遼寧省2024屆高考適應(yīng)性測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★使用前

遼寧省2023-2024學(xué)年度高考適應(yīng)性測(cè)試（二）

IKJ二數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。分四大題，19小題，共4頁(yè)

2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題5分，共40分）

1.帕普斯：（Pappus）古希臘數(shù)學(xué)家，3-4世紀(jì)人，偉大的幾何學(xué)家，著有《數(shù)學(xué)匯編》.此書(shū)對(duì)數(shù)學(xué)史具有重大

的意義，是對(duì)前輩學(xué)者的著作作了系統(tǒng)整理，并發(fā)展了前輩的某些思想，保存了很多古代珍貴的數(shù)學(xué)證明的資料.如

圖1,圖2,利用帕普斯的幾何圖形直觀(guān)證明思想，能簡(jiǎn)明快捷地證明一個(gè)數(shù)學(xué)公式，這個(gè)公式是（）

圖1圖2

A.sin(a+/?)=sinacos〃+cosasin￡

B.sin(a—尸)=sinacos/?—cosasin/?

C.cos(a+(J)=cosacos°-sinasin(3

D.cos(a—/?)=cosacos'+sinasinp

2.函數(shù)/(x)=a/-6/+cx的圖象如圖，且〃x)在x=x。與x=l處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是()

A.c>0

B.〃<0

C./(1)+/(-1)>0

D.函數(shù)>=/'(x)在(0,+<?)區(qū)間上是減函數(shù).

高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)

3.已知雙曲線(xiàn)。的離心率為不焦點(diǎn)為片聲，點(diǎn)4在。上，若出力|=2風(fēng)4|,貝iJcos/4gG=（）

]_11

A.B.—cD.——

34-46

4.將邊長(zhǎng)為血的正方形458沿對(duì)角線(xiàn)力C折起，使得BD=也,則異面直線(xiàn)和CQ所成角的余弦值為（）

D.如

AD,--------

-I23

若a=4獷+即+5,且數(shù)列｛“｝的前"項(xiàng)和為S",則s"=（）

5.設(shè)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=3,an+i=3c1n-4n,

242n12

A.n\1-B.—I---------C.n\1+D.n\1+

6〃+936〃+96幾+96〃+9

6.若％2+(%+1)17=4+4](%+2)+(X+2)『+…+%(%+2)7,則％+4]+出~1-----F%=()

A.0B.-1C.1D.129

7.已知函數(shù)/卜）=辦2—一為工有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

1+e

A.(fl)B.(0,1)C.-CO7D.

8.過(guò)雙曲線(xiàn)f—2=i的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)/交雙曲線(xiàn)于4,B兩點(diǎn),若實(shí)數(shù)4使得|48|=4的直線(xiàn)/恰有3條，則）=（）

2

A.2B.3C.4D.6

二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得3分，每題6分，共18分）

9.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了

廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（)

楊輝三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行21

第

4行331

第

5行1464I

第

6行5101051

第1

7行61520156

第

X/p>

第28567056288

9行181

第936S412612684369

1俏1

第11104512021025221012045101

IfII551653304624623301655511I

A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

B.1+C；+C；+C；=c；

C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

10.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線(xiàn)是橢圓的模型（稱(chēng)為“Dandelin

雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球。一球Q切于

點(diǎn)E,F（E,b是截口橢圓。的焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球球。2的半徑分別為4和1,球心距網(wǎng)。2|=后，則（）

高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)

A.橢圓C的中心不在直線(xiàn)。。2上

B.\EF\=4

C.直線(xiàn)。。2與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為阻

34

3

D.橢圓。的離心率為g

11.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線(xiàn)''的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根瓦。，其中c>6.

在函數(shù)/（X）圖象上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)處作曲線(xiàn)，=/（無(wú)）的切線(xiàn)，切線(xiàn)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X2；用巧代替多，重復(fù)以

上的過(guò)程得到七；一直下去，得到數(shù)列“〃｝.記％=加%心，且％=1,下列說(shuō)法正確的是（）

A.x=――-（其中l(wèi)ne=l）B.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

1e-1

D.數(shù)歹U6+'的前〃項(xiàng)和S”=2"—2?+1

C.06=---

632

三、填空題（每題5分，共15分）

12.方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間［0,2乃］上的所有解的和為.

