2024屆上海市北中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆上海市北中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

“\九+4,x<7°,

1.已知函數(shù)/（%）=,是R上的減函數(shù)，當(dāng)a最小時(shí)，若函數(shù)y=/（x）一4恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則

a,x>7

實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.（-；,0）B.(-2,；)

D.(1,1)

C.(-1,1)

2.已知函數(shù)/（x）-x+inx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)再，x2,若不等式菁）+/（%2）>2（%+9）+/有解，貝心的

取值范圍是（）

A.(f-21n2)B.(-oo,-2In2]

C.(-oo,-ll+21n2)D.(ro,—ll+21n2]

3.拋物線V=2x的焦點(diǎn)為尸，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)又（2,2）且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

4.將函數(shù)/（￡）=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，如果g（x）在區(qū)間［0,可上單

調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)。的最大值為（）

7in713

A.—B.—C.—D?一71

8424

5.已知正方體ABC。-AgG。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)〃為棱。2的中點(diǎn)，則平面ACM截該正方體的內(nèi)切球所得截面面

積為（）

712萬(wàn)

A.—B.一C.nD.一

333

(兀3兀?3

6.已知。tan(cr-7i)=--,則sina+cosa等于().

1117

A.±-B.——C.-D.--

5555

2

7.雙曲線M-y2=i的漸近線方程是（）

4

A.x±2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

8.設(shè)R且則下列不等式成立的是（）

11

A.c-a<c—bB.ac1>be1C.-<-D.-<1

aba

UUUUUU1

9.平行四邊形A5CO中,已知A5=4,AD=3f點(diǎn)E、斤分別滿足AE=2ED，DF=FC，且=—6,

則向量AD在AB上的投影為（）

33

A.2B.-2C.一D.——

22

10.在正方體ABC。—中，點(diǎn)尸、。分別為A3、AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作平面。使〃平面a,AQ〃平

MD.

面戊若直線用2c平面a=M，則房的值為（）

1V11D}

￡112

A.B.-C.一D.-

4323

11.已知尸是雙曲線C："2+y2=4|%|（無(wú)為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)歹到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）

A.2kB.4kC.4D.2

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入2,e2],則輸出S屬于()

A.[-3,2]B.[-4,2]C.[0,2]D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線C：[2=4%的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,P為C上一點(diǎn)，P0垂直/于點(diǎn)0,M,N分別為尸。，PF的中點(diǎn),

MN與％軸相交于點(diǎn)R,若NNRb=60。，則尸R|等于.

14.函數(shù)/（%）=（〃一1廠一3（。＞1,〃。2）過(guò)定點(diǎn)

is.設(shè)石、々、不、及為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量x和y的分布列如下表，若記。x,分別為x,y的方差,

則。xoy.（填〉，＜,=）

XX]%%3%

X+%3

x+%22忍+%4%+再

Y1

2222

￡￡j_￡

P

4444

16.如圖，己知半圓。的直徑AB=8,點(diǎn)P是弦AC（包含端點(diǎn)A,C）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在弧上.若AOAC是

等邊三角形，且滿足OQ-OP=0,則。的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）三棱柱ABC—A4G中，平面期用3,平面ABC,45=9=45=4,BC=2,AC=26,息F

為棱A5的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AG上的動(dòng)點(diǎn)?

（1）求證：￡F±BC；

（2）若直線B|E與平面A/C所成角為60。，求二面角E-5四-4的正切值.

18.（12分）中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受.如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一

扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和

六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm,窗芯

所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng).

圖1圖2

(1)試用x,y表示L；

(2)如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形

木料(不計(jì)樟卯及其它損耗)？

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-xe*+ax(aeR).

(1)若函數(shù)f(x)在口內(nèi))上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)若。=1,求/(勸的最大值.

20.(12分)如圖,四棱錐P—ABCD中，平面平面ABC。,底面ABC。為梯形.A5//CDAD=2DC=2jL

且K4D與ABD均為正三角形.E為AD的中點(diǎn)，G為重心,AC與5。相交于點(diǎn)尸.

