2024年陜西省西安市未央?yún)^(qū)、蓮湖區(qū)等區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（附答案解析）

2024年陜西省西安市未央?yún)^(qū)、蓮湖區(qū)等區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文

科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?西安二模）設(shè)集合4={-2,0,1）,8={x|-1WxWl},則（）

A.{-2,0,1}B.{ROWxWl}C.{0,1}D.[x\-2<x^l）

2.（5分）（2024?西安二模）已知復(fù)數(shù)2=（3-4/）（5+120,貝!J|z|=（）

A.64B.55C.V65D.65

3.（5分）（2024?西安二模）已知等比數(shù)列{?}的前w項(xiàng)和為S,若。3=1,49=27,則⑥

=（）

A.±3B.3C.V3D.9

4.（5分）（2024?西安二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的

運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（）

1324

A.—B.—C.一D.一

4535

5.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）已知函數(shù)無(wú)）的圖象如圖所示，則函數(shù)/（無(wú)）的解析式

可能為（）

A.f(x)=cos2尤?(/-e")

第2+1

B.f(x)=sin2x9In——

x2

C.

6.（5分）（2024?西安二模）已知/，加是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，且/

//a,m±p,現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①若a〃0,則機(jī)J_a；

②若/L”，則/〃仇

③若aJ_0,則/Lw；

④若機(jī)〃a,則a_L0.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①④B.②④C.①②③D.②③

7.（5分）（2024?西安二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位

學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為

時(shí)間/小時(shí)

A.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天

B.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3

C.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)

D.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等

8.（5分）（2024?西安二模）在正四棱臺(tái)AiBiCiDi-ABCD中，AB^2AiBi,且三棱錐B\

-A8C的體積為6,則該正四棱臺(tái)的體積為（）

A.14B.21C.24D.36

9.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）已知P是拋物線C：y2=2px（p>0）上的一點(diǎn)，尸是拋物

線C的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|產(chǎn)目=4時(shí)，ZPFO=則拋物線C的方程為（）

A.>2=4%B.y2=2xC.y2=xD.y2=6x

10.（5分）（2024?西安二模）已知tana=-右y=:執(zhí)行如圖所示的程序框圖,

則輸入X的值可以為（）

-TT_7T

11.（5分）（2024?西安二模）將函數(shù)/（*）=45譏（一3%+不）-2的圖象向右平移耳個(gè)單位長(zhǎng)

度得到函數(shù)g（無(wú)）的圖象，若g（尤）在區(qū)間[-金，刃上的最大值為0,則9=（）

7171nn

A.-B.-C."D.—

36912

12.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）若2歷n--yi+3=0,%2-，2+5=0,則（%]—％21+

（乃-火）2的最小值為（）

A.2V2B.6C.8D.12

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

—>—>―?

13.（5分）（2024?西安二模）向量4B=（-3,6）,AC=（m,5）,CD=（-1,4）.若A,

B,。三點(diǎn)共線，則相=.

14.（5分）（2024?西安二模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（%）滿足/（x+2）=-/（尤），且當(dāng)

0cx<2時(shí)，f（x）=3X-Inx,則/（211）=.

15.（5分）（2024?西安二模）已知數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式為.=（-1）”?〃，Sa為其前〃項(xiàng)

和，則S985=.

16.（5分）（2024?西安二模）若尸為橢圓C：若+益=1上一點(diǎn)，為，乃為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，

且|P0|2一仍尸2『=16,貝|J|PF1|=.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

17.（12分）（2024?西安二模）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收

飛行學(xué)員，據(jù)統(tǒng)計(jì)某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男學(xué)生600人，女學(xué)生400人，男

女各有100名學(xué)生有報(bào)名意向.

（1）完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女學(xué)生有報(bào)名意向的概率；

有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)

男學(xué)生

女學(xué)生

合計(jì)

（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān).

附：C=g+b）券烷?其中：〃i+b+c+d，

P(片》ko)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

18.(12分)(2024?西安二模)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bs出(4+

B)—csin-2-=0.

(1)求3；

(2)若6=5,a+c=8,求△ABC的面積.

