浙江省麗水四校 2024屆數(shù)學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末聯(lián)考試題含解析

浙江省麗水四校2024屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）

22

1.已知圓C1：x?+y2-2x=0與圓C2：x+y-4y+3=0,則兩圓的公切線條數(shù)為（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

2.設(shè)函數(shù)/（%）=依2-2%+2,對(duì)于滿足1<%<4的一切x值都有/（九）>0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

1,

A0>1B.一<tz<1

2

11

C.tz>—D.<7>一

22

3.已知點(diǎn)”（。力）在圓0:/+/=1外，則直線6+外=1與圓。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

4.在ABC中，已知4=4/=4班,3=60°,則角A=（）

A.60°B.45°

C.30°D.30°或150°

3

5.已知a是第四象限角，尸（3,y）是角a終邊上的一個(gè)點(diǎn)，若cosa=,，則,=（）

A.4B.-4

C.+4D.不確定

3

6.已知“x>左”是“——<1”的充分不必要條件，則"的取值范圍為（）

%+1

A.（-co,-l]B.[l,+8）

C.[2,-K?）D.（2,-KO）

7.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3我"=9B.Q2-=a3（a>0）

222

C.^(-3)3+85=1D

-(t)+喘=~9

8.函數(shù)/(x)=lg(」+2)的定義域?yàn)?/p>

A(—2,+GO)B.[-2,4W)

C.(-2,0)(0,+s)D.[-2,0)U(0,4W)

9.下列關(guān)于函數(shù)〉=5由x+g的說(shuō)法不正確的是（）

57r

A.在區(qū)間「，工上單調(diào)遞增

_66

B.最小正周期是2萬(wàn)

C.圖象關(guān)于直線X=——軸對(duì)稱

D.圖象關(guān)于點(diǎn)］中心對(duì)稱

10.函數(shù)〃X）=2；2'是。

A.偶函數(shù)，在（0,+8）是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，在（0,+8）是增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在（0,+8）是減函數(shù)

D.奇函數(shù)，在（0,長(zhǎng)。）是減函數(shù)

11.以下四組數(shù)中大小比較正確的是（）

A.log3.i?<log"3.1B.O.503<0.4°3

c"2/-0.1

7C<71D.o.403<0.1°7

12.在試驗(yàn)“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機(jī)事件“至少中靶1次”，事件3表示隨機(jī)事件“正好中

靶2次”，事件C表示隨機(jī)事件“至多中靶2次”，事件O表示隨機(jī)事件“全部脫靶”，則（）

A.A與C是互斥事件B.B與C是互斥事件

C.A與。是對(duì)立事件D.5與。是對(duì)立事件

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）

13.已知角1的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為工軸的正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4),貝心血友+蟆

14.已知函數(shù)」「「但.=：).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在實(shí)數(shù)a，使得，-有最小值；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)a(1口且匚h：)，，都不是R上的減函數(shù)；

③存在實(shí)數(shù)a,使得，的值域?yàn)镽;

④若0＞才則存在X。6(6+8)，使得八々)=/(-/

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

15.已知向量a=(/居4),6=(3,—2),且a//。，貝！P"=.

16.衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為“，經(jīng)過(guò)，天后體積V與天數(shù)f的關(guān)系式為：

48

V=a-e".已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)?a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)榉絘,則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17.已知塞函數(shù)/(x)=x〃的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)唱,句.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)用定義法證明在區(qū)間(0,+co)上是減函數(shù).

18.已知函數(shù)/(幻=。無(wú)2+(l—a)x+a-2.

(1)若不等式/Xx)2-2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若。＜0,解關(guān)于x的不等式/(x)＜a-1.

19.已知二次函數(shù)/(》)=以2+法+式4/0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與左軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).

(1)求Ax)表達(dá)式;

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=/(x)-如，若E(x)在區(qū)間［-2,2］上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-丘,2,2］,記此函數(shù)的最小值為力(左),求丸伏)的解析式.

20.已知某觀光海域A3段的長(zhǎng)度為3百公里，一超級(jí)快艇在A5段航行，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用。(單

位：萬(wàn)元)與速度v(單位：百公里/小時(shí))(0WvW3)的以下數(shù)據(jù)：

V0123

Q00.71.63.3

為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用。與速度V的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q^av3+bv2+cv,2=0.5葉a,

Q=klogav+b

（1）試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使A3段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用

21.一條光線從點(diǎn)A（3,2）發(fā)出，經(jīng)軸反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)8（-1,6）,求入射光線和反射光線所在的直線方程.

22.設(shè)有一條光線從川-2,46）射出，并且經(jīng)x軸上一點(diǎn)。（2,0）反射.