⑴求證:GF//平面PDC；

⑵求三棱錐G-PCD的體積.

21.(12分)已知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，滿足cosC+(cosA—GsinA)cos3=0

(1)求內(nèi)角3的大小

(2)已知a=c,設(shè)點(diǎn)。是AABC外一點(diǎn)，且Q4=2O3=4,求平面四邊形Q4CB面積的最大值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)棱？底面ABC。，ADUBC,AD=1,PA=AB=BC=2,M

是棱QB的中點(diǎn).

p

(1)求證：AM〃平面PC。；

(2)若/ABC=90，點(diǎn)N是線段CD上一點(diǎn)，且=求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

首先根據(jù)/(尤)為R上的減函數(shù)，列出不等式組，求得所以當(dāng)。最小時(shí)，a=g,之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)

化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.

【詳解】

67-1<0

由于/(尤)為R上的減函數(shù)，則有<0<a<l,可得gwa<l,

a?7(〃-1)+4

所以當(dāng)a最小時(shí)，a=—,

2

函數(shù)y=/(x)-丘-4恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)=kx+4有兩個(gè)實(shí)根，

等價(jià)于函數(shù)y=/(x)與y=C+4的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

畫出函數(shù)/(尤)的簡(jiǎn)圖如下，而函數(shù),=履+4恒過(guò)定點(diǎn)(0,4),

數(shù)形結(jié)合可得k的取值范圍為〈人<0?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.

2、C

【解析】

先求導(dǎo)得/'(x)=2a廠—x+1(%>0),由于函數(shù)/(九)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)再，%2,轉(zhuǎn)化為方程2狽2—x+1=0有

X

兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)/,\+x2,求出”的取值范圍，而/■(石)+/(%)>2(%+%2)+『有解，通

過(guò)分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)力(。)=-ln(2a)[o<a<g],通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究網(wǎng)。)單調(diào)性、最值，即可得出f

的取值范圍.

【詳解】

由題可得：/(x)=2ar--Y+1(x>0),

X

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=of一x+InX有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)士，巧，

所以方程2雙2-x+1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,

A=1—8〃>0,

于是有西+工2=>°，解得0<Q<—.

2a8

Xy=-->0,

122a

若不等式/(%)+/(9)>2(%+%)+，有解,

所以,<［/（不）+“%2）—2（玉+%2）］111ax

因?yàn)?（石）+〃%2）—2（七+42）=鬲一石+lnx,+av；-x2+lnx2-2（石+x2）

2

=q［（玉+x2）-2x1x2J-3（x1+x2）+ln（x1x2）=--^--l-ln（26z）.

設(shè)/Z（Q）----------1—ln（2〃）|0<〃<一|,

4aI8）

/（。）=三￥>0,故/7（a）在（03］上單調(diào)遞增，

4a-I8J

故"）<4］=—11+21n2,

所以f<—11+21rl2,

所以t的取值范圍是（―8,-11+21n2）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來(lái)求參數(shù)取值范圍，以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計(jì)算

能力，有一定的難度.

3、B

【解析】

圓心在句0的中垂線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，〃且與/相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)尸的距離相等，圓心在拋物線

上，直線與拋物線交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)MQ,2）在拋物線V=2%上，

又焦點(diǎn)F（g,0）,

由拋物線的定義知，過(guò)點(diǎn)尸、"且與/相切的圓的圓心即為線段FN的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),

這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，

故過(guò)點(diǎn)尸、M且與/相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上.

4、B

【解析】

根據(jù)條件先求出g(x)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

將函數(shù)/(x)=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

貝！1g(%)=cos2x+—=cos2x+—,

71

設(shè)。=2x+—,

2

則當(dāng)OvX<a時(shí)，Ov2x<2ci，—<2x-\—?2aH—,

222

rr〃八c冗

即一<ew2。+—,

22

要使g（X）在區(qū)間［o,?］上單調(diào)遞減，

TTJTTT

則2aH—?不得2。<一,得aW—,

224

即實(shí)數(shù)〃的最大值為巴7T，

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.