19.（12分）（2024?西安二模）如圖，在三棱柱A8C-A1B1C1中，平面AA1C1C,。是

A41的中點(diǎn)，△AC￡＞是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）證明：CiDLBD.

（2）若BC=6,求異面直線BC1與81。所成角的余弦值.

BBi

/cJ-Z—/-JG

?'I//。

ADA

20.（12分）（2024?西安二模）已知函數(shù)/（久）=/a/+xs譏x+2cos久.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，3x6[0,n],f（x）—m,求m的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)a2與寸，f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

21.（12分）（2024?西安二模）已知雙曲線C：*，=l（a>0,6>0）的一條漸近線方程

為x-4y=0,且虛軸長(zhǎng)為2.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,

。兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△。尸。的面積為定值.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多

做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分）

22.（10分）（2024?西安二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I的參數(shù)方程為

（4

x=4+己

?3G為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

）=針

線C的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos0-4psin0-20=0.

（1）求直線/和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）記直線/與無(wú)軸的交點(diǎn)為與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求|〃A|+|Affi|.

選修4-5：不等式選講

23.（2024?西安二模）設(shè)函數(shù)/（x）=3x-2-|x-1|.

（1）求不等式/（x）<4的解集；

（2）若方程f（X）=/+"-1有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

2024年陜西省西安市未央?yún)^(qū)、蓮湖區(qū)等區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文

科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)(2024?西安二模)設(shè)集合A={-2,0,1},2={x|-IWXWI},則Ang=()

A.{-2,0,1}B.{ROWxWl}C.{0,1}D.[x\-2<x^l)

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解.

【解答]解：A={-2,0,1},8={x|-IWXWI},

則ACB={0,1}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)(2024?西安二模)已知復(fù)數(shù)2=(3-4i)(5+12z),貝！||z|=()

A.64B.55C.V65D.65

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可得z的模長(zhǎng).

【解答】解：復(fù)數(shù)z=(3-4z)(5+12/)=63+16/,則|z|=,632+162=14225=65.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)(2024?西安二模)已知等比數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為品,若。3=1,09=27,則。5

=()

A.±3B.3C.V3D.9

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

Va3=l,<79=27,

則q6=%=27,即/=3,

a6

CI5a§q2=3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列求通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2024?西安二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的

運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（）

1324

A.—B.—C.—D.—

4535

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】基本事件總數(shù)”=4X4=16,他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服包含的基本事件個(gè)數(shù)m

=4X1=4,由此能求出他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率.

【解答】解：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選

擇1種，

基本事件總數(shù)”=4X4=16,

他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服包含的基本事件個(gè)數(shù)加=4X1=4,

則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為P=0=2另.

fl1O住

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）已知函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)/（無(wú)）的解析式

可能為（)

A.f(x)=cos2x*(^-ex)

%2+1

B.f(x)=sin2x?命——

C./(%)=

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】對(duì)于A，由奇偶性可判斷，對(duì)于2,由定義域可判斷，對(duì)于。，由/(I)=0可

判斷，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：對(duì)于A,由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的定義域?yàn)?-8,o)u(0,+8),與

選項(xiàng)A函數(shù)的定義域不合題意不符合，所以A不正確.

%2+1

對(duì)于3,f(x)=sin2x?山——,函數(shù)是奇函數(shù)，變化趨勢(shì)與函數(shù)的圖象相同，所以2正

%2

確.

對(duì)于C,f(x)=匕考一，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)xf+8時(shí)，f(x)—+8,與圖象不符合，

所以C不正確.

對(duì)于。，/(%)=-?/?!——,函數(shù)是奇函數(shù)，但是，尤>0,并且無(wú)一0時(shí)，/(x)<0,與

X%2+1

函數(shù)的圖象，不符合，所以。不正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)(2024?西安二模)已知/,相是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，且/

//a,m±p,現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①若a〃,則〃z_La；

②若/Lw,則/〃0；

③若a邛,則/_1_祖；

④若根〃a,則a_L0.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

A.①④B.②④C.①②③D.②③

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】對(duì)于①，由面面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定得機(jī)，a；對(duì)于②，/與0平行或

fcp；對(duì)于③，由線面垂直的性質(zhì)得/與相相交、平行或異面；對(duì)于④，由面面垂直的判

定得aXp.