⑴求入射光線和反射光線所在的直線方程（分別記為卜4）;

⑵設(shè)動(dòng)直線=-2小，當(dāng)點(diǎn)M（0,—6）至?。?的距離最大時(shí)，求/4,4所圍成的三角形的內(nèi)切圓（即：圓心在三角形

內(nèi)，并且與三角形的三邊相切的圓）的方程.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）

1、D

【解析】求出兩圓的圓心與半徑，利用圓心距判斷兩圓外離，公切線有4條

【詳解】圓爐+32-2“=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式是（x-i）2+產(chǎn)=1,

圓心是G（1,0）,半徑是"=1；

2222

圓x+y-4y+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式是x+（j-2）=lf

圓心是。2（0,2）,半徑是F2=l；

則|CQ|=A>ri+r2,

二兩圓外離，公切線有4條

故選O

【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的一般方程與位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題

2、D

【解析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值得參數(shù)范圍

【詳解】滿足1<%<4的一切%值，都有/(￡)=辦2-2%+2>0恒成立,

對(duì)滿足1<%<4的一切》值恒成立,

〈<工<1,;二x=2時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為a〉工,

4x4(x2)22

故選：D.

3,B

【解析】由題意結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考查圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系.

【詳解】點(diǎn)/(。⑼在圓外，...4+/>1,

1

圓心0到直線ax+=1距離〃<1,

y/a2+b2

直線ax+8y=l與圓。相交.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

4、C

【解析】利用正弦定理求出角A的正弦值，再求出角A的度數(shù).

【詳解】因?yàn)椤?=—絲，

sinAsinB

4_4A/3

所以sinAg，

~2

解得：sinA=；,Ae(0,180

因?yàn)閍<b,

所以A=30.

故選：C.

5、B

【解析】利用三角函數(shù)的定義求得兒

【詳解】依題意a是第四象限角，所以y<0,

<后+y25=>y=-4.

y<0

故選：B

6、C

33

【解析】根據(jù)“x>左”是“一7<1”的充分不必要條件，可知（左,+8）是一7<1解集的真子集，然后根據(jù)真子集關(guān)系

X+lX+1

求解出左的取值范圍.

3

【詳解】因?yàn)椤?lt;1,所以x+l>3或％+1<0,

x+l

所以解集為（—8,—。（2,+8）,

3

又因?yàn)椤皒>左”是“——<1”的充分不必要條件，

%+1

所以的+8）是（y,-1）U（2,”）的真子集，所以丘[2,收），

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷充分、必要條件：

（1）若。是夕的必要不充分條件，則夕對(duì)應(yīng)集合是。對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（2）若。是q的充分不必要條件，則P對(duì)應(yīng)集合是夕對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（3）若。是q的充分必要條件，則。對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；

（4）若。是q的既不充分也不必要條件，則?對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合互不包含.

7、c

【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可.

【詳解】3啕2=2,故A錯(cuò)誤；

a2-=a2=a^（a>0）9故B錯(cuò)誤；

I----23x2

玳―3）3+8§=—3+2'3+4=]，故c正確；

[2]+lg—=--2=-,故D錯(cuò)誤.

UJ10044

故選：C.

8、C

【解析】要使得/'（x）有意義，要滿足真數(shù)大于0,且分母不能為0,即可求出定義域.

%+2>0

【詳解】要使得/（x）有意義，則要滿足八，解得（-2,0）。（0,+8）.答案為c.

【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的定義域求解要滿足：(D分式：分母W0;

(2)偶次根式：被開(kāi)方數(shù)20；

(3)0次幕:底數(shù)片0；

(4)對(duì)數(shù)式：真數(shù)＞0,底數(shù)＞0且#1；

Jl一

(5)tan(^yx+(p)：口九。耳+左乃，(左￡Z)；

9、D

【解析】結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代換思想依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

57rTC7C兀兀

【詳解】當(dāng)xe---時(shí)，x+—e,此時(shí)函數(shù)丁=sinx為增函數(shù)，

L66J3122」

jr)57r71

X+:在區(qū)間一丁工上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；

［3JL66」

_2K2K.

由函數(shù)周期公式7=同=丁=2兀，B選項(xiàng)正確；

'冗)1

當(dāng)工=一-丁時(shí)，x+j—r=—j—r，由于x=——TT是＞=5皿苫的對(duì)稱軸，故直線x=--7二T是函數(shù)〉=sin|\x+T—C的對(duì)稱軸,

63226＜3y

C選項(xiàng)正確.

當(dāng)x=?時(shí)，x+|=|,由于*=］是『山》的對(duì)稱軸，故［,o］不是函數(shù)〉=5足、+。］的中心對(duì)稱，D選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

故選：D.

