題:本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

甲、乙兩人進(jìn)行中國象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每局贏的概率

均為京且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立.

(1)求該比賽三局定勝負(fù)的概率；

(2)在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

16.（15分）

如圖，在直三棱柱ABC-ABC中,4。1=8】。1=3,入出=4德,。為41口1的中點(diǎn).

(1)證明：B】C〃平面AGD.

(2)若以AB1為直徑的球的表面積為48兀,求二面角C-AD-C,的余弦值.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】.24-390C?

7.（15分）

在77個(gè)數(shù)碼1,2,…,〃SEN,"22）構(gòu)成的一個(gè)排列…j”中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一

個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如）2>）5,則八與）5構(gòu)成逆序）,這個(gè)排列的所

有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為75力…）”），例如，T（312）=2.

（1）計(jì)算TC51243）；

（2）設(shè)數(shù)列｛冊>滿足a”+i=a”?7X51243）—T（3412.）,a1=2,求｛a“）的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)排列人）2…（冏GN,7z>2）滿足力=〃+1—￡。=1,2,…，九），仇=T（ji至…九），S”=F

+，求S”.

t>3%+1

18.（17分）

雙曲線C：4一w=l（a>0方>0）上一點(diǎn)。（6,屈到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.

ab

（1）求C的方程.

（2）已知A（—3,0）,B（3,0）,過點(diǎn)（5,0）的直線，與C交于M,N（異于A,B）兩點(diǎn)，直線MA

與NB交于點(diǎn)P,試問點(diǎn)P到直線1=—2的距離是否為定值？若是,求出該定值;若不

是,請說明理由.

19.（17分）

已知函數(shù)/（為=e，+xlnx.

（1）求曲線、=/（為在點(diǎn)（1，/。））處的切線方程；

（2）若a>0,6>0,且公+#=1,證明;/（a）+/3）Ve+l.

2024年湛江市普通高考第二次模擬測試

數(shù)學(xué)參考答案

1.D【解析】本題考查集合的交集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)槿?(一4,一1)1^1,4),所以408=(—2,-1)1_］(1,4).

2.C【解析】本題考查中國古代數(shù)學(xué)文化與圓臺的體積，考查應(yīng)用意識.

該青銅器的容積約為年c(公+必+〃)-(a?+就+〃)立方厘米.

3.B【解析】本題考查三角函數(shù)的值域，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)樗?x—6E—"［，第］，所以sin(5x—--"，，1］,故fGrAudsinlSx

一專)在［0,年］上的值域?yàn)椋邸?,4］.

00

4.A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與圓的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)?2z+yi)(2z—4yi)=4z2+4y2—6zyi,所以4/+49=4,即/+*=1,所以點(diǎn)(孫？)

的軌跡是直徑為2的圓.

5.D【解析】本題考查二項(xiàng)式定理，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

令2=1,得知+m+恁^^---Fa9=—L因?yàn)閍；=(—2)XCs=-18,

9

所以4)+百?！?—1—(—18)=17.

6.C【解析】染題考查基本不等式的推廣，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2aX27%1X28+?|義27=警，則率七解".037.

JuJ乙/

7.D【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

作出y=|2"一1|,j/=x2—4|x|+2的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)gCr)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí),

/(2)無零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)gG)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),八k)只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)/殳)有2個(gè)零點(diǎn)

時(shí),g(x)有4個(gè)零點(diǎn).

8.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

設(shè)AB=a,PA=6,因?yàn)镹ABD=60°,所以AC=BD=2a,所以

tana=tan/PBA=2,tanf=tan/尸CA=^.因?yàn)閍+/3=45°,

tana+tan81，解得”

所以tan(a+/?)=

1-tanatanR

【高三數(shù)學(xué).參考答案第1頁(共5頁)】?24-390C-

烏二3(負(fù)根已舍去〉.

9.ACD【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)，考查數(shù)據(jù)處理能力.

由圖可知,B錯(cuò)誤.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為

698.12,703.09,703.54,730.50,732.20,736.00,則極差為736-698.12^38萬，6X0.6=

3.6,所以第60百分位數(shù)為730.50萬，中位數(shù)為迎益嗎巡業(yè)=717.02萬，A,C,D均

正確.