【解答】解：/,必是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，且/〃a,

對(duì)于①，若式〃0,則由面面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定得m_La,故①正確；

對(duì)于②，若/，祖，貝也與0平行或故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若則由線面垂直的性質(zhì)得/與相相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若〃z〃a,則由面面垂直的判定得a_LB，故④正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能

力，是中檔題.

7.（5分）（2024?西安二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位

學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為

左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（）

［頻率/組距

；3.5：4.5!竟成作業(yè)

時(shí)間/小時(shí)

A.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天

B.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3

C.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)

D.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】利用頻率分布直方圖、頻數(shù)、頻率、平均數(shù)、中位數(shù)直接求解.

【解答】解：對(duì)于4該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)天數(shù)為：

0.5X0.5X100=25天，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為：

（0.3+0.2+0.1+0.1）X0.5=0.35,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為：

1.25X0.1X0.5+1.75X0.3X0.5+2.25X0.5X0.5+2.75X0.4X0.5+3.25X0.3X0.5+3.75X0.2

X0.5+4.25X0.1X0.5+4.75X0.1X0.5=2.75小時(shí)，故C正確；

對(duì)于。，[1,2.5）的頻率為（0.1+0.3+0.5）X0.5=0.45,

[1,3）的頻率為0.45+0.4X0.5=0.65,

中位數(shù)為2.5+0'5"°'45x0.5=2.625,

...估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)不相等，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖、頻數(shù)、概率、平均數(shù)、中位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2024?西安二模）在正四棱臺(tái)A\B\C\D\-ABCD中，AB=2AiBi,且三棱錐Bi

-ABC的體積為6,則該正四棱臺(tái)的體積為（）

A.14B.21C.24D.36

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)分割補(bǔ)形法，轉(zhuǎn)化錐體的底面與頂點(diǎn)，即可求解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)正四棱臺(tái)AiBiCiDi-ABCD的側(cè)棱交于點(diǎn)S,

VAB=2AiBi,

???以為SB的中點(diǎn)，且上面小正四棱錐與大正四棱錐的相似比為去

上面小正四棱錐與大正四棱錐的體積比為巳，

又三棱錐Bl-ABC的體積為6,二四棱錐B1-ABCD的體積為12,

大正四棱錐S-ABCD的體積為24,

1

上面小正四棱錐的體積為丘

24xO=3,

該正四棱臺(tái)的體積為24-3=21.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱臺(tái)的體積的求解，分割補(bǔ)形法的應(yīng)用，屬中檔題.

9.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）已知尸是拋物線C：y2=2px（p>0）上的一點(diǎn)，尸是拋物

線C的焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|尸引=4時(shí)，/PFO=等，則拋物線C的方程為（）

A.）/—4xB.y1—lxC.y2—xD.y2—6x

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意易得P（￡+2,2V3）,再將尸（々+2,2機(jī)）代入y2=2p無(wú)中，建立

方程，即可求解.

【解答】解：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)P在第一象限,

：|尸同=4時(shí)，/PF0=號(hào),

NPFx=5,.,.xP=?+2,yP=2V3,

將P（-+2,2V3）代入/=2/中，

可得12=2p虐+2）,p>Q,解得p=2,

拋物線C的方程為y2=4x.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

10.（5分）（2024?西安二模）已知tcma=-，y=s^：i,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,

OCzO乙vv

則輸入x的值可以為（

n27113711971

A.-B.—C.—D.——

3366

【考點(diǎn)】程序框圖;同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；二倍角的三角函數(shù).

【專題】整體思想;綜合法；三角函數(shù)的求值；算法和程序框圖；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先利用二倍角公式求出y的值，再結(jié)合程序框圖逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

1

【解答】I?：*.9tana=一可

?_sin2a+l_2sinacosa-^-l_2sinacosa+sin2a+cos2a_2tana+tan2a+l_1

cos2acos2a—sin2acos2a—sinzal—tan2a2

對(duì)于A,若輸入工=半則輸出產(chǎn)-sin^=-于故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,若輸入x=等，則輸出y=-sin*=-日，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若輸入則輸出y=sin-^—=5,故。正確；

1QTT197r1

對(duì)于。，若輸入x=-g^,則輸出y=sin-^~=-5，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及

程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

TT__/L

11.(5分)(2024?西安二模)將函數(shù)/(?=4s譏(―3x+d)-2的圖象向右平移e個(gè)單位長(zhǎng)

度得到函數(shù)g(無(wú))的圖象，若g(尤)在區(qū)間[-方切上的最大值為0,則9=()

7171nn

A.-B.—C.-D.——

36912

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+<p)的圖象變換.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系求出g(x)的圖象，求出角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的

最值性質(zhì)即可求解.