10、B

【解析】利用奇偶性定義判斷了(%)的奇偶性，根據(jù)解析式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷〃元)的單調(diào)性即可.

【詳解】由/(—x)=2、；2'=_2'［2;_于寰)且定義域?yàn)镽,故/?(》)為奇函數(shù)，

又＞=2'是增函數(shù)，y=2-,為減函數(shù)，

.?./(x)=2*［2-x為增函數(shù)

故選：B.

11、C

【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、然函數(shù)性質(zhì)即可求解

詳解】對(duì)A,logs/萬(wàn),故logs」萬(wàn)>log“3.1,錯(cuò)誤；

對(duì)B,y=x°3在第一象限為增函數(shù)，故0.5°3>0.4°3,錯(cuò)誤；

對(duì)C,y為增函數(shù)，故；〈萬(wàn)一。]，正確；

對(duì)D,0.4°3>0.1°\0.1M>0.1°7,故0.4°3>0.1%錯(cuò)誤；

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，募函數(shù)性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題

12、C

【解析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義即可求解.

【詳解】解：因?yàn)锳與GB與?？赡芡瑫r(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A、B不正確；8與。不可能同時(shí)發(fā)生，但3與。不是事件

的所有結(jié)果，故選項(xiàng)D不正確；A與。不可能同時(shí)發(fā)生，且4與O為事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)C正確

故選：C.

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.)

3

13、——

4

【解析】利用三角函數(shù)定義求出sin。、cos(z的值，結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.

443_3

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得sma=-?=<，cos?

V32+425志2+425'

.(n\3

/、sm—+a-日

eu,兀]12)cosa53

因此，tan+a\-(、一.

12)17i\-since444

cos1—2+tzJ—5

3

故答案為：—.

4

14、①②④

【解析】通過(guò)舉反例判斷①.，利用分段函數(shù)的單調(diào)性判斷②③,求出=，關(guān)于y軸的對(duì)稱函數(shù)為一口_2：1

利用一、與了=,；「的圖像在上有交點(diǎn)判斷④.

【詳解】當(dāng)。一？時(shí)，rCY一當(dāng)■時(shí)，2T>1，所以，有最小值0,①正確；

?w-

若曲，是R上的減函數(shù)，則,-,q,無(wú)解，所以②正確；

2-c<0(a>2

0<a<l珅<。<1

12—aie1-1=1(a41

當(dāng)：一時(shí)，，一單減，且當(dāng)］時(shí)，值域?yàn)椋阂唬藭r(shí)_,單增，最大值為所以函數(shù)

值域不為R;

當(dāng)［〈.<2時(shí)，y=單增，單增，若用。的值域?yàn)镽，貝H—Q2/■*=］，所以.Mi，與

矛盾；所以不存在實(shí)數(shù)”，使得，的值域?yàn)镽；

由①可知，當(dāng)一二二時(shí)，函數(shù)一值域不為R；當(dāng).>2時(shí)，y=(2.單減，最小值為2_.，y=廣，單增，且一：

所以函數(shù).值域不為R,綜上③錯(cuò)誤；

叉關(guān)于7軸的對(duì)稱函數(shù)為「=(?—2)T若.>3,貝J-2>l=a，T=V但指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速

度快于函數(shù)g_2h的增長(zhǎng)速度，所以必存在0€儀+同，使得(”_2居=。-即小。)=成立，所

以④正確.

故答案為：①②④

15>—6

【解析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.

TTJ4

【詳解】由題意，向量〃=(也4),6=(3,—2),因?yàn)椤?/,可得彳二與，解得加=—6.

故答案為：-6.

16、75

1

【解析】由題意，先算出-入=1±丫°,由此可算出一個(gè)新丸體積變?yōu)間a需經(jīng)過(guò)的天數(shù).

⑺27

【詳解】由已知，得3。=。?15°3

9

1

Q

設(shè)經(jīng)過(guò)4天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)橐籥,

故答案為：75.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17、(1)。=一工；(2)證明見(jiàn)解析.

2

【解析】(1)將點(diǎn)代入函數(shù)解析式運(yùn)算即可得解;

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，任取苞，4e(0,+°°)，且不<9，通過(guò)作差證明/(%)</(%)即可得證.

【詳解】⑴=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).?.出=72,即2-“=2；，

解得a=-工,

2

(2)證明：由(1)得/(x)=x4

任取須，/e(0,+℃),且不〈尤2,

、、二二11X一九2

則/"(9)-7"(石)=92-石2=丁--—1

q九27%

?/X>%1且+

2>0,-X2<0,>0,

〃%)v。,即/(%)</(%)，

1

?“X)=%-2在區(qū)間(0,+co)內(nèi)是減函數(shù).