10.ABD【解析】本題考查抽象函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

令工=尸0,得240)=2"(0)了，解得/(0)=0或f(0)=l，當(dāng)八0)=0時(shí)，令y=0,則

2fG)=2/(z?(0),則fG)=0,這與_/(%)不恒為零矛盾，所以f(0)=l,A正確.

令丁=0,則/(0+y)+f(0—G=2/6)/(0),即/。)=/(一八,/殳)為偶函數(shù),：6正確.

取/(1)=cosX,滿足題意，此時(shí)了=0不是/(x)的極小值點(diǎn),C錯(cuò)誤.

令y=<2,得[(①+幻+/紅一。)=2/(])/'(a),若/(a)=0,則/(x+a)=—“了一a),則

F(x)=-F(z+2a),則F(i+4a)=-f(z+2a)=F(z),D正確.

11.BC【解析】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及化歸與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)A(0,2),B(—1,1),F(—1,0),PCz,,易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線y2=-4x的上

半部分，拋物線V=-4i的準(zhǔn)線為直線z=l,P到準(zhǔn)線的距離4=|工一1],9為拋物線》2

=-4工的焦點(diǎn)，

所以，1r2—一8，-z+4+|x—11=N□?+(，-4x—2>+d=|PA|+3=|PA|+

IPF\^\AF\=用，所以‘興一4x—8zT7+|JC—11的最小值為西,A錯(cuò)誤,B正確.

Vx2—4x—8A/—x-H+A/X2—2x—4A/—x+2=Vx2+(y―4x-2)^"+

|PA||PB||AB]=四，所以A2-4X-8-/=7+4+

Vx2-2x—4+2的最小值是々,C正確,D錯(cuò)誤.

12.9；-4【解析】本題考查平面向量的共線問題與對數(shù)的運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)閍〃仇所以一3(x—6)+Z=0,解得了=9,所以logAx=logiI9=—4.

13.204【解析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

設(shè)OAf米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為外tan6=2),所以器=2,則OB=j■五米.

Cz￡>Z

因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°,所以O(shè)C=h米.由余弦定理，得BC2=OB2+OC2-

2OB?OCcos/BOC,即102?乂7=%+42+暴2=和，解得無=204.

14.[1。一嚴(yán),1)【解析】本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì),考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因?yàn)閨PF1|2=19|PF2|2,所以|PFI|=/I^|PF2|,

則2a=IPF11+IPF21=(不+1)IPF21,所以|PFzI=金駕二[a—c,a+c],

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(共5頁)】?24-390C-

則e=I,又0?1,所以C的離心率的取值范圍是[若巫⑴.

15.解：(1)該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，

則該比賽三局定勝負(fù)的概率為(不3+(1一不3=京.............................5分

(2)X的可能取值為2,3,4,.................................................6分

P(X=2)=(y)2=j,...................................................7分

P(X=3)=ex1xU+q)3=t，...................................9分

P(X=4)=dX^9X(卷1)2=。9，...............................................10分

15<5y

則X的分布列為

X234

412

PTT

..............................................................................................................................................11分

故E(X)=2Xq+3x1+4X4=學(xué).........................................13分

16.(1)證明:連接AC交AG于點(diǎn)E,.....................1分

則E為AC的中點(diǎn)，....................................2分

因?yàn)?。為AiBi的中點(diǎn)，所以DE〃6C,.................3分

又DEU平面AGD,BCU平面AGD,

所以BC〃平面AGD...............................5分

⑵解：因?yàn)锳C=BC,D為A?的中點(diǎn)，所以GD_LAiBi,

且6。=，32—(2蟲y=L...........................6分

因?yàn)橐訟B為直徑的球的表面積為48天,所以4+[巡叱組空]2

L乙

=48式,解得AAi=4........................................................8分

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，泡的方向?yàn)閥軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),G(0,1,0),A(—29,0,4),C(0,1,4)............................9分

設(shè)平面ACjD的法向量為加=(z,;y,z),DQ=(0,l,0),DA=(—2A/2,0,4))