【解答】解：將函數(shù)“久)=4sm(-3%+1)-2的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g

(x)的圖象，

則g(無(wú))=/(無(wú)一])

=4sin[-3(x-J)+自-2

=4sin(-3x+n+?)-2

6

=4sin(3x—5)-2,

6

*.*XG[-/e],

?Q兀/—「57TQQTC-.

-?3X~6E[~12,30-6],

：g(x)=4sin(3x+1)-2在區(qū)間[一方句上的最大值為0,可得sin(30-1)=|,

.?.30-J=解得3=]

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的變換求出函數(shù)的解析式

以及利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.（5分）（2024?呼倫貝爾一模）若2/nxi-xi-yi+3=0,尤2->2+5=0,貝!]（久】一久2產(chǎn)+

31-%）2的最小值為（）

A.2V2B.6C.8D.12

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的最值及其幾何意義；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性

質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】設(shè)A（xi,yi）,B（x2,y2）,貝U（久】—久2尸+（月-內(nèi)/的最小值即為曲線y=2歷x

-x+3上的點(diǎn)A到直線尤-y+5=0上的點(diǎn)B的距離的最小值的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義求出與直線尤-y+5=0平行的切線方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【解答】解：設(shè)A（xi,yi）,B（尤2,y2）,

則點(diǎn)A在曲線y=2lnx-x+3上，點(diǎn)B在直線無(wú)-y+5=0上，

2

（%1-X2）+（Y1-%）2的最小值即為曲線y=2/"x-x+3上的點(diǎn)A到直線尤-y+5=0上的

點(diǎn)B的距離的最小值的平方，

由y=2/nx-x+3可得，y'=--1,

與直線x-y+5=0平行的切線斜率k=i=l-l,

解得X=l，

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,

所以切點(diǎn)（1,2）到直線x-y+5=0的距離d=J-2+5I

了+（_1）2

BP（%1-%2）2+（71-力）2的最小值為屋=8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距

離公式，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(2024?西安二模)向量48=(-3,6),AC=(m,5),CD=(-1,4).若A,

7

B,。三點(diǎn)共線，則機(jī)=二看.

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-彳

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

—>—>—>

【解答】解：由題意可知，ADAC+CD(m-1,9),

->

力B=(—3,6),A,B,。三點(diǎn)共線，

7

則6(〃z-l)=-3X9,解得機(jī)=一￡

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)(2024?西安二模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=-/(x),且當(dāng)

0<尤<2時(shí)，f(x)=3A-Inx,則/(211)=-3.

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-3.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的周期性，即可求解.

【解答】解：f(x+2)=-f(x),

則/(x+4)=-f(%+2),即/(尤+4)=/(x),

故函數(shù)/(x)的周期為4,

f(211)=f(4X202+3)=f(3)-(31-Znl)=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)(2024?西安二模)已知數(shù)列｛礪｝的通項(xiàng)公式為(-1)”?〃，S”為其前幾項(xiàng)

和，則S985=-493.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-493.

【分析】根據(jù)數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式利用分組求和可得S985=-493.

【解答】解：因?yàn)椤?"一1+。2"=-（2n-l）+2n=l,

所以S985=（rzi+t/2）+（。3+。4）+,??+（。983+。984）+6Z985=1X492-985=-493.

故答案為：-493.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列前〃項(xiàng)和的分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.

16.（5分）（2024?西安二模）若P為橢圓C：a+/=1上一點(diǎn)，為，放為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，

1216

且|P&|2-仍尸2『=16,則|PAI=5.

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】5.

