《高等數(shù)學(xué)上冊 第2版》習(xí)題及答案 蔣國強 第1章習(xí)題答案

PAGEPAGE29習(xí)題解答習(xí)題1.11．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)(3)；(4)；(5)．解（１）要使函數(shù)有定義，必須，即，故函數(shù)的定義域為．（２）要使函數(shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域為．（３）要使函數(shù)有定義，必須，解之得或，故函數(shù)的定義域為．（４）要使函數(shù)有定義，必須，即且，故函數(shù)的定義域為．（５）要使函數(shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域為．2．判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解（１）這兩個函數(shù)不同．因為它們的定義域不同，前者的定義域為，而后者的定義域為．（２）這兩個函數(shù)相同．因為，所以它們的定義域與對應(yīng)法則均相同．（３）這兩個函數(shù)不同．因為，所以它們的對應(yīng)法則不同．（４）這兩個函數(shù)相同．因為它們的定義域與對應(yīng)法則均相同．3．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)所給函數(shù)是偶函數(shù)．(2)所給函數(shù)是奇函數(shù)．(3)所給函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．(4)所給函數(shù)是偶函數(shù)．(5)所給函數(shù)是奇函數(shù)．(6)所給函數(shù)是奇函數(shù)．4．求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)；(2)；(3)．解(1)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(２)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(３)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．5．設(shè)，求．解因為，故．于是，．6．設(shè)，求，及．解．7．設(shè)，求及．解8．已知的定義域為，求下列復(fù)合函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．解(1)函數(shù)的定義域為．(2)函數(shù)的定義域為．(3)函數(shù)的定義域為．9．在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，并求對應(yīng)于所給自變量值的函數(shù)值：(1)；(2)；(3)．解(1)，；(2)，；(3)，，．10．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品1000噸，每噸定價為130元，銷售量在700噸以內(nèi)時，按原價銷售，超過700噸時超過的部分打九折出售．試將銷售總收益與銷售量的函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達式表出．解設(shè)用表示銷售量，用表示銷售總收益，根據(jù)題意可得銷售總收益R與銷售量x的函數(shù)關(guān)系如下：11．假設(shè)某種商品的需求量是價格（單位：元）的函數(shù)：；商品的總成本是需求量的函數(shù)：；每單位商品需要納稅2元．試將銷售利潤表示為單價的函數(shù)．解根據(jù)題意，銷售利潤與單價的函數(shù)關(guān)系為：．習(xí)題1.21．觀察下列數(shù)列的變化趨勢，指出是收斂還是發(fā)散．如果收斂，寫出其極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)收斂于．(2)收斂于0．(3)收斂于1．(4)發(fā)散．(5)收斂于．(6)發(fā)散．2．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)；(2)．證(1)對于任意給定的正數(shù)，要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當時，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．（2）對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當時，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．3．證明：若，則．證由于，，所以因為，所以據(jù)數(shù)列極限的定義，對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當時，有，從而．再據(jù)數(shù)列極限的定義，有．習(xí)題1.31．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(1)；(2)．證（1）對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即．于是，取正數(shù)，則當時，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．（２）對于任意給定的正數(shù)（不妨設(shè)），由于，故要使，只要，即．于是，取正數(shù)，則當時，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．2．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(1)；(2)．證(1)對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要．于是，取正數(shù)，則當時，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．(2)對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要．于是，取正數(shù)，則當時，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．3．證明：函數(shù)當時極限為零．證，，因為，所以．4．求下列函數(shù)當時的左、右極限，并說明他們當時的極限是否存在：（1）（2）．解(1)，．因為，所以存在．(２)，．因為，所以不存在．習(xí)題1.41．下列函數(shù)在其自變量的指定變化過程中哪些是無窮??？哪些是無窮大？哪些既不是無窮小也不是無窮大？(1)，當時；(2)，當時；(3)，當時；(4)，當時；解(1)當時，函數(shù)為無窮大．(2)當時，函數(shù)為無窮小．(3)當時，函數(shù)為無窮?。?4)當時，函數(shù)既不是無窮小也不是無窮大．2．下列函數(shù)在自變量的哪些變化過程中為無窮??？在自變量的哪些變化過程中為無窮大？(1)；(2)．解(1)當或時為無窮小，當時為無窮大．(2)當時為無窮小，當或當時為無窮大．3．利用無窮小的性質(zhì)求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)因為，且，所以．(2)因為是有界函數(shù)，且，所以．(3)因為是有界函數(shù)，且，所以．(4)因為，所以．