5、A

【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓，根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面ACM的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截

面面積可求.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)內(nèi)切球球心為。，。到平面ACM的距離為d,截面圓的半徑為廠,

因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為1,

又因?yàn)?c=%-AOC，所以—xdxSAMCA0C，

MQZl/KlUzQ、Zll-ZV-

；

又因?yàn)镾3c=x2gx《卜石j—(e)2=V6,SMOC=1x2^xl=V2,

所以‘xdx?=2,所以d=1,

333

所以截面圓的半徑r=J12—『=無(wú),所以截面圓的面積為S=

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算，難度一般.任何一個(gè)平面去截球，得到的截面一定是圓面,

截面圓的半徑可通過(guò)球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.

6、B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tan。=-：,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tan(a-7i)=tantz=——,

713兀,,34

又tze,所以aeI",無(wú)

2'T,costz(0,smtz；0,結(jié)合sin2(z+cos2a=1解得sina=y,costz=一1

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是H-y2=l,整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2門

解：雙曲線y2

4y

2

其漸近線方程是工-y2=l

4

整理得x±2y=l.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

A項(xiàng)，由〃＞6得至!］一"〈一人，則。一〃＜。一5,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，該不等式不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)。=1,6=—2時(shí)，1〉—工，即不等式!〈,不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

2ab

bb

D項(xiàng)，當(dāng)a=—1,6=-2時(shí)，一=2〉1,即不等式一＜1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

aa

綜上所述，故選A.

9、C

【解析】

ADAB

將AE8E用向量和A3表示，代入AF=—6可求出=6，再利用投影公式卜@可得答案.

【詳解】

解：AFBE=^AD+DF^BA+AE^

=ADAB+AD-AD--ABAB+-AB-AD

3223

42,1,

=-ADAB+-x32——x42=6,

332

得ADAB=6,

ADAB63

則向量AD在A3上的投影為一同一=彳=].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運(yùn)算，將AfBE用向量AD和A3表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

作出圖形，設(shè)平面a分別交4。、G〃于點(diǎn)E、F,連接￡>E、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、QG,

連接AG交用。于點(diǎn)N,推導(dǎo)出用刊/C。，由線面平行的性質(zhì)定理可得出GG〃。/，可得出點(diǎn)尸為GA的中點(diǎn)，

MD,

同理可得出點(diǎn)E為4〃的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得號(hào)的值.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)平面a分別交AQ、GA于點(diǎn)E、F,連接OE、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、Cfi,連接4G交

耳。于點(diǎn)N,

四邊形ABCD為正方形，P、G分別為AB、CD的中點(diǎn)，貝!JBZ7/CG且6P=CG,

???四邊形3CGP為平行四邊形，PGHBC豆PG=BC,

B.CJ/BC且AC】=5C,二PGgG且PG=B?,則四邊形BgGP為平行四邊形，

.?.31P〃GG,〈BiP〃平面a,則存在直線aU平面a,使得用巴/a,

若GGu平面a,則Ge平面a,又平面e,則CDu平面e,

此時(shí)，平面a為平面CDRG，直線4。不可能與平面a平行,

所以，。16<2平面戊，，￡6〃。，，。16〃平面戊，

C]Gu平面。2G，平面CDDG平面尸，二。尸〃￡G,

QF//DG,所以，四邊形為平行四邊形，可得￡石=。6=3。。=3。]2,

11MD1

}L

.?./為GQ的中點(diǎn)，同理可證石為42的中點(diǎn)，EF=M,-.MDl=-DiN=-BiDi,因此，—=-.

z,4D

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長(zhǎng)度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面a與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

11、D

【解析】

分析可得k<0,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

22

當(dāng)左時(shí),等式履2+/=4|左|不是雙曲線的方程；當(dāng)k<0時(shí)，6？+/=4|左1=—4限可化為上——上=1,可得虛

---Ak4

半軸長(zhǎng)Z?=2,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

/+2/—3,tG[—2,11

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)S(/)=1皿，，中，目的值域'求解即得解.