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及題意建立方程，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得a=4,b=V3,c=2,

...|尸乃|+尸冏=2。=8,…①，

，|PFi|2-〔PF2/=16，可得（|PFI|+|PF2）（|PFi|-|PF2）=16,

.,.|PFi|-\PF2\=2,…②，

①②可得『人|=竽=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

17.（12分）（2024?西安二模）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收

飛行學(xué)員，據(jù)統(tǒng)計(jì)某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男學(xué)生600人，女學(xué)生400人，男

女各有100名學(xué)生有報(bào)名意向.

（1）完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女學(xué)生有報(bào)名意向的概率；

有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)

男學(xué)生

女學(xué)生

合計(jì)

(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān).

2

附.K2=-----n(ad-bc)------其中?n=a+b+c-^d,

PIJ-H(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'只中?〃a+D+c+a,

P(非》依)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)完成給出的列聯(lián)表如下：

有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)

男學(xué)生100500600

女學(xué)生100300400

合計(jì)2008001000

(2)有99%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)題意，完善列聯(lián)表即可；

(2)計(jì)算K2的觀測(cè)值并與臨界值表比對(duì)即可得解.

【解答】解：(1)完成給出的列聯(lián)表如下：

有報(bào)名意向沒(méi)有報(bào)名意向合計(jì)

男學(xué)生100500600

女學(xué)生100300400

合計(jì)2008001000

7

戶1000x(100x300-500xl00)z…"小”

⑵K=200x800x600x400到0417>6.635,

故有99%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.

18.(12分)(2024?西安二模)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bs出(4+

B)—csiTt-2-=0.

(1)求&

(2)若6=5,a+c=8,求△ABC的面積.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

n

【答案】(1)

3

1373

(2)——.

4

71B

【分析】(1)由正弦定理及三角形內(nèi)角的關(guān)系可得sin3=sin(]-鼻)，由三角形的角的

范圍，可得角3的大??；

(2)由余弦定理可得碇的值，代入三角形的面積公式可得△ABC的值.

【解答】解：(1)因?yàn)榧幼I(2+8)—=0,由正弦定理可得：sinB*sinC=sinC

7TB

?sin(——一),

22

在三角形中，sinOO,

『,、

『7rB7RRnB

可得sin3=sin(———),可得B=5■或B=TI-(——一),

222222

可得3=5或5=n(舍)，

所以

1

(2)因?yàn)閎=5,〃+c=8,由余弦定理可得b2=a2^-c2-2accosB=(?+c)2-2ac-2ac?一,

2

即25=64-3碇，

可得〃c=13,

所以SAABC=^acsinB=JX13X*

ZZZ41

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.(12分)(2024?西安二模)如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，BC_L平面A41clC,。是

441的中點(diǎn)，△ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

(1)證明：CiD±BD.

(2)若BC=6,求異面直線BC1與81。所成角的余弦值.

BBi

/cJ-Z—/-JG

//,I/，'/

ADAi

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

V39

（2）.

13

【分析】（1）由己知，可證C￡）_LC。，BC1C1D,即可得CiO_L平面BCD,從而證得結(jié)

論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式即可求得.

【解答】（1）證明：???△ACD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

AZADC=60°,ZDAiCi=120°,

:。是A41的中點(diǎn)，.?.A￡>=ALD=4CI,即△AICLD是等腰三角形，

AZAi￡）Ci=30°,從而/CDCi=90°,即CD_LGQ,

；BC_L平面A41clC,且CDu平面A41clC,.".BC1C1D,

又BCCCD=C,8Cu平面BCD,CZ）u平面BCD,GO_L平面BC。，

平面BCD,：.C1DLBD；

1

（2）解：連接CAi,"：CD=^AAr,：.AC±CAi,

以C為原點(diǎn)，CA,CAi,CB所在直線分別為無(wú)、y、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

X

則C(。0,0)，8(0,0,6)，C式-2,2百，0),0(1,W,0),當(dāng)(-2,2?6),

—>—>_

則BQ=(-2,2V3,-6),81。=(3,-皆，-6),

故cosVB*=一6—6+36_739

一考,

|8川田1。|V52XV48

所以異面直線科與加所成角的余弦值為首

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定及異面直線所成角的余弦值求法，屬中檔題.

20.(12分)(2024?西安二模)已知函數(shù)/(%)=石。%4+%s譏％+2COSK.