13.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線(xiàn)論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線(xiàn)的方法，如圖，將兩個(gè)完全相

同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的頂點(diǎn)和軸都重合），已知兩個(gè)圓錐的底面直徑均為2,側(cè)面積均為石兀，記過(guò)兩個(gè)圓錐

軸的截面為平面平面C與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線(xiàn)為NC、BD.已知平面月平行于平面平面廣與兩個(gè)圓錐側(cè)面

的交線(xiàn)為雙曲線(xiàn)C的一部分，且C的兩條漸近線(xiàn)分別平行于/C、BD,則該雙曲線(xiàn)C的離心率為.

14.我國(guó)古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之梗，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天

截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.已知長(zhǎng)度為26的線(xiàn)段尸。，取尸。的中點(diǎn)以為邊作等邊三角形（如圖1）,該等

邊三角形的面積為H，再取的中點(diǎn)”2,以〃;屈2為邊作等邊三角形（如圖2）,圖2中所有的等邊三角形的面

高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=sin2Qx+6sin0xcosox-1口>0).

(1)當(dāng)0=1時(shí)，求函數(shù)/⑴在(0弓)上的值域；

⑵在中，內(nèi)角42,C的對(duì)邊分別為為/A4C的平分線(xiàn)，若了⑴的最小正周期是

271,/=孚，求AA8C的面積.

16.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足8S“=a『+4%+4.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2"T〃為奇數(shù)

⑵若2=1引伸物，也｝的前〃項(xiàng)和為1,求

一。"_避為偶數(shù)

、2

17.已知函數(shù)/(x)=x(lnx—a)+lnx+a.

(1)若4=1,當(dāng)X>1時(shí)，證明：/(X)>O.

(2)若。<2,證明：/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

由2222

18.已知離心率為業(yè)的雙曲線(xiàn)G：4-5=1伍>0/>0)過(guò)橢圓。2：—+匕=1的左，右頂點(diǎn)/,B.

2ab43

⑴求雙曲線(xiàn)￡的方程;

⑵尸優(yōu),為)(x0>0,%>0)是雙曲線(xiàn)q上一點(diǎn),直線(xiàn)/P,2尸與橢圓C2分別交于，E,設(shè)直線(xiàn)與X軸交于。(電,0),

且電=22x0k

0,記△ADP與△4BZ)的外接圓的面積分別為d，S],求1的取值范圍.

19.同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè)。,6eZ,,weN+且0>1.若向(a-6),則稱(chēng)。與6關(guān)于模

同余，記作”6(mod加)(“『為整除符號(hào)).

⑴解同余方程：x2+2x=0(mod3)；

⑵設(shè)(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛4｝,其中為<?<%<…<%.

①若d=%-a“(〃eN+),數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為S,,求S4M8；

②若Q=tan%什3,tan求數(shù)列｛Q｝的前n項(xiàng)和1.

高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)

遼寧省2023-2024學(xué)年度高考適應(yīng)性測(cè)試(二)

數(shù)學(xué)參考答案

1.C

【分析】利用題設(shè)中的圖形即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖，知cos(a+尸)=，cosacos/7=OA,sincrsiny5=EB,

結(jié)合圖形知，OD=OA—EB,即cos(a+尸cosacos尸一sinasin/7,

故選：C.

/)

。cos(a+Q)

圖1圖2

2.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性可判斷a>0,由導(dǎo)函數(shù)變形可得c=3a/<0,由圖象知％<-1<0可判斷

/(1)+/(-1)的符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的開(kāi)口及對(duì)稱(chēng)軸可判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.

【詳角軍］/'(X)=3辦2-2bx+c=3a(x-x0)(x-l),

由圖知x>l時(shí)，/(x)為增函數(shù)，可知/(x)>0,所以。>0,B錯(cuò)誤;

=22

又由f'M3<xv-2bx+c=3a(x-x0)(x-l)=3ax-3a(l+x0)x+3ax0,

所以26=3a(l+Xo),c=3"0-.-x0<-1<0c=3ax0<0,故A錯(cuò)誤;

X。<-1<0,1+x0<0,/(!)+/(—1)=—2b=-3G(1+x0)>0,故C正確;

/'(x)=3/_26x+c開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸小于0,函數(shù)/'(x)在(0,+⑹上是增函數(shù),

故D錯(cuò)誤.

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)離心率可得c=1a,根據(jù)雙曲線(xiàn)定義推出閨/|=4a,|%4|=2a,利用余弦定理即可求得答案.

