2023-2024學年廣東省深圳市八年級（下）月考數學試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)蓮花中學北校區(qū)八年級（下）月

考數學試卷（3月份）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

2.若x<y,則下列式子不成立的是（）

Xy

D-<-

A.%—l<y—1B.-2x<—2yC.%+3<y+322

3.若關于％的不等式（1—a）%>3的解集為％</，貝b的取值范圍是（）

A.a<B.a>1C.aW1D.a<—1

4.如果點P（l-%-3）在平面直角坐標系的第三象限內，那么％的取值范圍在數軸上可表示為（）

5.如圖，將△ABC繞點/順時針旋轉一定的角度得到△ZB'C',此時點夕恰

在邊/C上，若48=2,AC，=5,則BC的長為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.如圖，RtATlBC的斜邊48的垂直平分線MN與AC交于點M,乙4=

15°,BM=2,則AAMB的面積為（）

A.1

B.2

C.4

D.5

7.下列說法中，正確的結論有個.（）

①在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；

②三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等；

（3）“對頂角相等”的逆命題是真命題；

④反證法證明“一個三角形中最小角不大于60。”應先假設這個三角形中最小角大于60。.

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，已知正比例函數為=ax與一次函數%=+b的圖象交于點P.

下面有四個結論：①a<0；@b<0；③當x>0時，>0；④當無<

-2時，為>為■其中正確的是（）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知△OAB是以點4為直角頂點的等腰直角

三角形，點B在y軸正半軸上，點4（-1,1）,將△208沿x軸正方向平移得到△

DCE,若點E恰好落在直線y=上，則此時點。的坐標為（）

A.(2,1)B.(3,1)C.(4,1)D.(5,1)

10.如圖，在AABC中，AB=6,將△力BC繞點8按逆時針方向旋轉30。

后得到△4/6,則陰影部分的面積為（）

A.6

B.6/3

C.973

D.9

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.與點P(3,-4)關于原點。中心對稱的點的坐標為.

12.如果關于x的不等式組產:5無解，那么根的取值范圍是.

13.如圖，在△48C中，NR4c=80。，將△ABC繞點2逆時針旋轉110。得到△

ADE,點B的對應點。恰好落在BC的延長線上，則NE的度數為°.

14.如圖，已知乙4。8=60。，點P在邊04上，OP=16,點M、N在邊。8上,

PM=PN,若MN=2,則。M=

15.如圖，已知AABC中，^ACB=90°,ABAC=30°,BC=2,AB=4,AC=

2/3,點。為直線4B上一動點，將線段CD繞點C順時針旋轉60。得到線段CE,連接

ED、BE,點F在直線4F上且。F=8C,則BE最小值為.

三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題7分)

解不等式(組)，并把(2)的解集在數軸上表示出來.

(l2)Yy-—^1<1;

r4x—6<3(%—1)

(^)3+31+1%

->

-5—4—3—2—102345

17.(本小題7分)

若關于x,y的二元一次方程組［；；；；=3a+J的解都是正數.

(1)求a的取值范圍；

(2)若此方程組的解是一個等腰三角形的一條腰和底邊的長，且這個等腰三角形的周長為12,求a的值.

18.(本小題7分)

如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△48C的三個頂點的坐標分別為

4(-1,3),5(-4,0),C(0,0).

(1)將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△&&G，畫出并直接

寫出點&的坐標；

⑵△ABC繞原點。逆時針方向旋轉90。得到△&4。，按要求作出圖形；

(3)如果△⑸殳。，通過旋轉可以得到△414C1，請直接寫出旋轉中心P的坐標.

19.(本小題7分)

如圖，在AABC中，4D平分ABAC,ZC=90°,DE14B于點E,點F在4c上，BD=DF.

(1)求證：CF=EB.

(2)若力B=12,AF=8,求CF的長.

20.(本小題9分)

某超市準備購進4、B兩種商品，進3件力，4件B需要270元；進5件42件B需要310元；該超市將4種商品

每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元.

