3.4素理想與極大理想

三、極大理想

主理想的定義

定理3.3.3---主理想的表示

定理3.4.1---一個充要條件

定義3.4.2---極大理想

例3

例4§3.4

素理想與極大理想

一、素理想的定義

定義3.4.1

---素理想

例1

例2

推論1

二、素理想的判定

商環(huán)的定義

例5

定理3.3.4---商環(huán)的性質

例6

推論2

三、商環(huán)一、素理想的定義定義3.4.1

設為環(huán),是的真理想.如果對任

意的,由,可推出或,則稱為

的一個素理想(primeideal).例1

設為正整數(shù),證明為的素理想的充分

必要條件是為素數(shù)

證

必要性如果不是素數(shù),則或為合數(shù).(1)如果,則,與為素理想矛盾.

(2)如果為合數(shù).設,.則

,而,與為素理想矛盾.

充分性

設為素數(shù).如果,則,從而有

,或,即或,所以為素理想.

由定義易知也是的素理想.所以的全部素

理想為(為素數(shù))以及

例2

試求的所有素理想.

解

共有6個理想(1)顯然,不是的素理想.又因為,而

,所以也不是的素理想.同理可證,都不是的素理想

(2)考察.設,.則(在中),

所以(在中),從而因,所以,從而

或.由此得或.所以為的素理想.

同理可證,也是的素理想.所以的素理想為

與

例3

在中,由于,而

所以不是的素理想. 二、素理想的判定理想.則是的素理想的充分必要條件是是整環(huán).

定理3.4.1

設是有單位元的交換環(huán),

是的

證

必要性

設為的素理想,則為的真理想,所以.因是有單位元的交換環(huán),所以也是有單位元的交換環(huán).又設使,則,從而有或.由此得或.這說明,商環(huán)無零因子,所以為整環(huán).

充分性

如果為整環(huán),則是的真理想.又設

且,則.所以必有或.由此得或.所以為的素理想

三、極大理想的定義定義3.4.2

設是環(huán),是的真理想.如果對的

任一包含的理想,必有或,則稱為的一

個極大理想(maximalideal).例4

的極大理想是與

例5

設是正整數(shù).證明:則是的極大理想

的充分必要條件是是素數(shù).

證

必要性

設是的極大理想,則.設

且.若不整除,則,從而.因是的極大理想,,從而存在,使于是.又因所以.所以是素數(shù).

充分性

設是素數(shù),是的任一理想,使

使.由此得,所以,從而為的則存在,使.從而不整除.因為素數(shù),所

以.從而存在,使.于是,對任意

所以為的極

由此得

例6設為的理想.則為的極大理想,但不是素理想.

證

設為的任一理想且,則存在且.令,則2不整除,所以.從而存在極大理想.又因為,但,所以不是的素理想.

例7

設是全體實函數(shù)的集合,它按通常函數(shù)

的加法與乘法構成一個環(huán).令

易知為的理想.

設為的任一真包含的理想,則存在,使

.令,,則.又因為所以.從而

由此得.所以為的極大理想.

例8

證明為的極大理想.證

設為的任一理想使.在中任取

一個不屬于的多項式,令

則存在,使

從而因從而

,所以不全為零.

(1)在中,如果,則,且

則由此得.(2)如果,則,于是,從而就有

這就證明了為的極大理想.

注

一般環(huán)上的素理想與極大理想：所以.從而.于是存在,使四、極大理想的判定定理3.4.2

設是有單位元的交換環(huán),為的

理想.則是的極大理想的充分必要條件是是域.證

必要性

設是的極大理想,則.因

是有單位元的交換環(huán),所以也是有單位元的交換環(huán).又對任意的,因,即,則

從而即可逆.所以為域.充分性

設為域,則,所以是的真理想.設為的任一真包含的理想,則有且,從

而.因為域,存在,使.于是從而.所以是的極大理想.

定理3.4.3

設是一個有單位元的交換環(huán),則的

每個極大理想都是素理想.

證

如是的極大理想,由定理3.4.2,是域.從而是整環(huán).又由定理3.4.1知,是素理想.

注

如果減弱定理3.4.3的條件,結論就可能不

成立.如例6中,是的極大理想,但卻不是的素

理想.另一方面,一個素理想也不一定是極大理想.如在中,是的素理想,但卻不是的極大理想.

例9

由上一節(jié)例6知,是一個二元域,所以

是的一個極大