【詳解】

由題意可知,

+2/-3,t€[-2,1]

框圖的作用是求分段函數(shù)S。)=的值域,

Int,

當(dāng)re[—2,l),SeiO)；

當(dāng)te[l,e2],Se[0,2]

綜上：Se[<2].

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

由題意知：|EH|=2,歸耳=幟。|,MN//QF,PQ〃OR-NRF=6Q。,可得△PQE為等邊三角形，MF±PQ,

可得f為HR的中點(diǎn)，即求|依|.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，如圖所示，連接MF,QF.

??,拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線為/,尸為C上一點(diǎn)

.?.熙|=2,附=閘.

'.'M,N分別為P。，PF的中點(diǎn)，

:.MN//QF,

,：PQ垂直/于點(diǎn)。，

：.PQHOR,

'：|PF|=|PQ|,ZNRF=60°,

.?.△PQ/為等邊三角形,

：.MFLPQ,

易知四邊形MQHF和四邊形MQFR都是平行四邊形，

尸為HR的中點(diǎn)，

：.\FR\=\FH\=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14、(0,-2)

【解析】

令％=0,/(0)=1-3=-2,與參數(shù)無(wú)關(guān)，即可得到定點(diǎn).

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得％=0,函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān)，

所有/(%)=(。-1)、-3過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

故答案為：(0,-2)

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.

15、＞

【解析】

根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出OX,OF的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.

【詳解】

j14

DX=—[(為-EXJ+一EXJ+(七一EXJ+(%—EXJ[=——4(￡XJ

44；-1

EV7丁丁一+H(…+…S，

〃=1卜+々EX1+廣+&EX：+r+%4

EX-EX

2222

1+X

%+x2x2+x3x3+x4x1-4(EX)2.

II++4

42+222

42222

%+%2x+xI+x+x

要比較ox,￡>y的大小，只需比較與I+2334I+%+%I,兩者作差并化簡(jiǎn)得

i=l2222

2222

4XI+xx+xx+xX+%1

￡片一2I23I+34I+4

i=l2+222

2x；+2x1++2xj-2(xtx2+x2x3+x3x4+x4xt)

4

4

由于為當(dāng),%，%為互不相等的正實(shí)數(shù)，故①>0,也即

2222

4XI+xx+xx+x-v+%i

22334I+4,也即以>。工

I+I+

;=12222

故答案為：>

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算，考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

16、1

【解析】

建系，設(shè)=表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，貝!|。2.2。=。2.(。。-。8)=-。尸.08=16-2機(jī)，根據(jù)m的范圍得出答案.

【詳解】

解：以。為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則A(-4,0),B(4,0),C(-2,2指),

設(shè)AP=m(魄M4),貝[]2(1〃?一4,

■'2

OP=(-m-4,,OB=(4,0),

OQ-OP=0,

OP.BQ=OP.{OQ-OB)=-OP-OB=16-2m,

顯然當(dāng)機(jī)取得最大值4時(shí)，0P8Q取得最小值1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)1

3

【解析】

(1)可證面AEP,從而可得印

(2)可證點(diǎn)E為線段4G的三等分點(diǎn)，再過(guò)￡作用于G,過(guò)G作垂足為H,則N￡HG為二

面角E-5與-4的平面角，利用解直角三角形的方法可求tanNEHG.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用

兩個(gè)平面的法向量來(lái)計(jì)算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求tanZEHG.

【詳解】

證明：(1)因?yàn)?5=44=4民/為中點(diǎn)，所以APLAB.

因?yàn)槠矫?&耳3,平面ABC,平面441515c平面ABC=AB,平面招耳呂，

所以4R_L平面ABC,而BCu平面ABC,故

又因?yàn)?=4^2,所以BCLAC,則BCLAG，BC，4E,

又A￡CAE=A，故3CL面AEP,又EFu面AEF,所以BCLEF.