(1)2種商品每件的進價和8種商品每件的進價各是多少元？

(2)商店計劃用不超過1560元的資金購進4B兩種商品共40件，其中4種商品的數量不低于B種商品數量的

一半，該商店有幾種進貨方案？

(3)端午節(jié)期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件4種商品售價優(yōu)惠機(10＜根＜20)元，B種商品售價

不變，在(2)的條件下，請設計出小的不同取值范圍內，銷售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案.

21.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(0,6),AAOB為等邊三角形，P是x軸上一個動點(不與原點。重合

(1)求點B的坐標；

(2)在點P的運動過程中，乙4BQ的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大??；如改變，請說明理由.

(3)連接。Q,當0Q〃/1B時，求點P的坐標.

22.(本小題9分)

探究題：(1)特殊情景：

圖⑴圖(3)

如圖(1),在四邊形48CD中，AB^AD,以點4為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC,CD于點E,F,且

^EAF=^BAD,連接EF,若NB4D=NB=ND=90。，探究：線段BE,DF,EF之間的數量關系為:

(提示：延長CD到H,使。"=BE,鏈接4從)

(2)類比猜想：類比特殊情景，在上述⑴條件下，把“/BAD=Z5=ZD=90°”改成一股情況“乙B+

=180。，”如圖(2),小明猜想：線段BE,DF,EF之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明結

論.

(3)解決問題：如圖(3),在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC=4,點、D,E均在邊8C上，且=

45°,若80=V2,計算。E的長度.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

8.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

根據把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心

對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原來的圖形重合.

2.【答案】B

【解析】解：由x<y,

可得:x—1<y—1,—2.x>—2y,x+3<y+3,

故選：B.

各項利用不等式的基本性質判斷即可得到結果.

此題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解本題的關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：由關于x的不等式(1-a)x〉3的解集為得

1—a<0,

解得a>1,

故選：B.

根據不等式的性質3,不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變，可得答案.

本題考查了不等式的解集，利用了不等式的性質3,不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方

向改變.

4.【答案】D

【解析】解：?.■尸（1一%,%—3）在平面直角坐標系的第三象限內,

C1—%<0

??L-3<0，

解得：1<x<3,

在數軸上表示為：

故選：D.

根據點的位置得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項.

本題考查了點坐標特點、一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集等知識點，能求出不等式組的

解集是解此題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：???將△ABC繞點4順時針旋轉一定的角度得到

???AB=AB',AC=AC,

AB=2,AC=5,B'C=AC-AB'=5-2=3,

故選:B.

由旋轉的性質可得48==2,AC=AC=5,即可求解.

本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

6.【答案】A

【解析】解：???&△ABC的斜邊48的垂直平分線MN與AC交于點M,N/1=15。，BM=2,

：.AM=BM=2,^ABM=N4=15°,

.-.乙BMC=z.A+^ABM=30°,

1i

BC==/2=1,

1i

SMMB=2aM-BC=-x2x1=1.

故選：A.

先根據線段垂直平分線的性質得出AM=BM,AABM==15°,再根據三角形外角的性質求出N8MC的

度數，根據含30。角的直角三角形的性質求出BC的長，根據三角形的面積公式進而可得出結論.

本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答

此題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：①在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，說法正確；

②三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等，說法正確；

③“對頂角相等”的逆命題是如果兩個角相等，則這兩個角為對頂角，此命題為假命題，本小題說法錯

誤；

④反證法證明“一個三角形中最小角不大于60?！毕葢僭O這個三角形中最小角大于60。，說法正確；

故選：C.

根據角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法判斷即可.

本題主要考查了角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法，解題的關鍵在于能

夠熟練掌握相關知識進行求解.

8.【答案】B

【解析】解：由yi=ax圖象可知，a<0,故①正確；

由乃=2%+b的圖象可知，b>0,故②不正確；

,；yi=ax中，為隨著久增大而減小，二當x>0時，<0,故③不正確；

由圖象可知，當久<一2時，>y2,故④正確.

故選:B.

根據一次函數中k和6的符號可以判斷①②；根據函數增減性可以判斷③，根據圖象可以判斷④.

本題考查了一次函數的性質，仔細觀察圖象經過的象限、圖象的增減性是解決本題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：???點4的坐標為(-1,1),

OA=7(-1-0)2+(1-0)2=72,

?■?A04B是以點4為直角頂點的等腰直角三角形，

AB=y[2OA=2,

.??點B的坐標為(0,2).