.DCi=v=0,

貝M—>.............................................10分

[m?DA=-2/2x+4z=0,

令z=l,得加=(笈,0,1)................................................11分

設(shè)平面AC。的法向量為〃=(工',，,/),虎=(0,1,4),

[n?DC=y'+4z'=0,

貝Hr「,、,...........................................12分

[n,DA=-2\[2x+4z=0,

令z'=l,得〃=(94,1)..............................................13分

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第3頁(共5頁)】?24-390C?

rri、八/、tn*/i3_J571八

因?yàn)镃OS〈ffl,“〉='j~i-j~~r=-----=—j-x-,...............................14分

\m\|n|73x71919，

且由圖可知,二面角C-AD-C,為銳角，

所以二面角C-AD-Cr的余弦值為嗜....................................15分

17.解：（1）在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有。個(gè)，與2構(gòu)成逆序的

有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，....................2分

所以7X51243）=4+0+0+1+0=5........................................4分

（2）由（D中的方法，同理可得7X3412）=4,...................................5分

所以&+1=5源-4,設(shè)為+1+義=5（。布+/），...................................6分

得a”+i=5%+4A,所以4,解得久=—1,則%+L1=55一D..............7分

因?yàn)榫靡?=1,所以數(shù)列儲(chǔ)“-1}是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列，.............8分

所以g—1=5"7,則4=5"7+1............................................9分

（3）因?yàn)?，（?1,2,…，律），所以bn—T（jijz…九）="—1+篦―2+…+1+0=

...............................................................12分

所以￡=—=2（;告）（或卜2（占一少），.....................13分

所以&=2（1-9尹力…+/圭）=署..........................15分

，2Q=6,

18.解：（1）依題意可得162（V3）2.........................................2分

解得。=3,〃=1,.........................................................4分

故C的方程為普一丁=1..................................................5分

（2）由題意可得直線I的斜率不為0,設(shè)I的方程為z=mj/+5,...................6分

設(shè)M（xi9yi）,N（%2，2），

{x=my+5,

x22i得（小-9）y2+10/n?+16=0,..............................7分

勺-/=1,

則小—9力0?1+2=.................................8分

m—ym—y

直線AM：y=T^Gc+3）,直線BN：y=34（x—3），

乃十3Xz—3

聯(lián)立y=^^（z+3）與》=^^（Z一3）,...................................9分

乃十3xz—3

滔土徂x+3=?2(為+3〉_、2(myi+8)=根'1”+82.......................

y

守Z-3j/i(x2—3)yi(,myz+2')my^yz+lyy.

a31?2+8(?1+?2)—8Vi

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第4頁（共5頁）】?24-390C-

16a_80/n__64m_

m2-9~m2-9^8Qyi_~m2~9~Q8yi_.

分

16mi16m.'14

^9+2o^；^+20的

解得?，所以點(diǎn)尸在定直線B=卷上.......................................16分

00

因?yàn)橹本€￡=4與直線。=一2之間的距離為出，

00

所以點(diǎn)P到直線x=-2的距離為定值，且定值為...........................17分

19.(1)解：由/(x)=e2+xlnx,得f(x)=ex+lnx+1,......................................................1分

則/(l)=e,j(l)=e+l...................................................................................................3分

故曲線y=/Cr)在點(diǎn)處的切線方程為y—e=(e+l)(%—1),即(e+l)x—y—1=

0...........................................................................................................................................5分

(2)證明：由?！?,瓦>0,且/+62=1,不妨設(shè)a=cosx,6=sin(0,-5-),

則證明/(a)+/(feXe+1等價(jià)于證明/(cosx)+/(sina)Ve+l,zg(0,-y),

艮P證eCO8x+cosx?ln(cosx)+es,nx+sinx?ln(sinx)Ve+l?.......................................7分

令g(%)=aTnx—1,則g'(x)="±當(dāng)aS(0,1)時(shí),g'(z)V0，g(x)單調(diào)遞減，

故g(cos%)〉g(l)=0,g(sin;c)>g(l)=0,即ln(cosx)<Ccosx—1,ln(sin%)Vsiox—1,

貝Qe^^+cosx?In(cos%)+esi