(2)由(I)可得：4G，面A^G，與E在面A尸G內(nèi)的射影為AC，

則ZB.EQ為直線與E與平面A尸G所成的角，即ZB.EQ=60°.

因?yàn)?CLAC,所以用G，AC，4￡=2,所以￡0]=子，所以AE=￥，

即點(diǎn)E為線段AG的三等分點(diǎn).

解法一：過(guò)E作EG，45i于G,則EG,平面43,

所以EGLBB1,過(guò)G作垂足為H,

則ZEHG為二面角E-BB廠4的平面角，

因?yàn)镋G=^^，AG=2,GH=2XB=5

32

273

則在H/AEHG中，有,/口口「EG72,

tanNEHG=--=g=—

GHM3

2

所以二面角E-BB}-4的平面角的正切值為y.

解法二：以點(diǎn)尸為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,—2,0),A(0,0,2?,B(0,2,0),B、(0,4,2耳)，C(也,1,0),

222

設(shè)點(diǎn)石1(乙),%,2°),由A^E=~=—AC得:(x0,y0,z0—2\/3)=—^^/3,3,0j,

即/=至，為=2,Z0=2A/3,點(diǎn)E［羋,2,2石］,

3I3J

平面AA,B,B的一個(gè)法向量m=(1,0,0),

又BE=—,0,273,BB1=A41=(0,2,2A/3),

【3J

設(shè)平面EBB,的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

-x+2y/3y=0r

則3--------------令x=6,則平面EBB,的一個(gè)法向量為〃=(3,A/3,-1).

2y+2任=0

?m-n3

設(shè)二面角E-BB-4的平面角為0貝(JCOS)9一|,-r—,

X網(wǎng)網(wǎng)V13

22

即tan￡=—,所以二面角E—5月-4的正切值為

3

Z

4；__________Bi

XC

【點(diǎn)睛】

7T

線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為一得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中

2

注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可

以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.

18、（1）￡=82+47X2+y2-2（X+y）（2）16+4^/569

【解析】

試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng)15-%,豎直方向每根支條長(zhǎng)為13-上，因此所需木料的長(zhǎng)度之和

2

rir_____15-%>2,Mo

L%+J22

=2（15-X）+4（13-^）+8X^-82+4Jx+y-2（x+y）（2）先確定范圍由{y可得-1TVW13,

2213-51，11

再由面積為130cm2,得1w=13,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)￡=82+4）必+（理）2一2（1+理），令公尤+當(dāng)，貝！］

2Vxx%

/_520

L=82+2［Vr-520+尸］在te［33,—］上為增函數(shù)，解得L有最小值16+47569.

Vr-520+r11

試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為"7=匕」=15-Xcm,豎直方向每根支條長(zhǎng)為

2

w=262=13_2cm>菱形的邊長(zhǎng)為舊y+（$2=金￡cm.從而，所需木料的長(zhǎng)度之和

yJx2+y1

L=2(15—x)+4(13—2)+8x^———=82+4舊+y2-2(%+y)cm.

22

15-x>2,---------------

（2）由題意，工沖=13,即>=理，又由y可得112?W13.所以￡=82+4、.2+（出）2—2（》+理）.

2x13-->2,11vxx

2

令yX+”{其導(dǎo)函數(shù)1-粵<0在巨%W13上恒成立，故/=》+竺^在［申,13］上單調(diào)遞減，所以可得

XX211X11

t€[33,-].則￡=82+2[2J(x+—)2-520—(%+—)]

11Vxx

______520

=82+2[〃-520+Vr-520-t]=82+2[&-520+左—].

7t—DZO+/

-520372

因?yàn)楹瘮?shù)y=J/2—520和y小?在徐［33,=］上均為增函數(shù),所以

〃一520+111

/_520KD

乙=82+2]./-520+-/^^^^]在￡6[33,匕]上為增函數(shù)，故當(dāng)t=33,即x=13,y=20時(shí)L有最小值

業(yè)之一520+f11

16+4師.答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要16+4質(zhì)cm長(zhǎng)的條形木料.

