人教版高中數(shù)學(xué)選修二4.4數(shù)學(xué)歸納法 -A基礎(chǔ)練（解析版） 同步練習(xí)

4.4數(shù)學(xué)歸納法-A基礎(chǔ)練一、選擇題1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵，，∴所取的第一個(gè)正整數(shù)為2，又，故第一步應(yīng)驗(yàn)證．故選：B2．（2021·甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式（n∈N*）的過(guò)程中，第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到3．（2021·河南洛陽(yáng)市高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說(shuō)法都不對(duì)【答案】D【詳解】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立,所以不正確；因?yàn)?，所以從“到”左邊需要增加的代?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確。故選：D4．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被整除”的過(guò)程中，時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能被3整除，則當(dāng)時(shí)，．故選：A.5．（2021·上海普陀區(qū)曹楊二中高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng) B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng) D．增加、，且減少一項(xiàng)【答案】D【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時(shí)，不等式成立，則有：成立，那么時(shí)，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項(xiàng),故選：D6．（多選題）（2021·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當(dāng)時(shí)，成立.當(dāng)，則，成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，有，令，則，因?yàn)?，故，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的都成立.故選：CD.二、填空題7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.【答案】【詳解】因?yàn)閚≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，即1+.8．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_(kāi)______.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為.9．（2021·上海普陀區(qū)·曹楊二中高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．【答案】5【詳解】當(dāng)時(shí)，原式為：，當(dāng)時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng).10．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_________．【答案】【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以三、解答題11．（2021·西安市鐵一中學(xué)高二期末）在數(shù)列中，（1）求出并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納方證明你的猜想.【詳解】解：(1)∵，∴因此可猜想:；(2)當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，.12．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練）觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．【詳解】解析（1）第5個(gè)等式