,?,點E是點8向右平移得到的點，

.??點E的縱坐標為2.

當y=2時，=2,

解得：x=4,

.??點E的坐標為(4,2),

.??點E是點B向右平移4個單位長度得到的點,

點。是點a向右平移4個單位長度得到的點,

.??點。的坐標為(3,1).

故選：B.

由點力的坐標，可得出。4的長，結合等腰直角三角形的性質，可得出4B的長，由平移的性質，可知點E的

縱坐標為2,利用一次函數圖象上點的坐標特征，可得出點E的坐標，結合點B的坐標，可得出點E是點B向

右平移4個單位長度得到的點，進而可得出點。是點2向右平移4個單位長度得到的點，再結合點2的坐標，

即可得出點。的坐標.

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及坐標與圖形變化-平移，利用平移的性質

及一次函數圖象上點的坐標特征，找出點E的坐標是解題的關鍵.

10.【答案】D

【解析】解：在ATIBC中，AB=6,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30。后得到△2/G，

???A^B—AB=6,

??.△A/4是等腰三角形，^ArBA=30°,

如圖，過七作148于D,則①。=豹/=3,

又S陰影=S^A1BA+S^A1BC1-S“BC,

SAABQ-SAABC，

S陰影=SA4]B4=9.

故選：D.

根據旋轉的性質得到AABC之△a/Q,AXB=AB=6,所以△&B4是等腰三角形，依據N&B4=30。得

到等腰三角形的面積，由圖形可以知道S切影=SAA1BA+S^A1BC1-S“BC=S^A1BA,最終得到陰影部分的面

積.

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

旋轉前、后的圖形全等.運用面積的和差關系解決不規(guī)則圖形的面積是解決此題的關鍵.

11.【答案】(一3,4)

【解析】解：根據中心對稱的性質，可知：點P(3,-4)關于原點。中心對稱的點的坐標為(-3,4).

故答案為：(-3,4).

根據平面直角坐標系中任意一點PQ,y),關于原點的對稱點是(-居-y),然后直接作答即可.

本題考查關于原點對稱的點坐標的關系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可以結合平面直角坐標系的圖

形.

12.【答案】m>5

【解析】解：,??關于x的不等式組產：5無解,

m>5,

故答案為：m>5.

根據找不等式組解集的規(guī)律得出即可.

本題考查了解一元一次不等式組和不等式的解集，能熟記找不等式組解集的規(guī)律是解此題的關鍵.

13.【答案】65

【解析】解：■.?將AABC繞點4逆時針旋轉110。得到AADE,

AAB=AD,乙BAD=110°,乙iCB=乙E,

???4ABC=35°,

???4BAC=80°,

NACB=65°=NE,

故答案為：65.

由旋轉的性質可得4B=AD,/.BAD=110°,^ACB=4E,由等腰三角形的性質可求乙4BC=35°,由三

角形內角和定理可求解.

本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

14.【答案】7

【解析】解：過點P作PH10B于點H,/A

則NP”。=90°,/K

???PM=PN,MN=2,/<\

MH=NH=1,/'\

/町/I\

???乙AOB=60°,OMHNB

：.AOPH=30°,

1

OH=^OP,

???OP=16,

OH=8,

■.OM=OH-MH=8-17,

故答案為：7.

過點P作PHI。8于點H,根據等腰三角形的性質可得MH=NH,根據含30。角的直角三角形的性質可得

OH=^OP,再根據OM=OH-MH求解即可.

本題考查了等腰三角形的性質，含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵.

15.【答案】/3

【解析】解?.?/-ACB=90°,^BAC=30°,

???乙ABC=60°,即NBDC+乙BCD=60°,

由旋轉可知：CD=CE,LDCE=60°=Z.BCE+乙BCD,

??.Z.BDC=(BCE,

在^CDF^AECB^,

DF=BC

乙FDC=乙BCE,

CD=CE

??.△C0%ZkEC8(S/S),

CF=BE,則當CF1AO時，C尸最小,即BE最小,

?；BC=2,AB=4,AC=2<3,^ACB=90°,

.??點。到的距離為專注=空等=<3,

/ID4

BE的最小值為，3,

故答案為：V-3.