習(xí)題1.51．求下列極限：(1)(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．2．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．3．設(shè)，若已知：(1)；(2)；(3)，試分別求這三種情形下常數(shù)與的值．解．(1)由得，故．(2)由得，故，．(3)由得，故，為任意實數(shù)．4．已知存在且等于，求常數(shù)與的值．解因為，故．另一方面，，故．于是．習(xí)題1.61．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．2．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．3．利用極限夾逼準則證明：(1)；(2)．證(1)因為，而且，，故由夾逼準則得．(2)因為，而且，，故由夾逼準則得．習(xí)題1.71．當時，與相比，哪一個是高階無窮小？解因為,所以當時，是比高階的無窮小.2．當時，無窮小與下列無窮小是否同階？是否等價？(1)；(2)；(3)．解(1)因為,所以當時，無窮小與同階但不等價．(2)因為,所以當時，無窮小與同階且等價．(3)因為,所以當時，無窮小與同階但不等價．3．設(shè)當時，與是等價無窮小，求常數(shù)及正整數(shù)．解因為當時，與是等價無窮小，所以,由此得:，.4．利用等價無窮小代換法求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)習(xí)題1.81．研究下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)性：(1)；(2)；(3)，．解(1)因為，，且，所以，從而在點處連續(xù)．(2)因為，所以在點處連續(xù)．(3)因為在點處無定義，所以在點處不連續(xù)．因為，，所以，從而在點處不連續(xù)．2．討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出其類型：(1)；(2)；(3)；(4)解（1）為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點及為間斷點．因為，所以是的第一類間斷點，且是可去間斷點．因為，所以是的第二類間斷點，且是無窮間斷點．（2）為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點及為間斷點．因為，所以是的第二類間斷點，且是無窮間斷點．因為，，所以是的第一類間斷點，且是跳躍間斷點．（3）為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點為間斷點．因為不存在（也不存在），所以是的第二類間斷點．（4）為分段函數(shù)．顯然在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．因為，，所以是的第一類間斷點，且是跳躍間斷點．因為，，所以是的第一類間斷點，且是跳躍間斷點．3．求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求．解為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．．．．4．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．5．求常數(shù)a的值，使函數(shù)在點處連續(xù)．解，，要使在點處連續(xù)，只要，所以．6．設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求常數(shù)k．解，．由于在內(nèi)顯然連續(xù)，故要使在點內(nèi)連續(xù)，只要使在點處連續(xù)，即使得，所以．習(xí)題1.91．證明方程至少有一個介于與之間的實根．證令，則在上連續(xù)，且，故據(jù)零點定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程至少有一個介于與之間的實根．2．證明方程至少有一個小于的正根．證令，則在上連續(xù)，且，據(jù)零點定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程至少有一個小于的正根．3．證明方程()至少有一個不超過的正根．證令，則在上連續(xù)，且，，據(jù)零點定理，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程()至少有一個不超過的正根．4．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得．證因為函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，所以在閉區(qū)間上連續(xù)．于是，據(jù)最值定理得，在上取得最大值與最小值，從而．再據(jù)介值定理得，至少存在一點，使得．

總習(xí)題11．選擇題(1)下列命題中錯誤的是（）．(A)兩個偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是偶函數(shù)(B)兩個奇函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是奇函數(shù)(C)兩個單調(diào)增加函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是單調(diào)增加函數(shù)(D)兩個單調(diào)減少函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是單調(diào)減少函數(shù)(2)若存在，不存在，則下列命題正確的是（）．(A)與都存在(B)與都不存在(C)必不存在，而可能存在(D)可能存在，而必不存在(3)當時，下列四個無窮小中，比其它三個更高階的無窮小是（）．(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，函數(shù)在上有定義且有間斷點，則必有間斷點的函數(shù)是（）．(A)(B)(C)(D)(5)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）．(A)(B)(C)(D)解(1)應(yīng)選Ｄ．例如：與均為單調(diào)減少函數(shù)，但它們的復(fù)合函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)．(2)應(yīng)選C．必不存在．因為如果存在，則由及存在，得存在．這與題設(shè)矛盾．當，時，存在，不存在，而是未定式，可能存在．(3)應(yīng)選A．因為當時，，，，，所以當時，與其它三個無窮小相比，無窮小的階最高．(4)應(yīng)選D．因為函數(shù)在上連續(xù)，如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)也在上連續(xù)，與題設(shè)矛盾．(5)應(yīng)選B．因為為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．2．填空題(1)設(shè)都是常數(shù)，若，則，．(2)設(shè)函數(shù)是當時的無窮小，則常數(shù)，．(3)設(shè)當時，與是等價無窮小，則常數(shù)，．解(1)應(yīng)填．因為，所以＝0，從而．于是，．(2)應(yīng)填．因為由題設(shè)得，所以，，即，．(3)應(yīng)填．因為由題設(shè)得，所以，，．3．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．4．設(shè)，當常數(shù)為何值時，(1)是函數(shù)的連續(xù)點？(2)是函數(shù)