(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

⑵在給定條件下分類解一元二次不等式即可作答.

【小問(wèn)1詳解】

X/xeR,/(x)之-2恒成立等價(jià)于X/%eR,ax2+(1-a)x+a>0,

當(dāng)a=0時(shí)，x>Q,對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，則a/0,

a>0a>0解得』

此時(shí)必有<a

A=(l-a)2-4?2<0A=3a~+2tz—1>03

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是ae1,+<x)

【小問(wèn)2詳解】

1

依題意，因avO,貝！|/(x)V。-19+(1—ci)x—1<0(xH—)(x—1)>0,

a

當(dāng)〃二一1時(shí)，一工=1,解得

a

當(dāng)—1<Q<O時(shí)，>1,解得1<1或---，

aa

當(dāng)av—1時(shí)，0<—<1,解得x<--或JV>1,

aa

所以，當(dāng)〃=—1時(shí)，原不等式的解集為｛xwRIxwl｝；當(dāng)—1VQ<O時(shí)，原不等式的解集為或%>-1｝;

a

當(dāng)。<一1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x<—,或%>1｝.

a

19、(1)/(%)=x2+2x+l(2)/"W-2或加之6(3)見(jiàn)解析

【解析】(1)由已知條件分別求出"c的值，得出解析式；(2)求出函數(shù)尸(%)的表達(dá)式，由已知得出區(qū)間［-2,2］在

k-2

對(duì)稱軸的一側(cè)，進(jìn)而求出〃7的范圍；(3)函數(shù)g(x)=x2+(2—左)x+l,對(duì)稱軸x=《一，圖象開(kāi)口向上，討論不同

情況下g(x)在［-2,2］上的單調(diào)性，可得函數(shù)g(x)的最小值h(k)的解析式

b

試題解析：(1)依題意得。=1,———=—1,4QC=0

2a

解得a=l,b=2,c=l,從而/(x)=f+2x+l；

(2)F(x)=x2+(2-m)x+l,對(duì)稱軸為1=‘工，圖象開(kāi)口向上

當(dāng)生二V—2即機(jī)W—2時(shí)，網(wǎng)力在［—2,2］上單調(diào)遞增，

2

當(dāng)即相時(shí)，尸(%)在［—2,2］上單調(diào)遞減，

綜上，加<一2或加N6

10

(3)g(x)=x2+(2-^)x+l,對(duì)稱軸為x=圖象開(kāi)口向上

1r\

當(dāng)=<—2即心—2時(shí)，g(x)在［—2,2］上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)g⑴的最小值h(k)=g(-2)=2k+l

當(dāng)—2<勺2<2即—2<%<6時(shí)，g(x)在-2,一上遞減，

~k-2

在亍,2上遞增

此時(shí)函數(shù)g（x）的最小值〃"）=g［;一J=-----一；

當(dāng)日一22即左之6時(shí)，g（￡）在［—2,2］上單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)b⑴的最小值MQ=g⑵=9—2左；

'2k+l,k<-2

后2_AK

綜上，函數(shù)g（x）的最小值M左）=<--------,-2<k<6.

9-2k,k>6

點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔

題.解答時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換

20、（1）選擇函數(shù)模型。=0？+加2+口，函數(shù)解析式為Q=o.iv3—o2v2+o.8v（o<y<3）；（2）以1百公里/小時(shí)

航行時(shí)可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2.1萬(wàn)元.

【解析】（1）對(duì)題中所給的三個(gè)函【解析】對(duì)應(yīng)其性質(zhì)，結(jié)合題中所給的條件，作出正確的選擇，之后利用待定系數(shù)

法求得解析式，得出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，之后應(yīng)用配方法求得最值，得到結(jié)果.

【詳解】（1）若選擇函數(shù)模型。=0.5"+。，則該函數(shù)在ve［0,3］上為單調(diào)減函數(shù),

這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型

若選擇函數(shù)模型Q=Oog“v+6,須v>0,這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在v=0時(shí)有意義矛盾,

所以不選擇該函數(shù)模型

從而只能選擇函數(shù)模型Q=av3+bv2+cv,由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得,

a+b+c=0.7,〃+6+c=0.7,a=0.1,

8〃+4b+2c=1.6,,即<4〃+2b+c=0.8,,解得<b=-0.2,

27〃+96+3c=3.3,9〃+3b+c=1.1,c=0.8,

故所求函數(shù)解析式為：Q=0.1V3-0.2V2+0.8V（0<V<3）

（2）設(shè)超級(jí)快艇在A5段的航行費(fèi)用為y（萬(wàn)元）,

3

則所需時(shí)間一（小時(shí)），其中