考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題

—

19、(1)aW2e—1(2)/(x)01ax—1

【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,采用參變分離的方法分離出。，并將工的部分構(gòu)造成新函數(shù)g(x),分

析。與g(x)最值之間的關(guān)系；

(2)通過(guò)對(duì)/(%)的導(dǎo)函數(shù)/,(x)分析,確定f,M有唯一零點(diǎn)x°，則/就是/(%)的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，計(jì)算/(%0)

的值并利用/'(%)=0進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定了(%)max-

【詳解】

(1)由題意知，f\x)=--(ex+xex\+a=!―(x+1)/+。K0在口,”)上恒成立，所以aK(x+l)e*—」在

XV7XX

口,+8)上恒成立.

令g(x)=(x+l)ex--,貝!)g'(x)=(x+2)ex+二>0,

xx~

所以g(x)在口”)上單調(diào)遞增，所以g(x)1nhi=g(l)=2e-1,

所以aW2e-1.

(2)當(dāng)Q=1時(shí)，f(x)=Inx-xex+x(x>0).

則/(%)=(%+W+1=(x+l)f—e”],

x\x)

xx

令m(x)=——e,貝!|加(九)=——--e<0f

xx

所以m(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

由于他m(l)<0,所以存在玉〉0滿足加(%)=0,即1=L.

當(dāng)工￡(O,/o)時(shí),m(x)>0,f"(x)>0?當(dāng)X￡(%o，+oo)時(shí)，m(x)<0,f\x)<0.

所以/(X)在(0,Xo)上單調(diào)遞增，在(%，+8)上單調(diào)遞減.

所以/GOmx=/(%)=山/一毛人+七,

因?yàn)樗耘c=-111%,所以/(%0)=-%-1+%0=-1,

玉)

所以/(X)mx=—L

【點(diǎn)睛】

(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí)，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；

(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí)，需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析，以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)

的零點(diǎn)所在區(qū)間，再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.

20、(1)見解析(2)昱

2

【解析】

(1)第(1)問(wèn)，連AG交于H,連接C".證明G尸〃HC,即證GE//平面PDC.Q)第⑵問(wèn)，主要是利用體積

變換，yG-PCD=VF-PCD=Vp-CDF=gxPExSASF,求得三棱錐G一PCD的體積.

【詳解】

(1)方法一：連AG交PD于"，連接CH.

AF2

由梯形ABC。，4？||。。且45二2。。，知一=—

FC1

AG2

又E為AD的中點(diǎn)，G為APAD的重心，?二————

GH1

AQAF2

在AAHC中，----=——，故GF〃HC.

GHFC1

又HC7平面PCD,GFu平面PCD,???G///平面

方法二：過(guò)G作GN||A。交PD于N,過(guò)F作FM||AD交CD于M,連接MN,

「NPC1222l

G為APAD的重心，-=—=GN=-ED=-y^>.

DEPE333

f位小“CD1CF1

又ABCD為梯形，AB||CD,——,-----——.

AB2AF2

MF12r-

——=-,:.MF=-^3,:.GN=FM.

AD33

又由所作GN||AD,FM||AD,得GN〃FM,所以GNMF為平行四邊形.

因?yàn)镚F||MN,GF<X平面PCD,MNc平面PCD,/.GF||平面PCD

(2)方法一:由平面上4D，平面ABC。，M4D與AABZ)均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)

APE±AD,BELAD,得PEL平面ABC。，且PE=3

由⑴知G”/平面的，..“…叫生—…!所⑶曲

[2

又由梯形ABCD,ABHCD,AAB=2DC=2《,知DF=—BD=-6

33

又AABD為正三角形，得NCDF=ABD=60，,S.=-xCDxDFxsinNBDC=—，

ArCnDrF22

得^P-CDF=2XPEXS“DF=

...三棱錐G-PCD的體積為旦.

2

方法二：由平面QAO,平面ABC。，AMD與AABD均為正三角形，￡為AD的中點(diǎn)

APE±AD,BELAD,得PEL平面ABC。，且PE=3

22221

由PG——