3

【詳解】由題意雙曲線(xiàn)C的離心率為二，焦點(diǎn)為四、F,點(diǎn)/在C上，

22

故不妨設(shè)耳工為左、右焦點(diǎn)，由陽(yáng)聞=2優(yōu)旬可知/在雙曲線(xiàn)右支上,

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

則由4MF2A\=2a,故閨/|=4a,|^|=2a,

3c33

由于雙曲線(xiàn)。的離心率為7,則一=大，即。

2a22

I居//+西居『一|/用24/+4。2-16/

在△4%月中,cos/力用片

217yl?田瑪]2-2a-2c

4a2+9a2—16a21

2-2a-2--a4

2

故選：B

4.A

【解析】分別取ZC,BD,BC中點(diǎn)為E,F,G,則有尸G〃C。，EGIIAB,得到/FGE為異面直線(xiàn)4B與CO

所成的角，然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)和3D的長(zhǎng)度，利用中位線(xiàn)及直角三角形中線(xiàn)定理求得斯，F(xiàn)G,EG的長(zhǎng)度求解.

【詳解】如圖所示：

分別取NC,BD,3c中點(diǎn)為￡,F,G,

連接BD,EF,EG,FG,DE,EB,

則尸G〃CD,EGIIAB,

所以4FGE為異面直線(xiàn)AB與CD所成的角，

因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為行，則尸G=[,EG=t，

在等腰直角三角形/8C中，

因?yàn)锳B=BC=5，

所以/C=2.

因?yàn)辄c(diǎn)E為/C的中點(diǎn)，

所以8E=L/C=1,

2

同理可得，DE=\.

\S^1BE2+DE2=2=BD2,

所以是等腰直角三角形.

又因?yàn)辄c(diǎn)尸為8。的中點(diǎn)，

所以EF=LBD=徨.

22

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

在A(yíng)EFG中，F(xiàn)G=EG=EF=—

2

所以AEFG是等邊三角形，

所以ZFGE=60°,

所以cosZFGE=cos60°=—,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線(xiàn)所成角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔

題.

5.D

【分析】先根據(jù)。，的遞推關(guān)系求出。”的通項(xiàng)公式，代入”的表達(dá)式中，求出或的通項(xiàng)，即可求解”的前〃項(xiàng)和

【詳解】由??+i=3%-4〃可得ail+i-[2(?+1)+1]=3[O?-(2H+1)],

%=3,%—(2x1+1)=0,

則可得數(shù)列｛%-(2〃+1)｝為常數(shù)列0,即%-(2〃+1)=0,.?.a“=2〃+l

.,4/+8〃+5(2〃+1)(2"+3)+2,2,11

一〃—(2〃+1)(2〃+3)-(2〃+1)(2〃+3)—(2〃+1)(2〃+3)-2及+12〃+3

,aJill11、11c2

〃35572n+1①+332n+3@+9

故選:D

6.C

【分析】賦值％=-1,即可求得系數(shù)和.

【詳解】令X=—1,得(―1)=1=%+/+/+…+%.

故選：C

7.B

【解析】函數(shù)/(幻=以2-》-111》[>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程。=電聲有兩個(gè)根，設(shè)g(x)=@F，求出g'(x),

研究出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，由g(x)的圖象與>有兩個(gè)交點(diǎn)，得出。參數(shù)的范圍，即得結(jié)果.

【詳解】函數(shù)/1)=辦2-工-111工1>0)有兩個(gè)零點(diǎn),

,口口-inInx+xA.、門(mén)/\lnx+x

由題思得萬(wàn)程a=—^—有兩個(gè)根A，設(shè)g(x)==5—?jiǎng)t>與y=g(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又

丁l)x2-(inx+x)(2x)「21nxr,

g'(x)=3

X

2

設(shè)/z(x)=1—21nx—x,貝！J/(%)=------1<0

所以〃(x)=l—21nx—x在(0,+8)上單調(diào)遞減，又力⑴=0

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

當(dāng)xe(O,l),〃(無(wú))>0,g，(無(wú))>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

§xe(l,+ao),7z(x)<0,g,(x)<0,所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

-1

1-2

又g(l)=l,g(/=l=e-e2<0,當(dāng)xe(l,+s)時(shí)，inx+x>0,貝雅(無(wú))>0,即g(x)在(1,+s)上單調(diào)遞減，但

已

恒正.