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，2xG［0,n］,f(x)=m,求相的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)［-2,2］；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)把。=0代入已知函數(shù)解析式，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合存在性問(wèn)題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)

化即可求解；

(2)求導(dǎo)，只需證明了(尤)>0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)<p(無(wú))—X-sinr,xE(0,+°°),

求導(dǎo)，研究該函數(shù)的值域，即可證明結(jié)果.

【解答】(1)解：當(dāng)。=0時(shí)，f'(x)=xcosx-sinx,f"(x)=-xsinx,

當(dāng)xHO,IT］時(shí)，f(x)<0,f(x)在［0,IT］上單調(diào)遞減，

則/(無(wú))&f(0)=0,

所以/(x)在［0,n］上單調(diào)遞減，

所以/(n)］(無(wú))4(0),即-2</?(無(wú))<2.

因?yàn)楹?0,IT],f(x)=m,即/(%)=加在[0,由上有解，

所以機(jī)的取值范圍是[-2,2].

(2)證明：令/(％)=//(%)=百。％3+%c0s%—sin%,xG(0/+oo),x>0,

貝！Ih'(x)=2a?-xsiwc=x(2ax-siax).

因?yàn)閍>2時(shí)，2ax-sinx>x-sinx,

令cp(x)=x-sinx,xE(0,+°°),

貝！Jcp'(x)=l-cosx)0在(0,+8)上恒成立，

所以(p(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，

所以cp(x)>(p(0)=0,

即x-sinx>0在(0,+oo)上恒成立，

所以/z'(x)—X(2ax-siiix)(x-sinx)>0,

則力(x)=f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)>/(0)=0,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，存在性問(wèn)題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中檔題.

21.(12分)(2024?西安二模)已知雙曲線C：*l(a>0,6>0)的一條漸近線方程

為x-4y=0,且虛軸長(zhǎng)為2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,

。兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OP。的面積為定值.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第2

【答案】(1)--/=1；(2)證明見(jiàn)解答，定值為4.

16

【分析】(1)根據(jù)漸近線方程和虛軸長(zhǎng)，求出a,b可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在，設(shè)直線/的方程，求得交點(diǎn)P,Q,可得△OPQ的面積；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)A=0,找到參數(shù)之間的

關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積,

即可證明.

【解答】解：（1）雙曲線C：圣一英=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為x-4y=o,

且虛軸長(zhǎng)為2,

,b1口，

可得2。=2,-=一，解得〃=4,b=l,

a4

r2

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一-/=1;

16

（2）證明：由雙曲線的方程可得漸近線方程為y=±4,

4

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，

則直線/經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)/：x=4,與漸近線方程聯(lián)立，可得尸（4,1）,2（4,

-1）,

1

則△。尸。的面積為5X2X4=4；

當(dāng)直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y^kx+t,與雙曲線的方程％2-16/=16聯(lián)立，

可得（1-16^）/-32ktx-16?-16=0,

因?yàn)閯?dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，

所以△=（-32公）2+4（1-16后）（16?+16）=0,得16產(chǎn)=尸+1,

設(shè)動(dòng)直線I與y=%，的交點(diǎn)為P,與>=一%的交點(diǎn)為Q,

y=kx+t

聯(lián)立1解得XP=

y=-rx±-4K

同理得x°=_4H

,-----4t4t-----8|t|8V1+/C2

貝口尸。1=V1+fc2|----------|=V1+k29-------=———，

1-4/c-1-4/c|1-16/C2||t|

因?yàn)樵c(diǎn)。到直線I的距離為d=下固=,

顯

11\t\8Vl+fc2

所以△OP。的面積為］d?|PQ|=j?^==?---=4.

則△OP。的面積為定值4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多

做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分）

22.（10分）（2024?西安二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I的參數(shù)方程為

4

%=4+己3

35G為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

y=-=t

線C的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos0-4psin0-20=0.

（1）求直線/和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）記直線/與無(wú)軸的交點(diǎn)為與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）直線/的普通方程為3x--12=0；曲線C的直角坐標(biāo)方程為?+/+2x

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-4y-20=0；（2）-y.

【分析】（1）消去參數(shù)即得直線/的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即

得曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解.