首先通過證明△CDF=△ECB(SAS)得到CF=BE,再根據垂線段最短將最小值轉化為點C到4。的距離，最

后利用面積法計算即可.

本題考查了全等三角形的判定和性質，面積法，旋轉的性質，垂線段最短，知識點較多，解題的關鍵是能

夠通過全等三角形的性質將所求線段轉化為其他線段.

16.【答案】解：⑴竽—個W1,

4x-3(3x-1)<6,

4%—9%+3<6,

4%—9%<6—3,

-5%<3,

、

x>--3；

(4%—6<3(%—1)

>l+|x'

解第一個不等式得X<3,

解第二個不等式得x2-2.

故不等式組的解集為-2<x<3,

在數軸上表示出來為：

-5-4-3-2-I012345

【解析】(1)不等式去分母，去括號，移項合并，將x系數化為1,求出解集即可；

(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在數軸上即可.

此題考查了解一元一次不等式(組)，熟練掌握不等式(組)的解法是解本題的關鍵.

17.【答案】解：(1)解｛3:x—y=2a—5/曰=a—1

-%+2y=3a+3"(y=a+2

???若關于x、y的二元一次方程組二:二;?的解都為正數，

(CL—1>0

ta+2>0'

解得：a>1；

(2)???二元一次方程組的解是一個等腰三角形的一條腰和一條底邊的長，這個等腰三角形的周長為12,

*'.2(。-1)+a+2=12,

解得：a=4,

?,?％=3,y=6,

故3,3,6不能組成三角形，

二2(a+2)+a-1=12,

解得：a=3,

%-2>y=5,

故2,5,5能組成等腰三角形，

a的值是3.

【解析】(1)先解方程組用含a的代數式表示x,y的值，再代入有關x,y的不等關系得到關于a的不等式求

解即可；

(2)首先用含m的式子表示x和y,由于x、y的值是一個等腰三角形兩邊的長，所以％、y可能是腰也可能是

底，依次分析即可解決，注意應根據三角形三邊關系驗證是否能組成三角形.

主要考查了等腰三角形的性質，方程組的解的定義和不等式的解法.理解方程組解的意義用含小的代數式

表示出x,y,找到關于x,y的不等式并用a表示出來是解題的關鍵.

18.【答案】解：(1)如圖，即為所求.

點4的坐標為(4,4).

(2)如圖，△&B2。即為所求.

yjk

(3)如圖，連接44，B$2,作4遇2與當殳的垂直平分線，相交于點P,則點P即為△42%。與△4/1G的

旋轉中心，

???旋轉中心P的坐標為(3,-2).

【解析】(1)根據平移的性質作圖，即可得出答案.

(2)根據旋轉的性質作圖即可.

(3)連接&&，B/2,利用網格分別作為&，B/2的垂直平分線，兩線交于點P,則點P即為△4282。與4

AiZG的旋轉中心，即可得出答案.

本題考查作圖-旋轉變換、平移變換，熟練掌握平移和旋轉的性質是解答本題的關鍵.

19.【答案】(1)證明：???2。平分NBAC,ZC=90°,DELAB^-E,

DE=DC.

在Rt△CDF與RtAEDB中，

(DF=DB

iDC=DE'

.-.Rt△CDF出RtAEDB(HL),

CF=EB.

(2)解：設CF=x,貝!ME=12-x,

???AD平分NB力C,DE1AB,

CD-DE.

在RtAACD馬Rt△AED中,

..(AD=AD

'Ie。=ED'

???RtAACD出RtAAED(HL),

AAC=AE,即8+x=12-x,

解得x=2,即CF=2.

【解析】(1)根據角平分線的性質“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得點。到48的距離=點。

至必C的距離即。E=CD,再根據HL證明RtZkCDF義RtAEOB,從而得出CF=EB；

(2)設CF=x,則4E=12—x,再根據題意得出RtAACD/RtAAE。，進而可得出結論.

本題考查的是角平分線的性質，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答此題的關鍵.

20.【答案】解：(1)設4種商品每件的進價為萬元，B種商品每件的進價為y元,

依題意得:朦手工

解得：g：30-

答：2種商品每件的進價為50元，8種商品每件的進價為30元.