作出函數(shù)>=g(x)的大致圖象如下：

要使y=g(x)的圖象與V=。有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1).

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)

形結(jié)合的方法求解.

8.C

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知：滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)，其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即可得到答案.

【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦=42匕b2=4,又2a=2,

a

所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)22a=2,

因?yàn)閷?shí)數(shù)彳使得|/4=幾的直線(xiàn)/恰有3條，

根據(jù)雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

如圖所示：

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

所以當(dāng)力=4時(shí)，有3條直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.

故選：C

9.ABD

【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A,利用組合數(shù)公式判斷B,分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C,求出第12

行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A(yíng)：第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1,7,28,其和為1+7+28=36；

而第9行第8個(gè)數(shù)字就是36,故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)?+C；+C"C；=1+5+”+2S=56,武=陽(yáng)9=56,

5672x13x2x183x2x1

所以1+C；+C；+C；=C；,故B正確；

對(duì)于C：由圖可知：第〃行有〃+1個(gè)數(shù)字，

如果”是偶數(shù)，則第］+1（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；

如果”是奇數(shù)，則第彳和第二2+i個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，

22

所以第2020行的第1011個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：依題意：第12行從左到右第2個(gè)數(shù)為C%=12,第12行從左到右第3個(gè)數(shù)為C；2=66,

所以第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為12:66=2:11,故D正確；

故答案為：ABD.

10.ACD

【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線(xiàn)性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長(zhǎng)軸和焦距作答.

【詳解】依題意，截面橢圓的長(zhǎng)軸與圓錐的軸相交，橢圓長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)與圓錐的軸確定的平面截此組合體，

得圓錐的軸截面及球球儀的截面大圓，如圖，

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

點(diǎn)48分別為圓q,。?與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線(xiàn)段MN是橢圓長(zhǎng)軸,

可知橢圓C的中心（即線(xiàn)段的中點(diǎn)）不在直線(xiàn)上，故A正確；

橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|孫=+|則=pl?+|八叫=\MB\+\MA\=\AB\,

過(guò)GJ?作。2。一于。，連023,顯然四邊形48。2。為矩形，

又|。2卻==4|002卜病，

則2。=H=口口=7lqoNq?J呵-J=%

過(guò)2作02c±QE交QE延長(zhǎng)線(xiàn)于C,顯然四邊形CEFO.為矩形，

橢圓焦距2c=|即|=102cl=Jpi02f-PC|2="&-）二52=3,故B錯(cuò)誤；

所以直線(xiàn)。。2與橢圓c所在平面所成的角的正弦值為sinNC02Q=即=4==噂，故C正確；

|0A|V3434

2c3

所以橢圓的離心率e===三,故D正確：

2a5

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.AD

［分析賑據(jù)％=1可求演的表達(dá)式,判斷A的真假;利用導(dǎo)數(shù)求二次函數(shù)在x=七處切線(xiàn)的斜率,進(jìn)一步寫(xiě)出在x=x?

處的切線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，得X角，進(jìn)一步判斷數(shù)列｛4｝的結(jié)構(gòu)特征，得到數(shù)列｛%｝是等比數(shù)

列，可判斷BC的真假：利用公式法可求數(shù)列卜的前〃項(xiàng)和，判斷D的真假.

【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，由％=lni=l得Na=e,所以占=型?，故A正確.

-cjq-ce-1

???二次函數(shù)/（X）有兩個(gè)不等式實(shí)根b,C,

不妨設(shè)〃X)=a(x-b)(x-c),

因?yàn)?'(x)=a(2x-?c),

所以/'⑺5儂―6—c),

二在橫坐標(biāo)為X”的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：y-f（xn）=a（2xn-b-c\x-xn）,

f仁…―卜/仁)ax；-abcx：-bc

令y=0,貝I]/”

〃(2工—b—c)Q(2X“—b—c)2天一b—c

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

弓％x“+「6_x：-6c-6(2xl,-b-c)_x1|2-況+小_￡-6)2

2

xn+i-cx^-bc-c(2xn-b-c)x^-2cxn+c《-姆

1n

所以｝二￡=2111下)，即：an+1=2an

Xn+l-CXn-C

所以｛可｝為公比是2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

所以q=21故BC錯(cuò).

“「A.