(2)設購進4種商品a件，則購進8種商品(40-a)件，

50a+30(40-a)<1560

依題意得:

a>(40-a)

z

解得：＜a＜18.

又???a為整數，

??.a可以為14,15,16,17,18,

??.該商店有5種進貨方案.

(3)設銷售這40件商品獲得總利潤為w元，則w=(80-m-50)a+(45-30)(40一a)=(15-m)a+

600.

若15-機＞0,即時，w隨a的增大而增大，

.?.當a=18時，w取得最大值，此時40—a=40-18=22；

若15—m=0,即nt=15時，w的值不變；

若15—m＜0,即15＜小＜20時，w隨a的增大而減小，

.?.當a=14時，w取得最大值，此時40-a=40-14=26.

答：當10＜?。?5時，購進4種商品18件，B種商品22件時，銷售這40件商品獲得總利潤最大；當m=

15時，選擇各方案銷售這40件商品獲得總利潤相同；當15＜?。?0時，購進4種商品14件，B種商品26

件時，銷售這40件商品獲得總利潤最大.

【解析】(1)設4種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為y元，根據“進3件4,4件B需要270元；

進5件4,2件B需要310元”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設購進4種商品a件，則購進B種商品(40-a)件，根據“進貨總價不超過1560元，且4種商品的數量不

低于B種商品數量的一半”，即可得出關于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，再結合a

為整數，即可得出進貨方案的個數；

(3)設銷售這40件商品獲得總利潤為w元，利用總利潤=每件商品的銷售利潤x銷售數量，即可得出w關于a

的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題.

本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：(1)

找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；(3)

根據各數量之間的關系，找出w關于a的函數關系式.

21.【答案】解：（1）如圖1,過點B作BClx軸于點C,

???0A—6,

為等邊三角形，

Z-AOB—60°,OB=OA—6,

???(BOC=30°,而乙。。8=90°,

-1

BC=?OB=3,OC=3<3,

.,.點B的坐標為(3A/3,3);

(2)N28Q=90。，始終不變.理由如下：

???△2PQ、AAOB均為等邊三角形，

???AP=AQ,AO=AB,Z-PAQ=Z.OAB,

???Z.PAO=Z-QAB,

在△人尸。與△ZQB中，

(AP=AQ

\A.PAO=Z-QAB,

VAO=AB

絲△AQ8(S/S),

??.Z.ABQ=Z.AOP=90°；

(3)當點P在久軸負半軸上時，點Q在點8的下方，連接。Q,

VAB//OQ,A.ABQ=90°,

.-.乙BQO=90°,乙BOQ=/.ABO=60°.

又?:OB=OA=6,

.-?乙OBQ=30°,

OQ=：OB=3,BQ=VOB2-OQ2=3^3,

由(2)可知，△APO^AAQB,

AOP=BQ=3AA3.

???此時P的坐標為(-30);

當點「在刀軸正半軸時，點Q必在第一象限，0Q和4B不可能平行,

綜上：點P的坐標為(-3，"5,0).

【解析】(1)過點B作BC1無軸于點C,證明NBOC=30。，OB=6,借助直角三角形的邊角關系即可解決

問題；

(2)證明A4P。絲△AQB(SAS),得到N2BQ=NAOP=90。，即可解決問題；

(3)根據點P在x的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據全等三角形的性質即可得出結果.

本題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定及性質以及梯形的性質，注意利用分類討論得出

是解題關鍵.

22.【答案】解：(1)8E+OF=EF；

(2)成立.

理由：^BAD=a,貝

如圖，將^ABE繞點力順時針旋轉a得到△ADH,

A

???Z-ABE—Z-ADHfZ-BAE=Z.DAH,AE=AH,BE—DH.

??.AB+^ADC=180°,

???Z-ADH+乙ADC=180°,

???點C,D,”在同一直線上.

i

，?,Z-BAD-a,Z-EAF=-a,

1

???Z-BAE+Z.FAD=-a,

1

???Z-DAH+Z.FAD=-a,

???^FAH=/,EAF,

在尸與△Z”尸中

AE=AH

乙FAH=^EAF

AF=AF

：^AEF^LAHF{SAS},