對(duì)于D選項(xiàng)，由凡+；=2I+(；)1,得s.=4++*=2--1+2-12”+1-￡口故D正確.

Z1—2］_L2.

2

故選：AD

12.w

【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)原方程，求得sinx的值，進(jìn)而求得區(qū)間［0,2司上的所有解的和.

【詳解】由3sinx=l+cos2x=2-2sin2x得(sinx+2)(2sinx—l)=0,解得sinx=L在區(qū)間［0,2可上，*==或丫=學(xué)，

266

故所有解的和為$+當(dāng)=兀.

故答案為"

【點(diǎn)睛】本小題主要考查二倍角公式，考查已知正弦值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題.

13.—

2

【分析】以矩形43CD的中心為原點(diǎn)，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的值即可得解.

a

【詳解】以矩形43co的中心為原點(diǎn)，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為《一4=1,

由圓錐的底面直徑為2,側(cè)面積為扃，得4M=1,。4=石，

顯然OM7s)2_f=2,tan4OA/=L即白=」，

2a2

所以雙曲線(xiàn)的離心率e=三月當(dāng).

故答案為：叵

2

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

史1/竺百

14.

6464

【分析】先由題意推導(dǎo)每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式及裂項(xiàng)相消求解.

由題可得，S,=—x^3xV3xsin60°^Z1

【詳解】=

24

從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的:,

故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以S為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列,

636

所以號(hào)=6

64

114"

S.

11114,,+114"1

-7=^i-----=--------X------

4ys向后4"+|-134"-14向-1

".「J-J

故答案為:警；1

4n+1-1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的方法有:

11__1

+nn+1'

:=2(1-1)

4?2-12w-l2?+1

2

--r=/~~—2(一+y/n+lj

yjn+yln+l'7

2〃_11

(2〃+i—1)(2"-1)—2〃—12"i—1'

〃(〃+l)(〃+2)2("〃+l)(及+l)(〃+2).

15.d)[-pl

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將1（x）化為一般式，再利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，即可求得值域;

（2）根據(jù)題意，求得A,利用等面積法和余弦定理，求得be,再求三角形面積即可.

+gm2?！?/p>

【詳解】（1）/（尤）=sin2sinoxcostwx一=；(1-COS2GX)

22

=——sin2s——cos2ox=sin2cox-『

22

當(dāng)。=1時(shí),〃x）=sinH，又正闿,故2》-漢吟,

—.,.|兀71|.乂、，.（兀5兀、乂、E、乂、」！I-.?I兀、1711.5兀I

又卜=$111尤在|一二,力上單倜遞增，在|不二|單調(diào)遞臧，Jlsin--=--,sin-=l,sin—=-,

162J6J16J2262

故函數(shù)/（X）在［og］上的值域?yàn)椴穏』.

（2）由（1）知，/（x）=sinf2（?x—j,由其最小正周期為2TI,

AD為ZBAC的平分線(xiàn)，故可得NBAD=30°,NC4D=30。，

111/T1?3

則一sin4加二—sin?/￡)+—,即——6c=—x-^—fe+c),b+c=—bc；

222443V72

2

在三角形ABC中由余弦定理可得cosA="+d，即工=人—=(b+c)-2bc-3,

2bc22bc2bc

將6+c=gbe代入上式可得：be=^{bcy-2bc-3,即(3bc+2)(3bc—6)=0,

2

解得6c=2,或灰:=-§(舍去)；

故^ABC的面積為L(zhǎng)sin4-bc=x2=^^.

2222

16.(1)%=4〃-2

4〃一1o

(2)T2n=-~—n

【分析】（1）根據(jù)％與S”的關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可;

（2）采用分組求和的方式計(jì)算即可.

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

2

【詳解】(1)85?=a?+4an+40=an_^+4an_x+4?

①-②整理得(%+%)(為~an-\-4)=0,H>2

a

數(shù)列｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，an-n-\=4,H>2

當(dāng)〃=1時(shí)，由8sl=+4%+4,可得%=2.

二.數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

/.?！ǘ?〃-2；

12〃-7為奇數(shù)

(2)由題意知,12〃-3〃為偶數(shù)

故耳=(1+22+24+…+227)+0+5+9+…+4〃-3)

lx(11—-44〃〃)“1+4撲-3)

1-42

4T

+2/—YI.

3

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/C(無(wú))>0,即可得到/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，再由/(x)>/(l)=o,即可證

明；

(2)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-a+皿+色，求導(dǎo)可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+司上單調(diào)遞增，再結(jié)合g⑴=0,

即可證明.

【詳解】(1)證明：因?yàn)?=1,所以/(x)=xlnx—x+lnx+l,/(x)=lnx+-.

當(dāng)x>l時(shí)，/%)>0,則在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>/(l)=0.

(2)f(x)=x(inx-(2)+Inx+tz=x(lnx-〃+.

人/、1InxaE，/、11-Inxax+l-hix-a

令g(x)=lnx—Q+——+-,貝(jg(%)=—+-----=------2-----?

XXXXXrX

令/z(x)=x+l-lnx-Q,貝V(x)=l—，=^一-.

XX

當(dāng)X￡(0,l)時(shí)，/zr(x)<o,〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，〃'(力〉0,人⑴在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以無(wú)"〃⑴=2-a>0,所以g，(x)=I±l二”二>0,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

則g（無(wú)）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

因?yàn)間（l）=0,所以g（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則/（X）恰有一個(gè)零點(diǎn).

18.（1）--^=1

43

（2）—,+=0

【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的基本量求解即可；

（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)/Py=^-（x+2）,。（為必），聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，結(jié)合尸（尤0,%）在雙曲線(xiàn)上，化

12

簡(jiǎn)可得再=一4,同理血=4:，代入&=萬(wàn)天化簡(jiǎn)，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程可得尸工,一—，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合

sin/3DP=sin4D8代入化簡(jiǎn)可得~7,再根據(jù)0<%<g求解范圍即可；

方法二:設(shè)直線(xiàn)DE：x=ty+m,。（玉,必），￡（孫藝）,聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，再根據(jù)P,A,。三點(diǎn)共線(xiàn)，P,B,

E三點(diǎn)共線(xiàn)，列式化簡(jiǎn)可得一二、7,進(jìn)而可得％=￡，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程可得尸不,J—，再根據(jù)正弦定

2+m/+2AA2

理，結(jié)合sin/BZ）P=sin4口代入化簡(jiǎn)可得用T,再根據(jù)。<2<；求解范圍即可.

收一4一

c_V7

a2

【詳解】（1）由題意得：\c2=a2+b2,解得6=百,

a=2

所以雙曲線(xiàn)5的方程為

（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)4P：y=』^（x+2）,。（占,“），

則/二￡（"+2）,消>得：3+4、d16弁16、]2=c,

3/+4>2=12L（%+2）」（/+2）（%+2）

彳曰2、E:-12d+2）2

侍：「3宙+2）2+加，

22

又因?yàn)槭ㄓ取?%）在雙曲線(xiàn)上，滿(mǎn)足今與=1,即4弁=3片-12,

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

8/一6（x0+2）2_6x；—24-￥_-24%+2-44

所以一西=2=一,即再=——

3（x0+2）+43（%+2）2+3"2"6x0（x0+2）

4L4

y0

同理設(shè)直線(xiàn)BPy=（尤-2）,E（x2,y2）,可得工2=一所以％0=一

工0

0422

因?yàn)樗砸?4%0，因?yàn)榕c>0,所以無(wú)0=彳.

%0A

4c2

2—2一八2V3-3/L

2九一，解得V3-32

把與=：代入雙曲線(xiàn)方程得，2%=-----；--，--則-點(diǎn)P■

Z--------二1A

437

設(shè)AOB尸與△48。的外接圓的半徑分別為彳，￥],

由正弦定理得2/=，2G=四

sin/BDPsinZADB

因?yàn)?。5+/5。。=180。，所以sin/5DP=sin/AD5.

39_

+—

則5_rxBP7.

AB4

因?yàn)?<4<；,所以；〉2,所以,+8.

2Z7

方法二：設(shè)直線(xiàn)OE：x=ty+m,。（再，珀，E（x2,y2）,

；；：7=12'消x得：（3/+4）/+6/叼+3加2-12=0,

則

-6tm3m2-124-m2

所以M+%,得M必=+y）

3“+4'必%―3）+42mtU2,

必_%

因?yàn)镻,A,。三點(diǎn)共線(xiàn)，則

西+2玉）+2

%_%必（毛一2）%-2

因?yàn)槭?B,￡三點(diǎn)共線(xiàn)，則,兩式相除得